Vector Analysis & Differential Geometry Enlightened by Integral Formulas -From Stokes' Theorem to Variational Formula-
積分公式で管く
ぺクトル解析と
微分分运埸何学
積分公式で管く
ぺクトル解析と
微分分运埸何学
{:[" 積分公式で管く "],[" ぺクトル解析と "],[" 微分分运埸何学 "]:} \begin{aligned}
& \text { 積分公式で管く } \\
& \text { ぺクトル解析と } \\
& \text { 微分分运埸何学 }
\end{aligned} 積 分 公 式 で 管 く ぺ ク ト ル 解 析 と 微 分 分 运 埸 何 学 積分公式で管く ぺクトル解析と 微分分运埸何学
ーストークスの定理から変分公式までー
まえがき
ベクトル解析とは,
n
(
≥
2
)
n
(
≥
2
)
n( >= 2) n(\geq 2) n ( ≥ 2 ) 次元ユークリッド空間とよばれる, 計量をもつ 曲率のない(つまり,平坦な)空間上のスカラー場やベクトル場を解析する 学問であり, 線形代数学と多変数の微分積分学を土台として理論が展開され ます。本書では,
n
n
n n n 次元ユークリッド空間は
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n と表されます. スカラー場と は, 温度分布や熱分布をはじめとする, 空間の各点にスカラー(=実数値)を 対応させる対応を意味し, ベクトル場とは, 流体の速度ベクトル場, 重力場,電場, 磁場をはじめとする,空間の各点にベクトル(=矢印)を対応させる 対応を意味します。また, これらの対応付けが自然な意味で滑らかであると き、これらの場は滑らかであるといいます。空間に与えられている計量を用い て, 滑らかなスカラー場, ベクトル場に付随して様々な場が定義されます。例 えば,滑らかなスカラー場
f
f
f f f に対し,その勾配ベクトル場とよばれる滑らか なベクトル場
grad
f
(
=
∇
f
)
grad
f
(
=
∇
f
)
grad f(=grad f) \operatorname{grad} f(=\nabla f) grad f ( = ∇ f ) が定義され, 一方, 滑らかなベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対 し、その発散とよばれる滑らかなスカラー場
div
X
div
X
div X \operatorname{div} \boldsymbol{X} div X が定義されます。
n
n
n n n 次元ユークリッド空間を一般化した空間として,
n
n
n n n 次元リーマン多様体と よばれる,計量をもつ空間が定義されます。この空間は、一般には曲率をもつ 空間であり,次元の十分高いユークリッド空間に(等長的に)埋め达んでその 姿を眺めることができ,曲率をもつ場合は,曲がってみえます。例えば,球面 やトーラス(=輪環面)をはじめとする,3 次元ユークリッド空間からその姿 を眺めると曲がってみえる滑らかな曲面のほとんどは, 曲率をもつ 2 次元リ ーマン多様体です。ただし,円筒や円錐(ただし,頂点は除く)は,3次元ユ ークリッド空間からその姿を眺めると曲がってみえる滑らかな曲面ですが、こ れらは平坦な(つまり, 曲率0の)2次元リーマン多様体ですので, 注意して ください。実際,円筒や円錐を紙だと思ってハサミで切り開けば,しわが寄ら ずに平面の領域になり、平坦であることを認識することができます。的事実 は, 外在的曲率が 0 でなくても内在的曲率は 0 になる可能性があるというこ とを意味しています。 つまり, リーマン多様体の曲率とは, 外在的曲率ではな く内在的曲率を意味します。
一般に, スカラー場やベクトル場は,
n
n
n n n 次元リーマン多様体上で定義され, ユークリッド空間上の場合と同様に, 滑らかなスカラー場の勾配ベクトル場や 滑らかなベクトル場の発散などが定義され,ベクトル解析と同様の議論を展開 することができます. リーマン多様体上の滑らかなスカラー場やベクトル場を 研究する学問(いわゆる, リーマン多様体上のベクトル解析)は, 微分幾何学 という分野のフレームワークに属します.
n
n
n n n 次元ユークリッド空間上のベクトル解析と,
n
n
n n n 次元リーマン多様体上の ベクトル解析の大きなギャップについて 2 点ご紹介します。一つは, 接空間 の捉え方です.
n
n
n n n 次元リーマン多様体
M
M
M M M の各点
p
p
p p p に対し,
M
M
M M M の
p
p
p p p における 1 次近似として現れる
n
n
n n n 次元ベクトル空間(=
n
n
n n n 次元線形空間)が
M
M
M M M の点
p
p
p p p に おける接空間とよばれるものであり,通常,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M で表されます.
M
M
M M M 上のベク トル場
X
X
X \boldsymbol{X} X は, 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M のベクトル
X
p
X
p
X_(p) \boldsymbol{X}_{p} X p を対応させる対応と して定義されます. しかし,
n
n
n n n 次元ユークリッド空間
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n は, 土台がアフィン 空間とよばれるもの(本書では,
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n と表される)であり, この各点
p
p
p p p におけ る接空間
T
p
A
n
(
=
T
p
E
n
)
T
p
A
n
=
T
p
E
n
T_(p)A^(n)(=T_(p)E^(n)) T_{p} \mathbb{A}^{n}\left(=T_{p} \mathbb{E}^{n}\right) T p A n ( = T p E n ) は
n
n
n n n 次元数ベクトル空間とよばれる
n
n
n n n 次元ベクトル 空間(本書では,
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n と表される)と同一視されます. それゆえ,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上のべ クトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X は,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n から
n
n
n n n 次元数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n への写像, つまり,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上 の
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n に値をとるベクトル値関数として定義されます. このように,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上の スカラー場, ベクトル場を解析するベクトル解析では, 接空間という概念は 登場せず, ベクトル場はべクトル値関数として定義されます。実際, どのベク トル解析の本でも,接空間という言葉は登場しません.もう一つの大きなギャ ップは,
n
n
n n n 次元リーマン多様体は
n
n
n n n 次元ユークリッド空間と違い, 一般に曲率をもちますので, 2 階偏微分(正確には,2 階共変偏微分)の順序交換可能性が成り立たないという点です。以下,正確に2階偏微分と 2 階共変偏微分 を区別してよぶことにします。ユークリッド空間における 2 階偏微分
∂
2
∂
x
i
∂
x
j
∂
2
∂
x
i
∂
x
j
(del^(2))/(delx_(i)delx_(j)) \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} ∂ 2 ∂ x i ∂ x j に相当するリーマン多様体上における偏微分作用素は,
∇
∂
∂
x
i
∘
∇
∂
∂
x
j
(
∇
∇
∂
∂
x
i
∘
∇
∂
∂
x
j
(
∇
grad_((del)/(delx_(i)))@grad_((del)/(delx_(j)))(grad \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}(\nabla ∇ ∂ ∂ x i ∘ ∇ ∂ ∂ x j ( ∇ は レヴィ・チビタ接続とよばれるもの)であり,本書では,これを 2 階共変偏微分作用素とよぶことにします。一般には,共変偏微分の順序交換可能性は 成り立たないことを説明しましょう。実際,
∇
∂
∂
x
i
∘
∇
∂
∂
x
j
−
∇
∂
∂
x
j
∘
∇
∂
∂
x
i
=
∇
∂
∂
x
i
∘
∇
∂
∂
x
j
−
∇
∂
∂
x
j
∘
∇
∂
∂
x
i
=
grad_((del)/(delx_(i)))@grad_((del)/(delx_(j)))-grad_((del)/(delx_(j)))@grad_((del)/(delx_(i)))= \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}-\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}= ∇ ∂ ∂ x i ∘ ∇ ∂ ∂ x j − ∇ ∂ ∂ x j ∘ ∇ ∂ ∂ x i =
R
(
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
)
R
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
R((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j))) R\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) R ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ) という関係式が成り立ちます. ここで,
R
R
R R R は曲率テンソル場と よばれるものであり, ユークリッド空間をはじめとしてリーマン多様体が平坦
な場合は
R
=
0
R
=
0
R=0 R=0 R = 0 であり, それゆえ,
∇
∂
∂
x
i
∘
∇
∂
∂
x
j
=
∇
∂
∂
x
j
∘
∇
∂
∂
x
i
∇
∂
∂
x
i
∘
∇
∂
∂
x
j
=
∇
∂
∂
x
j
∘
∇
∂
∂
x
i
grad_((del)/(delx_(i)))@grad_((del)/(delx_(j)))=grad_((del)/(delx_(j)))@grad_((del)/(delx_(i))) \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}=\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} ∇ ∂ ∂ x i ∘ ∇ ∂ ∂ x j = ∇ ∂ ∂ x j ∘ ∇ ∂ ∂ x i が成り立つ, つまり,共変偏微分の順序交換可能性が成り立ちますが, 平坦でない場合には 成り立ちません.以上で述べた 2 点が,
n
n
n n n 次元ユークリッド空間上のベクトル 解析と
n
n
n n n 次元リーマン多様体上のベクトル解析の大きなギャップとして取り 上げられます.
本書のタイトルにも含まれている積分公式とは, 高校数学で登場する積分計算公式, および, 大学数学の複素関数論で登場するコーシーの積分公式の ようなある量をある関数の積分量として表示する公式, つまり, 積分表示公式 をはじめとする積分を含んだ公式を意味します。例えば, 本書で登場するスト ークスの定理は積分計算公式であり, 一方, 本書で登場するガウス・ボンネの 定理や第1(第2)変分公式は, 各々, 閉曲面のオイラー標数や面積汎関数の 1 次(2 次)方向微分係数を積分で表示する積分表示公式です. もう少し詳し く述べると, ストークスの定理は, 高校数学で学ぶ閉区間
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] (これは 1 次元の有界閉領域)上の 1 回連続微分可能な関数
f
f
f f f (これは 0 次微分形式)に対 する微分積分学の基本定理
∫
a
b
f
′
(
x
)
d
x
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
∫
a
b
f
′
(
x
)
d
x
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
int_(a)^(b)f^(')(x)dx=f(b)-f(a) \int_{a}^{b} f^{\prime}(x) d x=f(b)-f(a) ∫ a b f ′ ( x ) d x = f ( b ) − f ( a ) を一般化した公式が,
n
(
≥
2
)
n
(
≥
2
)
n( >= 2) n(\geq 2) n ( ≥ 2 ) 次元の有界閉領域上の
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 次微分形式に対しても成り立つことを 主張する定理です。ここで,
f
′
(
x
)
d
x
f
′
(
x
)
d
x
f^(')(x)dx f^{\prime}(x) d x f ′ ( x ) d x は
f
f
f f f の外微分とよばれる 1 次微分形式
d
f
d
f
df d f d f を意味することを注意しておきます。一方, ガウス・ボンネの定理は, 閉曲面のオイラー標数とよばれる量を,その閉曲面のガウス曲率とよばれる関数 の積分量として表示する公式が成り立つことを主張する定理です。本書では, より一般に, ガウス・ボンネの定理の高次元版についても述べることにしま す。また,本書で登場する第 1 , 第 2 変分公式は, 閉曲面を集めた無限次元空間(人間社会の言葉を借りると,閉曲面社会とよぶべきもの)上で定義される 面積汎関数の 1 次, 2 次方向微分係数を, その方向ベクトル(場)を含む関数 の積分量として表示する公式です。本書では,より一般に,
n
(
≥
3
)
n
(
≥
3
)
n( >= 3) n(\geq 3) n ( ≥ 3 ) 次元リー マン部分多様体を集めた無限次元空間(リーマン部分多様体社会)上で定義さ れる体積汎関数に対する第 1 , 第 2 変分公式についても述べることにします.
本書は, 積分公式にスポットを当てて, 線形代数学と多変数の微分積分学を 土台とするベクトル解析や超曲面論を学ぶことからスタートして, スムーズに 微分幾何学を学べるように構成されており,また,図を多用することにより視覚的に理解できるように工夫されています。
以下,本書の主な目的を 3 つ挙げます。本書の1つ目の目的は, ベクトル 解析におけるグリーンの定理, ストークスの定理, およびガウスの発散定理を 学んだ後, スムーズに微分幾何学におけるストークスの定理, およびガウスの 発散定理を学んでもらうことです(第 1 章, および第 3 章を参照). さらに,多様体論と位相幾何学を結びつける重要な定理であるド・ラームの定理が, 微分幾何学におけるストークスの定理を用いて示されることを学んでもらうこと です(第 5 章を参照).ド・ラームの定理の内容を簡単に述べておきます.こ の定理は, 多様体
M
M
M M M 上の微分形式の外微分作用素とよばれる作用素を用いて 定義される
k
k
k k k 次ド・ラームコホモロジー群が,
M
M
M M M の位相構造のみを用いて定義される実係数
k
k
k k k 次特異コホモロジー群と同型であることを主張するもので
す
す
す す す す 。
本書の 2 つ目の目的は, 曲面論におけるガウス・ボンネの定理と微分幾何学におけるガウス・ボンネの定理が, 全く別の手法で証明されることを学んで もらうことです.各々の証明法を簡単に説明しておきます.曲面論における閉曲面上で成立するガウス・ボンネの定理は,まず,閉曲面を三角形分割して, その各ピースである三角形領域上で成り立つ積分公式(ガウス・ボンネの定理 (局所版))をストークスの定理を用いて導きます。次に,その各ピース上で成 り立つ積分公式の両辺を足し合わせることによりえられる関係式の片方の辺の 一部を,三角形分割からオイラー標数を求める公式を用いてオイラー標数にす り替えることにより, 求めるべき積分公式を導き出すという手法で証明されま す(第 2 章を参照)。一方, 微分幾何学におけるユークリッド空間や球面内の 偶数次元リーマン閉超曲面上で成立するガウス・ボンネの定理は,ある関数族 にモースの基本定理を適用することにより導き出すという全く別の手法で証明 されます(第 5 章を参照)。ここで,モースの基本定理とは,多様体上のモー ス関数の臨界点の情報がその多様体の位相構造(正確には、ホモトピー型)を 支配することを主張するものであり,その完全証明は 5.3 節において与えられ ます。
本書の 3 つ目の目的は, ユークリッド空間内の曲線社会上で定義されるエ ネルギー汎関数, および,曲面社会上で定義される面積汎関数に対する第 1 ,第 2 変分公式(第 1 章, および第 2 章を参照)を学んだ後, その理解の下に, スムーズにリーマン部分多様体社会上で定義される体積汎関数の第 1 , 第 2
変分公式(第 4 章を参照)を学んでもらうことです。特に, 体積汎関数の第 2 変分公式(Simons の公式)の証明は複雑であり,私が把握している限り,そ の完全証明を与えている和書は見当たりません. 本書では, その完全証明を学 ぶことができます(4.7 節を参照).
なお,本書の各章に設けた問の解答は,共立出版のホームページ:
本書は, 線形代数学と多変数の微分積分学の初歩を学んだ数学科の 2 年次以上の学生の皆様を主な読者対象としておりますが, 1 年次後半からでも線形代数学と多変数の微分積分学の初歩を学びながら, 同時進行で読みこなすこ とができるように工夫されています。また,理論物理学とも密接に関係する内容ですので, 物理学科の学生の皆様にも是非お読みいただければと思っていま
す
す
す す す す .
最後に, 本書の編集にあたりいろいろとお世話になりました高橋萌子さんを はじめ, 共立出版編集部の皆様方に感謝の意を表します.
2022 年 8 月
小池直之
目 次
第 1 章 ベクトル解析におけるストークスの定理・変分公式 ..... 1
1.1 ベクトル空間とアフィン空間 ..... 1
1.2 内積・外積・ユークリッド計量 ..... 4
1.3 ベクトル値関数の微分・偏微分 ..... 13
1.4 スカラー場・ベクトル場の線積分 ..... 19
1.5 勾配ベクトル場・回転・発散 ..... 26
1.6 長さ汎関数とエネルギー汎関数の変分公式 ..... 35
1.7 ユークリッド空間内の曲線の曲率・フルネ枠 ..... 40
1.8 グリーンの定理 ..... 46
1.9 超曲面 ..... 49
1.10 スカラー場・ベクトル場の超曲面に沿う面積分 ..... 59
1.11 ベクトル解析におけるストークスの定理 ..... 62
1.12 ガウスの発散定理 ..... 66
第 2 章超曲面論における変分公式とガウス・ボンネの定理 ..... 74
2.1 超曲面上の接ベクトル場 ..... 74
2.2 超曲面上の
k
k
k k k 次共変テンソル場 ・
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル場 ..... 80
2.3 第 2 基本形式 ・形作用素 ..... 92
2.4 平行移動 ・測地線 ..... 104
2.5 向き付けられた超曲面上の曲線の曲率・フルネ枠 ..... 113
2.6 超曲面論における体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式 ..... 117
2.7 曲面上の 1 次微分形式に対するストークスの定理 ..... 130
2.8 ガウス・ボンネの定理(局所版) ..... 136
2.9 曲面論におけるガウス・ボンネの定理 ..... 146
第 3 章 微分幾何学におけるストークスの定理・ガウスの発散定理 ..... 151
3.1 多様体 ..... 151
3.2
C
r
3.2
C
r
3.2C^(r) 3.2 C^{r} 3.2 C r 写像 ..... 163
3.3 接ベクトル ..... 165
3.4 写像の微分 ..... 172
3.5 臨界点, およびその指数 ..... 177
3.6 はめ込み・沈め込みと陰関数定理 ..... 180
3.7 ベクトル場と局所 1 パラメーター変換群 ..... 188
3.8 テンソル場・微分形式 ..... 200
3.9 多様体の向き ..... 204
3.10 ストークスの定理(微分幾何学版) ..... 208
3.11 リーマン計量・リーマン接続・ ..... 216
3.12 ガウスの発散定理(微分幾何学版) ..... 223
第 4 章 微分幾何学における体積汎関数の変分公式 ..... 230
4.1 平行移動 ・測地線 ・指数写像 ..... 230
4.2 リーマン距離関数 ..... 234
4.3 曲率テンソル場 ..... 239
4.4 実ベクトルバンドルの接続と曲率テンソル場 ..... 244
4.5 測地変形とヤコビ場 ..... 247
4.6 リーマン部分多様体論 ..... 252
4.7 体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式 ..... 261
第 5 章 微分幾何学におけるガウス・ボンネの定理 ..... 277
5.1 特異コホモロジー群, CW コホモロジー群, ド・ラームコホモロ
ジー群 ..... 277
5.2 ド・ラームの定理 ..... 289
5.3 モース理論 ..... 296
5.4 リー群作用 ..... 319
5.5 ファイバーバンドル ..... 321
5.6 偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ボンネ型定理 ..... 329
第 6 章特性類とガウス・ボンネの定理 ..... 347
6.1 リー群の無限小モデルとしてのリー代数 ..... 347
6.2 リー群とリー代数の随伴表現 ..... 354
6.3 主バンドルの接続と曲率形式 ..... 356
6.4
G
6.4
G
6.4 G 6.4 G 6.4 G 構造と
G
G
G G G 接続 ..... 361
6.5 連続バンドルの分類定理と特性類 ..... 362
6.6 チャーン・ヴェイユ理論とガウス・ボンネの定理 ..... 369
参考文献 ..... 375
索 引 ..... 379
1 ベクトル解析におけるストークス CHAPTER の定理・変分公式
この章において, グリーンの定理, ガウスの発散定理, ストークスの定理, および曲線のエネルギー汎関数の変分公式等の積分公式にスポットを当てて,大学の 1,2 年次に理工系学生が学ぶベクトル解析について説明する。この章 では, 特別断りのない限り,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級性(
r
r
r r r 回連続微分可能性)における
r
r
r r r は 1 以上の整数, または
∞
∞
oo \infty ∞ とする.
1.1 ベクトル空間とアフィン空間
この節において, まずべクトル空間,およびアフィン空間を定義することに する.最初に,ベクトル空間を定義する.
R
R
R \mathbb{R} R を実数全体からなる集合とし,V を集合とする.
V
V
V V V に加法演算
+
(
v
1
+
v
2
(
v
1
,
v
2
∈
V
)
)
+
v
1
+
v
2
v
1
,
v
2
∈
V
+(v_(1)+v_(2)(v_(1),v_(2)in V)) +\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in V\right)\right) + ( v 1 + v 2 ( v 1 , v 2 ∈ V ) ) と実数倍
(
α
v
(
α
∈
(
α
v
(
α
∈
(alpha v(alpha in (\alpha \boldsymbol{v}(\alpha \in ( α v ( α ∈
R
,
v
∈
V
)
)
R
,
v
∈
V
)
)
R,v in V)) \mathbb{R}, \boldsymbol{v} \in V)) R , v ∈ V ) ) が定義されていて, 次の8つの条件が成り立っているとする:
(i)
v
1
+
v
2
=
v
2
+
v
1
(
∀
v
1
,
v
2
∈
V
)
v
1
+
v
2
=
v
2
+
v
1
∀
v
1
,
v
2
∈
V
v_(1)+v_(2)=v_(2)+v_(1)quad(AAv_(1),v_(2)in V) \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}=\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{1} \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in V\right) v 1 + v 2 = v 2 + v 1 ( ∀ v 1 , v 2 ∈ V ) ;
(ii)
(
v
1
+
v
2
)
+
v
3
=
v
1
+
(
v
2
+
v
3
)
(
∀
v
1
,
v
2
,
v
3
∈
V
)
v
1
+
v
2
+
v
3
=
v
1
+
v
2
+
v
3
∀
v
1
,
v
2
,
v
3
∈
V
(v_(1)+v_(2))+v_(3)=v_(1)+(v_(2)+v_(3))quad(AAv_(1),v_(2),v_(3)in V) \left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)+\boldsymbol{v}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}+\left(\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{3}\right) \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3} \in V\right) ( v 1 + v 2 ) + v 3 = v 1 + ( v 2 + v 3 ) ( ∀ v 1 , v 2 , v 3 ∈ V ) ;
(iii)
α
(
v
1
+
v
2
)
=
α
v
1
+
α
v
2
(
∀
v
1
,
v
2
∈
V
,
∀
α
∈
R
)
α
v
1
+
v
2
=
α
v
1
+
α
v
2
∀
v
1
,
v
2
∈
V
,
∀
α
∈
R
alpha(v_(1)+v_(2))=alphav_(1)+alphav_(2)quad(AAv_(1),v_(2)in V,AA alpha inR) \alpha\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)=\alpha \boldsymbol{v}_{1}+\alpha \boldsymbol{v}_{2} \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in V, \forall \alpha \in \mathbb{R}\right) α ( v 1 + v 2 ) = α v 1 + α v 2 ( ∀ v 1 , v 2 ∈ V , ∀ α ∈ R ) ;
(iv)
(
α
1
+
α
2
)
v
=
α
1
v
+
α
2
v
(
∀
v
∈
V
,
∀
α
1
,
α
2
∈
R
)
α
1
+
α
2
v
=
α
1
v
+
α
2
v
∀
v
∈
V
,
∀
α
1
,
α
2
∈
R
(alpha_(1)+alpha_(2))v=alpha_(1)v+alpha_(2)v quad(AA v in V,AAalpha_(1),alpha_(2)inR) \left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) \boldsymbol{v}=\alpha_{1} \boldsymbol{v}+\alpha_{2} \boldsymbol{v} \quad\left(\forall \boldsymbol{v} \in V, \forall \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}\right) ( α 1 + α 2 ) v = α 1 v + α 2 v ( ∀ v ∈ V , ∀ α 1 , α 2 ∈ R ) ;
(v)
(
α
1
α
2
)
v
=
α
1
(
α
2
v
)
(
∀
v
∈
V
,
∀
α
1
,
α
2
∈
R
)
α
1
α
2
v
=
α
1
α
2
v
∀
v
∈
V
,
∀
α
1
,
α
2
∈
R
(alpha_(1)alpha_(2))v=alpha_(1)(alpha_(2)v)quad(AA v in V,AAalpha_(1),alpha_(2)inR) \left(\alpha_{1} \alpha_{2}\right) \boldsymbol{v}=\alpha_{1}\left(\alpha_{2} \boldsymbol{v}\right) \quad\left(\forall \boldsymbol{v} \in V, \forall \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}\right) ( α 1 α 2 ) v = α 1 ( α 2 v ) ( ∀ v ∈ V , ∀ α 1 , α 2 ∈ R ) ;
(vi)ある
0
∈
V
0
∈
V
0in V \mathbf{0} \in V 0 ∈ V に対し,
v
+
0
=
v
(
∀
v
∈
V
)
v
+
0
=
v
(
∀
v
∈
V
)
v+0=v quad(AA v in V) \boldsymbol{v}+\mathbf{0}=\boldsymbol{v} \quad(\forall \boldsymbol{v} \in V) v + 0 = v ( ∀ v ∈ V ) が成り立つ;
(vii) 各
v
∈
V
v
∈
V
v in V \boldsymbol{v} \in V v ∈ V ごとに,
v
+
w
=
0
v
+
w
=
0
v+w=0 \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=\mathbf{0} v + w = 0 となる
w
∈
V
w
∈
V
w in V \boldsymbol{w} \in V w ∈ V が存在する;
(viii)
1
v
=
v
(
∀
v
)
1
v
=
v
(
∀
v
)
1v=v quad(AA v) 1 \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v} \quad(\forall v) 1 v = v ( ∀ v ) .
このとき, Vはベクトル空間 (vector space) とよばれる。(vi)における0は 零ベクトルとよばれ,(vii)における
w
w
w \boldsymbol{w} w は
v
v
v \boldsymbol{v} v の逆ベクトル(inverse vector) とよばれ,
−
v
−
v
-v -\boldsymbol{v} − v と表される。
注意 実数全体からなる集合
R
R
R \mathbb{R} R や複素数全体からなる集合
C
C
C \mathbb{C} C は, 加法演算と乗法演算に関して体とよばれるものになる。上述の定義における
R
R
R \mathbb{R} R を般の体
F
F
F \mathbb{F} F に変え て,
F
F
F \mathbb{F} F 上のベクトル空間という概念が定義され, 特に,
F
=
R
,
C
F
=
R
,
C
F=R,C \mathbb{F}=\mathbb{R}, \mathbb{C} F = R , C のとき, 各々, 実 ベクトル空間, 複素ベクトル空間とよばれる.
最も基本的な(実)ベクトル空間の例を挙げる.
V
V
V V V として
n
n
n n n 個の
R
R
R \mathbb{R} R の直積集合
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n を考える.
v
=
(
v
1
,
…
,
v
n
)
,
w
=
(
w
1
,
…
,
w
n
)
∈
R
n
v
=
v
1
,
…
,
v
n
,
w
=
w
1
,
…
,
w
n
∈
R
n
v=(v_(1),dots,v_(n)),w=(w_(1),dots,w_(n))inR^(n) \boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right), \boldsymbol{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} v = ( v 1 , … , v n ) , w = ( w 1 , … , w n ) ∈ R n に対し,それら の和
v
+
w
v
+
w
v+w v+w v + w を
v
+
w
:=
(
v
1
+
w
1
,
…
,
v
n
+
w
n
)
v
+
w
:=
v
1
+
w
1
,
…
,
v
n
+
w
n
v+w:=(v_(1)+w_(1),dots,v_(n)+w_(n)) \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}:=\left(v_{1}+w_{1}, \ldots, v_{n}+w_{n}\right) v + w := ( v 1 + w 1 , … , v n + w n )
によって定義し,
v
v
v \boldsymbol{v} v の
α
α
alpha \alpha α 倍
α
v
α
v
alpha v \alpha \boldsymbol{v} α v を
α
v
:=
(
α
v
1
,
…
,
α
v
n
)
α
v
:=
α
v
1
,
…
,
α
v
n
alpha v:=(alphav_(1),dots,alphav_(n)) \alpha \boldsymbol{v}:=\left(\alpha v_{1}, \ldots, \alpha v_{n}\right) α v := ( α v 1 , … , α v n )
によって定義する. このとき、この和と実数倍が上述の 8 つの条件を満たす、 つまり,
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n がこの和と実数倍に関してベクトル空間になることが示される. ここで,
(
0
,
…
,
0
)
(
0
,
…
,
0
)
(0,dots,0) (0, \ldots, 0) ( 0 , … , 0 ) が零ベクトルであり,
(
−
v
1
,
…
,
−
v
n
)
−
v
1
,
…
,
−
v
n
(-v_(1),dots,-v_(n)) \left(-v_{1}, \ldots,-v_{n}\right) ( − v 1 , … , − v n ) が
v
=
(
v
1
,
…
,
v
n
)
v
=
v
1
,
…
,
v
n
v=(v_(1),dots,v_(n)) \boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) v = ( v 1 , … , v n ) の逆ベクトルであることを注意しておく。このベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n は
n
n
n n n 次元数ベ クトル空間 (numerial vector space) とよばれる.
次に, アフィン空間を定義する。Vをべクトル空間とする. 集合
A
A
A \mathbb{A} A と写像
Φ
:
A
×
A
→
V
Φ
:
A
×
A
→
V
Phi:AxxArarr V \Phi: \mathbb{A} \times \mathbb{A} \rightarrow V Φ : A × A → V の組
(
A
,
Φ
)
(
A
,
Φ
)
(A,Phi) (\mathbb{A}, \Phi) ( A , Φ ) を考える。
p
,
q
∈
A
p
,
q
∈
A
p,q inA p, q \in \mathbb{A} p , q ∈ A に対し,
Φ
(
p
,
q
)
Φ
(
p
,
q
)
Phi(p,q) \Phi(p, q) Φ ( p , q ) を
p
q
→
p
q
→
vec(pq) \overrightarrow{p q} p q → と表す。
Φ
Φ
Phi \Phi Φ が次の 3 条件を満たすとする:
(i)
p
q
→
+
q
r
→
=
p
r
→
(
∀
p
,
q
,
r
∈
A
)
p
q
→
+
q
r
→
=
p
r
→
(
∀
p
,
q
,
r
∈
A
)
quad vec(pq)+ vec(qr)= vec(pr)quad(AA p,q,r inA) \quad \overrightarrow{p q}+\overrightarrow{q r}=\overrightarrow{p r} \quad(\forall p, q, r \in \mathbb{A}) p q → + q r → = p r → ( ∀ p , q , r ∈ A ) ;
(ii)
p
q
→
=
−
q
p
→
(
∀
p
,
q
∈
A
)
p
q
→
=
−
q
p
→
(
∀
p
,
q
∈
A
)
vec(pq)=- vec(qp)quad(AA p,q inA) \overrightarrow{p q}=-\overrightarrow{q p} \quad(\forall p, q \in \mathbb{A}) p q → = − q p → ( ∀ p , q ∈ A ) ;
(iii) 各点
p
∈
A
p
∈
A
p inA p \in \mathbb{A} p ∈ A に対し,
Φ
p
:
A
→
V
(
⟺
def
Φ
p
(
q
)
:=
p
q
→
(
q
∈
A
)
)
Φ
p
:
A
→
V
⟺
def
Φ
p
(
q
)
:=
p
q
→
(
q
∈
A
)
Phi_(p):Ararr V(Longleftrightarrow_(def)Phi_(p)(q):= vec(pq)quad(q inA)) \Phi_{p}: \mathbb{A} \rightarrow V\left(\underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \Phi_{p}(q):=\overrightarrow{p q} \quad(q \in \mathbb{A})\right) Φ p : A → V ( ⟺ def Φ p ( q ) := p q → ( q ∈ A ) )
は全単射である.
このとき,
(
A
,
Φ
)
(
A
,
Φ
)
(A,Phi) (\mathbb{A}, \Phi) ( A , Φ ) または
A
A
A \mathbb{A} A を,
V
V
V V V に付随するアフィン空間 (the affine space associated to
V
V
V V V ) という.
o
∈
A
o
∈
A
o inA o \in \mathbb{A} o ∈ A を基点としてとり固定する. このと き, 全単射
Φ
o
:
A
→
V
Φ
o
:
A
→
V
Phi_(o):Ararr V \Phi_{o}: \mathbb{A} \rightarrow V Φ o : A → V により,
A
A
A \mathbb{A} A が
V
V
V V V と同一視される。 以下,
Φ
0
Φ
0
Phi_(0) \Phi_{0} Φ 0 を
r
r
r \boldsymbol{r} r と表 すことにする.
r
(
p
)
=
o
p
→
r
(
p
)
=
o
p
→
r(p)= vec(op) \boldsymbol{r}(p)=\overrightarrow{o p} r ( p ) = o p → は, (o を基点とする)
p
p
p p p の位置ベクトル (position
vector) とよばれる.
n
n
n n n 次元数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n に付随するアフィン空間を
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n で表す.
o
∈
A
n
o
∈
A
n
o inA^(n) o \in \mathbb{A}^{n} o ∈ A n を 基点としてとるとき,
r
(
=
Φ
o
)
r
=
Φ
o
r(=Phi_(o)) \boldsymbol{r}\left(=\Phi_{o}\right) r ( = Φ o ) を通じて, 点の集まりである
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n がベクトル の集まりである
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n と同一視される。それゆえ,
o
p
→
=
(
p
1
,
…
,
p
n
)
o
p
→
=
p
1
,
…
,
p
n
vec(op)=(p_(1),dots,p_(n)) \overrightarrow{o p}=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right) o p → = ( p 1 , … , p n ) のとき, 点
p
p
p p p も
(
p
1
,
…
,
p
n
)
p
1
,
…
,
p
n
(p_(1),dots,p_(n)) \left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right) ( p 1 , … , p n ) と表してしまう。
高校で学んだ平面上の点
p
p
p p p とその位置べクトル
o
p
→
o
p
→
vec(op) \overrightarrow{o p} o p → 考えてみよう。平面は 点の集まりであり, 上述のアフィン空間
A
2
A
2
A^(2) \mathbb{A}^{2} A 2 に相当する。一方,
o
p
→
o
p
→
vec(op) \overrightarrow{o p} o p → をじめ とする平面ベクトルの全体は,上述の 2 次元数ベクトル空間
R
2
R
2
R^(2) \mathbb{R}^{2} R 2 に相当する. このように, 高校の教科書にある位置べクトルに関する図は,
A
2
A
2
A^(2) \mathbb{A}^{2} A 2 と
R
2
R
2
R^(2) \mathbb{R}^{2} R 2 を重 ねた図であることを注意しておく(図1.1.1を参照)。次に, 空間内の点
p
p
p p p と その位置ベクトル
o
p
→
o
p
→
vec(op) \overrightarrow{o p} o p → を考えてみよう。空間は点の集まりであり,上述のア フィン空間
A
3
A
3
A^(3) \mathbb{A}^{3} A 3 に相当する。一方,
o
p
→
o
p
→
vec(op) \overrightarrow{o p} o p → をじめとする空間ベクトルの全体は,上述の 3 次元数ベクトル空間
R
3
R
3
R^(3) \mathbb{R}^{3} R 3 に相当する.
次に,
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n の任意の点
p
p
p p p における接空間を定義する. そのために, まず,
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n 内の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線
(
r
≥
0
)
(
r
≥
0
)
(r >= 0) (r \geq 0) ( r ≥ 0 ) を定義する。
o
∈
A
n
o
∈
A
n
o inA^(n) o \in \mathbb{A}^{n} o ∈ A n を固定する。
I
I
I I I を区間とし, 写像
c
:
I
→
A
n
c
:
I
→
A
n
c:I rarrA^(n) c: I \rightarrow \mathbb{A}^{n} c : I → A n を考える. この写像
c
c
c c c に対し, 写像
c
→
:
I
→
R
n
c
→
:
I
→
R
n
vec(c):I rarrR^(n) \vec{c}: I \rightarrow \mathbb{R}^{n} c → : I → R n を
c
→
(
t
)
:=
o
c
(
t
)
→
c
→
(
t
)
:=
o
c
(
t
)
→
vec(c)(t):= vec(oc(t)) \vec{c}(t):=\overrightarrow{o c(t)} c → ( t ) := o c ( t ) →
(
=
(
r
∘
c
)
(
t
)
)
(
t
∈
I
)
(
=
(
r
∘
c
)
(
t
)
)
(
t
∈
I
)
(=(r@c)(t))(t in I) (=(\boldsymbol{r} \circ c)(t))(t \in I) ( = ( r ∘ c ) ( t ) ) ( t ∈ I ) によって定義する。
c
→
(
t
)
=
(
c
1
(
t
)
,
…
,
c
n
(
t
)
)
(
t
∈
I
)
c
→
(
t
)
=
c
1
(
t
)
,
…
,
c
n
(
t
)
(
t
∈
I
)
vec(c)(t)=(c_(1)(t),dots,c_(n)(t))(t in I) \vec{c}(t)=\left(c_{1}(t), \ldots, c_{n}(t)\right)(t \in I) c → ( t ) = ( c 1 ( t ) , … , c n ( t ) ) ( t ∈ I ) と する。各関数
c
i
:
I
→
R
(
i
=
1
,
…
,
n
)
c
i
:
I
→
R
(
i
=
1
,
…
,
n
)
c_(i):I rarrR(i=1,dots,n) c_{i}: I \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, n) c i : I → R ( i = 1 , … , n ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
c
c
c c c を
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n 内の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -curve
)
)
) ) ) という.
図 1.1.1 ベクトル空間とアフィン空間
集合
C
A
n
,
p
1
(
p
∈
A
n
)
C
A
n
,
p
1
p
∈
A
n
C_(A^(n),p)^(1)(p inA^(n)) \mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1}\left(p \in \mathbb{A}^{n}\right) C A n , p 1 ( p ∈ A n ) を
C
A
n
,
p
1
:=
{
(
c
,
t
0
)
∣
c
:
I
→
A
n
:
C
1
曲線,
t
0
∈
I
s.t.
c
(
t
0
)
=
p
}
C
A
n
,
p
1
:=
c
,
t
0
∣
c
:
I
→
A
n
:
C
1
曲線,
t
0
∈
I
s.t.
c
t
0
=
p
C_(A^(n),p)^(1):={(c,t_(0))∣c:I rarrA^(n):C^(1)" 曲線, "t_(0)in I" s.t. "c(t_(0))=p} \mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1}:=\left\{\left(c, t_{0}\right) \mid c: I \rightarrow \mathbb{A}^{n}: C^{1} \text { 曲線, } t_{0} \in I \text { s.t. } c\left(t_{0}\right)=p\right\} 曲 線 C A n , p 1 := { ( c , t 0 ) ∣ c : I → A n : C 1 曲線, t 0 ∈ I s.t. c ( t 0 ) = p }
によって定義する。集合
C
A
n
,
p
1
C
A
n
,
p
1
C_(A^(n),p)^(1) \mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1} C A n , p 1 に次のように 2 項関係~を定義する。
(
c
i
,
t
i
)
c
i
,
t
i
(c_(i),t_(i)) \left(c_{i}, t_{i}\right) ( c i , t i )
(
i
=
1
,
2
)
(
i
=
1
,
2
)
(i=1,2) (i=1,2) ( i = 1 , 2 ) を
C
A
n
,
p
1
C
A
n
,
p
1
C_(A^(n),p)^(1) \mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1} C A n , p 1 の元として,
(
c
1
,
t
1
)
∼
(
c
2
,
t
2
)
⟺
def
c
→
1
′
(
t
1
)
=
c
2
→
′
(
t
2
)
c
1
,
t
1
∼
c
2
,
t
2
⟺
def
c
→
1
′
t
1
=
c
2
→
′
t
2
(c_(1),t_(1))∼(c_(2),t_(2))Longleftrightarrow_(def) vec(c)_(1)^(')(t_(1))= vec(c_(2))^(')(t_(2)) \left(c_{1}, t_{1}\right) \sim\left(c_{2}, t_{2}\right) \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \vec{c}_{1}^{\prime}\left(t_{1}\right)={\overrightarrow{c_{2}}}^{\prime}\left(t_{2}\right) ( c 1 , t 1 ) ∼ ( c 2 , t 2 ) ⟺ def c → 1 ′ ( t 1 ) = c 2 → ′ ( t 2 )
と定義する. ここで,
c
→
i
′
(
t
i
)
c
→
i
′
t
i
vec(c)_(i)^(')(t_(i)) \vec{c}_{i}^{\prime}\left(t_{i}\right) c → i ′ ( t i ) はベクトル値関数
c
i
→
c
i
→
vec(c_(i)) \overrightarrow{c_{i}} c i → の
t
i
t
i
t_(i) t_{i} t i における微分係数を表 す(1.3 節を参照). この 2 項関係~が同值関係になることが容易に示される. この同値関係~に関する
(
c
,
t
0
)
∈
C
A
n
,
p
1
c
,
t
0
∈
C
A
n
,
p
1
(c,t_(0))inC_(A^(n),p)^(1) \left(c, t_{0}\right) \in \mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1} ( c , t 0 ) ∈ C A n , p 1 の属する同值類を
c
′
(
t
0
)
c
′
t
0
c^(')(t_(0)) c^{\prime}\left(t_{0}\right) c ′ ( t 0 ) と表し, 商集合
A
A
n
,
p
1
/
∼
A
A
n
,
p
1
/
∼
A_(A^(n),p)^(1)//∼ \mathcal{A}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1} / \sim A A n , p 1 / ∼ を
T
p
A
n
T
p
A
n
T_(p)A^(n) T_{p} \mathbb{A}^{n} T p A n と表す.
T
p
A
n
T
p
A
n
T_(p)A^(n) T_{p} \mathbb{A}^{n} T p A n から
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n への写像
F
p
F
p
F_(p) F_{p} F p を
F
p
(
c
′
(
t
0
)
)
=
c
→
′
(
t
0
)
(
c
′
(
t
0
)
∈
T
p
A
n
)
F
p
c
′
t
0
=
c
→
′
t
0
c
′
t
0
∈
T
p
A
n
F_(p)(c^(')(t_(0)))= vec(c)^(')(t_(0))quad(c^(')(t_(0))inT_(p)A^(n)) F_{p}\left(c^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)=\vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right) \quad\left(c^{\prime}\left(t_{0}\right) \in T_{p} \mathbb{A}^{n}\right) F p ( c ′ ( t 0 ) ) = c → ′ ( t 0 ) ( c ′ ( t 0 ) ∈ T p A n )
によって定義すると, この写像
F
p
F
p
F_(p) F_{p} F p は全単射になることが容易に示される.
F
p
F
p
F_(p) F_{p} F p を通じて, 数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の加法と実数倍から
T
p
A
n
T
p
A
n
T_(p)A^(n) T_{p} \mathbb{A}^{n} T p A n におる加法と実数倍が定義され,
T
p
A
n
T
p
A
n
T_(p)A^(n) T_{p} \mathbb{A}^{n} T p A n はベクトル空間になる。 このベクトル空間
T
p
A
n
T
p
A
n
T_(p)A^(n) T_{p} \mathbb{A}^{n} T p A n を
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n の
p
p
p \boldsymbol{p} p における接空間 (the tangent space of
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n at
p
)
p
{:p) \left.\boldsymbol{p}\right) p ) といい,
T
p
A
n
T
p
A
n
T_(p)A^(n) T_{p} \mathbb{A}^{n} T p A n の 各元を
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n の
p
p
p \boldsymbol{p} p における接ベクトル (tangent vector of
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n at
p
p
p p p ) とい う. 通常, ベクトル解析の本では,
c
′
(
t
0
)
c
′
t
0
c^(')(t_(0)) c^{\prime}\left(t_{0}\right) c ′ ( t 0 ) と(数)ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n のベクト ル
c
→
′
(
t
0
)
c
→
′
t
0
vec(c)^(')(t_(0)) \vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right) c → ′ ( t 0 ) を同一視することにより,
T
p
A
n
T
p
A
n
T_(p)A^(n) T_{p} \mathbb{A}^{n} T p A n を(数)ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n と同一視している。
注意
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n は, 第 3 章で述べる
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とよばれるものの最も基本的な 例である. 実は, 一般に,
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M の各点
p
p
p p p において接空間
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M が 定義される。
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M は、
M
M
M M M の点
p
p
p p p における 1 次近似と解釈されるものである。
C
1
C
1
C^(1) C^{1} C 1 級関数
f
(
x
)
f
(
x
)
f(x) f(x) f ( x ) の
a
a
a a a における 1 次のテイラー多項式
f
′
(
a
)
x
+
f
(
a
)
f
′
(
a
)
x
+
f
(
a
)
f^(')(a)x+f(a) f^{\prime}(a) x+f(a) f ′ ( a ) x + f ( a ) のグラフ
y
=
f
′
(
a
)
x
y
=
f
′
(
a
)
x
y=f^(')(a)x y=f^{\prime}(a) x y = f ′ ( a ) x
+
f
(
a
)
+
f
(
a
)
+f(a) +f(a) + f ( a ) が
f
(
x
)
f
(
x
)
f(x) f(x) f ( x ) のグラフ
y
=
f
(
x
)
y
=
f
(
x
)
y=f(x) y=f(x) y = f ( x ) の
(
a
,
f
(
a
)
)
(
a
,
f
(
a
)
)
(a,f(a)) (a, f(a)) ( a , f ( a ) ) における接線を与えることを思い出 すとよい。
1.2 内積・外積・ユークリッド計量
この節において,数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の内積・外積を定義し,それらの性質 について述べる。 さらに、アフイン空間
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n のユークリッド計量を定義する.
V
V
V V V を一般の(実)ベクトル空間とする。Vにおける内積 (inner product) と は,Vにおける演算. で次の 3 つの性質を満たすものとして定義される:
(i)
(
α
1
v
1
+
α
2
v
2
)
⋅
w
=
α
1
(
v
1
⋅
w
)
+
α
2
(
v
2
⋅
w
)
(
∀
v
1
,
v
2
,
w
∈
V
,
α
1
α
1
v
1
+
α
2
v
2
⋅
w
=
α
1
v
1
⋅
w
+
α
2
v
2
⋅
w
∀
v
1
,
v
2
,
w
∈
V
,
α
1
(alpha_(1)v_(1)+alpha_(2)v_(2))*w=alpha_(1)(v_(1)*w)+alpha_(2)(v_(2)*w)quad(AAv_(1),v_(2),w in V,alpha_(1):} \left(\alpha_{1} \boldsymbol{v}_{1}+\alpha_{2} \boldsymbol{v}_{2}\right) \cdot \boldsymbol{w}=\alpha_{1}\left(\boldsymbol{v}_{1} \cdot \boldsymbol{w}\right)+\alpha_{2}\left(\boldsymbol{v}_{2} \cdot \boldsymbol{w}\right) \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{w} \in V, \alpha_{1}\right. ( α 1 v 1 + α 2 v 2 ) ⋅ w = α 1 ( v 1 ⋅ w ) + α 2 ( v 2 ⋅ w ) ( ∀ v 1 , v 2 , w ∈ V , α 1
α
2
∈
R
)
α
2
∈
R
{:alpha_(2)inR) \left.\alpha_{2} \in \mathbb{R}\right) α 2 ∈ R ) ;
(ii)
v
⋅
w
=
w
⋅
v
(
∀
v
,
w
∈
V
)
v
⋅
w
=
w
⋅
v
(
∀
v
,
w
∈
V
)
v*w=w*v quad(AA v,w in V) \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w}=\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{v} \quad(\forall \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in V) v ⋅ w = w ⋅ v ( ∀ v , w ∈ V ) ;
(iii) 任意の
v
∈
V
v
∈
V
v in V \boldsymbol{v} \in V v ∈ V に対し,
v
⋅
v
≥
0
v
⋅
v
≥
0
v*v >= 0 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v} \geq 0 v ⋅ v ≥ 0 が成り立ち, 等号成立は
v
=
0
v
=
0
v=0 \boldsymbol{v}=\mathbf{0} v = 0 のと きに限る。
性質 (ii) は対称性とよばれ, 性質(iii)は正定値性とよばれる。内積・を用い て,
v
∈
V
v
∈
V
v in V \boldsymbol{v} \in V v ∈ V のノルム
‖
v
‖
‖
v
‖
||v|| \|\boldsymbol{v}\| ‖ v ‖ が
‖
v
‖
:=
v
⋅
v
‖
v
‖
:=
v
⋅
v
||v||:=sqrt(v*v) \|\boldsymbol{v}\|:=\sqrt{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v}} ‖ v ‖ := v ⋅ v によって定義される.
数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n において,
v
=
(
v
1
,
…
,
v
n
)
,
w
=
(
w
1
,
…
,
w
n
)
∈
R
n
v
=
v
1
,
…
,
v
n
,
w
=
w
1
,
…
,
w
n
∈
R
n
v=(v_(1),dots,v_(n)),w=(w_(1),dots,w_(n))inR^(n) \boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right), \boldsymbol{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} v = ( v 1 , … , v n ) , w = ( w 1 , … , w n ) ∈ R n に対し,
v
⋅
w
:=
∑
i
=
1
n
v
i
w
i
v
⋅
w
:=
∑
i
=
1
n
v
i
w
i
v*w:=sum_(i=1)^(n)v_(i)w_(i) \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w}:=\sum_{i=1}^{n} v_{i} w_{i} v ⋅ w := ∑ i = 1 n v i w i によって, 内積
⋅
⋅
* \cdot ⋅ が定義される。また, 数ベクトル 空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 個のベクトル
v
i
=
(
v
i
1
,
…
,
v
i
n
)
(
i
=
1
,
…
,
n
−
1
)
v
i
=
v
i
1
,
…
,
v
i
n
(
i
=
1
,
…
,
n
−
1
)
v_(i)=(v_(i1),dots,v_(in))(i=1,dots,n-1) \boldsymbol{v}_{i}=\left(v_{i 1}, \ldots, v_{i n}\right)(i=1, \ldots, n-1) v i = ( v i 1 , … , v i n ) ( i = 1 , … , n − 1 ) に対し,
n
n
n n n 次正方行列
A
A
A A A を
A
=
(
1
⋯
1
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋱
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
)
A
=
1
⋯
1
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋱
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
A=([1,cdots,1],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,ddots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)]) A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & \cdots & 1 \\
v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n}
\end{array}\right) A = ( 1 ⋯ 1 v 11 ⋯ v 1 n ⋮ ⋱ ⋮ v n − 1 , 1 ⋯ v n − 1 , n )
によって定義し, その第
(
i
,
j
)
(
i
,
j
)
(i,j) (i, j) ( i , j ) 余因子(つまり,
A
A
A A A から第
i
i
i i i 行目と第
j
j
j j j 列目を 除いてえられる
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 次行列の行列式を
(
−
1
)
i
+
j
(
−
1
)
i
+
j
(-1)^(i+j) (-1)^{i+j} ( − 1 ) i + j 倍したもの)を
A
i
j
A
i
j
A_(ij) A_{i j} A i j で表す ことにする。このとき,
v
1
,
…
,
v
n
−
1
v
1
,
…
,
v
n
−
1
v_(1),dots,v_(n-1) \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1} v 1 , … , v n − 1 の外積 (exterior product)
v
1
×
⋯
×
v
1
×
⋯
×
v_(1)xx cdots xx \boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times v 1 × ⋯ ×
v
n
−
1
v
n
−
1
v_(n-1) \boldsymbol{v}_{n-1} v n − 1 が
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
:=
(
A
11
,
…
,
A
1
n
)
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
:=
A
11
,
…
,
A
1
n
v_(1)xx cdots xxv_(n-1):=(A_(11),dots,A_(1n)) \boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}:=\left(A_{11}, \ldots, A_{1 n}\right) v 1 × ⋯ × v n − 1 := ( A 11 , … , A 1 n )
によって定義される. ここで,
A
1
j
=
(
−
1
)
1
+
j
|
v
11
⋯
v
1
,
j
−
1
v
1
,
j
+
1
⋯
v
1
n
⋮
⋱
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
j
−
1
v
n
−
1
,
j
+
1
⋯
v
n
−
1
,
n
|
A
1
j
=
(
−
1
)
1
+
j
v
11
⋯
v
1
,
j
−
1
v
1
,
j
+
1
⋯
v
1
n
⋮
⋱
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
j
−
1
v
n
−
1
,
j
+
1
⋯
v
n
−
1
,
n
A_(1j)=(-1)^(1+j)|[v_(11),cdots,v_(1,j-1),v_(1,j+1),cdots,v_(1n)],[vdots,ddots,vdots,,,],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,j-1),v_(n-1,j+1),cdots,v_(n-1,n)]| A_{1 j}=(-1)^{1+j}\left|\begin{array}{cccccc}
v_{11} & \cdots & v_{1, j-1} & v_{1, j+1} & \cdots & v_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & & & \\
v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, j-1} & v_{n-1, j+1} & \cdots & v_{n-1, n}
\end{array}\right| A 1 j = ( − 1 ) 1 + j | v 11 ⋯ v 1 , j − 1 v 1 , j + 1 ⋯ v 1 n ⋮ ⋱ ⋮ v n − 1 , 1 ⋯ v n − 1 , j − 1 v n − 1 , j + 1 ⋯ v n − 1 , n |
6 第 1 章 ベクトル解析におけるストークスの定理・変分公式
(
j
=
1
,
…
,
n
)
(
j
=
1
,
…
,
n
)
(j=1,dots,n) (j=1, \ldots, n) ( j = 1 , … , n ) であることを注意しておく. 特に,
n
=
3
n
=
3
n=3 n=3 n = 3 の場合,
(1.2.1)
v
1
×
v
2
=
(
|
v
12
v
13
v
22
v
23
|
,
|
v
13
v
11
v
23
v
21
|
,
|
v
11
v
12
v
21
v
22
|
)
(1.2.1)
v
1
×
v
2
=
v
12
v
13
v
22
v
23
,
v
13
v
11
v
23
v
21
,
v
11
v
12
v
21
v
22
{:(1.2.1)v_(1)xxv_(2)=(|[v_(12),v_(13)],[v_(22),v_(23)]|,|[v_(13),v_(11)],[v_(23),v_(21)]|,|[v_(11),v_(12)],[v_(21),v_(22)]|):} \boldsymbol{v}_{1} \times \boldsymbol{v}_{2}=\left(\left|\begin{array}{ll}
v_{12} & v_{13} \tag{1.2.1}\\
v_{22} & v_{23}
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}
v_{13} & v_{11} \\
v_{23} & v_{21}
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}
v_{11} & v_{12} \\
v_{21} & v_{22}
\end{array}\right|\right) (1.2.1) v 1 × v 2 = ( | v 12 v 13 v 22 v 23 | , | v 13 v 11 v 23 v 21 | , | v 11 v 12 v 21 v 22 | )
となる。
k
k
k k k 文字の置換,つまり,
{
1
,
…
,
k
}
{
1
,
…
,
k
}
{1,dots,k} \{1, \ldots, k\} { 1 , … , k } からそれ自身への 1 対 1 対応の全体を
S
k
S
k
S_(k) S_{k} S k と表し,
σ
∈
S
k
σ
∈
S
k
sigma inS_(k) \sigma \in S_{k} σ ∈ S k に対し,
σ
σ
sigma \sigma σ の符号
sgn
σ
sgn
σ
sgn sigma \operatorname{sgn} \sigma sgn σ が
sgn
σ
:=
{
1
(
σ
:
偶置換
)
−
1
(
σ
:
奇置換
)
sgn
σ
:=
1
(
σ
:
偶置換
)
−
1
(
σ
:
奇置換
)
sgn sigma:={[1,(sigma:" 偶置換 ")],[-1,(sigma:" 奇置換 ")]:} \operatorname{sgn} \sigma:= \begin{cases}1 & (\sigma: \text { 偶置換 }) \\ -1 & (\sigma: \text { 奇置換 })\end{cases} 偶 置 換 奇 置 換 sgn σ := { 1 ( σ : 偶置換 ) − 1 ( σ : 奇置換 )
によって定義される. ここで, 偶置換, 奇置換とは各々, 偶数個, 奇数個の互換
(
1
,
…
,
k
(
1
,
…
,
k
(1,dots,k (1, \ldots, k ( 1 , … , k のうち,2つのみを入れ替える置換のこと)の積で表される置換 を意味する.外積の性質をまとめておこう。
命題 1.2.1 外積に関して, 次の関係式が成り立つ.
(i)
v
σ
(
1
)
×
⋯
×
v
σ
(
n
−
1
)
=
sgn
σ
(
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
)
(
∀
σ
∈
S
n
−
1
)
v
σ
(
1
)
×
⋯
×
v
σ
(
n
−
1
)
=
sgn
σ
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
∀
σ
∈
S
n
−
1
v_(sigma(1))xx cdots xxv_(sigma(n-1))=sgn sigma(v_(1)xx cdots xxv_(n-1))quad(AA sigma inS_(n-1)) \boldsymbol{v}_{\sigma(1)} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{\sigma(n-1)}=\operatorname{sgn} \sigma\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right) \quad\left(\forall \sigma \in S_{n-1}\right) v σ ( 1 ) × ⋯ × v σ ( n − 1 ) = sgn σ ( v 1 × ⋯ × v n − 1 ) ( ∀ σ ∈ S n − 1 ) ;
v
1
×
⋯
×
(
α
v
i
+
β
w
i
)
×
⋯
×
v
n
−
1
=
α
(
v
1
×
⋯
×
v
i
×
⋯
×
v
n
−
1
)
+
β
(
v
1
×
⋯
×
w
i
×
⋯
×
v
n
−
1
)
(
v
1
,
…
,
v
n
−
1
,
w
i
∈
R
n
,
α
,
β
∈
R
)
v
1
×
⋯
×
α
v
i
+
β
w
i
×
⋯
×
v
n
−
1
=
α
v
1
×
⋯
×
v
i
×
⋯
×
v
n
−
1
+
β
v
1
×
⋯
×
w
i
×
⋯
×
v
n
−
1
v
1
,
…
,
v
n
−
1
,
w
i
∈
R
n
,
α
,
β
∈
R
{:[v_(1)xx cdots xx(alphav_(i)+betaw_(i))xx cdots xxv_(n-1)],[=alpha(v_(1)xx cdots xxv_(i)xx cdots xxv_(n-1))+beta(v_(1)xx cdots xxw_(i)xx cdots xxv_(n-1))],[quad(v_(1),dots,v_(n-1),w_(i)inR^(n),quad alpha,beta inR)]:} \begin{aligned}
& \boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times\left(\alpha \boldsymbol{v}_{i}+\beta \boldsymbol{w}_{i}\right) \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1} \\
& =\alpha\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{i} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right)+\beta\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{w}_{i} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right) \\
& \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}, \boldsymbol{w}_{i} \in \mathbb{R}^{n}, \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}\right)
\end{aligned} v 1 × ⋯ × ( α v i + β w i ) × ⋯ × v n − 1 = α ( v 1 × ⋯ × v i × ⋯ × v n − 1 ) + β ( v 1 × ⋯ × w i × ⋯ × v n − 1 ) ( v 1 , … , v n − 1 , w i ∈ R n , α , β ∈ R )
証明(i)の関係式を証明しよう。外積の定義によれば,
B
1
j
=
(
−
1
)
1
+
j
|
v
σ
(
1
)
1
⋯
v
σ
(
1
)
,
j
−
1
v
σ
(
1
)
,
j
+
1
⋯
v
σ
(
1
)
n
⋮
⋯
⋮
⋮
⋯
⋮
v
σ
(
n
−
1
)
1
⋯
v
σ
(
n
−
1
)
,
j
−
1
v
σ
(
n
−
1
)
,
j
+
1
⋯
v
σ
(
n
−
1
)
n
|
(
j
=
1
,
…
,
n
)
として,
v
σ
(
1
)
×
⋯
×
v
σ
(
n
−
1
)
=
(
B
11
,
…
,
B
1
n
)
B
1
j
=
(
−
1
)
1
+
j
v
σ
(
1
)
1
⋯
v
σ
(
1
)
,
j
−
1
v
σ
(
1
)
,
j
+
1
⋯
v
σ
(
1
)
n
⋮
⋯
⋮
⋮
⋯
⋮
v
σ
(
n
−
1
)
1
⋯
v
σ
(
n
−
1
)
,
j
−
1
v
σ
(
n
−
1
)
,
j
+
1
⋯
v
σ
(
n
−
1
)
n
(
j
=
1
,
…
,
n
)
として,
v
σ
(
1
)
×
⋯
×
v
σ
(
n
−
1
)
=
B
11
,
…
,
B
1
n
{:[B_(1j)=(-1)^(1+j)|[v_(sigma(1)1),cdots,v_(sigma(1),j-1),v_(sigma(1),j+1),cdots,v_(sigma(1)n)],[vdots,cdots,vdots,vdots,cdots,vdots],[v_(sigma(n-1)1),cdots,v_(sigma(n-1),j-1),v_(sigma(n-1),j+1),cdots,v_(sigma(n-1)n)]|],[(j=1","dots","n)" として, "],[v_(sigma(1))xx cdots xxv_(sigma(n-1))=(B_(11),dots,B_(1n))]:} \begin{gathered}
B_{1 j}=(-1)^{1+j}\left|\begin{array}{cccccc}
v_{\sigma(1) 1} & \cdots & v_{\sigma(1), j-1} & v_{\sigma(1), j+1} & \cdots & v_{\sigma(1) n} \\
\vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
v_{\sigma(n-1) 1} & \cdots & v_{\sigma(n-1), j-1} & v_{\sigma(n-1), j+1} & \cdots & v_{\sigma(n-1) n}
\end{array}\right| \\
(j=1, \ldots, n) \text { として, } \\
\boldsymbol{v}_{\sigma(1)} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{\sigma(n-1)}=\left(B_{11}, \ldots, B_{1 n}\right)
\end{gathered} と し て B 1 j = ( − 1 ) 1 + j | v σ ( 1 ) 1 ⋯ v σ ( 1 ) , j − 1 v σ ( 1 ) , j + 1 ⋯ v σ ( 1 ) n ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ v σ ( n − 1 ) 1 ⋯ v σ ( n − 1 ) , j − 1 v σ ( n − 1 ) , j + 1 ⋯ v σ ( n − 1 ) n | ( j = 1 , … , n ) として, v σ ( 1 ) × ⋯ × v σ ( n − 1 ) = ( B 11 , … , B 1 n )
となる。行列式の性質(2つの行を入れ替えると符号が変わる)より,
B
1
j
=
(
−
1
)
1
+
j
sgn
σ
|
v
11
⋯
v
1
,
j
−
1
v
1
,
j
+
1
⋯
v
1
n
⋮
⋯
⋮
⋮
⋯
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
j
−
1
v
n
−
1
,
j
+
1
⋯
v
n
−
1
,
n
|
=
sgn
σ
A
1
j
B
1
j
=
(
−
1
)
1
+
j
sgn
σ
v
11
⋯
v
1
,
j
−
1
v
1
,
j
+
1
⋯
v
1
n
⋮
⋯
⋮
⋮
⋯
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
j
−
1
v
n
−
1
,
j
+
1
⋯
v
n
−
1
,
n
=
sgn
σ
A
1
j
{:[B_(1j)=(-1)^(1+j)sgn sigma|[v_(11),cdots,v_(1,j-1),v_(1,j+1),cdots,v_(1n)],[vdots,cdots,vdots,vdots,cdots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,j-1),v_(n-1,j+1),cdots,v_(n-1,n)]|],[quad=sgn sigmaA_(1j)]:} \begin{aligned}
& B_{1 j}=(-1)^{1+j} \operatorname{sgn} \sigma\left|\begin{array}{cccccc}
v_{11} & \cdots & v_{1, j-1} & v_{1, j+1} & \cdots & v_{1 n} \\
\vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, j-1} & v_{n-1, j+1} & \cdots & v_{n-1, n}
\end{array}\right| \\
& \quad=\operatorname{sgn} \sigma A_{1 j}
\end{aligned} B 1 j = ( − 1 ) 1 + j sgn σ | v 11 ⋯ v 1 , j − 1 v 1 , j + 1 ⋯ v 1 n ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ v n − 1 , 1 ⋯ v n − 1 , j − 1 v n − 1 , j + 1 ⋯ v n − 1 , n | = sgn σ A 1 j
(
j
=
1
,
…
,
n
)
(
j
=
1
,
…
,
n
)
(j=1,dots,n) (j=1, \ldots, n) ( j = 1 , … , n ) となるので,
v
σ
(
1
)
×
⋯
×
v
σ
(
n
−
1
)
=
sgn
σ
(
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
)
v
σ
(
1
)
×
⋯
×
v
σ
(
n
−
1
)
=
sgn
σ
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
v_(sigma(1))xx cdots xxv_(sigma(n-1))=sgn sigma(v_(1)xx cdots xxv_(n-1)) \boldsymbol{v}_{\sigma(1)} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{\sigma(n-1)}=\operatorname{sgn} \sigma\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right) v σ ( 1 ) × ⋯ × v σ ( n − 1 ) = sgn σ ( v 1 × ⋯ × v n − 1 )
が示される.
次に, (ii) の関係式を示そう.
w
i
=
(
w
i
1
,
…
,
w
i
n
)
w
i
=
w
i
1
,
…
,
w
i
n
w_(i)=(w_(i1),dots,w_(in)) \boldsymbol{w}_{i}=\left(w_{i 1}, \ldots, w_{i n}\right) w i = ( w i 1 , … , w i n ) とし,
C
=
(
1
⋯
1
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋯
⋮
α
v
i
1
+
β
w
i
1
⋯
α
v
i
n
+
β
w
i
n
⋮
⋯
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
)
C
=
1
⋯
1
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋯
⋮
α
v
i
1
+
β
w
i
1
⋯
α
v
i
n
+
β
w
i
n
⋮
⋯
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
C=([1,cdots,1],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,cdots,vdots],[alphav_(i1)+betaw_(i1),cdots,alphav_(in)+betaw_(in)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)]) C=\left(\begin{array}{ccc}
1 & \cdots & 1 \\
v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\
\vdots & \cdots & \vdots \\
\alpha v_{i 1}+\beta w_{i 1} & \cdots & \alpha v_{i n}+\beta w_{i n} \\
\vdots & \cdots & \vdots \\
v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n}
\end{array}\right) C = ( 1 ⋯ 1 v 11 ⋯ v 1 n ⋮ ⋯ ⋮ α v i 1 + β w i 1 ⋯ α v i n + β w i n ⋮ ⋯ ⋮ v n − 1 , 1 ⋯ v n − 1 , n )
とする. このとき, 外積の定義によれば,
C
C
C C C の
(
1
,
j
)
(
1
,
j
)
(1,j) (1, j) ( 1 , j ) 余因子を
C
1
j
C
1
j
C_(1j) C_{1 j} C 1 j として,
v
1
×
⋯
×
(
α
v
i
+
β
w
i
)
×
⋯
×
v
n
−
1
=
(
C
11
,
…
,
C
1
n
)
v
1
×
⋯
×
α
v
i
+
β
w
i
×
⋯
×
v
n
−
1
=
C
11
,
…
,
C
1
n
v_(1)xx cdots xx(alphav_(i)+betaw_(i))xx cdots xxv_(n-1)=(C_(11),dots,C_(1n)) \boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times\left(\alpha \boldsymbol{v}_{i}+\beta \boldsymbol{w}_{i}\right) \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}=\left(C_{11}, \ldots, C_{1 n}\right) v 1 × ⋯ × ( α v i + β w i ) × ⋯ × v n − 1 = ( C 11 , … , C 1 n )
が成り立つ.
A
′
=
(
1
⋯
1
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋯
⋮
w
i
1
⋯
w
i
n
⋮
⋯
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
)
A
′
=
1
⋯
1
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋯
⋮
w
i
1
⋯
w
i
n
⋮
⋯
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
A^(')=([1,cdots,1],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,cdots,vdots],[w_(i1),cdots,w_(in)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)]) A^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & \cdots & 1 \\
v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\
\vdots & \cdots & \vdots \\
w_{i 1} & \cdots & w_{i n} \\
\vdots & \cdots & \vdots \\
v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n}
\end{array}\right) A ′ = ( 1 ⋯ 1 v 11 ⋯ v 1 n ⋮ ⋯ ⋮ w i 1 ⋯ w i n ⋮ ⋯ ⋮ v n − 1 , 1 ⋯ v n − 1 , n )
とする.このとき, 行列式の性質(行に関する線形性)より,
A
′
A
′
A^(') A^{\prime} A ′ の
(
1
,
j
)
(
1
,
j
)
(1,j) (1, j) ( 1 , j ) 余因子を
A
1
j
′
A
1
j
′
A_(1j)^(') A_{1 j}^{\prime} A 1 j ′ として,
C
1
j
=
α
A
1
j
+
β
A
1
j
′
C
1
j
=
α
A
1
j
+
β
A
1
j
′
C_(1j)=alphaA_(1j)+betaA_(1j)^(') C_{1 j}=\alpha A_{1 j}+\beta A_{1 j}^{\prime} C 1 j = α A 1 j + β A 1 j ′ , および
(
A
11
′
,
…
,
A
1
n
′
)
=
v
1
×
⋯
×
A
11
′
,
…
,
A
1
n
′
=
v
1
×
⋯
×
(A_(11)^('),dots,A_(1n)^('))=v_(1)xx cdots xx \left(A_{11}^{\prime}, \ldots, A_{1 n}^{\prime}\right)=\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times ( A 11 ′ , … , A 1 n ′ ) = v 1 × ⋯ ×
w
i
×
⋯
×
v
n
−
1
w
i
×
⋯
×
v
n
−
1
w_(i)xx cdots xxv_(n-1) \boldsymbol{w}_{i} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1} w i × ⋯ × v n − 1 が成り立つので,
v
1
×
⋯
×
(
α
v
i
+
β
w
i
)
×
⋯
×
v
n
−
1
=
(
α
A
11
+
β
A
11
′
,
…
,
α
A
1
n
+
β
A
1
n
′
)
=
α
(
A
11
,
…
,
A
1
n
)
+
β
(
A
11
′
,
…
,
A
1
n
′
)
=
α
(
v
1
×
⋯
×
v
i
×
⋯
×
v
n
−
1
)
+
β
(
v
1
×
⋯
×
w
i
×
⋯
×
v
n
−
1
)
v
1
×
⋯
×
α
v
i
+
β
w
i
×
⋯
×
v
n
−
1
=
α
A
11
+
β
A
11
′
,
…
,
α
A
1
n
+
β
A
1
n
′
=
α
A
11
,
…
,
A
1
n
+
β
A
11
′
,
…
,
A
1
n
′
=
α
v
1
×
⋯
×
v
i
×
⋯
×
v
n
−
1
+
β
v
1
×
⋯
×
w
i
×
⋯
×
v
n
−
1
{:[v_(1)xx cdots xx(alphav_(i)+betaw_(i))xx cdots xxv_(n-1)],[=(alphaA_(11)+betaA_(11)^('),dots,alphaA_(1n)+betaA_(1n)^('))=alpha(A_(11),dots,A_(1n))+beta(A_(11)^('),dots,A_(1n)^('))],[=alpha(v_(1)xx cdots xxv_(i)xx cdots xxv_(n-1))+beta(v_(1)xx cdots xxw_(i)xx cdots xxv_(n-1))]:} \begin{aligned}
& \boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times\left(\alpha \boldsymbol{v}_{i}+\beta \boldsymbol{w}_{i}\right) \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1} \\
= & \left(\alpha A_{11}+\beta A_{11}^{\prime}, \ldots, \alpha A_{1 n}+\beta A_{1 n}^{\prime}\right)=\alpha\left(A_{11}, \ldots, A_{1 n}\right)+\beta\left(A_{11}^{\prime}, \ldots, A_{1 n}^{\prime}\right) \\
= & \alpha\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{i} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right)+\beta\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{w}_{i} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right)
\end{aligned} v 1 × ⋯ × ( α v i + β w i ) × ⋯ × v n − 1 = ( α A 11 + β A 11 ′ , … , α A 1 n + β A 1 n ′ ) = α ( A 11 , … , A 1 n ) + β ( A 11 ′ , … , A 1 n ′ ) = α ( v 1 × ⋯ × v i × ⋯ × v n − 1 ) + β ( v 1 × ⋯ × w i × ⋯ × v n − 1 )
が示される.
次に, スカラー
n
n
n n n 重積を定義しよう. 数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の
n
n
n n n 個のベクト ル
v
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
v
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
v_(i)(i=1,dots,n) \boldsymbol{v}_{i}(i=1, \ldots, n) v i ( i = 1 , … , n ) に対し,実数
|
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
|
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
|v_(1),v_(2),dots,v_(n)| \left|\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}\right| | v 1 , v 2 , … , v n | を
|
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
|
:=
v
1
⋅
(
v
2
×
⋯
×
v
n
)
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
:=
v
1
⋅
v
2
×
⋯
×
v
n
|v_(1),v_(2),dots,v_(n)|:=v_(1)*(v_(2)xx cdots xxv_(n)) \left|\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}\right|:=\boldsymbol{v}_{1} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{2} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n}\right) | v 1 , v 2 , … , v n | := v 1 ⋅ ( v 2 × ⋯ × v n )
によって定める。これを
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
v_(1),v_(2),dots,v_(n) \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n} v 1 , v 2 , … , v n のスカラー
n
n
n \boldsymbol{n} n 重積 (scalar n-multiproduct) とよぶ.
命題 1.2.2 数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の
n
n
n n n 個のベクトル
v
i
=
(
v
i
1
,
…
,
v
i
n
)
(
i
=
v
i
=
v
i
1
,
…
,
v
i
n
(
i
=
v_(i)=(v_(i1),dots,v_(in))(i= \boldsymbol{v}_{i}=\left(v_{i 1}, \ldots, v_{i n}\right)(i= v i = ( v i 1 , … , v i n ) ( i =
1
,
…
,
n
)
1
,
…
,
n
)
1,dots,n) 1, \ldots, n) 1 , … , n ) に対し, 次の関係式が成り立つ:
|
v
1
,
…
,
v
n
|
=
|
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋱
⋮
v
n
1
⋯
v
n
n
|
v
1
,
…
,
v
n
=
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋱
⋮
v
n
1
⋯
v
n
n
|v_(1),dots,v_(n)|=|[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,ddots,vdots],[v_(n1),cdots,v_(nn)]| \left|\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
v_{n 1} & \cdots & v_{n n}
\end{array}\right| | v 1 , … , v n | = | v 11 ⋯ v 1 n ⋮ ⋱ ⋮ v n 1 ⋯ v n n |
証明
A
=
(
1
⋯
1
v
21
⋯
v
2
n
⋮
⋯
⋮
v
n
1
⋯
v
n
n
)
,
B
=
(
v
11
⋯
v
1
n
v
21
⋯
v
2
n
⋮
⋯
⋮
v
n
1
⋯
v
n
n
)
A
=
1
⋯
1
v
21
⋯
v
2
n
⋮
⋯
⋮
v
n
1
⋯
v
n
n
,
B
=
v
11
⋯
v
1
n
v
21
⋯
v
2
n
⋮
⋯
⋮
v
n
1
⋯
v
n
n
A=([1,cdots,1],[v_(21),cdots,v_(2n)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n1),cdots,v_(nn)]),quad B=([v_(11),cdots,v_(1n)],[v_(21),cdots,v_(2n)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n1),cdots,v_(nn)]) A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ v_{21} & \cdots & v_{2 n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{n 1} & \cdots & v_{n n}\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc}v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\ v_{21} & \cdots & v_{2 n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{n 1} & \cdots & v_{n n}\end{array}\right) A = ( 1 ⋯ 1 v 21 ⋯ v 2 n ⋮ ⋯ ⋮ v n 1 ⋯ v n n ) , B = ( v 11 ⋯ v 1 n v 21 ⋯ v 2 n ⋮ ⋯ ⋮ v n 1 ⋯ v n n ) とする. こ
のとき、明らかに,
A
1
j
=
B
1
j
(
j
=
1
,
…
,
n
)
A
1
j
=
B
1
j
(
j
=
1
,
…
,
n
)
A_(1j)=B_(1j)(j=1,dots,n) A_{1 j}=B_{1 j}(j=1, \ldots, n) A 1 j = B 1 j ( j = 1 , … , n ) が成り立つ. 求めるべき関係式 の右辺の行列式を第 1 行に関して展開し, この関係式を用いると,
|
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋱
⋮
v
n
1
⋯
v
n
n
|
=
∑
j
=
1
n
v
1
j
B
1
j
=
∑
j
=
1
n
v
1
j
A
1
j
=
v
1
⋅
(
v
2
×
⋯
×
v
n
)
=
|
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
|
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋱
⋮
v
n
1
⋯
v
n
n
=
∑
j
=
1
n
v
1
j
B
1
j
=
∑
j
=
1
n
v
1
j
A
1
j
=
v
1
⋅
v
2
×
⋯
×
v
n
=
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{:[|[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,ddots,vdots],[v_(n1),cdots,v_(nn)]|=sum_(j=1)^(n)v_(1j)B_(1j)=sum_(j=1)^(n)v_(1j)A_(1j)],[=v_(1)*(v_(2)xx cdots xxv_(n))=|v_(1),v_(2),dots,v_(n)|]:} \begin{aligned}
\left|\begin{array}{ccc}
v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
v_{n 1} & \cdots & v_{n n}
\end{array}\right| & =\sum_{j=1}^{n} v_{1 j} B_{1 j}=\sum_{j=1}^{n} v_{1 j} A_{1 j} \\
& =\boldsymbol{v}_{1} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{2} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n}\right)=\left|\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}\right|
\end{aligned} | v 11 ⋯ v 1 n ⋮ ⋱ ⋮ v n 1 ⋯ v n n | = ∑ j = 1 n v 1 j B 1 j = ∑ j = 1 n v 1 j A 1 j = v 1 ⋅ ( v 2 × ⋯ × v n ) = | v 1 , v 2 , … , v n |
をえる。
次に, ベクトル空間
V
V
V V V の向きを定義しよう。そのために, まず, ベクトル 空間
V
V
V V V の基底を定義しよう. ベクトル空間
V
V
V V V の
n
n
n n n 個のベクトルからなる順序対
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) が次の 2 条件を満たすとする:
(i)
∑
i
=
1
n
α
i
e
i
=
0
∑
i
=
1
n
α
i
e
i
=
0
sum_(i=1)^(n)alpha_(i)e_(i)=0 \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \boldsymbol{e}_{i}=\mathbf{0} ∑ i = 1 n α i e i = 0 ならば,
α
1
=
⋯
=
α
n
=
0
α
1
=
⋯
=
α
n
=
0
alpha_(1)=cdots=alpha_(n)=0 \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0 α 1 = ⋯ = α n = 0 である;
(ii)任意の
v
∈
V
v
∈
V
v in V \boldsymbol{v} \in V v ∈ V は,
v
=
∑
i
=
1
n
α
i
e
i
(
α
1
,
…
,
α
n
∈
R
)
v
=
∑
i
=
1
n
α
i
e
i
α
1
,
…
,
α
n
∈
R
v=sum_(i=1)^(n)alpha_(i)e_(i)(alpha_(1),dots,alpha_(n)inR) \boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \boldsymbol{e}_{i}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{R}\right) v = ∑ i = 1 n α i e i ( α 1 , … , α n ∈ R ) という形で表せる.
このとき, 順序対
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) を
V
V
V V V の基底 (basis) という.
V
V
V V V の基底は無数 に存在するが,
V
V
V V V の基底を構成するべクトルの個数
n
n
n n n は,
V
V
V V V に対し一意に決 まる(線形代数の本を参照)。この個数
n
n
n n n を
V
V
V V V の次元 (dimension) という.一般に,
V
V
V V V のベクトル
v
1
,
…
,
v
k
v
1
,
…
,
v
k
v_(1),dots,v_(k) \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} v 1 , … , v k に対し,次の条件が成り立つとき,
v
1
,
…
v
1
,
…
v_(1),dots \boldsymbol{v}_{1}, \ldots v 1 , … ,
v
k
v
k
v_(k) v_{k} v k は 1 次独立 (linearly independent) であるという:
(i')
∑
i
=
1
k
α
i
v
i
=
0
ならば,
α
1
=
⋯
=
α
k
=
0
である.
(i')
∑
i
=
1
k
α
i
v
i
=
0
ならば,
α
1
=
⋯
=
α
k
=
0
である.
{:(i')sum_(i=1)^(k)alpha_(i)v_(i)=0" ならば, "alpha_(1)=cdots=alpha_(k)=0" である. ":} \begin{equation*}
\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i} \boldsymbol{v}_{i}=\mathbf{0} \text { ならば, } \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{k}=0 \text { である. } \tag{i'}
\end{equation*} な ら ば で あ る (i') ∑ i = 1 k α i v i = 0 ならば, α 1 = ⋯ = α k = 0 である.
V
V
V V V の基底全体からなる集合を
F
(
V
)
F
(
V
)
F(V) \mathcal{F}(V) F ( V ) と表そう.
V
V
V V V の 2 つの基底
E
=
E
=
E= E= E =
(
e
1
,
…
,
e
n
)
,
E
¯
=
(
e
―
1
,
…
,
e
―
n
)
e
1
,
…
,
e
n
,
E
¯
=
e
¯
1
,
…
,
e
¯
n
(e_(1),dots,e_(n)), bar(E)=( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right), \bar{E}=\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) , E ¯ = ( e ― 1 , … , e ― n ) に対し,
e
―
i
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
e
j
(
i
=
1
,
…
,
n
)
e
¯
i
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
e
j
(
i
=
1
,
…
,
n
)
bar(e)_(i)=sum_(j=1)^(n)a_(ij)e_(j)(i=1,dots,n) \overline{\boldsymbol{e}}_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \boldsymbol{e}_{j}(i=1, \ldots, n) e ― i = ∑ j = 1 n a i j e j ( i = 1 , … , n ) として 定義される
n
n
n n n 次正方行列
A
=
(
a
i
j
)
(
a
i
j
A
=
a
i
j
a
i
j
A=(a_(ij))(a_(ij):} A=\left(a_{i j}\right)\left(a_{i j}\right. A = ( a i j ) ( a i j を
(
i
,
j
)
(
i
,
j
)
(i,j) (i, j) ( i , j ) 成分とする行列)を基底
E
E
E E E から基底
E
¯
E
¯
bar(E) \bar{E} E ¯ への変換行列という。
A
A
A A A は正則行列になることが示される。
F
(
V
)
F
(
V
)
F(V) \mathcal{F}(V) F ( V ) における同値関係~を次のように定義する:
(
e
1
,
…
,
e
n
)
∼
(
e
―
1
,
…
,
e
―
n
)
⟺
def
det
(
a
i
j
)
>
0
(
(
a
i
j
)
:
基底
(
e
1
,
…
,
e
n
)
から基底
(
e
―
1
,
…
,
e
―
n
)
への変換行列
)
e
1
,
…
,
e
n
∼
e
¯
1
,
…
,
e
¯
n
⟺
def
det
a
i
j
>
0
a
i
j
:
基底
e
1
,
…
,
e
n
から基底
e
¯
1
,
…
,
e
¯
n
への変換行列
{:[(e_(1),dots,e_(n))∼( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n))Longleftrightarrow_(def)det(a_(ij)) > 0],[((a_(ij)):" 基底 "(e_(1),dots,e_(n))" から基底 "( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n))" への変換行列 ")]:} \begin{array}{r}
\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) \sim\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right) \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \operatorname{det}\left(a_{i j}\right)>0 \\
\left(\left(a_{i j}\right): \text { 基底 }\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) \text { から基底 }\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right) \text { への変換行列 }\right)
\end{array} 基 底 か ら 基 底 へ の 変 換 行 列 ( e 1 , … , e n ) ∼ ( e ― 1 , … , e ― n ) ⟺ def det ( a i j ) > 0 ( ( a i j ) : 基底 ( e 1 , … , e n ) から基底 ( e ― 1 , … , e ― n ) への変換行列 )
商集合
F
(
V
)
/
∼
F
(
V
)
/
∼
F(V)//∼ \mathcal{F}(V) / \sim F ( V ) / ∼ 。
O
(
V
)
O
(
V
)
O(V) \mathcal{O}(V) O ( V ) と表し,
(
e
1
,
…
,
e
n
)
∈
F
(
V
)
e
1
,
…
,
e
n
∈
F
(
V
)
(e_(1),dots,e_(n))inF(V) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) \in \mathcal{F}(V) ( e 1 , … , e n ) ∈ F ( V ) の属する同値類を
[
(
e
1
,
…
,
e
n
)
]
e
1
,
…
,
e
n
[(e_(1),dots,e_(n))] \left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right] [ ( e 1 , … , e n ) ] と表そう. このとき,
O
(
V
)
O
(
V
)
O(V) \mathcal{O}(V) O ( V ) は 2 点集合であることが示される.実際,
V
V
V V V の 1 つの基底
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) に対し,
(1.2.2)
O
(
V
)
=
{
[
(
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
)
]
,
[
(
−
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
)
]
}
(1.2.2)
O
(
V
)
=
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
,
−
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
{:(1.2.2)O(V)={[(e_(1),e_(2),dots,e_(n))],[(-e_(1),e_(2),dots,e_(n))]}:} \begin{equation*}
\mathcal{O}(V)=\left\{\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right],\left[\left(-\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right]\right\} \tag{1.2.2}
\end{equation*} (1.2.2) O ( V ) = { [ ( e 1 , e 2 , … , e n ) ] , [ ( − e 1 , e 2 , … , e n ) ] }
が成り立つことが示される.
O
(
V
)
O
(
V
)
O(V) \mathcal{O}(V) O ( V ) の各元を
V
V
V V V の向き (orientation) といい,一方の向きは, もう一方の向きの逆向き (reverse orientation) とよばれる.
問 1.2.1 式
(
1
,
2
,
2
)
(
1
,
2
,
2
)
(1,2,2) (1,2,2) ( 1 , 2 , 2 ) が成り立つことを示せ.
数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の場合を考えよう.
e
i
o
:=
(
0
,
…
,
0
,
1
i
,
0
,
…
,
0
)
(
i
=
1
e
i
o
:=
0
,
…
,
0
,
1
i
,
0
,
…
,
0
(
i
=
1
e_(i)^(o):=(0,dots,0,_(1)^(i),0,dots,0)(i=1 \boldsymbol{e}_{i}^{o}:=\left(0, \ldots, 0,{ }_{1}^{i}, 0, \ldots, 0\right)(i=1 e i o := ( 0 , … , 0 , 1 i , 0 , … , 0 ) ( i = 1 ,
…
,
n
)
…
,
n
)
dots,n) \ldots, n) … , n ) とする. ここで, 1 & は
i
i
i i i 成分が 1 であることを意味する. このとき,
O
(
V
)
=
{
[
(
e
1
o
,
e
2
o
,
…
,
e
n
o
)
]
,
[
(
−
e
1
o
,
e
2
o
,
…
,
e
n
o
)
]
}
O
(
V
)
=
e
1
o
,
e
2
o
,
…
,
e
n
o
,
−
e
1
o
,
e
2
o
,
…
,
e
n
o
O(V)={[(e_(1)^(o),e_(2)^(o),dots,e_(n)^(o))],[(-e_(1)^(o),e_(2)^(o),dots,e_(n)^(o))]} \mathcal{O}(V)=\left\{\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{o}\right)\right],\left[\left(-\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{o}\right)\right]\right\} O ( V ) = { [ ( e 1 o , e 2 o , … , e n o ) ] , [ ( − e 1 o , e 2 o , … , e n o ) ] }
となるが,
[
(
e
1
o
,
e
2
o
,
…
,
e
n
o
)
]
e
1
o
,
e
2
o
,
…
,
e
n
o
[(e_(1)^(o),e_(2)^(o),dots,e_(n)^(o))] \left[\left(\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{o}\right)\right] [ ( e 1 o , e 2 o , … , e n o ) ] を
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の正の向き(positive orientation),
[
(
−
e
1
o
,
e
2
o
,
…
,
e
n
o
)
]
−
e
1
o
,
e
2
o
,
…
,
e
n
o
[(-e_(1)^(o),e_(2)^(o),dots,e_(n)^(o))] \left[\left(-\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{o}\right)\right] [ ( − e 1 o , e 2 o , … , e n o ) ] を
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の負の向き(negative orientation)という.
n
=
n
=
n= n= n = 2 のとき,
[
(
e
1
o
,
e
2
o
)
]
e
1
o
,
e
2
o
[(e_(1)^(o),e_(2)^(o))] \left[\left(\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}\right)\right] [ ( e 1 o , e 2 o ) ] は反時計回り(anticlockwise rotation)とよばれ,
[
(
−
e
1
o
,
e
2
o
)
]
−
e
1
o
,
e
2
o
[(-e_(1)^(o),e_(2)^(o))] \left[\left(-\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}\right)\right] [ ( − e 1 o , e 2 o ) ] は時計回り(clockwise rotation)とよばれる.
n
=
3
n
=
3
n=3 n=3 n = 3 のとき,
[
(
e
1
o
,
e
2
o
,
e
3
o
)
]
e
1
o
,
e
2
o
,
e
3
o
[(e_(1)^(o),e_(2)^(o),e_(3)^(o))] \left[\left(\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \boldsymbol{e}_{3}^{o}\right)\right] [ ( e 1 o , e 2 o , e 3 o ) ] は右手系 (right-handed system) とよばれ,
[
(
−
e
1
o
,
e
2
o
,
e
3
o
)
]
−
e
1
o
,
e
2
o
,
e
3
o
[(-e_(1)^(o),e_(2)^(o),e_(3)^(o))] \left[\left(-\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \boldsymbol{e}_{3}^{o}\right)\right] [ ( − e 1 o , e 2 o , e 3 o ) ] は 左手系 (left-handed system) とよばれる。
問 1.2.2
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) を
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の基底とし,
e
i
=
(
e
i
1
,
…
,
e
i
n
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
e
i
=
e
i
1
,
…
,
e
i
n
(
i
=
1
,
…
,
n
)
e_(i)=(e_(i1),dots,e_(in))(i=1,dots,n) \boldsymbol{e}_{i}=\left(e_{i 1}, \ldots, e_{i n}\right)(i=1, \ldots, n) e i = ( e i 1 , … , e i n ) ( i = 1 , … , n ) とす る. このとき,
det
(
e
i
j
)
>
0
det
e
i
j
>
0
det(e_(ij)) > 0 \operatorname{det}\left(e_{i j}\right)>0 det ( e i j ) > 0 ならば,
[
(
e
1
,
…
,
e
n
)
]
e
1
,
…
,
e
n
[(e_(1),dots,e_(n))] \left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right] [ ( e 1 , … , e n ) ] は
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の正の向きであることを 示せ.
外積について, 次の事実が成り立つ.
命題 1.2.3
V
V
V V V のベクトル
v
1
,
…
,
v
n
−
1
v
1
,
…
,
v
n
−
1
v_(1),dots,v_(n-1) \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1} v 1 , … , v n − 1 が 1 次独立系であるとき, 次の事実 が成り立つ.
(i)
v
i
⋅
(
v
1
×
…
×
v
n
−
1
)
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
−
1
)
v
i
⋅
v
1
×
…
×
v
n
−
1
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
−
1
)
quadv_(i)*(v_(1)xx dots xxv_(n-1))=0quad(i=1,dots,n-1) \quad \boldsymbol{v}_{i} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \ldots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right)=0 \quad(i=1, \ldots, n-1) v i ⋅ ( v 1 × … × v n − 1 ) = 0 ( i = 1 , … , n − 1 ) である;
(ii)
[
(
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
,
v
1
,
…
,
v
n
−
1
)
]
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
,
v
1
,
…
,
v
n
−
1
[(v_(1)xx cdots xxv_(n-1),v_(1),dots,v_(n-1))] \left[\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}\right)\right] [ ( v 1 × ⋯ × v n − 1 , v 1 , … , v n − 1 ) ] は
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の正の向きである;
(iii)
‖
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
‖
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
||v_(1)xx cdots xxv_(n-1)|| \left\|\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right\| ‖ v 1 × ⋯ × v n − 1 ‖ は,
Span
{
v
1
,
…
,
v
n
−
1
}
(
=
R
n
−
1
)
Span
v
1
,
…
,
v
n
−
1
=
R
n
−
1
Span{v_(1),dots,v_(n-1)}(=R^(n-1)) \operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}\right\}\left(=\mathbb{R}^{n-1}\right) Span { v 1 , … , v n − 1 } ( = R n − 1 ) の領域
D
=
{
∑
i
=
1
n
−
1
α
i
v
i
∣
0
≤
α
i
≤
1
(
i
=
1
,
…
,
n
−
1
)
}
D
=
∑
i
=
1
n
−
1
α
i
v
i
∣
0
≤
α
i
≤
1
(
i
=
1
,
…
,
n
−
1
)
D={sum_(i=1)^(n-1)alpha_(i)v_(i)∣0 <= alpha_(i) <= 1quad(i=1,dots,n-1)} D=\left\{\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_{i} \boldsymbol{v}_{i} \mid 0 \leq \alpha_{i} \leq 1 \quad(i=1, \ldots, n-1)\right\} D = { ∑ i = 1 n − 1 α i v i ∣ 0 ≤ α i ≤ 1 ( i = 1 , … , n − 1 ) }
の
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 次元体積(つまり,
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 重積分
∫
⋯
∫
D
1
d
x
1
⋯
d
x
n
−
1
)
∫
⋯
∫
D
1
d
x
1
⋯
d
x
n
−
1
{: int cdotsint_(D)1dx_(1)cdots dx_(n-1)) \left.\int \cdots \int_{D} 1 d x_{1} \cdots d x_{n-1}\right) ∫ ⋯ ∫ D 1 d x 1 ⋯ d x n − 1 ) に等しい。
証明
v
i
=
(
v
i
1
,
…
,
v
i
n
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
v
i
=
v
i
1
,
…
,
v
i
n
(
i
=
1
,
…
,
n
)
v_(i)=(v_(i1),dots,v_(in))(i=1,dots,n) \boldsymbol{v}_{i}=\left(v_{i 1}, \ldots, v_{i n}\right)(i=1, \ldots, n) v i = ( v i 1 , … , v i n ) ( i = 1 , … , n ) とする. (i) の主張は, 命題 1.2 .2 を用いて次のように示される:
v
i
⋅
(
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
)
=
|
v
i
,
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
n
−
1
|
v
i
⋅
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
=
v
i
,
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
n
−
1
v_(i)*(v_(1)xx cdots xxv_(n-1))=|v_(i),v_(1),dots,v_(i),dots,v_(n-1)| \boldsymbol{v}_{i} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right)=\left|\boldsymbol{v}_{i}, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{i}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}\right| v i ⋅ ( v 1 × ⋯ × v n − 1 ) = | v i , v 1 , … , v i , … , v n − 1 |
=
|
v
i
1
⋯
v
i
n
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋯
⋮
v
i
1
⋯
v
i
n
⋮
⋯
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
|
=
0
=
v
i
1
⋯
v
i
n
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋯
⋮
v
i
1
⋯
v
i
n
⋮
⋯
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
=
0
=|[v_(i1),cdots,v_(in)],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,cdots,vdots],[v_(i1),cdots,v_(in)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)]|=0 =\left|\begin{array}{ccc}
v_{i 1} & \cdots & v_{i n} \\
v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\
\vdots & \cdots & \vdots \\
v_{i 1} & \cdots & v_{i n} \\
\vdots & \cdots & \vdots \\
v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n}
\end{array}\right|=0 = | v i 1 ⋯ v i n v 11 ⋯ v 1 n ⋮ ⋯ ⋮ v i 1 ⋯ v i n ⋮ ⋯ ⋮ v n − 1 , 1 ⋯ v n − 1 , n | = 0
次に, (ii)の主張を示そう.
A
=
(
1
⋯
1
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋯
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
)
A
=
1
⋯
1
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋯
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
A=([1,cdots,1],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)]) A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n}\end{array}\right) A = ( 1 ⋯ 1 v 11 ⋯ v 1 n ⋮ ⋯ ⋮ v n − 1 , 1 ⋯ v n − 1 , n ) とする.この とき,
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
=
(
A
11
,
…
,
A
1
n
)
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
=
A
11
,
…
,
A
1
n
v_(1)xx cdots xxv_(n-1)=(A_(11),dots,A_(1n)) \boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}=\left(A_{11}, \ldots, A_{1 n}\right) v 1 × ⋯ × v n − 1 = ( A 11 , … , A 1 n ) となり, 一方, 行列式の展開を用 いて,
|
A
11
⋯
A
1
n
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋱
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
|
=
∑
j
=
1
n
A
1
j
2
>
0
A
11
⋯
A
1
n
v
11
⋯
v
1
n
⋮
⋱
⋮
v
n
−
1
,
1
⋯
v
n
−
1
,
n
=
∑
j
=
1
n
A
1
j
2
>
0
|[A_(11),cdots,A_(1n)],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,ddots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)]|=sum_(j=1)^(n)A_(1j)^(2) > 0 \left|\begin{array}{ccc}
A_{11} & \cdots & A_{1 n} \\
v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n}
\end{array}\right|=\sum_{j=1}^{n} A_{1 j}^{2}>0 | A 11 ⋯ A 1 n v 11 ⋯ v 1 n ⋮ ⋱ ⋮ v n − 1 , 1 ⋯ v n − 1 , n | = ∑ j = 1 n A 1 j 2 > 0
が示される。それゆえ,問 1.2 .2 から,
(
v
1
,
…
,
v
n
−
1
,
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
)
v
1
,
…
,
v
n
−
1
,
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
(v_(1),dots,v_(n-1),v_(1)xx cdots xxv_(n-1)) \left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}, \boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right) ( v 1 , … , v n − 1 , v 1 × ⋯ × v n − 1 ) が
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の正の向きであることがわかる。(iii)の証明は長い計算を要するので, 省く.
命題 1.2 .3 によれば,
R
3
R
3
R^(3) \mathbb{R}^{3} R 3 の 1 次独立なベクトル
v
1
,
v
2
v
1
,
v
2
v_(1),v_(2) \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} v 1 , v 2 の外積
v
1
×
v
2
v
1
×
v
2
v_(1)xxv_(2) \boldsymbol{v}_{1} \times \boldsymbol{v}_{2} v 1 × v 2 は図 1.2.1 のようになる。
スカラー
n
n
n n n 重積について, 次の事実が成り立つ.
命題 1.2.4
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) を
V
V
V V V の基底とし,
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の領域
D
D
D D D を
D
=
{
∑
i
=
1
n
α
i
e
i
∣
0
≤
α
i
≤
1
(
i
=
1
,
…
,
n
)
}
D
=
∑
i
=
1
n
α
i
e
i
∣
0
≤
α
i
≤
1
(
i
=
1
,
…
,
n
)
D={sum_(i=1)^(n)alpha_(i)e_(i)∣0 <= alpha_(i) <= 1quad(i=1,dots,n)} D=\left\{\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \boldsymbol{e}_{i} \mid 0 \leq \alpha_{i} \leq 1 \quad(i=1, \ldots, n)\right\} D = { ∑ i = 1 n α i e i ∣ 0 ≤ α i ≤ 1 ( i = 1 , … , n ) }
図 1.2.1
R
3
R
3
R^(3) \mathbb{R}^{3} R 3 の 2 つのベクトルの外積
によって定める.このとき,次の事実が成り立つ:
|
e
1
,
…
,
e
n
|
=
{
D
の
n
次元体積
(
[
(
e
1
,
…
,
e
n
)
]
が正の向きのとき
)
(
D
の
n
次元体積
)
×
(
−
1
)
(
[
(
e
1
,
…
,
e
n
)
]
が負の向きのとき
)
.
e
1
,
…
,
e
n
=
D
の
n
次元体積
e
1
,
…
,
e
n
が正の向きのとき
(
D
の
n
次元体積
)
×
(
−
1
)
e
1
,
…
,
e
n
が負の向きのとき
.
{:[|e_(1),dots,e_(n)|],[={[D" の "n" 次元体積 ",([(e_(1),dots,e_(n))]" が正の向きのとき ")],[(D" の "n" 次元体積 ")xx(-1),([(e_(1),dots,e_(n))]" が負の向きのとき ").]:}]:} \begin{aligned}
& \left|\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right| \\
= & \begin{cases}D \text { の } n \text { 次元体積 } & \left(\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right] \text { が正の向きのとき }\right) \\
(D \text { の } n \text { 次元体積 }) \times(-1) & \left(\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right] \text { が負の向きのとき }\right) .\end{cases}
\end{aligned} の 次 元 体 積 が 正 の 向 き の と き の 次 元 体 積 が 負 の 向 き の と き | e 1 , … , e n | = { D の n 次元体積 ( [ ( e 1 , … , e n ) ] が正の向きのとき ) ( D の n 次元体積 ) × ( − 1 ) ( [ ( e 1 , … , e n ) ] が負の向きのとき ) .
ここで,
D
D
D D D の
n
n
n n n 次元体積は,
n
n
n n n 重積分
∫
⋯
∫
D
1
d
x
1
⋯
d
x
n
∫
⋯
∫
D
1
d
x
1
⋯
d
x
n
int cdotsint_(D)1dx_(1)cdots dx_(n) \int \cdots \int_{D} 1 d x_{1} \cdots d x_{n} ∫ ⋯ ∫ D 1 d x 1 ⋯ d x n を意味する.
証明この事実は, スカラー
n
n
n n n 重積の定義, および命題 1.2 .3 を用いて示さ れる。
数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の 1 次独立系
(
v
1
,
…
,
v
k
)
v
1
,
…
,
v
k
(v_(1),dots,v_(k)) \left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) ( v 1 , … , v k ) に対し,
det
(
v
i
⋅
v
j
)
=
|
v
1
⋅
v
1
⋯
v
1
⋅
v
k
⋮
⋱
⋮
v
k
⋅
v
1
⋯
v
k
⋅
v
k
|
det
v
i
⋅
v
j
=
v
1
⋅
v
1
⋯
v
1
⋅
v
k
⋮
⋱
⋮
v
k
⋅
v
1
⋯
v
k
⋅
v
k
det(v_(i)*v_(j))=|[v_(1)*v_(1),cdots,v_(1)*v_(k)],[vdots,ddots,vdots],[v_(k)*v_(1),cdots,v_(k)*v_(k)]| \operatorname{det}\left(\boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{j}\right)=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{v}_{1} \cdot \boldsymbol{v}_{1} & \cdots & \boldsymbol{v}_{1} \cdot \boldsymbol{v}_{k} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\boldsymbol{v}_{k} \cdot \boldsymbol{v}_{1} & \cdots & \boldsymbol{v}_{k} \cdot \boldsymbol{v}_{k}
\end{array}\right| det ( v i ⋅ v j ) = | v 1 ⋅ v 1 ⋯ v 1 ⋅ v k ⋮ ⋱ ⋮ v k ⋅ v 1 ⋯ v k ⋅ v k |
は,
(
v
1
,
…
,
v
k
)
v
1
,
…
,
v
k
(v_(1),dots,v_(k)) \left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) ( v 1 , … , v k ) のグラミアン (grammian) とよばれる.グラミアンについ て, 次の事実が成り立つ.
命題 1.2.5 (i) 数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の任意の 1 次独立系
(
v
1
,
…
,
v
k
)
v
1
,
…
,
v
k
(v_(1),dots,v_(k)) \left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) ( v 1 , … , v k ) に対 し,
det
(
v
i
⋅
v
j
)
>
0
det
v
i
⋅
v
j
>
0
det(v_(i)*v_(j)) > 0 \operatorname{det}\left(\boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{j}\right)>0 det ( v i ⋅ v j ) > 0 が成り立つ.
(ii) 数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 個のベクトルからなる 1 次独立系
(
v
1
v
1
(v_(1):} \left(\boldsymbol{v}_{1}\right. ( v 1 ,
…
,
v
n
−
1
)
…
,
v
n
−
1
{: dots,v_(n-1)) \left.\ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}\right) … , v n − 1 ) に対し,
‖
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
‖
2
=
det
(
v
i
⋅
v
j
)
v
1
×
⋯
×
v
n
−
1
2
=
det
v
i
⋅
v
j
||v_(1)xx cdots xxv_(n-1)||^(2)=det(v_(i)*v_(j)) \left\|\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right\|^{2}=\operatorname{det}\left(\boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{j}\right) ‖ v 1 × ⋯ × v n − 1 ‖ 2 = det ( v i ⋅ v j ) が成り立つ.
(iii)数べクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の基底
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) に対し,
|
e
1
,
…
,
e
n
|
2
=
e
1
,
…
,
e
n
2
=
|e_(1),dots,e_(n)|^(2)= \left|\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right|^{2}= | e 1 , … , e n | 2 =
det
(
e
i
⋅
e
j
)
det
e
i
⋅
e
j
det(e_(i)*e_(j)) \operatorname{det}\left(\boldsymbol{e}_{i} \cdot \boldsymbol{e}_{j}\right) det ( e i ⋅ e j ) が成り立つ.
証明 これらの事実の証明は長い計算を要するので, 省く.
問 1.2.3
n
=
3
n
=
3
n=3 n=3 n = 3 の場合に, 命題 1.2.5 の(ii)における関係式を示せ.
次に,アフィン空間
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n のユークリッド計量を定義する。前節で述べたよう に, アフィン空間
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n の点
p
p
p p p における接空間
T
p
A
n
T
p
A
n
T_(p)A^(n) T_{p} \mathbb{A}^{n} T p A n は 1 対 1 対応
F
p
:
T
p
A
n
→
R
n
⟺
def
F
p
(
c
′
(
0
)
)
=
(
c
1
′
(
0
)
,
…
,
c
n
′
(
0
)
)
(
c
′
(
0
)
∈
T
p
A
n
)
F
p
:
T
p
A
n
→
R
n
⟺
def
F
p
c
′
(
0
)
=
c
1
′
(
0
)
,
…
,
c
n
′
(
0
)
c
′
(
0
)
∈
T
p
A
n
F_(p):T_(p)A^(n)rarrR^(n)Longleftrightarrow_(def)F_(p)(c^(')(0))=(c_(1)^(')(0),dots,c_(n)^(')(0))quad(c^(')(0)inT_(p)A^(n)) F_{p}: T_{p} \mathbb{A}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} F_{p}\left(c^{\prime}(0)\right)=\left(c_{1}^{\prime}(0), \ldots, c_{n}^{\prime}(0)\right) \quad\left(c^{\prime}(0) \in T_{p} \mathbb{A}^{n}\right) F p : T p A n → R n ⟺ def F p ( c ′ ( 0 ) ) = ( c 1 ′ ( 0 ) , … , c n ′ ( 0 ) ) ( c ′ ( 0 ) ∈ T p A n )
を通じて
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n と同一視される。それゆえ,
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の内積・から
F
p
F
p
F_(p) F_{p} F p を通じて
T
p
A
n
T
p
A
n
T_(p)A^(n) T_{p} \mathbb{A}^{n} T p A n の内積が定義される。 この内積を
(
g
E
)
p
g
E
p
(g_(E))_(p) \left(g_{\mathbb{E}}\right)_{p} ( g E ) p と表し, 各点
p
∈
A
n
p
∈
A
n
p inA^(n) p \in \mathbb{A}^{n} p ∈ A n に対し,
(
g
E
)
p
g
E
p
(g_(E))_(p) \left(g_{\mathbb{E}}\right)_{p} ( g E ) p を対応させる対応
g
E
g
E
g_(E) g_{\mathbb{E}} g E は
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n 上のリーマン計量とよばれるものの一つになる (一般に, 多様体上でリーマン計量という概念が定義される(第 3 章を参照)).
g
E
g
E
g_(E) g_{\mathbb{E}} g E は,
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n のユークリッド計量 (Euclidean metric) とよばれる。また, 組
(
A
n
,
g
E
)
A
n
,
g
E
(A^(n),g_(E)) \left(\mathbb{A}^{n}, g_{\mathbb{E}}\right) ( A n , g E ) は
n
n
n \boldsymbol{n} n 次元ユークリッド空間
(
n
(
n
(n (\boldsymbol{n} ( n -dimensional Euclidean space) と よばれ,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n と表される。
ユークリッド幾何学 (Euclidean geometry) とは,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 内の図形の性質で
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n の等長変換とよばれる変換たちで不変なものを調べる学問である. 等長変換の定義については, 5.4 節を参照のこと.
1.3 ベクトル値関数の微分・偏微分
この節において, ベクトル値関数, および, その微分可能性・偏微分可能性 を定義する. ある集合
D
D
D D D からベクトル空間
V
V
V V V への写像を
D
D
D D D 上の
V
V
V V V に値をと るベクトル値関数 (vector-valued function) という.
I
I
I I I を区間とし,
x
x
x \boldsymbol{x} x を
I
I
I I I 上の
n
n
n n n 次元数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n に値をとるベクトル値関数とする.
t
0
∈
I
t
0
∈
I
t_(0)in I t_{0} \in I t 0 ∈ I を固定する。ある
b
∈
R
n
b
∈
R
n
b inR^(n) \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{n} b ∈ R n に対し,
lim
t
→
t
0
‖
x
(
t
)
−
b
‖
=
0
lim
t
→
t
0
‖
x
(
t
)
−
b
‖
=
0
lim_(t rarrt_(0))||x(t)-b||=0 \lim _{t \rightarrow t_{0}}\|\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{b}\|=0 lim t → t 0 ‖ x ( t ) − b ‖ = 0 , つまり,
∀
ε
>
0
;
∃
δ
>
0
;
[
0
<
|
t
−
t
0
|
<
δ
⇒
‖
x
(
t
)
−
b
‖
<
ε
]
∀
ε
>
0
;
∃
δ
>
0
;
0
<
t
−
t
0
<
δ
⇒
‖
x
(
t
)
−
b
‖
<
ε
AA epsi > 0;EE delta > 0;[0 < |t-t_(0)| < delta=>||x(t)-b|| < epsi] \forall \varepsilon>0 ; \exists \delta>0 ;\left[0<\left|t-t_{0}\right|<\delta \Rightarrow\|\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{b}\|<\varepsilon\right] ∀ ε > 0 ; ∃ δ > 0 ; [ 0 < | t − t 0 | < δ ⇒ ‖ x ( t ) − b ‖ < ε ]
が成り立つとき,
t
→
t
0
t
→
t
0
t rarrt_(0) t \rightarrow t_{0} t → t 0 のとき,
x
(
t
)
x
(
t
)
x(t) x(t) x ( t ) は
b
b
b b b に収束する
(
x
(
t
)
(
x
(
t
)
(x(t) (x(t) ( x ( t ) converges to
b
b
b b b as
t
→
t
0
t
→
t
0
t rarrt_(0) t \rightarrow t_{0} t → t 0 ) といい,
b
b
b b b を極限値(limit value)という. この事実を
lim
t
→
t
0
x
(
t
)
=
b
lim
t
→
t
0
x
(
t
)
=
b
lim_(t rarrt_(0))x(t)=b \lim _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{b} lim t → t 0 x ( t ) = b と表す. 特に,
lim
t
→
t
0
x
(
t
)
=
x
(
t
0
)
lim
t
→
t
0
x
(
t
)
=
x
t
0
lim_(t rarrt_(0))x(t)=x(t_(0)) \lim _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) lim t → t 0 x ( t ) = x ( t 0 ) が成り立つとき, ベクトル値関数
x
x
x \boldsymbol{x} x は
t
0
t
0
t_(0) t_{0} t 0 において連続である(
x
x
x \boldsymbol{x} x is continuous at
t
0
t
0
t_(0) t_{0} t 0 ) という.
x
x
x \boldsymbol{x} x が
I
I
I I I の各点で連続であるとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x は連続である(
x
x
x \boldsymbol{x} x is continuous)という.
次に, ベクトル値関数
x
:
I
→
R
n
x
:
I
→
R
n
x:I rarrR^(n) \boldsymbol{x}: I \rightarrow \mathbb{R}^{n} x : I → R n の微分可能性を定義する. 極限
lim
t
→
t
0
x
(
t
)
−
x
(
t
0
)
t
−
t
0
lim
t
→
t
0
x
(
t
)
−
x
t
0
t
−
t
0
lim_(t rarrt_(0))(x(t)-x(t_(0)))/(t-t_(0)) \lim _{t \rightarrow t_{0}} \frac{\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}} lim t → t 0 x ( t ) − x ( t 0 ) t − t 0
が存在するとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x は
t
0
t
0
t_(0) t_{0} t 0 において微分可能である
(
x
(
x
(x (\boldsymbol{x} ( x is differentiable at
t
0
t
0
t_(0) \boldsymbol{t}_{\mathbf{0}} t 0 )という。また, この極限ベクトルは
x
x
x \boldsymbol{x} x の
t
0
t
0
t_(0) t_{0} t 0 における微分係数(derivative)とよばれ,
x
′
(
t
0
)
x
′
t
0
x^(')(t_(0)) \boldsymbol{x}^{\prime}\left(t_{0}\right) x ′ ( t 0 ) と表される。
x
x
x \boldsymbol{x} x が
I
I
I I I の各点で微分可能であるとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x は微分可能である(
x
x
x \boldsymbol{x} x is differentiable)といい, 各
t
∈
I
t
∈
I
t in I t \in I t ∈ I に対し,
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の ベクトル
x
′
(
t
)
x
′
(
t
)
x^(')(t) \boldsymbol{x}^{\prime}(t) x ′ ( t ) を対応させることにより定義される
I
I
I I I 上のベクトル値関数を
x
x
x \boldsymbol{x} x の導関数(derivative)という.
x
x
x \boldsymbol{x} x の導関数は
x
′
x
′
x^(') \boldsymbol{x}^{\prime} x ′ と表される.
次に, ベクトル値関数
x
:
I
→
R
n
x
:
I
→
R
n
x:I rarrR^(n) \boldsymbol{x}: I \rightarrow \mathbb{R}^{n} x : I → R n の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級性
(
r
≥
0
)
(
r
≥
0
)
(r >= 0) (r \geq 0) ( r ≥ 0 ) を定義しよう.
x
x
x \boldsymbol{x} x が微分可能で, その導関数
x
′
x
′
x^(') \boldsymbol{x}^{\prime} x ′ も微分可能であるとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x は 2 回微分可能で
と表し,
x
x
x \boldsymbol{x} x の 2 次導関数(the second derivative)という。さらに,
x
′
′
x
′
′
x^('') \boldsymbol{x}^{\prime \prime} x ′ ′ も微分可能であるとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x は 3 回微分可能である
(
x
(
x
(x (\boldsymbol{x} ( x is differentiable 3-times) といい,
x
′
′
x
′
′
x^('') \boldsymbol{x}^{\prime \prime} x ′ ′ の導関数
(
x
′
′
)
′
x
′
′
′
(x^(''))^(') \left(\boldsymbol{x}^{\prime \prime}\right)^{\prime} ( x ′ ′ ) ′ を
x
′
′
′
x
′
′
′
x^(''') \boldsymbol{x}^{\prime \prime \prime} x ′ ′ ′ または
x
(
3
)
x
(
3
)
x^((3)) \boldsymbol{x}^{(3)} x ( 3 ) と表し,
x
x
x \boldsymbol{x} x の 3 次導関数(the third derivative) という。以下, 帰納的に
x
x
x \boldsymbol{x} x の
k
k
k \boldsymbol{k} k 回微分可能性(differentiability
k
k
k \boldsymbol{k} k -times)
(
k
=
4
,
5
,
…
)
(
k
=
4
,
5
,
…
)
(k=4,5,dots) (k=4,5, \ldots) ( k = 4 , 5 , … ) , および
k
k
k \boldsymbol{k} k 次導関数(the
k
k
k \boldsymbol{k} k -th derivative)
x
(
k
)
(
k
=
4
,
5
,
…
)
x
(
k
)
(
k
=
4
,
5
,
…
)
x^((k))(k=4,5,dots) \boldsymbol{x}^{(k)}(k=4,5, \ldots) x ( k ) ( k = 4 , 5 , … ) を定義していくことができる.
x
x
x \boldsymbol{x} x が
r
r
r r r 回微分可能で
r
r
r r r 次導関数
x
(
r
)
x
(
r
)
x^((r)) \boldsymbol{x}^{(r)} x ( r ) が連続であるとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x は
r
r
r \boldsymbol{r} r 回連続微分可能である(
x
x
x \boldsymbol{x} x is continuously differentiable
r
r
r \boldsymbol{r} r -times), または
x
x
x \boldsymbol{x} x は
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 級である(
x
x
x \boldsymbol{x} x is of class
C
r
)
C
r
{:C^(r)) \left.C^{r}\right) C r ) という.
命題 1.3.1
x
(
t
)
=
(
x
1
(
t
)
,
…
,
x
n
(
t
)
)
(
t
∈
I
)
x
(
t
)
=
x
1
(
t
)
,
…
,
x
n
(
t
)
(
t
∈
I
)
x(t)=(x_(1)(t),dots,x_(n)(t))(t in I) \boldsymbol{x}(t)=\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)(t \in I) x ( t ) = ( x 1 ( t ) , … , x n ( t ) ) ( t ∈ I ) とするとき, 次の事実が成り 立つ.
(i)
x
x
x \boldsymbol{x} x が
k
k
k k k 回微分可能であることと各
x
i
(
t
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
x
i
(
t
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
x_(i)(t)(i=1,dots,n) x_{i}(t)(i=1, \ldots, n) x i ( t ) ( i = 1 , … , n ) が
k
k
k k k 回微分可能 であることは同値である。
(ii) 次式が成り立つ:
x
(
k
)
(
t
)
=
(
x
1
(
k
)
(
t
)
,
…
,
x
n
(
k
)
(
t
)
)
x
(
k
)
(
t
)
=
x
1
(
k
)
(
t
)
,
…
,
x
n
(
k
)
(
t
)
x^((k))(t)=(x_(1)^((k))(t),dots,x_(n)^((k))(t)) \boldsymbol{x}^{(k)}(t)=\left(x_{1}^{(k)}(t), \ldots, x_{n}^{(k)}(t)\right) x ( k ) ( t ) = ( x 1 ( k ) ( t ) , … , x n ( k ) ( t ) )
これらの事実は,
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n における加法, 実数倍, および, ノルムの定義から容易に示されるので,証明は省く。
次に,区間
I
I
I I I 上の
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n に値をとるベクトル値関数同士の和・内積, および,外積を定義する。
I
I
I I I 上の
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n に值をとるベクトル値関数
x
,
y
x
,
y
x,y \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} x , y に対し,
x
x
x \boldsymbol{x} x と
y
y
y \boldsymbol{y} y の和
x
+
y
x
+
y
x+y \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} x + y , および内積
x
⋅
y
x
⋅
y
x*y \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y} x ⋅ y を,各々,
(
x
+
y
)
(
t
)
:=
x
(
t
)
+
y
(
t
)
(
t
∈
I
)
(
x
⋅
y
)
(
t
)
:=
x
(
t
)
⋅
y
(
t
)
(
t
∈
I
)
(
x
+
y
)
(
t
)
:=
x
(
t
)
+
y
(
t
)
(
t
∈
I
)
(
x
⋅
y
)
(
t
)
:=
x
(
t
)
⋅
y
(
t
)
(
t
∈
I
)
{:[(x+y)(t):=x(t)+y(t)quad(t in I)],[(x*y)(t):=x(t)*y(t)quad(t in I)]:} \begin{aligned}
& (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})(t):=\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{y}(t) \quad(t \in I) \\
& (\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y})(t):=\boldsymbol{x}(t) \cdot \boldsymbol{y}(t) \quad(t \in I)
\end{aligned} ( x + y ) ( t ) := x ( t ) + y ( t ) ( t ∈ I ) ( x ⋅ y ) ( t ) := x ( t ) ⋅ y ( t ) ( t ∈ I )
によって定義する.
f
f
f f f を
I
I
I I I 上の関数とする.
x
x
x \boldsymbol{x} x の
f
f
f f f 倍
f
x
f
x
fx f \boldsymbol{x} f x を
(
f
x
)
(
t
)
:=
f
(
t
)
x
(
t
)
(
t
∈
I
)
(
f
x
)
(
t
)
:=
f
(
t
)
x
(
t
)
(
t
∈
I
)
(fx)(t):=f(t)x(t)quad(t in I) (f \boldsymbol{x})(t):=f(t) \boldsymbol{x}(t) \quad(t \in I) ( f x ) ( t ) := f ( t ) x ( t ) ( t ∈ I )
によって定義する。また,
I
I
I I I 上の
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n に値をとるべクトル値関数
x
1
,
…
,
x
n
−
1
x
1
,
…
,
x
n
−
1
x_(1),dots,x_(n-1) \boldsymbol{x}_{1}, \ldots, \boldsymbol{x}_{n-1} x 1 , … , x n − 1 に対し,それらの外積
x
1
×
⋯
×
x
n
−
1
x
1
×
⋯
×
x
n
−
1
x_(1)xx cdots xxx_(n-1) \boldsymbol{x}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{n-1} x 1 × ⋯ × x n − 1 を
(
x
1
×
⋯
×
x
n
−
1
)
(
t
)
:=
x
1
(
t
)
×
⋯
×
x
n
−
1
(
t
)
(
t
∈
I
)
x
1
×
⋯
×
x
n
−
1
(
t
)
:=
x
1
(
t
)
×
⋯
×
x
n
−
1
(
t
)
(
t
∈
I
)
(x_(1)xx cdots xxx_(n-1))(t):=x_(1)(t)xx cdots xxx_(n-1)(t)quad(t in I) \left(\boldsymbol{x}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{n-1}\right)(t):=\boldsymbol{x}_{1}(t) \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{n-1}(t) \quad(t \in I) ( x 1 × ⋯ × x n − 1 ) ( t ) := x 1 ( t ) × ⋯ × x n − 1 ( t ) ( t ∈ I )
によって定義する.
命題 1.3.2
x
,
y
,
f
,
x
1
,
…
,
x
n
−
1
x
,
y
,
f
,
x
1
,
…
,
x
n
−
1
x,y,f,x_(1),dots,x_(n-1) \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, f, \boldsymbol{x}_{1}, \ldots, \boldsymbol{x}_{n-1} x , y , f , x 1 , … , x n − 1 が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級ならば,
x
+
y
,
x
⋅
y
,
f
x
x
+
y
,
x
⋅
y
,
f
x
x+y,x*y,fx \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}, f \boldsymbol{x} x + y , x ⋅ y , f x , およ び
x
1
×
…
×
x
n
−
1
x
1
×
…
×
x
n
−
1
x_(1)xx dots xxx_(n-1) \boldsymbol{x}_{1} \times \ldots \times \boldsymbol{x}_{n-1} x 1 × … × x n − 1 も
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であり,次の関係式が成り立つ.
(i)
(
x
+
y
)
′
(
t
)
=
x
′
(
t
)
+
y
′
(
t
)
(
x
+
y
)
′
(
t
)
=
x
′
(
t
)
+
y
′
(
t
)
quad(x+y)^(')(t)=x^(')(t)+y^(')(t) \quad(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\prime}(t)=\boldsymbol{x}^{\prime}(t)+\boldsymbol{y}^{\prime}(t) ( x + y ) ′ ( t ) = x ′ ( t ) + y ′ ( t ) ;
(ii)
(
f
x
)
′
(
t
)
=
f
′
(
t
)
x
(
t
)
+
f
(
t
)
x
′
(
t
)
(
f
x
)
′
(
t
)
=
f
′
(
t
)
x
(
t
)
+
f
(
t
)
x
′
(
t
)
quad(fx)^(')(t)=f^(')(t)x(t)+f(t)x^(')(t) \quad(f \boldsymbol{x})^{\prime}(t)=f^{\prime}(t) \boldsymbol{x}(t)+f(t) \boldsymbol{x}^{\prime}(t) ( f x ) ′ ( t ) = f ′ ( t ) x ( t ) + f ( t ) x ′ ( t ) ;
(iii)
(
x
⋅
y
)
′
(
t
)
=
x
′
(
t
)
⋅
y
(
t
)
+
x
(
t
)
⋅
y
′
(
t
)
(
x
⋅
y
)
′
(
t
)
=
x
′
(
t
)
⋅
y
(
t
)
+
x
(
t
)
⋅
y
′
(
t
)
(x*y)^(')(t)=x^(')(t)*y(t)+x(t)*y^(')(t) (\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y})^{\prime}(t)=\boldsymbol{x}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{y}(t)+\boldsymbol{x}(t) \cdot \boldsymbol{y}^{\prime}(t) ( x ⋅ y ) ′ ( t ) = x ′ ( t ) ⋅ y ( t ) + x ( t ) ⋅ y ′ ( t ) ;
(iv)
(
x
1
×
⋯
×
x
n
−
1
)
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
−
1
(
x
1
(
t
)
×
⋯
×
x
i
′
(
t
)
×
⋯
×
x
n
−
1
(
t
)
)
x
1
×
⋯
×
x
n
−
1
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
−
1
x
1
(
t
)
×
⋯
×
x
i
′
(
t
)
×
⋯
×
x
n
−
1
(
t
)
(x_(1)xx cdots xxx_(n-1))^(')(t)=sum_(i=1)^(n-1)(x_(1)(t)xx cdots xxx_(i)^(')(t)xx cdots xxx_(n-1)(t)) \left(\boldsymbol{x}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{n-1}\right)^{\prime}(t)=\sum_{i=1}^{n-1}\left(\boldsymbol{x}_{1}(t) \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{i}^{\prime}(t) \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{n-1}(t)\right) ( x 1 × ⋯ × x n − 1 ) ′ ( t ) = ∑ i = 1 n − 1 ( x 1 ( t ) × ⋯ × x i ′ ( t ) × ⋯ × x n − 1 ( t ) ) .
証明
x
(
t
)
=
(
x
1
(
t
)
,
…
,
x
n
(
t
)
)
,
y
(
t
)
=
(
y
1
(
t
)
,
…
,
y
n
(
t
)
)
,
x
i
(
t
)
=
(
x
i
1
(
t
)
x
(
t
)
=
x
1
(
t
)
,
…
,
x
n
(
t
)
,
y
(
t
)
=
y
1
(
t
)
,
…
,
y
n
(
t
)
,
x
i
(
t
)
=
x
i
1
(
t
)
x(t)=(x_(1)(t),dots,x_(n)(t)),y(t)=(y_(1)(t),dots,y_(n)(t)),x_(i)(t)=(x_(i1)(t):} \boldsymbol{x}(t)=\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right), \boldsymbol{y}(t)=\left(y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)\right), \boldsymbol{x}_{i}(t)=\left(x_{i 1}(t)\right. x ( t ) = ( x 1 ( t ) , … , x n ( t ) ) , y ( t ) = ( y 1 ( t ) , … , y n ( t ) ) , x i ( t ) = ( x i 1 ( t ) ,
…
,
x
i
n
(
t
)
)
(
i
=
1
,
…
,
n
−
1
)
…
,
x
i
n
(
t
)
(
i
=
1
,
…
,
n
−
1
)
{: dots,x_(in)(t))(i=1,dots,n-1) \left.\ldots, x_{i n}(t)\right)(i=1, \ldots, n-1) … , x i n ( t ) ) ( i = 1 , … , n − 1 ) とする. ず,式(i)を示そう.
(
x
+
y
)
(
t
)
=
(
x
1
(
t
)
+
y
1
(
t
)
,
…
,
x
n
(
t
)
+
y
n
(
t
)
)
(
x
+
y
)
(
t
)
=
x
1
(
t
)
+
y
1
(
t
)
,
…
,
x
n
(
t
)
+
y
n
(
t
)
(x+y)(t)=(x_(1)(t)+y_(1)(t),dots,x_(n)(t)+y_(n)(t)) (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})(t)=\left(x_{1}(t)+y_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)+y_{n}(t)\right) ( x + y ) ( t ) = ( x 1 ( t ) + y 1 ( t ) , … , x n ( t ) + y n ( t ) )
となるので,命題1.3.1の (ii) より,
(
x
+
y
)
′
(
t
)
=
(
x
1
′
(
t
)
+
y
1
′
(
t
)
,
…
,
x
n
′
(
t
)
+
y
n
′
(
t
)
)
=
(
x
1
′
(
t
)
,
…
,
x
n
′
(
t
)
)
+
(
y
1
′
(
t
)
,
…
,
y
n
′
(
t
)
)
=
x
′
(
t
)
+
y
′
(
t
)
(
x
+
y
)
′
(
t
)
=
x
1
′
(
t
)
+
y
1
′
(
t
)
,
…
,
x
n
′
(
t
)
+
y
n
′
(
t
)
=
x
1
′
(
t
)
,
…
,
x
n
′
(
t
)
+
y
1
′
(
t
)
,
…
,
y
n
′
(
t
)
=
x
′
(
t
)
+
y
′
(
t
)
{:[(x+y)^(')(t)=(x_(1)^(')(t)+y_(1)^(')(t),dots,x_(n)^(')(t)+y_(n)^(')(t))],[=(x_(1)^(')(t),dots,x_(n)^(')(t))+(y_(1)^(')(t),dots,y_(n)^(')(t))=x^(')(t)+y^(')(t)]:} \begin{aligned}
(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\prime}(t) & =\left(x_{1}^{\prime}(t)+y_{1}^{\prime}(t), \ldots, x_{n}^{\prime}(t)+y_{n}^{\prime}(t)\right) \\
& =\left(x_{1}^{\prime}(t), \ldots, x_{n}^{\prime}(t)\right)+\left(y_{1}^{\prime}(t), \ldots, y_{n}^{\prime}(t)\right)=\boldsymbol{x}^{\prime}(t)+\boldsymbol{y}^{\prime}(t)
\end{aligned} ( x + y ) ′ ( t ) = ( x 1 ′ ( t ) + y 1 ′ ( t ) , … , x n ′ ( t ) + y n ′ ( t ) ) = ( x 1 ′ ( t ) , … , x n ′ ( t ) ) + ( y 1 ′ ( t ) , … , y n ′ ( t ) ) = x ′ ( t ) + y ′ ( t )
をえる. このように, 式 (i) が示される. 次に, 式 (ii)を示そう.
16 第 1 章 ベクトル解析におけるストークスの定理・変分公式
(
f
x
)
(
t
)
=
f
(
t
)
x
(
t
)
=
(
f
(
t
)
x
1
(
t
)
,
…
,
f
(
t
)
x
n
(
t
)
)
(
f
x
)
(
t
)
=
f
(
t
)
x
(
t
)
=
f
(
t
)
x
1
(
t
)
,
…
,
f
(
t
)
x
n
(
t
)
(fx)(t)=f(t)x(t)=(f(t)x_(1)(t),dots,f(t)x_(n)(t)) (f \boldsymbol{x})(t)=f(t) \boldsymbol{x}(t)=\left(f(t) x_{1}(t), \ldots, f(t) x_{n}(t)\right) ( f x ) ( t ) = f ( t ) x ( t ) = ( f ( t ) x 1 ( t ) , … , f ( t ) x n ( t ) )
となるので, 命題1.3.1の (ii)より,
(
f
x
)
′
(
t
)
=
(
f
′
(
t
)
x
1
(
t
)
+
f
(
t
)
x
1
′
(
t
)
,
…
,
f
′
(
t
)
x
n
(
t
)
+
f
(
t
)
x
n
′
(
t
)
)
=
f
′
(
t
)
(
x
1
(
t
)
,
…
,
x
n
(
t
)
)
+
f
(
t
)
(
x
1
′
(
t
)
,
…
,
x
n
′
(
t
)
)
=
f
′
(
t
)
x
(
t
)
+
f
(
t
)
x
′
(
t
)
(
f
x
)
′
(
t
)
=
f
′
(
t
)
x
1
(
t
)
+
f
(
t
)
x
1
′
(
t
)
,
…
,
f
′
(
t
)
x
n
(
t
)
+
f
(
t
)
x
n
′
(
t
)
=
f
′
(
t
)
x
1
(
t
)
,
…
,
x
n
(
t
)
+
f
(
t
)
x
1
′
(
t
)
,
…
,
x
n
′
(
t
)
=
f
′
(
t
)
x
(
t
)
+
f
(
t
)
x
′
(
t
)
{:[(fx)^(')(t)=(f^(')(t)x_(1)(t)+f(t)x_(1)^(')(t),dots,f^(')(t)x_(n)(t)+f(t)x_(n)^(')(t))],[=f^(')(t)(x_(1)(t),dots,x_(n)(t))+f(t)(x_(1)^(')(t),dots,x_(n)^(')(t))],[=f^(')(t)x(t)+f(t)x^(')(t)]:} \begin{aligned}
(f \boldsymbol{x})^{\prime}(t) & =\left(f^{\prime}(t) x_{1}(t)+f(t) x_{1}^{\prime}(t), \ldots, f^{\prime}(t) x_{n}(t)+f(t) x_{n}^{\prime}(t)\right) \\
& =f^{\prime}(t)\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)+f(t)\left(x_{1}^{\prime}(t), \ldots, x_{n}^{\prime}(t)\right) \\
& =f^{\prime}(t) \boldsymbol{x}(t)+f(t) \boldsymbol{x}^{\prime}(t)
\end{aligned} ( f x ) ′ ( t ) = ( f ′ ( t ) x 1 ( t ) + f ( t ) x 1 ′ ( t ) , … , f ′ ( t ) x n ( t ) + f ( t ) x n ′ ( t ) ) = f ′ ( t ) ( x 1 ( t ) , … , x n ( t ) ) + f ( t ) ( x 1 ′ ( t ) , … , x n ′ ( t ) ) = f ′ ( t ) x ( t ) + f ( t ) x ′ ( t )
をえる. このように, 式 (ii) が示される. 次に, 式 (iii) を示そう.
(
x
⋅
y
)
(
t
)
=
x
(
t
)
⋅
y
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
(
t
)
y
i
(
t
)
(
x
⋅
y
)
(
t
)
=
x
(
t
)
⋅
y
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
(
t
)
y
i
(
t
)
(x*y)(t)=x(t)*y(t)=sum_(i=1)^(n)x_(i)(t)y_(i)(t) (\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y})(t)=\boldsymbol{x}(t) \cdot \boldsymbol{y}(t)=\sum_{i=1}^{n} x_{i}(t) y_{i}(t) ( x ⋅ y ) ( t ) = x ( t ) ⋅ y ( t ) = ∑ i = 1 n x i ( t ) y i ( t )
となるので,
(
x
⋅
y
)
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
′
(
t
)
y
i
(
t
)
+
x
i
(
t
)
y
i
′
(
t
)
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
′
(
t
)
y
i
(
t
)
+
∑
i
=
1
n
x
i
(
t
)
y
i
′
(
t
)
=
x
′
(
t
)
⋅
y
(
t
)
+
x
(
t
)
⋅
y
′
(
t
)
(
x
⋅
y
)
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
′
(
t
)
y
i
(
t
)
+
x
i
(
t
)
y
i
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
′
(
t
)
y
i
(
t
)
+
∑
i
=
1
n
x
i
(
t
)
y
i
′
(
t
)
=
x
′
(
t
)
⋅
y
(
t
)
+
x
(
t
)
⋅
y
′
(
t
)
{:[(x*y)^(')(t)=sum_(i=1)^(n)(x_(i)^(')(t)y_(i)(t)+x_(i)(t)y_(i)^(')(t))],[=sum_(i=1)^(n)x_(i)^(')(t)y_(i)(t)+sum_(i=1)^(n)x_(i)(t)y_(i)^(')(t)],[=x^(')(t)*y(t)+x(t)*y^(')(t)]:} \begin{aligned}
(\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y})^{\prime}(t) & =\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}^{\prime}(t) y_{i}(t)+x_{i}(t) y_{i}^{\prime}(t)\right) \\
& =\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(t) y_{i}(t)+\sum_{i=1}^{n} x_{i}(t) y_{i}^{\prime}(t) \\
& =\boldsymbol{x}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{y}(t)+\boldsymbol{x}(t) \cdot \boldsymbol{y}^{\prime}(t)
\end{aligned} ( x ⋅ y ) ′ ( t ) = ∑ i = 1 n ( x i ′ ( t ) y i ( t ) + x i ( t ) y i ′ ( t ) ) = ∑ i = 1 n x i ′ ( t ) y i ( t ) + ∑ i = 1 n x i ( t ) y i ′ ( t ) = x ′ ( t ) ⋅ y ( t ) + x ( t ) ⋅ y ′ ( t )
をえる. このように, 式 (iii) が示される。最後に, 式 (iv)を示そう. 簡単の ため,
n
=
3
n
=
3
n=3 n=3 n = 3 の場合を考えよう. この場合,
(
x
1
×
x
2
)
(
t
)
=
x
1
(
t
)
×
x
2
(
t
)
=
(
|
x
12
(
t
)
x
13
(
t
)
x
22
(
t
)
x
23
(
t
)
|
,
|
x
13
(
t
)
x
11
(
t
)
x
23
(
t
)
x
21
(
t
)
|
,
|
x
11
(
t
)
x
12
(
t
)
x
21
(
t
)
x
22
(
t
)
|
)
x
1
×
x
2
(
t
)
=
x
1
(
t
)
×
x
2
(
t
)
=
x
12
(
t
)
x
13
(
t
)
x
22
(
t
)
x
23
(
t
)
,
x
13
(
t
)
x
11
(
t
)
x
23
(
t
)
x
21
(
t
)
,
x
11
(
t
)
x
12
(
t
)
x
21
(
t
)
x
22
(
t
)
{:[(x_(1)xxx_(2))(t)],[=x_(1)(t)xxx_(2)(t)],[=(|[x_(12)(t),x_(13)(t)],[x_(22)(t),x_(23)(t)]|,|[x_(13)(t),x_(11)(t)],[x_(23)(t),x_(21)(t)]|,|[x_(11)(t),x_(12)(t)],[x_(21)(t),x_(22)(t)]|)]:} \begin{aligned}
& \left(\boldsymbol{x}_{1} \times \boldsymbol{x}_{2}\right)(t) \\
= & \boldsymbol{x}_{1}(t) \times \boldsymbol{x}_{2}(t) \\
= & \left(\left|\begin{array}{ll}
x_{12}(t) & x_{13}(t) \\
x_{22}(t) & x_{23}(t)
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}
x_{13}(t) & x_{11}(t) \\
x_{23}(t) & x_{21}(t)
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}
x_{11}(t) & x_{12}(t) \\
x_{21}(t) & x_{22}(t)
\end{array}\right|\right)
\end{aligned} ( x 1 × x 2 ) ( t ) = x 1 ( t ) × x 2 ( t ) = ( | x 12 ( t ) x 13 ( t ) x 22 ( t ) x 23 ( t ) | , | x 13 ( t ) x 11 ( t ) x 23 ( t ) x 21 ( t ) | , | x 11 ( t ) x 12 ( t ) x 21 ( t ) x 22 ( t ) | )
となるので, 命題 1.3.1より,
(
x
1
×
x
2
)
′
(
t
)
=
(
|
x
12
′
(
t
)
x
13
′
(
t
)
x
22
(
t
)
x
23
(
t
)
|
+
|
x
12
(
t
)
x
13
(
t
)
x
22
′
(
t
)
x
23
′
(
t
)
|
,
|
x
13
′
(
t
)
x
11
′
(
t
)
x
23
(
t
)
x
21
(
t
)
|
+
|
x
13
(
t
)
x
11
(
t
)
x
23
′
(
t
)
x
21
′
(
t
)
|
|
x
11
′
(
t
)
x
12
′
(
t
)
x
21
(
t
)
x
22
(
t
)
|
+
|
x
11
(
t
)
x
12
(
t
)
x
21
′
(
t
)
x
22
′
(
t
)
|
)
x
1
×
x
2
′
(
t
)
=
x
12
′
(
t
)
x
13
′
(
t
)
x
22
(
t
)
x
23
(
t
)
+
x
12
(
t
)
x
13
(
t
)
x
22
′
(
t
)
x
23
′
(
t
)
,
x
13
′
(
t
)
x
11
′
(
t
)
x
23
(
t
)
x
21
(
t
)
+
x
13
(
t
)
x
11
(
t
)
x
23
′
(
t
)
x
21
′
(
t
)
x
11
′
(
t
)
x
12
′
(
t
)
x
21
(
t
)
x
22
(
t
)
+
x
11
(
t
)
x
12
(
t
)
x
21
′
(
t
)
x
22
′
(
t
)
{:[(x_(1)xxx_(2))^(')(t)],[=(|[x_(12)^(')(t),x_(13)^(')(t)],[x_(22)(t),x_(23)(t)]|+|[x_(12)(t),x_(13)(t)],[x_(22)^(')(t),x_(23)^(')(t)]|,|[x_(13)^(')(t),x_(11)^(')(t)],[x_(23)(t),x_(21)(t)]|+|[x_(13)(t),x_(11)(t)],[x_(23)^(')(t),x_(21)^(')(t)]|:}],[{:|[x_(11)^(')(t),x_(12)^(')(t)],[x_(21)(t),x_(22)(t)]|+|[x_(11)(t),x_(12)(t)],[x_(21)^(')(t),x_(22)^(')(t)]|)]:} \begin{aligned}
& \left(\boldsymbol{x}_{1} \times \boldsymbol{x}_{2}\right)^{\prime}(t) \\
& =\left(\left|\begin{array}{cc}
x_{12}^{\prime}(t) & x_{13}^{\prime}(t) \\
x_{22}(t) & x_{23}(t)
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}
x_{12}(t) & x_{13}(t) \\
x_{22}^{\prime}(t) & x_{23}^{\prime}(t)
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}
x_{13}^{\prime}(t) & x_{11}^{\prime}(t) \\
x_{23}(t) & x_{21}(t)
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}
x_{13}(t) & x_{11}(t) \\
x_{23}^{\prime}(t) & x_{21}^{\prime}(t)
\end{array}\right|\right. \\
& \left.\left|\begin{array}{cc}
x_{11}^{\prime}(t) & x_{12}^{\prime}(t) \\
x_{21}(t) & x_{22}(t)
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}
x_{11}(t) & x_{12}(t) \\
x_{21}^{\prime}(t) & x_{22}^{\prime}(t)
\end{array}\right|\right)
\end{aligned} ( x 1 × x 2 ) ′ ( t ) = ( | x 12 ′ ( t ) x 13 ′ ( t ) x 22 ( t ) x 23 ( t ) | + | x 12 ( t ) x 13 ( t ) x 22 ′ ( t ) x 23 ′ ( t ) | , | x 13 ′ ( t ) x 11 ′ ( t ) x 23 ( t ) x 21 ( t ) | + | x 13 ( t ) x 11 ( t ) x 23 ′ ( t ) x 21 ′ ( t ) | | x 11 ′ ( t ) x 12 ′ ( t ) x 21 ( t ) x 22 ( t ) | + | x 11 ( t ) x 12 ( t ) x 21 ′ ( t ) x 22 ′ ( t ) | )
=
x
1
′
(
t
)
×
x
2
(
t
)
+
x
1
(
t
)
×
x
2
′
(
t
)
=
x
1
′
(
t
)
×
x
2
(
t
)
+
x
1
(
t
)
×
x
2
′
(
t
)
=x_(1)^(')(t)xxx_(2)(t)+x_(1)(t)xxx_(2)^(')(t) =\boldsymbol{x}_{1}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{x}_{2}(t)+\boldsymbol{x}_{1}(t) \times \boldsymbol{x}_{2}^{\prime}(t) = x 1 ′ ( t ) × x 2 ( t ) + x 1 ( t ) × x 2 ′ ( t )
をえる. このように,
n
=
3
n
=
3
n=3 n=3 n = 3 の場合に, 式 (iv) が示される.
次に, 多変数のベクトル値関数の偏微分可能性を定義する。
D
D
D D D を
R
m
R
m
R^(m) \mathbb{R}^{m} R m (単な る
m
m
m m m 個の
R
R
R \mathbb{R} R の直積集合)の領域とし,
x
x
x \boldsymbol{x} x を
D
D
D D D 上の
n
n
n n n 次元数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n に値をとる
m
m
m m m 変数ベクトル値関数とする.
a
=
(
a
1
,
…
,
a
m
)
∈
D
a
=
a
1
,
…
,
a
m
∈
D
a=(a_(1),dots,a_(m))in D \boldsymbol{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right) \in D a = ( a 1 , … , a m ) ∈ D を固定す る。ある
b
∈
R
n
b
∈
R
n
b inR^(n) \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{n} b ∈ R n に対し,
lim
(
u
1
,
…
,
u
m
)
→
a
‖
x
(
u
1
,
…
,
u
m
)
−
b
‖
=
0
lim
u
1
,
…
,
u
m
→
a
x
u
1
,
…
,
u
m
−
b
=
0
lim_((u_(1),dots,u_(m))rarr a)||x(u_(1),dots,u_(m))-b||=0 \lim _{\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \rightarrow \boldsymbol{a}}\left\|\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)-\boldsymbol{b}\right\|=0 lim ( u 1 , … , u m ) → a ‖ x ( u 1 , … , u m ) − b ‖ = 0 , つまり
∀
ε
>
0
;
∃
δ
>
0
;
[
0
<
‖
(
u
1
,
…
,
u
m
)
−
a
‖
<
δ
⇒
‖
x
(
u
1
,
…
,
u
m
)
−
b
‖
<
ε
]
∀
ε
>
0
;
∃
δ
>
0
;
0
<
u
1
,
…
,
u
m
−
a
<
δ
⇒
x
u
1
,
…
,
u
m
−
b
<
ε
AA epsi > 0;EE delta > 0;[0 < ||(u_(1),dots,u_(m))-a|| < delta=>||x(u_(1),dots,u_(m))-b|| < epsi] \forall \varepsilon>0 ; \exists \delta>0 ;\left[0<\left\|\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)-\boldsymbol{a}\right\|<\delta \Rightarrow\left\|\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)-\boldsymbol{b}\right\|<\varepsilon\right] ∀ ε > 0 ; ∃ δ > 0 ; [ 0 < ‖ ( u 1 , … , u m ) − a ‖ < δ ⇒ ‖ x ( u 1 , … , u m ) − b ‖ < ε ] が成り立つとき,
(
u
1
,
…
,
u
m
)
→
a
u
1
,
…
,
u
m
→
a
(u_(1),dots,u_(m))rarr a \left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \rightarrow \boldsymbol{a} ( u 1 , … , u m ) → a のとき,
x
(
u
1
,
…
,
u
m
)
x
u
1
,
…
,
u
m
x(u_(1),dots,u_(m)) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) x ( u 1 , … , u m ) は
b
b
b \boldsymbol{b} b に収束する といい,
b
b
b \boldsymbol{b} b を極限値という. この事実を
lim
(
u
1
,
…
,
u
m
)
→
a
x
(
u
1
,
…
,
u
m
)
=
b
lim
u
1
,
…
,
u
m
→
a
x
u
1
,
…
,
u
m
=
b
lim_((u_(1),dots,u_(m))rarr a)x(u_(1),dots,u_(m))=b \lim _{\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \rightarrow \boldsymbol{a}} \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)=\boldsymbol{b} lim ( u 1 , … , u m ) → a x ( u 1 , … , u m ) = b と表 す. 特に,
lim
(
u
1
,
…
,
u
m
)
→
a
x
(
u
1
,
…
,
u
m
)
=
x
(
a
1
,
…
,
a
m
)
lim
u
1
,
…
,
u
m
→
a
x
u
1
,
…
,
u
m
=
x
a
1
,
…
,
a
m
lim_((u_(1),dots,u_(m))rarr a)x(u_(1),dots,u_(m))=x(a_(1),dots,a_(m)) \lim _{\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \rightarrow \boldsymbol{a}} \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)=\boldsymbol{x}\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right) lim ( u 1 , … , u m ) → a x ( u 1 , … , u m ) = x ( a 1 , … , a m ) が成り立つとき, べク トル値関数
x
x
x \boldsymbol{x} x は
a
a
a \boldsymbol{a} a において連続であるという。
x
x
x \boldsymbol{x} x が
D
D
D D D の各点で連続であると き,
x
x
x \boldsymbol{x} x は連続であるという.
次に,
m
m
m m m 変数ベクトル値関数
x
:
D
→
R
n
x
:
D
→
R
n
x:D rarrR^(n) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{R}^{n} x : D → R n の偏微分可能性を定義する.
a
=
(
a
1
,
…
,
a
m
)
∈
D
a
=
a
1
,
…
,
a
m
∈
D
a=(a_(1),dots,a_(m))in D \boldsymbol{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right) \in D a = ( a 1 , … , a m ) ∈ D を固定する. 極限
lim
u
i
→
a
i
x
(
a
1
,
…
,
a
i
−
1
,
u
i
,
a
i
+
1
,
…
,
a
m
)
−
x
(
a
1
,
…
,
a
m
)
u
i
−
a
i
lim
u
i
→
a
i
x
a
1
,
…
,
a
i
−
1
,
u
i
,
a
i
+
1
,
…
,
a
m
−
x
a
1
,
…
,
a
m
u
i
−
a
i
lim_(u_(i)rarra_(i))(x(a_(1),dots,a_(i-1),u_(i),a_(i+1),dots,a_(m))-x(a_(1),dots,a_(m)))/(u_(i)-a_(i)) \lim _{u_{i} \rightarrow a_{i}} \frac{\boldsymbol{x}\left(a_{1}, \ldots, a_{i-1}, u_{i}, a_{i+1}, \ldots, a_{m}\right)-\boldsymbol{x}\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right)}{u_{i}-a_{i}} lim u i → a i x ( a 1 , … , a i − 1 , u i , a i + 1 , … , a m ) − x ( a 1 , … , a m ) u i − a i
が存在するとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x は
a
a
a \boldsymbol{a} a において
u
i
u
i
u_(i) u_{i} u i に関して偏微分可能である(
x
x
x x x is partially differentiable with respect to
u
i
u
i
u_(i) u_{i} u i at
a
a
a a a ) という. また, この極限ベクトルは
x
x
x \boldsymbol{x} x の
a
a
a \boldsymbol{a} a における偏微分係数(partial derivative)とよばれ,
∂
x
∂
u
i
(
a
)
∂
x
∂
u
i
(
a
)
(del x)/(delu_(i))(a) \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}}(\boldsymbol{a}) ∂ x ∂ u i ( a ) , または
(
∂
x
∂
u
i
)
a
∂
x
∂
u
i
a
((del x)/(delu_(i)))_(a) \left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}}\right)_{a} ( ∂ x ∂ u i ) a と表される.
x
x
x \boldsymbol{x} x が
D
D
D D D の各点で
u
i
u
i
u_(i) u_{i} u i に関して偏微分可能であるとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x は
u
i
u
i
u_(i) \boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}} u i に関して偏微分可能である(
x
x
x \boldsymbol{x} x is partially differ-
entiable with respect to
u
i
)
u
i
{:u_(i)) \left.\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}\right) u i ) といい, 各
(
u
1
,
…
,
u
m
)
∈
D
u
1
,
…
,
u
m
∈
D
(u_(1),dots,u_(m))in D \left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \in D ( u 1 , … , u m ) ∈ D に対し,
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の ベクトル
∂
x
∂
u
i
(
u
1
,
…
,
u
m
)
∂
x
∂
u
i
u
1
,
…
,
u
m
(del x)/(delu_(i))(u_(1),dots,u_(m)) \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) ∂ x ∂ u i ( u 1 , … , u m ) を対応させることにより定義される
D
D
D D D 上の
m
m
m m m 変数 ベクトル値関数を
x
x
x \boldsymbol{x} x の
u
i
u
i
u_(i) u_{i} u i に関する偏導関数(partial derivative)という.
x
x
x \boldsymbol{x} x の
u
i
u
i
u_(i) u_{i} u i に関する偏導関数は
∂
x
∂
u
i
∂
x
∂
u
i
(del x)/(delu_(i)) \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}} ∂ x ∂ u i と表される.
次に,
m
m
m m m 変数ベクトル値関数
x
:
D
→
R
n
x
:
D
→
R
n
x:D rarrR^(n) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{R}^{n} x : D → R n の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級性(
r
≥
0
)
r
≥
0
)
r >= 0) r \geq 0 ) ) r ≥ 0 ) を定義す る.
x
x
x \boldsymbol{x} x が
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m に関して偏微分可能で, その偏導関数
∂
x
∂
u
i
(
i
=
1
,
…
,
m
)
∂
x
∂
u
i
(
i
=
1
,
…
,
m
)
(del x)/(delu_(i))(i=1,dots,m) \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}}(i=1, \ldots, m) ∂ x ∂ u i ( i = 1 , … , m ) も
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m に関して偏微分可能であるとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x は 2 回偏微分可能である(
x
x
x \boldsymbol{x} x partially differentiable twice) といい,
∂
x
∂
u
i
(
i
=
1
,
…
,
m
)
∂
x
∂
u
i
(
i
=
1
,
…
,
m
)
(del x)/(delu_(i))(i=1,dots,m) \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}}(i=1, \ldots, m) ∂ x ∂ u i ( i = 1 , … , m ) の
u
j
u
j
u_(j) u_{j} u j に関する偏導関数を
∂
2
x
∂
u
j
∂
u
i
∂
2
x
∂
u
j
∂
u
i
(del^(2)x)/(delu_(j)delu_(i)) \frac{\partial^{2} \boldsymbol{x}}{\partial u_{j} \partial u_{i}} ∂ 2 x ∂ u j ∂ u i と表し,
x
x
x \boldsymbol{x} x の 2 次偏導関数(the second partial derivative) という. さらに,
∂
2
x
∂
u
j
∂
u
i
(
1
≤
i
,
j
≤
m
)
∂
2
x
∂
u
j
∂
u
i
(
1
≤
i
,
j
≤
m
)
(del^(2)x)/(delu_(j)delu_(i))(1 <= i,j <= m) \frac{\partial^{2} \boldsymbol{x}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}(1 \leq i, j \leq m) ∂ 2 x ∂ u j ∂ u i ( 1 ≤ i , j ≤ m ) が
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m に関して偏微分可能で あるとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x は3回偏微分可能である(
x
x
x \boldsymbol{x} x is partially differentiable 3-times) といい,
∂
2
x
∂
u
j
∂
u
i
∂
2
x
∂
u
j
∂
u
i
(del^(2)x)/(delu_(j)delu_(i)) \frac{\partial^{2} \boldsymbol{x}}{\partial u_{j} \partial u_{i}} ∂ 2 x ∂ u j ∂ u i の
u
k
u
k
u_(k) u_{k} u k に関する偏導関数を
∂
3
x
∂
u
k
∂
u
j
∂
u
i
∂
3
x
∂
u
k
∂
u
j
∂
u
i
(del^(3)x)/(delu_(k)delu_(j)delu_(i)) \frac{\partial^{3} \boldsymbol{x}}{\partial u_{k} \partial u_{j} \partial u_{i}} ∂ 3 x ∂ u k ∂ u j ∂ u i と表し,
x
x
x \boldsymbol{x} x の 3 次偏導関数(the third partial derivative)という. 以下, 帰納的に
x
x
x \boldsymbol{x} x の
l
l
l \boldsymbol{l} l 回偏微分可能性(partially differentiability
l
l
l \boldsymbol{l} l -times)
(
l
=
4
,
5
,
…
)
(
l
=
4
,
5
,
…
)
(l=4,5,dots) (l=4,5, \ldots) ( l = 4 , 5 , … ) , および
l
l
l \boldsymbol{l} l 次偏導関数(the
l
l
l \boldsymbol{l} l -th partial derivative)
∂
l
x
∂
u
i
l
…
∂
u
i
1
(
l
=
4
,
5
,
…
)
∂
l
x
∂
u
i
l
…
∂
u
i
1
(
l
=
4
,
5
,
…
)
(del^(l)x)/(delu_(i_(l))dots delu_(i_(1)))(l=4,5,dots) \frac{\partial^{l} \boldsymbol{x}}{\partial u_{i_{l}} \ldots \partial u_{i_{1}}}(l=4,5, \ldots) ∂ l x ∂ u i l … ∂ u i 1 ( l = 4 , 5 , … ) を定義 していくことができる.
x
x
x \boldsymbol{x} x が
r
r
r r r 回偏微分可能で
r
r
r r r 階導関数
∂
r
x
∂
u
i
r
⋯
∂
u
i
1
(
1
≤
∂
r
x
∂
u
i
r
⋯
∂
u
i
1
(
1
≤
(del^(r)x)/(delu_(i_(r))cdots delu_(i_(1)))(1 <= \frac{\partial^{r} \boldsymbol{x}}{\partial u_{i_{r}} \cdots \partial u_{i_{1}}}(1 \leq ∂ r x ∂ u i r ⋯ ∂ u i 1 ( 1 ≤
i
1
,
…
,
i
r
≤
m
)
i
1
,
…
,
i
r
≤
m
{:i_(1),dots,i_(r) <= m) \left.i_{1}, \ldots, i_{r} \leq m\right) i 1 , … , i r ≤ m ) が連続であるとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x は
r
r
r \boldsymbol{r} r 回連続偏微分可能である(
x
x
x \boldsymbol{x} x is continuously partially differentiable
r
r
r \boldsymbol{r} r -times), または,
x
x
x \boldsymbol{x} x は
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 級で ある(
x
x
x \boldsymbol{x} x is of class
C
r
)
C
r
)
C^(r)) C^{r} ) ) C r ) という.
命題 1.3.3
x
(
u
1
,
…
,
u
m
)
=
(
x
1
(
u
1
,
…
,
u
m
)
,
…
,
x
n
(
u
1
,
…
,
u
m
)
)
x
u
1
,
…
,
u
m
=
x
1
u
1
,
…
,
u
m
,
…
,
x
n
u
1
,
…
,
u
m
x(u_(1),dots,u_(m))=(x_(1)(u_(1),dots,u_(m)),dots,x_(n)(u_(1),dots,u_(m))) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)=\left(x_{1}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right), \ldots, x_{n}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)\right) x ( u 1 , … , u m ) = ( x 1 ( u 1 , … , u m ) , … , x n ( u 1 , … , u m ) )
(
(
u
1
,
…
,
u
m
)
∈
D
)
u
1
,
…
,
u
m
∈
D
((u_(1),dots,u_(m))in D) \left(\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \in D\right) ( ( u 1 , … , u m ) ∈ D ) とするとき, 次の事実が成り立つ.
(i)
x
x
x \boldsymbol{x} x が
k
k
k k k 回偏微分可能であることと各
x
i
(
u
1
,
…
,
u
m
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
x
i
u
1
,
…
,
u
m
(
i
=
1
,
…
,
n
)
x_(i)(u_(1),dots,u_(m))(i=1,dots,n) x_{i}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)(i=1, \ldots, n) x i ( u 1 , … , u m ) ( i = 1 , … , n ) が
k
k
k k k 回偏微分可能であることは同値である.
(ii) 次式が成り立つ:
∂
k
x
∂
u
i
k
⋯
∂
u
i
1
=
(
∂
k
x
1
∂
u
i
k
⋯
∂
u
i
1
,
…
,
∂
k
x
n
∂
u
i
k
⋯
∂
u
i
1
)
∂
k
x
∂
u
i
k
⋯
∂
u
i
1
=
∂
k
x
1
∂
u
i
k
⋯
∂
u
i
1
,
…
,
∂
k
x
n
∂
u
i
k
⋯
∂
u
i
1
(del^(k)x)/(delu_(i_(k))cdots delu_(i_(1)))=((del^(k)x_(1))/(delu_(i_(k))cdots delu_(i_(1))),dots,(del^(k)x_(n))/(delu_(i_(k))cdots delu_(i_(1)))) \frac{\partial^{k} \boldsymbol{x}}{\partial u_{i_{k}} \cdots \partial u_{i_{1}}}=\left(\frac{\partial^{k} x_{1}}{\partial u_{i_{k}} \cdots \partial u_{i_{1}}}, \ldots, \frac{\partial^{k} x_{n}}{\partial u_{i_{k}} \cdots \partial u_{i_{1}}}\right) ∂ k x ∂ u i k ⋯ ∂ u i 1 = ( ∂ k x 1 ∂ u i k ⋯ ∂ u i 1 , … , ∂ k x n ∂ u i k ⋯ ∂ u i 1 )
問 1.3.1
0
<
θ
<
π
2
0
<
θ
<
π
2
0 < theta < (pi)/(2) 0<\theta<\frac{\pi}{2} 0 < θ < π 2 とする.
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級ベクトル値関数
x
θ
:
(
0
,
π
2
)
→
R
3
x
θ
:
0
,
π
2
→
R
3
x_(theta):(0,(pi)/(2))rarrR^(3) \boldsymbol{x}_{\theta}:\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{3} x θ : ( 0 , π 2 ) → R 3 を
x
θ
(
t
)
:=
(
cos
t
cos
θ
,
cos
t
sin
θ
,
sin
t
)
(
0
<
t
<
π
2
)
x
θ
(
t
)
:=
(
cos
t
cos
θ
,
cos
t
sin
θ
,
sin
t
)
0
<
t
<
π
2
x_(theta)(t):=(cos t cos theta,cos t sin theta,sin t)quad(0 < t < (pi)/(2)) \boldsymbol{x}_{\theta}(t):=(\cos t \cos \theta, \cos t \sin \theta, \sin t) \quad\left(0<t<\frac{\pi}{2}\right) x θ ( t ) := ( cos t cos θ , cos t sin θ , sin t ) ( 0 < t < π 2 )
によって定義する.
(i)
x
θ
,
x
θ
′
x
θ
,
x
θ
′
x_(theta),x_(theta)^(') \boldsymbol{x}_{\theta}, \boldsymbol{x}_{\theta}^{\prime} x θ , x θ ′ を図示せよ.
(ii)
x
θ
′
x
θ
′
x_(theta)^(') \boldsymbol{x}_{\theta}^{\prime} x θ ′ を計算せよ.
(iii)(i)で描いた図と (ii) の計算結果が整合していることを確認せよ.
問 1.3.2
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級ベクトル値関数
x
:
(
0
,
π
2
)
2
→
R
3
x
:
0
,
π
2
2
→
R
3
x:(0,(pi)/(2))^(2)rarrR^(3) \boldsymbol{x}:\left(0, \frac{\pi}{2}\right)^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} x : ( 0 , π 2 ) 2 → R 3 を
x
(
u
1
,
u
2
)
:=
(
cos
u
1
cos
u
2
,
cos
u
1
sin
u
2
,
sin
u
1
)
(
(
u
1
,
u
2
)
∈
(
0
,
π
2
)
2
)
x
u
1
,
u
2
:=
cos
u
1
cos
u
2
,
cos
u
1
sin
u
2
,
sin
u
1
u
1
,
u
2
∈
0
,
π
2
2
x(u_(1),u_(2)):=(cos u_(1)cos u_(2),cos u_(1)sin u_(2),sin u_(1))quad((u_(1),u_(2))in(0,(pi)/(2))^(2)) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right):=\left(\cos u_{1} \cos u_{2}, \cos u_{1} \sin u_{2}, \sin u_{1}\right) \quad\left(\left(u_{1}, u_{2}\right) \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)^{2}\right) x ( u 1 , u 2 ) := ( cos u 1 cos u 2 , cos u 1 sin u 2 , sin u 1 ) ( ( u 1 , u 2 ) ∈ ( 0 , π 2 ) 2 )
によって定義する.
(i)
x
x
x \boldsymbol{x} x を図示せよ.
(ii)
∂
x
∂
u
1
,
∂
x
∂
u
2
∂
x
∂
u
1
,
∂
x
∂
u
2
(del x)/(delu_(1)),(del x)/(delu_(2)) \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{1}}, \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{2}} ∂ x ∂ u 1 , ∂ x ∂ u 2 を図示せよ.
(iii)
∂
x
∂
u
1
,
∂
x
∂
u
2
∂
x
∂
u
1
,
∂
x
∂
u
2
(del x)/(delu_(1)),(del x)/(delu_(2)) \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{1}}, \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{2}} ∂ x ∂ u 1 , ∂ x ∂ u 2 を計算せよ.
(iv)(ii)で描いた図と (iii) の計算結果が整合していることを確認せよ.
1.4 スカラー場・ベクトル場の線積分
この節において, まず,
n
n
n n n 次元ユークリッド空間
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n の領域(または閉領域)
D
D
D D D 上のスカラー場, およびベクトル場を定義し、それらの区分的に滑ら かな曲線に沿う線積分を定義することにする。Dを
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n の領域(=連結開集合),または閉領域(=領域の閉包)とする。
D
D
D D D の各点
p
p
p p p に対し,実数(=ス カラー)
f
p
f
p
f_(p) f_{p} f p を対応させる対応
f
f
f f f を
D
D
D D D 上のスカラー場(scalar field)という (明らかに,
D
D
D D D 上のスカラー場は
D
D
D D D 上の関数にすぎない)。た,
D
D
D D D の各点
p
p
p p p に対し,
T
p
A
n
T
p
A
n
T_(p)A^(n) T_{p} \mathbb{A}^{n} T p A n のベクトル
X
p
X
p
X_(p) \boldsymbol{X}_{p} X p を対応させる対応
X
X
X \boldsymbol{X} X を
D
D
D D D 上のベクトル場 (vector field) という.
T
A
n
:=
⨿
p
∈
E
n
T
p
A
n
T
A
n
:=
⨿
p
∈
E
n
T
p
A
n
TA^(n):=⨿_(p inE^(n))T_(p)A^(n) T \mathbb{A}^{n}:=\underset{p \in \mathbb{E}^{n}}{\amalg} T_{p} \mathbb{A}^{n} T A n := ⨿ p ∈ E n T p A n とおく.
T
A
n
T
A
n
TA^(n) T \mathbb{A}^{n} T A n から
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n への自然な 射影を
π
π
pi \pi π (つまり,
π
(
T
p
A
n
)
=
{
p
}
(
p
∈
E
n
)
)
π
T
p
A
n
=
{
p
}
p
∈
E
n
{: pi(T_(p)A^(n))={p}(p inE^(n))) \left.\pi\left(T_{p} \mathbb{A}^{n}\right)=\{p\}\left(p \in \mathbb{E}^{n}\right)\right) π ( T p A n ) = { p } ( p ∈ E n ) ) とするとき,
π
:
T
A
n
→
E
n
π
:
T
A
n
→
E
n
pi:TA^(n)rarrE^(n) \pi: T \mathbb{A}^{n} \rightarrow \mathbb{E}^{n} π : T A n → E n は ベクトルバンドルとよばれる構造をもち,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n の接バンドル(tangent bundle)とよばれる(ベクトルバンドルの定義について,第4章を参照のこと).
D
D
D D D 上のベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X は,
D
D
D D D から
T
A
n
T
A
n
TA^(n) T \mathbb{A}^{n} T A n への写像で
π
∘
X
=
id
D
π
∘
X
=
id
D
pi@X=id_(D) \pi \circ \boldsymbol{X}=\mathrm{id}_{D} π ∘ X = id D を満たすも のとして定義することができる。ここで,
id
D
id
D
id_(D) \operatorname{id}_{D} id D は,
D
D
D D D からそれ自身への恒等
変換を表す。しかしながら, 1.1.1 節で述べたように,各接空間
T
p
A
n
T
p
A
n
T_(p)A^(n) T_{p} \mathbb{A}^{n} T p A n は(数) ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n と同一視されるので, ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X は
D
D
D D D から
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n への写像, つまり,
D
D
D D D 上の
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n に値をとるべクトル値関数とみなされる. それゆえ,通常, ベクトル解析の分野では,
D
D
D D D 上のベクトル場を
D
D
D D D 上の
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n に値をとる ベクトル値関数として取り扱う。本書でも,以下,
D
D
D D D 上のベクトル場をその ように取り扱うことにする。
D
D
D D D 上のスカラー場は,
D
D
D D D 上の関数として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級 であるとき,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場(
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -scalar field)とよばれ,
D
D
D D D 上のベクトル 場は,
D
D
D D D 上の
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n に値をとるべクトル値関数として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベ クトル場(
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r -vector field)とよばれる.
次に, ベクトル場, およびスカラー場の線積分を定義しよう.
r
:
E
n
→
r
:
E
n
→
r:E^(n)rarr \boldsymbol{r}: \mathbb{E}^{n} \rightarrow r : E n →
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n を1.1.1 節で述べた 1 対 1 対応, つまり,
r
(
p
)
=
o
p
→
(
p
∈
E
n
)
r
(
p
)
=
o
p
→
p
∈
E
n
r(p)= vec(op)(p inE^(n)) \boldsymbol{r}(p)=\overrightarrow{o p}\left(p \in \mathbb{E}^{n}\right) r ( p ) = o p → ( p ∈ E n ) によって定義される 1 対 1 対応とする。まず、区分的に滑らかな曲線を定義しよう。
c
c
c c c :
[
a
,
b
]
→
E
n
[
a
,
b
]
→
E
n
[a,b]rarrE^(n) [a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n} [ a , b ] → E n を連続曲線(=C
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 曲線)とする。
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] の分割
a
=
t
0
<
t
1
<
a
=
t
0
<
t
1
<
a=t_(0) < t_(1) < a=t_{0}<t_{1}< a = t 0 < t 1 <
⋯
<
t
k
=
b
⋯
<
t
k
=
b
cdots < t_(k)=b \cdots<t_{k}=b ⋯ < t k = b で,
c
c
c c c の
[
t
i
−
1
,
t
i
]
t
i
−
1
,
t
i
[t_(i-1),t_(i)] \left[t_{i-1}, t_{i}\right] [ t i − 1 , t i ] への制限
c
|
[
t
i
−
1
,
t
i
]
(
i
=
1
,
…
,
k
−
1
)
c
t
i
−
1
,
t
i
(
i
=
1
,
…
,
k
−
1
)
c|_([t_(i-1),t_(i)])(i=1,dots,k-1) \left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i=1, \ldots, k-1) c | [ t i − 1 , t i ] ( i = 1 , … , k − 1 ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級で あるようなものが存在するとき,
c
c
c c c を区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線という.
f
f
f f f を
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上の
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 スカラー場,
X
X
X \boldsymbol{X} X を
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上の
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 ベクトル場とし,
c
:
[
a
,
b
]
→
D
c
:
[
a
,
b
]
→
D
c:[a,b]rarr D c:[a, b] \rightarrow D c : [ a , b ] → D を区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線とする。このとき,
∫
c
f
d
s
∫
c
f
d
s
int_(c)fds \int_{c} f d s ∫ c f d s を
∫
c
f
d
s
:=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
f
(
c
(
t
)
)
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
∫
c
f
d
s
:=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
f
(
c
(
t
)
)
c
→
′
(
t
)
d
t
int_(c)fds:=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))f(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt \int_{c} f d s:=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} f(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t ∫ c f d s := ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i f ( c ( t ) ) ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t
によって定義する(図1.4.1 を参照)。この積分量
∫
c
f
d
s
∫
c
f
d
s
int_(c)fds \int_{c} f d s ∫ c f d s を
f
f
f \boldsymbol{f} f の
c
c
c \boldsymbol{c} c に沿う線積分 (line integral of
f
f
f \boldsymbol{f} f along
c
c
c \boldsymbol{c} c ) という. ここで, 記法
∫
c
f
d
s
∫
c
f
d
s
int_(c)fds \int_{c} f d s ∫ c f d s の正当性 を述べておく。 ベクトル解析や曲線論の分野では,通常,
∫
a
t
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
∫
a
t
c
→
′
(
t
)
d
t
int_(a)^(t)|| vec(c)^(')(t)||dt \int_{a}^{t}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t ∫ a t ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t (こ れは,
c
|
[
0
,
t
]
c
[
0
,
t
]
c|_([0,t]) \left.c\right|_{[0, t]} c | [ 0 , t ] の長さを表す)は
s
(
t
)
s
(
t
)
s(t) s(t) s ( t ) と表され, その微分
d
s
d
s
ds d s d s は
c
c
c c c の線素(line element)とよばれる.
d
s
=
d
s
d
t
d
t
=
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
d
s
=
d
s
d
t
d
t
=
c
→
′
(
t
)
d
t
ds=(ds)/(dt)dt=|| vec(c)^(')(t)||dt d s=\frac{d s}{d t} d t=\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t d s = d s d t d t = ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t となることから, 記法
∫
c
f
d
s
∫
c
f
d
s
int_(c)fds \int_{c} f d s ∫ c f d s が正当であることがわかる. また,
∫
c
X
⋅
d
r
∫
c
X
⋅
d
r
int_(c)X*dr \int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ c X ⋅ d r を,
図 1.4.1 スカラー場の線積分
X
c
(
t
1
)
⋅
c
→
′
(
t
1
)
>
0
,
X
c
(
t
2
)
⋅
c
→
′
(
t
2
)
=
0
,
X
c
(
t
3
)
⋅
c
→
′
(
t
3
)
<
0
∫
c
|
[
a
,
t
2
]
X
⋅
d
r
>
0
,
∫
c
|
[
t
2
,
b
]
X
⋅
d
r
<
0
X
c
t
1
⋅
c
→
′
t
1
>
0
,
X
c
t
2
⋅
c
→
′
t
2
=
0
,
X
c
t
3
⋅
c
→
′
t
3
<
0
∫
c
a
,
t
2
X
⋅
d
r
>
0
,
∫
c
t
2
,
b
X
⋅
d
r
<
0
{:[X_(c(t_(1)))* vec(c)^(')(t_(1)) > 0","quadX_(c(t_(2)))* vec(c)^(')(t_(2))=0","quadX_(c(t_(3)))* vec(c)^(')(t_(3)) < 0],[int_(c|_([a,t_(2)]))X*dr > 0","quadint_(c|_([t_(2),b]))X*dr < 0]:} \begin{gathered}
\boldsymbol{X}_{c\left(t_{1}\right)} \cdot \vec{c}^{\prime}\left(t_{1}\right)>0, \quad \boldsymbol{X}_{c\left(t_{2}\right)} \cdot \vec{c}^{\prime}\left(t_{2}\right)=0, \quad \boldsymbol{X}_{c\left(t_{3}\right)} \cdot \vec{c}^{\prime}\left(t_{3}\right)<0 \\
\int_{\left.c\right|_{\left[a, t_{2}\right]}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}>0, \quad \int_{\left.c\right|_{\left[t_{2}, b\right]}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}<0
\end{gathered} X c ( t 1 ) ⋅ c → ′ ( t 1 ) > 0 , X c ( t 2 ) ⋅ c → ′ ( t 2 ) = 0 , X c ( t 3 ) ⋅ c → ′ ( t 3 ) < 0 ∫ c | [ a , t 2 ] X ⋅ d r > 0 , ∫ c | [ t 2 , b ] X ⋅ d r < 0
図 1.4.2 ベクトル場の線積分
∫
c
X
⋅
d
r
:=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
X
c
(
t
)
⋅
(
r
∘
c
)
′
(
t
)
d
t
(
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
X
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
)
∫
c
X
⋅
d
r
:=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
X
c
(
t
)
⋅
(
r
∘
c
)
′
(
t
)
d
t
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
X
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
int_(c)X*dr:=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))X_(c(t))*(r@c)^(')(t)dt(=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))X_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt) \int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}:=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \boldsymbol{X}_{c(t)} \cdot(\boldsymbol{r} \circ c)^{\prime}(t) d t\left(=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \boldsymbol{X}_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t\right) ∫ c X ⋅ d r := ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i X c ( t ) ⋅ ( r ∘ c ) ′ ( t ) d t ( = ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i X c ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) d t )
によって定義する(図 1.4 .2 を参照)。この積分量
∫
c
X
⋅
d
r
∫
c
X
⋅
d
r
int_(c)X*dr \int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ c X ⋅ d r を
X
X
X \boldsymbol{X} X の
c
c
c \boldsymbol{c} c に沿う 線積分 (line integral of
X
X
X \boldsymbol{X} X along
c
c
c \boldsymbol{c} c ) という.
区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c:[a,b]rarrE^(n) c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n} c : [ a , b ] → E n に対し,区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線
c
−
1
:
c
−
1
:
c^(-1): c^{-1}: c − 1 :
[
a
,
b
]
→
E
n
[
a
,
b
]
→
E
n
[a,b]rarrE^(n) [a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n} [ a , b ] → E n を
c
−
1
(
t
)
:=
c
(
b
−
(
t
−
a
)
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c
−
1
(
t
)
:=
c
(
b
−
(
t
−
a
)
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c^(-1)(t):=c(b-(t-a))quad(t in[a,b]) c^{-1}(t):=c(b-(t-a)) \quad(t \in[a, b]) c − 1 ( t ) := c ( b − ( t − a ) ) ( t ∈ [ a , b ] )
によって定義する. この曲線
c
−
1
c
−
1
c^(-1) c^{-1} c − 1 を
c
c
c \boldsymbol{c} c の逆という. また, 2 つの区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線
c
i
:
[
a
,
b
]
→
E
n
(
i
=
1
,
2
)
c
i
:
[
a
,
b
]
→
E
n
(
i
=
1
,
2
)
c_(i):[a,b]rarrE^(n)(i=1,2) c_{i}:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}(i=1,2) c i : [ a , b ] → E n ( i = 1 , 2 ) に対し, 区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線
c
1
⋅
c
2
c
1
⋅
c
2
c_(1)*c_(2) c_{1} \cdot c_{2} c 1 ⋅ c 2 :
[
a
,
b
]
→
E
n
[
a
,
b
]
→
E
n
[a,b]rarrE^(n) [a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n} [ a , b ] → E n を
c
1
⋅
c
2
(
t
)
:=
{
c
1
(
2
t
−
a
)
(
a
≤
t
≤
a
+
b
2
)
c
2
(
2
t
−
b
)
(
a
+
b
2
≤
t
≤
b
)
c
1
⋅
c
2
(
t
)
:=
c
1
(
2
t
−
a
)
a
≤
t
≤
a
+
b
2
c
2
(
2
t
−
b
)
a
+
b
2
≤
t
≤
b
c_(1)*c_(2)(t):={[c_(1)(2t-a),(a <= t <= (a+b)/(2))],[c_(2)(2t-b),((a+b)/(2) <= t <= b)]:} c_{1} \cdot c_{2}(t):= \begin{cases}c_{1}(2 t-a) & \left(a \leq t \leq \frac{a+b}{2}\right) \\ c_{2}(2 t-b) & \left(\frac{a+b}{2} \leq t \leq b\right)\end{cases} c 1 ⋅ c 2 ( t ) := { c 1 ( 2 t − a ) ( a ≤ t ≤ a + b 2 ) c 2 ( 2 t − b ) ( a + b 2 ≤ t ≤ b )
によって定義する. この曲線
c
1
⋅
c
2
c
1
⋅
c
2
c_(1)*c_(2) c_{1} \cdot c_{2} c 1 ⋅ c 2 を
c
1
c
1
c_(1) \boldsymbol{c}_{\mathbf{1}} c 1 と
c
2
c
2
c_(2) \boldsymbol{c}_{\mathbf{2}} c 2 の積という.
命題 1.4.1
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
,
c
i
:
[
a
,
b
]
→
E
n
(
i
=
1
,
2
)
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
,
c
i
:
[
a
,
b
]
→
E
n
(
i
=
1
,
2
)
c:[a,b]rarrE^(n),c_(i):[a,b]rarrE^(n)(i=1,2) c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}, c_{i}:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}(i=1,2) c : [ a , b ] → E n , c i : [ a , b ] → E n ( i = 1 , 2 ) を区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級 の曲線とし,
f
,
X
f
,
X
f,X f, \boldsymbol{X} f , X を
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上の
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 スカラー場,
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 ベクトル場とする. このと き, 次式が成り立つ.
(i)
∫
c
−
1
f
d
s
=
∫
c
f
d
s
,
∫
c
−
1
X
⋅
d
r
=
−
∫
c
X
⋅
d
r
∫
c
−
1
f
d
s
=
∫
c
f
d
s
,
∫
c
−
1
X
⋅
d
r
=
−
∫
c
X
⋅
d
r
int_(c^(-1))fds=int_(c)fds,quadint_(c^(-1))X*dr=-int_(c)X*dr \int_{c^{-1}} f d s=\int_{c} f d s, \quad \int_{c^{-1}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=-\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ c − 1 f d s = ∫ c f d s , ∫ c − 1 X ⋅ d r = − ∫ c X ⋅ d r ;
(ii)
∫
c
1
⋅
c
2
f
d
s
=
∫
c
1
f
d
s
+
∫
c
2
f
d
s
∫
c
1
⋅
c
2
f
d
s
=
∫
c
1
f
d
s
+
∫
c
2
f
d
s
int_(c_(1)*c_(2))fds=int_(c_(1))fds+int_(c_(2))fds \int_{c_{1} \cdot c_{2}} f d s=\int_{c_{1}} f d s+\int_{c_{2}} f d s ∫ c 1 ⋅ c 2 f d s = ∫ c 1 f d s + ∫ c 2 f d s ,
∫
c
1
⋅
c
2
X
⋅
d
r
=
∫
c
1
X
⋅
d
r
+
∫
c
2
X
⋅
d
r
∫
c
1
⋅
c
2
X
⋅
d
r
=
∫
c
1
X
⋅
d
r
+
∫
c
2
X
⋅
d
r
int_(c_(1)*c_(2))X*dr=int_(c_(1))X*dr+int_(c_(2))X*dr \int_{c_{1} \cdot c_{2}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c_{1}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}+\int_{c_{2}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ c 1 ⋅ c 2 X ⋅ d r = ∫ c 1 X ⋅ d r + ∫ c 2 X ⋅ d r
証明
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
=
b
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
=
b
a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k)=b a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}=b a = t 0 < t 1 < ⋯ < t k = b を,
c
c
c c c の
[
t
i
−
1
,
t
i
]
t
i
−
1
,
t
i
[t_(i-1),t_(i)] \left[t_{i-1}, t_{i}\right] [ t i − 1 , t i ] への制限
c
|
[
t
i
−
1
,
t
i
]
(
i
=
c
t
i
−
1
,
t
i
(
i
=
c|_([t_(i-1),t_(i)])(i= \left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i= c | [ t i − 1 , t i ] ( i =
1
,
…
,
k
−
1
)
1
,
…
,
k
−
1
)
1,dots,k-1) 1, \ldots, k-1) 1 , … , k − 1 ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるような
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] の分割とし,
u
i
:=
b
−
(
t
k
−
i
−
a
)
u
i
:=
b
−
t
k
−
i
−
a
u_(i):=b-(t_(k-i)-a) u_{i}:=b-\left(t_{k-i}-a\right) u i := b − ( t k − i − a ) と おく.このとき,
∫
c
−
1
f
d
s
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
f
(
c
−
1
(
u
)
)
‖
(
c
−
1
)
→
′
(
u
)
‖
d
u
∫
c
−
1
f
d
s
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
f
c
−
1
(
u
)
c
−
1
→
′
(
u
)
d
u
{:int_(c^(-1))fds=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i))f(c^(-1)(u))|| vec((c^(-1)))^(')(u)||du:} \begin{aligned}
& \int_{c^{-1}} f d s=\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} f\left(c^{-1}(u)\right)\left\|{\overrightarrow{\left(c^{-1}\right)}}^{\prime}(u)\right\| d u
\end{aligned} ∫ c − 1 f d s = ∑ i = 1 k ∫ u i − 1 u i f ( c − 1 ( u ) ) ‖ ( c − 1 ) → ′ ( u ) ‖ d u
=
−
∑
i
=
1
k
∫
t
k
−
i
t
k
−
i
+
1
f
(
c
(
t
)
)
‖
−
c
→
′
(
t
)
‖
(
−
1
)
d
t
=
∑
i
=
1
k
∫
t
k
−
i
t
k
−
i
+
1
f
(
c
(
t
)
)
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
=
∫
c
f
d
s
=
−
∑
i
=
1
k
∫
t
k
−
i
t
k
−
i
+
1
f
(
c
(
t
)
)
−
c
→
′
(
t
)
(
−
1
)
d
t
=
∑
i
=
1
k
∫
t
k
−
i
t
k
−
i
+
1
f
(
c
(
t
)
)
c
→
′
(
t
)
d
t
=
∫
c
f
d
s
{:[=-sum_(i=1)^(k)int_(t_(k-i))^(t_(k-i+1))f(c(t))||- vec(c)^(')(t)||(-1)dt],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(k-i))^(t_(k-i+1))f(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt=int_(c)fds]:} \begin{aligned}
& =-\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{k-i}}^{t_{k-i+1}} f(c(t))\left\|-\vec{c}^{\prime}(t)\right\|(-1) d t \\
& =\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{k-i}}^{t_{k-i+1}} f(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{c} f d s
\end{aligned} = − ∑ i = 1 k ∫ t k − i t k − i + 1 f ( c ( t ) ) ‖ − c → ′ ( t ) ‖ ( − 1 ) d t = ∑ i = 1 k ∫ t k − i t k − i + 1 f ( c ( t ) ) ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t = ∫ c f d s
となり,(i)の第 1 式が示される. また,
∫
c
−
1
X
⋅
d
r
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
X
→
c
−
1
(
u
)
⋅
(
c
−
1
)
→
′
(
u
)
d
u
=
∑
i
=
1
k
∫
t
k
−
i
+
1
t
k
−
i
X
→
c
−
1
(
b
−
(
t
−
a
)
)
⋅
(
(
c
−
1
)
′
→
t
k
−
i
X
→
c
(
t
)
⋅
(
−
c
→
′
(
t
)
)
(
−
1
)
d
t
=
∑
i
=
1
k
∫
t
k
−
i
+
1
t
k
−
i
+
1
X
→
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
−
∫
c
X
⋅
d
r
=
−
∑
i
=
1
t
t
k
−
i
∫
then
(
−
1
)
d
t
∫
c
−
1
X
⋅
d
r
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
X
→
c
−
1
(
u
)
⋅
c
−
1
→
′
(
u
)
d
u
=
∑
i
=
1
k
∫
t
k
−
i
+
1
t
k
−
i
X
→
c
−
1
(
b
−
(
t
−
a
)
)
⋅
c
−
1
′
→
t
k
−
i
X
→
c
(
t
)
⋅
−
c
→
′
(
t
)
(
−
1
)
d
t
=
∑
i
=
1
k
∫
t
k
−
i
+
1
t
k
−
i
+
1
X
→
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
−
∫
c
X
⋅
d
r
=
−
∑
i
=
1
t
t
k
−
i
∫
then
(
−
1
)
d
t
{:[int_(c^(-1))X*dr=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i)) vec(X)_(c^(-1)(u))* vec((c^(-1)))^(')(u)du],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(k-i+1))^(t_(k-i)) vec(X)_(c^(-1)(b-(t-a)))*( vec((c^(-1))^('))^(t_(k-i)) vec(X)_(c(t))*(- vec(c)^(')(t))(-1)dt:}],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(k-i+1))^(t_(k-i+1)) vec(X)_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt=-int_(c)X*dr],[=-sum_(i=1)^(t_(t_(k-i)))int_("then ")(-1)dt],[]:} \begin{aligned}
& \int_{c^{-1}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} \overrightarrow{\boldsymbol{X}}_{c^{-1}(u)} \cdot{\overrightarrow{\left(c^{-1}\right)}}^{\prime}(u) d u \\
&=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{k-i+1}}^{t_{k-i}} \overrightarrow{\boldsymbol{X}}_{c^{-1}(b-(t-a))} \cdot\left({\overrightarrow{\left(c^{-1}\right)^{\prime}}}^{t_{k-i}} \overrightarrow{\boldsymbol{X}}_{c(t)} \cdot\left(-\vec{c}^{\prime}(t)\right)(-1) d t\right. \\
&=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{k-i+1}}^{t_{k-i+1}} \overrightarrow{\boldsymbol{X}}_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t=-\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} \\
&=-\sum_{i=1}^{t_{t_{k-i}}} \int_{\text {then }}(-1) d t \\
&
\end{aligned} ∫ c − 1 X ⋅ d r = ∑ i = 1 k ∫ u i − 1 u i X → c − 1 ( u ) ⋅ ( c − 1 ) → ′ ( u ) d u = ∑ i = 1 k ∫ t k − i + 1 t k − i X → c − 1 ( b − ( t − a ) ) ⋅ ( ( c − 1 ) ′ → t k − i X → c ( t ) ⋅ ( − c → ′ ( t ) ) ( − 1 ) d t = ∑ i = 1 k ∫ t k − i + 1 t k − i + 1 X → c ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) d t = − ∫ c X ⋅ d r = − ∑ i = 1 t t k − i ∫ then ( − 1 ) d t
となり, (i) の第 2 式が示される.
a
=
t
0
i
<
t
1
i
<
⋯
<
t
k
i
i
=
b
(
i
=
1
,
2
)
を
,
c
i
の
[
t
j
−
1
i
,
t
j
i
]
への制限
a
=
t
0
i
<
t
1
i
<
⋯
<
t
k
i
i
=
b
(
i
=
1
,
2
)
を
,
c
i
の
t
j
−
1
i
,
t
j
i
への制限
a=t_(0)^(i) < t_(1)^(i) < cdots < t_(k_(i))^(i)=b(i=1,2)を,c_(i)" の "[t_(j-1)^(i),t_(j)^(i)]" への制限 " a=t_{0}^{i}<t_{1}^{i}<\cdots<t_{k_{i}}^{i}=b(i=1,2) を, c_{i} \text { の }\left[t_{j-1}^{i}, t_{j}^{i}\right] \text { への制限 } を の へ の 制 限 a = t 0 i < t 1 i < ⋯ < t k i i = b ( i = 1 , 2 ) を , c i の [ t j − 1 i , t j i ] への制限
c
i
|
[
t
j
−
1
i
,
t
j
i
]
(
j
=
1
,
…
,
k
i
)
c
i
t
j
−
1
i
,
t
j
i
j
=
1
,
…
,
k
i
c_(i)|_([t_(j-1)^(i),t_(j)^(i)])(j=1,dots,k_(i)) \left.c_{i}\right|_{\left[t_{j-1}^{i}, t_{j}^{i}\right]}\left(j=1, \ldots, k_{i}\right) c i | [ t j − 1 i , t j i ] ( j = 1 , … , k i ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるような
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] の分割とし、
u
j
1
:=
t
j
1
+
a
2
,
u
j
2
:=
t
j
2
+
b
2
u
j
1
:=
t
j
1
+
a
2
,
u
j
2
:=
t
j
2
+
b
2
u_(j)^(1):=(t_(j)^(1)+a)/(2),u_(j)^(2):=(t_(j)^(2)+b)/(2) u_{j}^{1}:=\frac{t_{j}^{1}+a}{2}, u_{j}^{2}:=\frac{t_{j}^{2}+b}{2} u j 1 := t j 1 + a 2 , u j 2 := t j 2 + b 2 とおく.このとき,
∫
c
1
⋅
c
2
f
d
s
=
∑
j
=
1
k
1
∫
u
j
−
1
1
u
j
1
f
(
(
c
1
⋅
c
2
)
(
u
)
)
‖
(
c
1
⋅
c
2
)
′
→
(
u
)
‖
d
u
+
∑
j
=
1
k
2
∫
u
j
−
1
2
u
j
2
f
(
(
c
1
⋅
c
2
)
(
u
)
)
‖
(
c
1
⋅
c
2
)
′
→
(
u
)
‖
d
u
=
∑
j
=
1
k
1
∫
u
j
−
1
1
u
j
1
f
(
c
1
(
2
u
−
a
)
)
‖
2
c
1
→
′
(
2
u
−
a
)
‖
d
u
+
∑
j
=
1
k
2
∫
u
j
−
1
2
u
j
2
f
(
c
2
(
2
u
−
b
)
)
‖
2
c
2
→
′
(
2
u
−
b
)
‖
d
u
=
∑
j
=
1
k
1
∫
t
j
−
1
1
t
j
1
f
(
c
1
(
t
)
)
‖
2
c
1
→
′
(
t
)
‖
1
2
d
t
+
∑
j
=
1
k
2
∫
t
j
−
1
2
t
j
2
f
(
c
2
(
t
)
)
‖
2
c
2
→
′
(
t
)
‖
1
2
d
t
=
∑
j
=
1
k
1
∫
t
j
−
1
1
t
j
1
f
(
c
1
(
t
)
)
‖
c
1
→
′
(
t
)
‖
d
t
+
∑
j
=
1
k
2
∫
t
j
−
1
2
t
j
2
f
(
c
2
(
t
)
)
‖
c
2
→
′
(
t
)
‖
d
t
=
∫
c
1
f
d
s
+
∫
c
2
f
d
s
∫
c
1
⋅
c
2
f
d
s
=
∑
j
=
1
k
1
∫
u
j
−
1
1
u
j
1
f
c
1
⋅
c
2
(
u
)
c
1
⋅
c
2
′
→
(
u
)
d
u
+
∑
j
=
1
k
2
∫
u
j
−
1
2
u
j
2
f
c
1
⋅
c
2
(
u
)
c
1
⋅
c
2
′
→
(
u
)
d
u
=
∑
j
=
1
k
1
∫
u
j
−
1
1
u
j
1
f
c
1
(
2
u
−
a
)
2
c
1
→
′
(
2
u
−
a
)
d
u
+
∑
j
=
1
k
2
∫
u
j
−
1
2
u
j
2
f
c
2
(
2
u
−
b
)
2
c
2
→
′
(
2
u
−
b
)
d
u
=
∑
j
=
1
k
1
∫
t
j
−
1
1
t
j
1
f
c
1
(
t
)
2
c
1
→
′
(
t
)
1
2
d
t
+
∑
j
=
1
k
2
∫
t
j
−
1
2
t
j
2
f
c
2
(
t
)
2
c
2
→
′
(
t
)
1
2
d
t
=
∑
j
=
1
k
1
∫
t
j
−
1
1
t
j
1
f
c
1
(
t
)
c
1
→
′
(
t
)
d
t
+
∑
j
=
1
k
2
∫
t
j
−
1
2
t
j
2
f
c
2
(
t
)
c
2
→
′
(
t
)
d
t
=
∫
c
1
f
d
s
+
∫
c
2
f
d
s
{:[int_(c_(1)*c_(2))fds=sum_(j=1)^(k_(1))int_(u_(j-1)^(1))^(u_(j)^(1))f((c_(1)*c_(2))(u))|| vec((c_(1)*c_(2))^('))(u)||du],[quad+sum_(j=1)^(k_(2))int_(u_(j-1)^(2))^(u_(j)^(2))f((c_(1)*c_(2))(u))|| vec((c_(1)*c_(2))^('))(u)||du],[=sum_(j=1)^(k_(1))int_(u_(j-1)^(1))^(u_(j)^(1))f(c_(1)(2u-a))||2 vec(c_(1))^(')(2u-a)||du],[quad+sum_(j=1)^(k_(2))int_(u_(j-1)^(2))^(u_(j)^(2))f(c_(2)(2u-b))||2 vec(c_(2))^(')(2u-b)||du],[=sum_(j=1)^(k_(1))int_(t_(j-1)^(1))^(t_(j)^(1))f(c_(1)(t))||2 vec(c_(1))^(')(t)||(1)/(2)dt+sum_(j=1)^(k_(2))int_(t_(j-1)^(2))^(t_(j)^(2))f(c_(2)(t))||2 vec(c_(2))^(')(t)||(1)/(2)dt],[=sum_(j=1)^(k_(1))int_(t_(j-1)^(1))^(t_(j)^(1))f(c_(1)(t))|| vec(c_(1))^(')(t)||dt+sum_(j=1)^(k_(2))int_(t_(j-1)^(2))^(t_(j)^(2))f(c_(2)(t))|| vec(c_(2))^(')(t)||dt],[=int_(c_(1))fds+int_(c_(2))fds]:} \begin{aligned}
& \int_{c_{1} \cdot c_{2}} f d s=\sum_{j=1}^{k_{1}} \int_{u_{j-1}^{1}}^{u_{j}^{1}} f\left(\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)(u)\right)\left\|\overrightarrow{\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)^{\prime}}(u)\right\| d u \\
& \quad+\sum_{j=1}^{k_{2}} \int_{u_{j-1}^{2}}^{u_{j}^{2}} f\left(\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)(u)\right)\left\|\overrightarrow{\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)^{\prime}}(u)\right\| d u \\
& =\sum_{j=1}^{k_{1}} \int_{u_{j-1}^{1}}^{u_{j}^{1}} f\left(c_{1}(2 u-a)\right)\left\|2{\overrightarrow{c_{1}}}^{\prime}(2 u-a)\right\| d u \\
& \quad+\sum_{j=1}^{k_{2}} \int_{u_{j-1}^{2}}^{u_{j}^{2}} f\left(c_{2}(2 u-b)\right)\left\|2{\overrightarrow{c_{2}}}^{\prime}(2 u-b)\right\| d u \\
& =\sum_{j=1}^{k_{1}} \int_{t_{j-1}^{1}}^{t_{j}^{1}} f\left(c_{1}(t)\right)\left\|2{\overrightarrow{c_{1}}}^{\prime}(t)\right\| \frac{1}{2} d t+\sum_{j=1}^{k_{2}} \int_{t_{j-1}^{2}}^{t_{j}^{2}} f\left(c_{2}(t)\right)\left\|2{\overrightarrow{c_{2}}}^{\prime}(t)\right\| \frac{1}{2} d t \\
& =\sum_{j=1}^{k_{1}} \int_{t_{j-1}^{1}}^{t_{j}^{1}} f\left(c_{1}(t)\right)\left\|{\overrightarrow{c_{1}}}^{\prime}(t)\right\| d t+\sum_{j=1}^{k_{2}} \int_{t_{j-1}^{2}}^{t_{j}^{2}} f\left(c_{2}(t)\right)\left\|{\overrightarrow{c_{2}}}^{\prime}(t)\right\| d t \\
& =\int_{c_{1}} f d s+\int_{c_{2}} f d s
\end{aligned} ∫ c 1 ⋅ c 2 f d s = ∑ j = 1 k 1 ∫ u j − 1 1 u j 1 f ( ( c 1 ⋅ c 2 ) ( u ) ) ‖ ( c 1 ⋅ c 2 ) ′ → ( u ) ‖ d u + ∑ j = 1 k 2 ∫ u j − 1 2 u j 2 f ( ( c 1 ⋅ c 2 ) ( u ) ) ‖ ( c 1 ⋅ c 2 ) ′ → ( u ) ‖ d u = ∑ j = 1 k 1 ∫ u j − 1 1 u j 1 f ( c 1 ( 2 u − a ) ) ‖ 2 c 1 → ′ ( 2 u − a ) ‖ d u + ∑ j = 1 k 2 ∫ u j − 1 2 u j 2 f ( c 2 ( 2 u − b ) ) ‖ 2 c 2 → ′ ( 2 u − b ) ‖ d u = ∑ j = 1 k 1 ∫ t j − 1 1 t j 1 f ( c 1 ( t ) ) ‖ 2 c 1 → ′ ( t ) ‖ 1 2 d t + ∑ j = 1 k 2 ∫ t j − 1 2 t j 2 f ( c 2 ( t ) ) ‖ 2 c 2 → ′ ( t ) ‖ 1 2 d t = ∑ j = 1 k 1 ∫ t j − 1 1 t j 1 f ( c 1 ( t ) ) ‖ c 1 → ′ ( t ) ‖ d t + ∑ j = 1 k 2 ∫ t j − 1 2 t j 2 f ( c 2 ( t ) ) ‖ c 2 → ′ ( t ) ‖ d t = ∫ c 1 f d s + ∫ c 2 f d s
となり, (ii)の第 1 式が示される. (ii) の第 2 式も同様に示される.
命題 1.4.2
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c:[a,b]rarrE^(n) c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n} c : [ a , b ] → E n を区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線とし,
f
1
,
f
2
f
1
,
f
2
f_(1),f_(2) f_{1}, f_{2} f 1 , f 2 を
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上
の
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 スカラー場,
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y を
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上の
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 ベクトル場とし,
α
,
β
α
,
β
alpha,beta \alpha, \beta α , β を定数とする. このとき,次式が成り立つ:
∫
c
(
α
f
1
+
β
f
2
)
d
s
=
α
∫
c
f
1
d
s
+
β
∫
c
f
2
d
s
∫
c
(
α
X
+
β
Y
)
⋅
d
r
=
α
∫
c
X
⋅
d
r
+
β
∫
c
Y
⋅
d
r
∫
c
α
f
1
+
β
f
2
d
s
=
α
∫
c
f
1
d
s
+
β
∫
c
f
2
d
s
∫
c
(
α
X
+
β
Y
)
⋅
d
r
=
α
∫
c
X
⋅
d
r
+
β
∫
c
Y
⋅
d
r
{:[int_(c)(alphaf_(1)+betaf_(2))ds=alphaint_(c)f_(1)ds+betaint_(c)f_(2)ds],[int_(c)(alpha X+beta Y)*dr=alphaint_(c)X*dr+betaint_(c)Y*dr]:} \begin{aligned}
& \int_{c}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right) d s=\alpha \int_{c} f_{1} d s+\beta \int_{c} f_{2} d s \\
& \int_{c}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y}) \cdot d \boldsymbol{r}=\alpha \int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}+\beta \int_{c} \boldsymbol{Y} \cdot d \boldsymbol{r}
\end{aligned} ∫ c ( α f 1 + β f 2 ) d s = α ∫ c f 1 d s + β ∫ c f 2 d s ∫ c ( α X + β Y ) ⋅ d r = α ∫ c X ⋅ d r + β ∫ c Y ⋅ d r
証明
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
=
b
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
=
b
a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k)=b a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}=b a = t 0 < t 1 < ⋯ < t k = b を,
c
c
c c c の
[
t
i
−
1
,
t
i
]
t
i
−
1
,
t
i
[t_(i-1),t_(i)] \left[t_{i-1}, t_{i}\right] [ t i − 1 , t i ] への制限
c
|
[
t
i
−
1
,
t
i
]
(
i
=
c
t
i
−
1
,
t
i
(
i
=
c|_([t_(i-1),t_(i)])(i= \left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i= c | [ t i − 1 , t i ] ( i =
1
,
…
,
k
−
1
)
1
,
…
,
k
−
1
)
1,dots,k-1) 1, \ldots, k-1) 1 , … , k − 1 ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるような
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] の分割とする. このとき,主張にお ける 2 式が次のように示される:
∫
c
(
α
f
1
+
β
f
2
)
d
s
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
(
α
f
1
+
β
f
2
)
(
c
(
t
)
)
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
=
α
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
f
1
(
c
(
t
)
)
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
+
β
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
f
2
(
c
(
t
)
)
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
=
α
∫
c
f
1
d
s
+
β
∫
c
f
2
d
s
∫
c
(
α
X
+
β
Y
)
⋅
d
r
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
(
α
X
+
β
Y
)
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
(
α
X
c
(
t
)
+
β
Y
c
(
t
)
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
α
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
X
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
+
β
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
Y
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
α
∫
c
X
⋅
d
r
+
β
∫
c
Y
⋅
d
r
∫
c
α
f
1
+
β
f
2
d
s
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
α
f
1
+
β
f
2
(
c
(
t
)
)
c
→
′
(
t
)
d
t
=
α
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
f
1
(
c
(
t
)
)
c
→
′
(
t
)
d
t
+
β
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
f
2
(
c
(
t
)
)
c
→
′
(
t
)
d
t
=
α
∫
c
f
1
d
s
+
β
∫
c
f
2
d
s
∫
c
(
α
X
+
β
Y
)
⋅
d
r
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
(
α
X
+
β
Y
)
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
α
X
c
(
t
)
+
β
Y
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
α
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
X
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
+
β
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
Y
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
α
∫
c
X
⋅
d
r
+
β
∫
c
Y
⋅
d
r
{:[int_(c)(alphaf_(1)+betaf_(2))ds=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))(alphaf_(1)+betaf_(2))(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt],[=alphasum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))f_(1)(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt+betasum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))f_(2)(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt],[=alphaint_(c)f_(1)ds+betaint_(c)f_(2)ds],[int_(c)(alpha X+beta Y)*dr=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))(alpha X+beta Y)_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))(alphaX_(c(t))+betaY_(c(t)))* vec(c)^(')(t)dt],[=alphasum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))X_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt+betasum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))Y_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt],[=alphaint_(c)X*dr+betaint_(c)Y*dr]:} \begin{aligned}
& \int_{c}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right) d s=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right)(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t \\
& =\alpha \sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} f_{1}(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t+\beta \sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} f_{2}(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t \\
& =\alpha \int_{c} f_{1} d s+\beta \int_{c} f_{2} d s \\
& \int_{c}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y}) \cdot d \boldsymbol{r}=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y})_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\
& =\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}}\left(\alpha \boldsymbol{X}_{c(t)}+\beta \boldsymbol{Y}_{c(t)}\right) \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\
& =\alpha \sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \boldsymbol{X}_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t+\beta \sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \boldsymbol{Y}_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\
& =\alpha \int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}+\beta \int_{c} \boldsymbol{Y} \cdot d \boldsymbol{r}
\end{aligned} ∫ c ( α f 1 + β f 2 ) d s = ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i ( α f 1 + β f 2 ) ( c ( t ) ) ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t = α ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i f 1 ( c ( t ) ) ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t + β ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i f 2 ( c ( t ) ) ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t = α ∫ c f 1 d s + β ∫ c f 2 d s ∫ c ( α X + β Y ) ⋅ d r = ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i ( α X + β Y ) c ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) d t = ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i ( α X c ( t ) + β Y c ( t ) ) ⋅ c → ′ ( t ) d t = α ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i X c ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) d t + β ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i Y c ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) d t = α ∫ c X ⋅ d r + β ∫ c Y ⋅ d r
命題 1.4.3
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c:[a,b]rarrE^(n) c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n} c : [ a , b ] → E n を区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線とし,
φ
:
[
α
,
β
]
→
[
a
,
b
]
φ
:
[
α
,
β
]
→
[
a
,
b
]
varphi:[alpha,beta]rarr[a,b] \varphi:[\alpha, \beta] \rightarrow[a, b] φ : [ α , β ] → [ a , b ] を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の単調増加関数で
φ
(
α
)
=
a
,
φ
(
β
)
=
b
,
φ
′
>
0
φ
(
α
)
=
a
,
φ
(
β
)
=
b
,
φ
′
>
0
varphi(alpha)=a,varphi(beta)=b,varphi^(') > 0 \varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b, \varphi^{\prime}>0 φ ( α ) = a , φ ( β ) = b , φ ′ > 0 となるようなものとす る. このとき,
c
∘
φ
c
∘
φ
c@varphi c \circ \varphi c ∘ φ も区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線であり,
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 スカラー場
f
f
f f f と
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し,
∫
c
∘
φ
f
d
s
=
∫
c
f
d
s
,
∫
c
∘
φ
X
⋅
d
r
=
∫
c
X
⋅
d
r
∫
c
∘
φ
f
d
s
=
∫
c
f
d
s
,
∫
c
∘
φ
X
⋅
d
r
=
∫
c
X
⋅
d
r
int_(c@varphi)fds=int_(c)fds,quadint_(c@varphi)X*dr=int_(c)X*dr \int_{c \circ \varphi} f d s=\int_{c} f d s, \quad \int_{c \circ \varphi} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ c ∘ φ f d s = ∫ c f d s , ∫ c ∘ φ X ⋅ d r = ∫ c X ⋅ d r
が成り立つ.
証明
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
=
b
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
=
b
a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k)=b a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}=b a = t 0 < t 1 < ⋯ < t k = b を,
c
c
c c c の
[
t
i
−
1
,
t
i
]
t
i
−
1
,
t
i
[t_(i-1),t_(i)] \left[t_{i-1}, t_{i}\right] [ t i − 1 , t i ] への制限
c
|
[
t
i
−
1
,
t
i
]
(
i
=
c
t
i
−
1
,
t
i
(
i
=
c|_([t_(i-1),t_(i)])(i= \left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i= c | [ t i − 1 , t i ] ( i =
1
,
…
,
k
−
1
)
1
,
…
,
k
−
1
)
1,dots,k-1) 1, \ldots, k-1) 1 , … , k − 1 ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるような
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] の分割とし,
u
i
:=
φ
−
1
(
t
i
)
u
i
:=
φ
−
1
t
i
u_(i):=varphi^(-1)(t_(i)) u_{i}:=\varphi^{-1}\left(t_{i}\right) u i := φ − 1 ( t i ) とおく. また,
u
=
φ
−
1
(
t
)
u
=
φ
−
1
(
t
)
u=varphi^(-1)(t) u=\varphi^{-1}(t) u = φ − 1 ( t ) とする。このとき, 主張における 2 式が次のように示され る:
∫
c
∘
φ
f
d
s
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
f
(
(
c
∘
φ
)
(
u
)
)
‖
(
c
∘
φ
)
′
→
(
u
)
‖
d
u
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
f
(
(
c
∘
φ
)
(
u
)
)
d
t
d
u
‖
c
→
′
(
φ
(
u
)
)
‖
d
u
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
f
(
c
(
t
)
)
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
=
∫
c
f
d
s
∫
c
∘
φ
X
⋅
d
r
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
X
(
c
∘
φ
)
(
u
)
⋅
(
c
∘
φ
)
′
→
(
u
)
d
u
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
X
(
c
∘
φ
)
(
u
)
⋅
(
d
t
d
u
c
→
′
(
φ
(
u
)
)
)
d
u
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
X
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
∫
c
X
⋅
d
r
∫
c
∘
φ
f
d
s
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
f
(
(
c
∘
φ
)
(
u
)
)
(
c
∘
φ
)
′
→
(
u
)
d
u
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
f
(
(
c
∘
φ
)
(
u
)
)
d
t
d
u
c
→
′
(
φ
(
u
)
)
d
u
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
f
(
c
(
t
)
)
c
→
′
(
t
)
d
t
=
∫
c
f
d
s
∫
c
∘
φ
X
⋅
d
r
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
X
(
c
∘
φ
)
(
u
)
⋅
(
c
∘
φ
)
′
→
(
u
)
d
u
=
∑
i
=
1
k
∫
u
i
−
1
u
i
X
(
c
∘
φ
)
(
u
)
⋅
d
t
d
u
c
→
′
(
φ
(
u
)
)
d
u
=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
X
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
∫
c
X
⋅
d
r
{:[int_(c@varphi)fds=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i))f((c@varphi)(u))|| vec((c@varphi)^('))(u)||du],[=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i))f((c@varphi)(u))(dt)/(du)|| vec(c)^(')(varphi(u))||du],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))f(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt=int_(c)fds],[int_(c@varphi)X*dr=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i))X_((c@varphi)(u))* vec((c@varphi)^('))(u)du],[=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i))X_((c@varphi)(u))*((dt)/(du) vec(c)^(')(varphi(u)))du],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))X_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt=int_(c)X*dr]:} \begin{aligned}
\int_{c \circ \varphi} f d s & =\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} f((c \circ \varphi)(u))\left\|\overrightarrow{(c \circ \varphi)^{\prime}}(u)\right\| d u \\
& =\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} f((c \circ \varphi)(u)) \frac{d t}{d u}\left\|\vec{c}^{\prime}(\varphi(u))\right\| d u \\
& =\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} f(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{c} f d s \\
\int_{c \circ \varphi} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} & =\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} \boldsymbol{X}_{(c \circ \varphi)(u)} \cdot \overrightarrow{(c \circ \varphi)^{\prime}}(u) d u \\
& =\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} \boldsymbol{X}_{(c \circ \varphi)(u)} \cdot\left(\frac{d t}{d u} \vec{c}^{\prime}(\varphi(u))\right) d u \\
& =\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \boldsymbol{X}_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}
\end{aligned} ∫ c ∘ φ f d s = ∑ i = 1 k ∫ u i − 1 u i f ( ( c ∘ φ ) ( u ) ) ‖ ( c ∘ φ ) ′ → ( u ) ‖ d u = ∑ i = 1 k ∫ u i − 1 u i f ( ( c ∘ φ ) ( u ) ) d t d u ‖ c → ′ ( φ ( u ) ) ‖ d u = ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i f ( c ( t ) ) ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t = ∫ c f d s ∫ c ∘ φ X ⋅ d r = ∑ i = 1 k ∫ u i − 1 u i X ( c ∘ φ ) ( u ) ⋅ ( c ∘ φ ) ′ → ( u ) d u = ∑ i = 1 k ∫ u i − 1 u i X ( c ∘ φ ) ( u ) ⋅ ( d t d u c → ′ ( φ ( u ) ) ) d u = ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i X c ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) d t = ∫ c X ⋅ d r
問 1.4.1
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 上のスカラー場
f
f
f f f を
f
(
p
1
,
p
2
)
:=
p
1
p
2
(
(
p
1
,
p
2
)
∈
E
2
)
f
p
1
,
p
2
:=
p
1
p
2
p
1
,
p
2
∈
E
2
f(p_(1),p_(2)):=p_(1)p_(2)quad((p_(1),p_(2))inE^(2)) f\left(p_{1}, p_{2}\right):=p_{1} p_{2} \quad\left(\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{E}^{2}\right) f ( p 1 , p 2 ) := p 1 p 2 ( ( p 1 , p 2 ) ∈ E 2 )
と定義し,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
i
:
[
−
π
,
π
]
→
E
2
(
i
=
1
,
2
)
c
i
:
[
−
π
,
π
]
→
E
2
(
i
=
1
,
2
)
c_(i):[-pi,pi]rarrE^(2)(i=1,2) c_{i}:[-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{E}^{2}(i=1,2) c i : [ − π , π ] → E 2 ( i = 1 , 2 ) を各々,
c
1
(
t
)
:=
(
t
,
t
2
)
,
c
2
(
t
)
:=
c
1
(
t
)
:=
t
,
t
2
,
c
2
(
t
)
:=
c_(1)(t):=(t,t^(2)),c_(2)(t):= c_{1}(t):=\left(t, t^{2}\right), c_{2}(t):= c 1 ( t ) := ( t , t 2 ) , c 2 ( t ) :=
(
cos
t
,
sin
t
)
(
cos
t
,
sin
t
)
(cos t,sin t) (\cos t, \sin t) ( cos t , sin t ) と定義する. 次の各問いに答えよ.
(i)
∫
c
i
f
d
s
(
i
=
1
,
2
)
∫
c
i
f
d
s
(
i
=
1
,
2
)
int_(c_(i))fds(i=1,2) \int_{c_{i}} f d s(i=1,2) ∫ c i f d s ( i = 1 , 2 ) を計算せよ.
(ii) スカラー場
f
f
f f f の
c
1
,
c
2
c
1
,
c
2
c_(1),c_(2) c_{1}, c_{2} c 1 , c 2 に沿う振る舞いを分析することにより, (i) の計算結果が予想されることを説明せよ.
問 1.4.2
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 上のベクトル場
X
θ
(
−
π
<
θ
<
π
)
X
θ
(
−
π
<
θ
<
π
)
X_(theta)(-pi < theta < pi) \boldsymbol{X}_{\theta}(-\pi<\theta<\pi) X θ ( − π < θ < π ) を
(
X
θ
)
(
p
1
,
p
2
)
:=
(
p
1
cos
θ
−
p
2
sin
θ
,
p
1
sin
θ
+
p
2
cos
θ
)
(
(
p
1
,
p
2
)
∈
E
2
)
X
θ
p
1
,
p
2
:=
p
1
cos
θ
−
p
2
sin
θ
,
p
1
sin
θ
+
p
2
cos
θ
p
1
,
p
2
∈
E
2
(X_(theta))_((p_(1),p_(2))):=(p_(1)cos theta-p_(2)sin theta,p_(1)sin theta+p_(2)cos theta)quad((p_(1),p_(2))inE^(2)) \left(\boldsymbol{X}_{\theta}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}:=\left(p_{1} \cos \theta-p_{2} \sin \theta, p_{1} \sin \theta+p_{2} \cos \theta\right) \quad\left(\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{E}^{2}\right) ( X θ ) ( p 1 , p 2 ) := ( p 1 cos θ − p 2 sin θ , p 1 sin θ + p 2 cos θ ) ( ( p 1 , p 2 ) ∈ E 2 )
と定義し,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉曲線
c
:
[
0
,
2
π
]
→
E
2
c
:
[
0
,
2
π
]
→
E
2
c:[0,2pi]rarrE^(2) c:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{E}^{2} c : [ 0 , 2 π ] → E 2 を
c
(
t
)
:=
(
cos
t
,
sin
t
)
(
0
≤
t
≤
2
π
)
c
(
t
)
:=
(
cos
t
,
sin
t
)
(
0
≤
t
≤
2
π
)
c(t):=(cos t,sin t)quad(0 <= t <= 2pi) c(t):=(\cos t, \sin t) \quad(0 \leq t \leq 2 \pi) c ( t ) := ( cos t , sin t ) ( 0 ≤ t ≤ 2 π )
と定義する.次の各問いに答えよ.
(i)
θ
=
0
,
π
4
,
3
π
4
,
−
π
4
θ
=
0
,
π
4
,
3
π
4
,
−
π
4
theta=0,(pi)/(4),(3pi)/(4),-(pi)/(4) \theta=0, \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4},-\frac{\pi}{4} θ = 0 , π 4 , 3 π 4 , − π 4 とする。
X
θ
X
θ
X_(theta) \boldsymbol{X}_{\theta} X θ を図示することにより,
∫
c
X
θ
⋅
d
r
∫
c
X
θ
⋅
d
r
int_(c)X_(theta)*dr \int_{c} \boldsymbol{X}_{\theta} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ c X θ ⋅ d r の正負 (または0)を判定せよ.
(ii)
θ
=
0
,
π
4
,
3
π
4
,
−
π
4
θ
=
0
,
π
4
,
3
π
4
,
−
π
4
theta=0,(pi)/(4),(3pi)/(4),-(pi)/(4) \theta=0, \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4},-\frac{\pi}{4} θ = 0 , π 4 , 3 π 4 , − π 4 とする.
∫
c
X
θ
⋅
d
r
∫
c
X
θ
⋅
d
r
int_(c)X_(theta)*dr \int_{c} \boldsymbol{X}_{\theta} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ c X θ ⋅ d r を計算せよ.
1.5 勾配ベクトル場・回転・発散
この節において,
n
n
n n n 次元ユークリッド空間
E
n
=
(
A
n
,
g
E
)
E
n
=
A
n
,
g
E
E^(n)=(A^(n),g_(E)) \mathbb{E}^{n}=\left(\mathbb{A}^{n}, g_{\mathbb{E}}\right) E n = ( A n , g E ) の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場
(
r
≥
1
)
(
r
≥
1
)
(r >= 1) (r \geq 1) ( r ≥ 1 ) の等位集合と勾配ベクトル場, および
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
(
r
≥
(
r
≥
(r >= (r \geq ( r ≥ 1)の回転,発散を定義し,それらの関係について述べることにする。
f
f
f f f を
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場
(
r
≥
1
)
(
r
≥
1
)
(r >= 1) (r \geq 1) ( r ≥ 1 ) とする。
f
f
f f f の値域の実数
b
b
b b b に対し,
f
−
1
(
b
)
f
−
1
(
b
)
f^(-1)(b) f^{-1}(b) f − 1 ( b ) は
f
f
f f f の
b
b
b b b に対する等位集合(level set)とよばれる。
D
D
D D D 上のベクトル場
grad
f
grad
f
grad f \operatorname{grad} f grad f を
(
grad
f
)
p
:=
(
(
∂
f
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
f
∂
x
n
)
p
)
(
p
∈
D
)
(
grad
f
)
p
:=
∂
f
∂
x
1
p
,
…
,
∂
f
∂
x
n
p
(
p
∈
D
)
(grad f)_(p):=(((del f)/(delx_(1)))_(p),dots,((del f)/(delx_(n)))_(p))quad(p in D) (\operatorname{grad} f)_{p}:=\left(\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right) \quad(p \in D) ( grad f ) p := ( ( ∂ f ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ f ∂ x n ) p ) ( p ∈ D )
によって定義する。明らかに,
grad
f
grad
f
grad f \operatorname{grad} f grad f は
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 ベクトル場である. このベク トル場
grad
f
grad
f
grad f \operatorname{grad} f grad f を
f
f
f f f の勾配ベクトル場(gradient vector field)という(図 1.5.1, 1.5.2 を参照).
注意 ベクトル解析では, 偏微分作用素を成分にもつ形式的な行ベクトル
(
∂
∂
x
1
,
…
,
∂
∂
x
n
)
∂
∂
x
1
,
…
,
∂
∂
x
n
((del)/(delx_(1)),dots,(del)/(delx_(n))) \left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right) ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) は
∇
∇
grad \nabla ∇ と表され, それゆえ,
grad
f
grad
f
grad f \operatorname{grad} f grad f は, 形式的に
∇
f
∇
f
grad f \nabla f ∇ f と表される.勾配ベクトル場について, 次の関係式が成り立つ.
命題 1.5.1
f
1
,
f
2
f
1
,
f
2
f_(1),f_(2) f_{1}, f_{2} f 1 , f 2 を
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
(
r
≥
1
)
(
r
≥
1
)
(r >= 1) (r \geq 1) ( r ≥ 1 ) とし,
α
,
β
α
,
β
alpha,beta \alpha, \beta α , β を定数とする. このとき, 次の関係式が成り立つ:
(i)
grad
(
α
f
1
+
β
f
2
)
=
α
grad
f
1
+
β
grad
f
2
grad
α
f
1
+
β
f
2
=
α
grad
f
1
+
β
grad
f
2
grad(alphaf_(1)+betaf_(2))=alpha gradf_(1)+beta gradf_(2) \operatorname{grad}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right)=\alpha \operatorname{grad} f_{1}+\beta \operatorname{grad} f_{2} grad ( α f 1 + β f 2 ) = α grad f 1 + β grad f 2 ;
(ii)
grad
(
f
1
f
2
)
=
f
1
grad
f
2
+
f
2
grad
f
1
grad
f
1
f
2
=
f
1
grad
f
2
+
f
2
grad
f
1
grad(f_(1)f_(2))=f_(1)gradf_(2)+f_(2)gradf_(1) \operatorname{grad}\left(f_{1} f_{2}\right)=f_{1} \operatorname{grad} f_{2}+f_{2} \operatorname{grad} f_{1} grad ( f 1 f 2 ) = f 1 grad f 2 + f 2 grad f 1 .
証明 勾配ベクトル場の定義より, これらの関係式は次のように示される:
f
:
E
2
→
R
⟺
def
f
(
p
)
:=
p
1
2
+
p
2
2
+
1
(
p
=
(
p
1
,
p
2
)
∈
E
2
)
f
:
E
2
→
R
⟺
def
f
(
p
)
:=
p
1
2
+
p
2
2
+
1
p
=
p
1
,
p
2
∈
E
2
f:E^(2)rarrRLongleftrightarrow _(def)f(p):=p_(1)^(2)+p_(2)^(2)+1quad(p=(p_(1),p_(2))inE^(2)) f: \mathbb{E}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \underset{\operatorname{def}}{\Longleftrightarrow} f(p):=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+1 \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{E}^{2}\right) f : E 2 → R ⟺ def f ( p ) := p 1 2 + p 2 2 + 1 ( p = ( p 1 , p 2 ) ∈ E 2 )
図 1.5.1
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 上のスカラー場の等位集合と勾配ベクトル場
f
:
E
3
→
R
⟺
def
f
(
p
)
:=
p
1
2
+
p
2
2
+
p
3
2
+
1
(
p
=
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
∈
E
3
)
f
:
E
3
→
R
⟺
def
f
(
p
)
:=
p
1
2
+
p
2
2
+
p
3
2
+
1
p
=
p
1
,
p
2
,
p
3
∈
E
3
f:E^(3)rarrRLongleftrightarrow_(def)f(p):=p_(1)^(2)+p_(2)^(2)+p_(3)^(2)+1quad(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inE^(3)) f: \mathbb{E}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} f(p):=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+1 \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in \mathbb{E}^{3}\right) f : E 3 → R ⟺ def f ( p ) := p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 + 1 ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) ∈ E 3 )
図 1.5.2
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 上のスカラー場の等位集合と勾配ベクトル場
grad
(
α
f
1
+
β
f
2
)
=
(
∂
(
α
f
1
+
β
f
2
)
∂
x
1
,
…
,
∂
(
α
f
1
+
β
f
2
)
∂
x
n
)
=
(
α
∂
f
1
∂
x
1
+
β
∂
f
2
∂
x
1
,
…
,
α
∂
f
1
∂
x
n
+
β
∂
f
2
∂
x
n
)
=
α
(
∂
f
1
∂
x
1
,
…
,
∂
f
1
∂
x
n
)
+
β
(
∂
f
2
∂
x
1
,
…
,
∂
f
2
∂
x
n
)
=
α
grad
f
1
+
β
grad
f
2
grad
α
f
1
+
β
f
2
=
∂
α
f
1
+
β
f
2
∂
x
1
,
…
,
∂
α
f
1
+
β
f
2
∂
x
n
=
α
∂
f
1
∂
x
1
+
β
∂
f
2
∂
x
1
,
…
,
α
∂
f
1
∂
x
n
+
β
∂
f
2
∂
x
n
=
α
∂
f
1
∂
x
1
,
…
,
∂
f
1
∂
x
n
+
β
∂
f
2
∂
x
1
,
…
,
∂
f
2
∂
x
n
=
α
grad
f
1
+
β
grad
f
2
{:[grad(alphaf_(1)+betaf_(2))=((del(alphaf_(1)+betaf_(2)))/(delx_(1)),dots,(del(alphaf_(1)+betaf_(2)))/(delx_(n)))],[=(alpha(delf_(1))/(delx_(1))+beta(delf_(2))/(delx_(1)),dots,alpha(delf_(1))/(delx_(n))+beta(delf_(2))/(delx_(n)))],[=alpha((delf_(1))/(delx_(1)),dots,(delf_(1))/(delx_(n)))+beta((delf_(2))/(delx_(1)),dots,(delf_(2))/(delx_(n)))],[=alpha gradf_(1)+beta gradf_(2)]:} \begin{aligned}
\operatorname{grad}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right) & =\left(\frac{\partial\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right)}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right)}{\partial x_{n}}\right) \\
& =\left(\alpha \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}+\beta \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}, \ldots, \alpha \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}+\beta \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}\right) \\
& =\alpha\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\right)+\beta\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}\right) \\
& =\alpha \operatorname{grad} f_{1}+\beta \operatorname{grad} f_{2}
\end{aligned} grad ( α f 1 + β f 2 ) = ( ∂ ( α f 1 + β f 2 ) ∂ x 1 , … , ∂ ( α f 1 + β f 2 ) ∂ x n ) = ( α ∂ f 1 ∂ x 1 + β ∂ f 2 ∂ x 1 , … , α ∂ f 1 ∂ x n + β ∂ f 2 ∂ x n ) = α ( ∂ f 1 ∂ x 1 , … , ∂ f 1 ∂ x n ) + β ( ∂ f 2 ∂ x 1 , … , ∂ f 2 ∂ x n ) = α grad f 1 + β grad f 2
grad
(
f
1
f
2
)
=
(
∂
(
f
1
f
2
)
∂
x
1
,
…
,
∂
(
f
1
f
2
)
∂
x
n
)
=
(
f
1
∂
f
2
∂
x
1
+
f
2
∂
f
1
∂
x
1
,
…
,
f
1
∂
f
2
∂
x
n
+
f
2
∂
f
1
∂
x
n
)
=
f
1
(
∂
f
2
∂
x
1
,
…
,
∂
f
2
∂
x
n
)
+
f
2
(
∂
f
1
∂
x
1
,
…
,
∂
f
1
∂
x
n
)
=
f
1
grad
f
2
+
f
2
grad
f
1
grad
f
1
f
2
=
∂
f
1
f
2
∂
x
1
,
…
,
∂
f
1
f
2
∂
x
n
=
f
1
∂
f
2
∂
x
1
+
f
2
∂
f
1
∂
x
1
,
…
,
f
1
∂
f
2
∂
x
n
+
f
2
∂
f
1
∂
x
n
=
f
1
∂
f
2
∂
x
1
,
…
,
∂
f
2
∂
x
n
+
f
2
∂
f
1
∂
x
1
,
…
,
∂
f
1
∂
x
n
=
f
1
grad
f
2
+
f
2
grad
f
1
{:[grad(f_(1)f_(2))=((del(f_(1)f_(2)))/(delx_(1)),dots,(del(f_(1)f_(2)))/(delx_(n)))],[=(f_(1)(delf_(2))/(delx_(1))+f_(2)(delf_(1))/(delx_(1)),dots,f_(1)(delf_(2))/(delx_(n))+f_(2)(delf_(1))/(delx_(n)))],[=f_(1)((delf_(2))/(delx_(1)),dots,(delf_(2))/(delx_(n)))+f_(2)((delf_(1))/(delx_(1)),dots,(delf_(1))/(delx_(n)))],[=f_(1)gradf_(2)+f_(2)gradf_(1)]:} \begin{aligned}
\operatorname{grad}\left(f_{1} f_{2}\right) & =\left(\frac{\partial\left(f_{1} f_{2}\right)}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial\left(f_{1} f_{2}\right)}{\partial x_{n}}\right) \\
& =\left(f_{1} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}+f_{2} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}, \ldots, f_{1} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}+f_{2} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\right) \\
& =f_{1}\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}\right)+f_{2}\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\right) \\
& =f_{1} \operatorname{grad} f_{2}+f_{2} \operatorname{grad} f_{1}
\end{aligned} grad ( f 1 f 2 ) = ( ∂ ( f 1 f 2 ) ∂ x 1 , … , ∂ ( f 1 f 2 ) ∂ x n ) = ( f 1 ∂ f 2 ∂ x 1 + f 2 ∂ f 1 ∂ x 1 , … , f 1 ∂ f 2 ∂ x n + f 2 ∂ f 1 ∂ x n ) = f 1 ( ∂ f 2 ∂ x 1 , … , ∂ f 2 ∂ x n ) + f 2 ( ∂ f 1 ∂ x 1 , … , ∂ f 1 ∂ x n ) = f 1 grad f 2 + f 2 grad f 1
(
grad
f
)
p
≠
0
(
grad
f
)
p
≠
0
(grad f)_(p)!=0 (\operatorname{grad} f)_{p} \neq \mathbf{0} ( grad f ) p ≠ 0 となる点
p
p
p p p を
f
f
f f f の正則点(regular point)といい,
(
grad
f
)
p
=
0
(
grad
f
)
p
=
0
(grad f)_(p)=0 (\operatorname{grad} f)_{p}=\mathbf{0} ( grad f ) p = 0 となる点
p
p
p p p を
f
f
f f f の臨界点(critical point)という.
f
−
1
(
b
)
f
−
1
(
b
)
f^(-1)(b) f^{-1}(b) f − 1 ( b ) 上 の各点が
f
f
f f f の正則点であるとき,
b
b
b b b を
f
f
f f f の正則値(regular value)といい,
f
−
1
(
b
)
f
−
1
(
b
)
f^(-1)(b) f^{-1}(b) f − 1 ( b ) が
f
f
f f f の臨界点を含むとき,
b
b
b b b を
f
f
f f f の臨界値(critical value)という.
b
b
b b b が
f
f
f f f の正則值であるとき, 等位集合
f
−
1
(
b
)
f
−
1
(
b
)
f^(-1)(b) f^{-1}(b) f − 1 ( b ) は, 超曲面とよばれる
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 次元図形になるので,
f
f
f f f の
b
b
b b b に対する等高超曲面(level hypersurface)とよ ばれる。
命題 1.5.2 等位集合
f
−
1
(
b
)
f
−
1
(
b
)
f^(-1)(b) f^{-1}(b) f − 1 ( b ) 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線
c
:
I
→
f
−
1
(
b
)
(
r
≥
1
)
c
:
I
→
f
−
1
(
b
)
(
r
≥
1
)
c:I rarrf^(-1)(b)(r >= 1) c: I \rightarrow f^{-1}(b)(r \geq 1) c : I → f − 1 ( b ) ( r ≥ 1 ) に対し,
(
grad
f
)
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
=
0
(
t
∈
I
)
(
grad
f
)
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
=
0
(
t
∈
I
)
(grad f)_(c(t))* vec(c)^(')(t)=0(t in I) (\operatorname{grad} f)_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t)=0(t \in I) ( grad f ) c ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) = 0 ( t ∈ I ) が成り立つ.
証明
c
(
t
)
=
(
c
1
(
t
)
,
…
,
c
n
(
t
)
)
c
(
t
)
=
c
1
(
t
)
,
…
,
c
n
(
t
)
c(t)=(c_(1)(t),dots,c_(n)(t)) c(t)=\left(c_{1}(t), \ldots, c_{n}(t)\right) c ( t ) = ( c 1 ( t ) , … , c n ( t ) ) とする. このとき,
f
(
c
(
t
)
)
=
b
f
(
c
(
t
)
)
=
b
f(c(t))=b f(c(t))=b f ( c ( t ) ) = b より,
d
d
t
(
f
∘
c
)
(
t
)
=
d
b
d
t
=
0
d
d
t
(
f
∘
c
)
(
t
)
=
d
b
d
t
=
0
(d)/(dt)(f@c)(t)=(db)/(dt)=0 \frac{d}{d t}(f \circ c)(t)=\frac{d b}{d t}=0 d d t ( f ∘ c ) ( t ) = d b d t = 0
が示され, 一方, 合成関数の偏微分法(連鎖律)より,
d
d
t
(
f
∘
c
)
(
t
)
=
d
d
t
f
(
c
1
(
t
)
,
…
,
c
n
(
t
)
)
=
∑
i
=
1
n
(
∂
f
∂
x
i
)
c
(
t
)
d
c
i
d
t
(1.5.1)
=
(
(
∂
f
∂
x
1
)
c
(
t
)
,
…
,
(
∂
f
∂
x
n
)
c
(
t
)
)
⋅
(
d
c
1
d
t
,
…
,
d
c
n
d
t
)
=
(
grad
f
)
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
d
t
(
f
∘
c
)
(
t
)
=
d
d
t
f
c
1
(
t
)
,
…
,
c
n
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
x
i
c
(
t
)
d
c
i
d
t
(1.5.1)
=
∂
f
∂
x
1
c
(
t
)
,
…
,
∂
f
∂
x
n
c
(
t
)
⋅
d
c
1
d
t
,
…
,
d
c
n
d
t
=
(
grad
f
)
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
{:[(d)/(dt)(f@c)(t)=(d)/(dt)f(c_(1)(t),dots,c_(n)(t))=sum_(i=1)^(n)((del f)/(delx_(i)))_(c(t))(dc_(i))/(dt)],[(1.5.1)=(((del f)/(delx_(1)))_(c(t)),dots,((del f)/(delx_(n)))_(c(t)))*((dc_(1))/(dt),dots,(dc_(n))/(dt))],[=(grad f)_(c(t))* vec(c)^(')(t)]:} \begin{align*}
& \frac{d}{d t}(f \circ c)(t)=\frac{d}{d t} f\left(c_{1}(t), \ldots, c_{n}(t)\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right)_{c(t)} \frac{d c_{i}}{d t} \\
&=\left(\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right)_{c(t)}, \ldots,\left(\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right)_{c(t)}\right) \cdot\left(\frac{d c_{1}}{d t}, \ldots, \frac{d c_{n}}{d t}\right) \tag{1.5.1}\\
&=(\operatorname{grad} f)_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t)
\end{align*} d d t ( f ∘ c ) ( t ) = d d t f ( c 1 ( t ) , … , c n ( t ) ) = ∑ i = 1 n ( ∂ f ∂ x i ) c ( t ) d c i d t (1.5.1) = ( ( ∂ f ∂ x 1 ) c ( t ) , … , ( ∂ f ∂ x n ) c ( t ) ) ⋅ ( d c 1 d t , … , d c n d t ) = ( grad f ) c ( t ) ⋅ c → ′ ( t )
が示される。それゆえ、
(
grad
f
)
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
=
0
(
grad
f
)
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
=
0
(grad f)_(c(t))* vec(c)^(')(t)=0 (\operatorname{grad} f)_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t)=0 ( grad f ) c ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) = 0 が導かれる.
注意 命題 1.5.2 の事実から,
b
b
b b b が
f
f
f f f の正則値の場合,
(
grad
f
)
c
(
t
)
(
grad
f
)
c
(
t
)
(grad f)_(c(t)) (\operatorname{grad} f)_{c(t)} ( grad f ) c ( t ) が等高超曲面
f
−
1
(
b
)
f
−
1
(
b
)
f^(-1)(b) f^{-1}(b) f − 1 ( b ) の法線ベクトルであることがわかる.
勾配ベクトル場の曲線に沿う線積分について, 次の事実が成り立つ.
命題 1.5.3
f
f
f f f を
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場とし,
c
:
[
a
,
b
]
→
D
c
:
[
a
,
b
]
→
D
c:[a,b]rarr D c:[a, b] \rightarrow D c : [ a , b ] → D を区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線する。このとき,
∫
c
grad
f
⋅
d
r
=
f
(
c
(
b
)
)
−
f
(
c
(
a
)
)
∫
c
grad
f
⋅
d
r
=
f
(
c
(
b
)
)
−
f
(
c
(
a
)
)
int_(c)grad f*dr=f(c(b))-f(c(a)) \int_{c} \operatorname{grad} f \cdot d \boldsymbol{r}=f(c(b))-f(c(a)) ∫ c grad f ⋅ d r = f ( c ( b ) ) − f ( c ( a ) )
が成り立つ.
証明
c
(
t
)
=
(
c
1
(
t
)
,
…
,
c
n
(
t
)
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c
(
t
)
=
c
1
(
t
)
,
…
,
c
n
(
t
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c(t)=(c_(1)(t),dots,c_(n)(t))(t in[a,b]) c(t)=\left(c_{1}(t), \ldots, c_{n}(t)\right)(t \in[a, b]) c ( t ) = ( c 1 ( t ) , … , c n ( t ) ) ( t ∈ [ a , b ] ) とする.
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
a=t_(0) < t_(1) < cdots < a=t_{0}<t_{1}<\cdots< a = t 0 < t 1 < ⋯ <
t
k
=
b
t
k
=
b
t_(k)=b t_{k}=b t k = b を,
c
c
c c c の
[
t
i
−
1
,
t
i
]
t
i
−
1
,
t
i
[t_(i-1),t_(i)] \left[t_{i-1}, t_{i}\right] [ t i − 1 , t i ] への制限
c
∣
[
t
i
−
1
,
t
i
]
(
i
=
1
,
…
,
k
−
1
)
c
∣
t
i
−
1
,
t
i
(
i
=
1
,
…
,
k
−
1
)
c∣[t_(i-1),t_(i)](i=1,dots,k-1) c \mid\left[t_{i-1}, t_{i}\right](i=1, \ldots, k-1) c ∣ [ t i − 1 , t i ] ( i = 1 , … , k − 1 ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であ るような
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] の分割とする。このとき, 合成関数の微分法(連鎖律)を用い て,
∫
c
grad
f
⋅
d
r
=
∑
i
=
1
n
∫
t
i
−
1
t
i
(
grad
f
)
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
∑
i
=
1
n
∫
t
i
−
1
t
i
∑
j
=
1
n
(
∂
f
∂
x
j
)
c
(
t
)
c
j
′
(
t
)
d
t
=
∑
i
=
1
n
∫
t
i
−
1
t
i
d
f
(
c
(
t
)
)
d
t
d
t
=
∑
i
=
1
n
(
f
(
c
(
t
i
)
)
−
f
(
c
(
t
i
−
1
)
)
)
=
f
(
c
(
b
)
)
−
f
(
c
(
a
)
)
∫
c
grad
f
⋅
d
r
=
∑
i
=
1
n
∫
t
i
−
1
t
i
(
grad
f
)
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
∑
i
=
1
n
∫
t
i
−
1
t
i
∑
j
=
1
n
∂
f
∂
x
j
c
(
t
)
c
j
′
(
t
)
d
t
=
∑
i
=
1
n
∫
t
i
−
1
t
i
d
f
(
c
(
t
)
)
d
t
d
t
=
∑
i
=
1
n
f
c
t
i
−
f
c
t
i
−
1
=
f
(
c
(
b
)
)
−
f
(
c
(
a
)
)
{:[int_(c)grad f*dr=sum_(i=1)^(n)int_(t_(i-1))^(t_(i))(grad f)_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt],[=sum_(i=1)^(n)int_(t_(i-1))^(t_(i))sum_(j=1)^(n)((del f)/(delx_(j)))_(c(t))c_(j)^(')(t)dt=sum_(i=1)^(n)int_(t_(i-1))^(t_(i))(df(c(t)))/(dt)dt],[=sum_(i=1)^(n)(f(c(t_(i)))-f(c(t_(i-1))))=f(c(b))-f(c(a))]:} \begin{aligned}
\int_{c} \operatorname{grad} f \cdot d \boldsymbol{r} & =\sum_{i=1}^{n} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}}(\operatorname{grad} f)_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\
& =\sum_{i=1}^{n} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\right)_{c(t)} c_{j}^{\prime}(t) d t=\sum_{i=1}^{n} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \frac{d f(c(t))}{d t} d t \\
& =\sum_{i=1}^{n}\left(f\left(c\left(t_{i}\right)\right)-f\left(c\left(t_{i-1}\right)\right)\right)=f(c(b))-f(c(a))
\end{aligned} ∫ c grad f ⋅ d r = ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i ( grad f ) c ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) d t = ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i ∑ j = 1 n ( ∂ f ∂ x j ) c ( t ) c j ′ ( t ) d t = ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i d f ( c ( t ) ) d t d t = ∑ i = 1 n ( f ( c ( t i ) ) − f ( c ( t i − 1 ) ) ) = f ( c ( b ) ) − f ( c ( a ) )
が示される.
f
f
f f f を
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場とする.
v
(
=
c
′
(
t
0
)
)
∈
T
p
A
n
v
=
c
′
t
0
∈
T
p
A
n
v(=c^(')(t_(0)))inT_(p)A^(n) \boldsymbol{v}\left(=c^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) \in T_{p} \mathbb{A}^{n} v ( = c ′ ( t 0 ) ) ∈ T p A n に対し,
v
(
f
)
v
(
f
)
v(f) \boldsymbol{v}(f) v ( f ) を
v
(
f
)
:=
d
f
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
t
0
v
(
f
)
:=
d
f
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
t
0
v(f):=(df(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0)) \boldsymbol{v}(f):=\left.\frac{d f(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}} v ( f ) := d f ( c ( t ) ) d t | t = t 0
によって定義する.
v
(
f
)
v
(
f
)
v(f) \boldsymbol{v}(f) v ( f ) が well-defined であることを示そう。そのためには,
v
=
c
′
(
t
0
)
=
c
¯
′
(
t
¯
0
)
v
=
c
′
t
0
=
c
¯
′
t
¯
0
v=c^(')(t_(0))= bar(c)^(')( bar(t)_(0)) \boldsymbol{v}=c^{\prime}\left(t_{0}\right)=\bar{c}^{\prime}\left(\bar{t}_{0}\right) v = c ′ ( t 0 ) = c ¯ ′ ( t ¯ 0 ) として,
d
f
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
t
0
=
d
f
(
c
¯
(
t
)
)
d
t
|
t
=
t
¯
0
d
f
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
t
0
=
d
f
(
c
¯
(
t
)
)
d
t
t
=
t
¯
0
(df(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))=(df(( bar(c))(t)))/(dt)|_(t= bar(t)_(0)) \left.\frac{d f(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}}=\left.\frac{d f(\bar{c}(t))}{d t}\right|_{t=\bar{t}_{0}} d f ( c ( t ) ) d t | t = t 0 = d f ( c ¯ ( t ) ) d t | t = t ¯ 0
を示せばよい.
c
(
t
)
=
(
c
1
(
t
)
,
…
,
c
n
(
t
)
)
c
(
t
)
=
c
1
(
t
)
,
…
,
c
n
(
t
)
c(t)=(c_(1)(t),dots,c_(n)(t)) c(t)=\left(c_{1}(t), \ldots, c_{n}(t)\right) c ( t ) = ( c 1 ( t ) , … , c n ( t ) ) とする. このとき, 合成関数の偏微分法(連鎖律)を用いて,
d
f
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
t
0
=
∑
i
=
1
n
(
∂
f
∂
x
i
)
c
(
t
0
)
d
c
i
d
t
|
t
=
t
0
=
∑
i
=
1
n
(
∂
f
∂
x
i
)
c
¯
(
t
0
)
d
c
¯
i
d
t
|
t
=
t
¯
0
=
d
f
(
c
¯
(
t
)
)
d
t
|
t
=
t
¯
0
d
f
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
t
0
=
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
x
i
c
t
0
d
c
i
d
t
t
=
t
0
=
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
x
i
c
¯
t
0
d
c
¯
i
d
t
t
=
t
¯
0
=
d
f
(
c
¯
(
t
)
)
d
t
t
=
t
¯
0
{:[(df(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))=sum_(i=1)^(n)((del f)/(delx_(i)))_(c(t_(0)))(dc_(i))/(dt)|_(t=t_(0))],[=sum_(i=1)^(n)((del f)/(delx_(i)))_( bar(c)(t_(0)))(d bar(c)_(i))/(dt)|_(t= bar(t)_(0))=(df(( bar(c))(t)))/(dt)|_(t= bar(t)_(0))]:} \begin{aligned}
\left.\frac{d f(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}} & =\left.\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)} \frac{d c_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}} \\
& =\left.\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right)_{\bar{c}\left(t_{0}\right)} \frac{d \bar{c}_{i}}{d t}\right|_{t=\bar{t}_{0}}=\left.\frac{d f(\bar{c}(t))}{d t}\right|_{t=\bar{t}_{0}}
\end{aligned} d f ( c ( t ) ) d t | t = t 0 = ∑ i = 1 n ( ∂ f ∂ x i ) c ( t 0 ) d c i d t | t = t 0 = ∑ i = 1 n ( ∂ f ∂ x i ) c ¯ ( t 0 ) d c ¯ i d t | t = t ¯ 0 = d f ( c ¯ ( t ) ) d t | t = t ¯ 0
が示され,それゆえ,
v
(
f
)
v
(
f
)
v(f) \boldsymbol{v}(f) v ( f ) がwell-defined であることがわかる.
v
(
f
)
v
(
f
)
v(f) \boldsymbol{v}(f) v ( f ) を
f
f
f \boldsymbol{f} f の
v
v
v v v に関する方向微分係数という。上式より, 次が導かれる.
命題 1.5.4
f
f
f f f を
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場とし,
v
(
=
c
′
(
t
0
)
)
∈
T
p
A
n
v
=
c
′
t
0
∈
T
p
A
n
v(=c^(')(t_(0)))inT_(p)A^(n) \boldsymbol{v}\left(=c^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) \in T_{p} \mathbb{A}^{n} v ( = c ′ ( t 0 ) ) ∈ T p A n とする. このとき,
v
(
f
)
=
(
grad
f
)
c
(
t
0
)
⋅
c
→
′
(
t
0
)
v
(
f
)
=
(
grad
f
)
c
t
0
⋅
c
→
′
t
0
v(f)=(grad f)_(c(t_(0)))* vec(c)^(')(t_(0)) \boldsymbol{v}(f)=(\operatorname{grad} f)_{c\left(t_{0}\right)} \cdot \vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right) v ( f ) = ( grad f ) c ( t 0 ) ⋅ c → ′ ( t 0 )
が成り立つ.
問 1.5.1
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 上の次の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ スカラー場
f
f
f f f の勾配ベクトル場
grad
f
grad
f
grad f \operatorname{grad} f grad f を計算し,
f
f
f f f の 臨界点を求めよ、 また,
grad
f
grad
f
grad f \operatorname{grad} f grad f , および
f
f
f f f の等位集合族を図示せよ.
(i)
f
(
x
1
,
x
2
)
=
x
1
2
−
2
x
1
+
x
2
2
−
4
x
2
+
6
f
x
1
,
x
2
=
x
1
2
−
2
x
1
+
x
2
2
−
4
x
2
+
6
quad f(x_(1),x_(2))=x_(1)^(2)-2x_(1)+x_(2)^(2)-4x_(2)+6 \quad f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}-2 x_{1}+x_{2}^{2}-4 x_{2}+6 f ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 − 2 x 1 + x 2 2 − 4 x 2 + 6
(ii)
f
(
x
1
,
x
2
)
=
−
x
1
2
+
2
x
1
+
x
2
2
−
2
x
2
+
3
f
x
1
,
x
2
=
−
x
1
2
+
2
x
1
+
x
2
2
−
2
x
2
+
3
f(x_(1),x_(2))=-x_(1)^(2)+2x_(1)+x_(2)^(2)-2x_(2)+3 f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-x_{1}^{2}+2 x_{1}+x_{2}^{2}-2 x_{2}+3 f ( x 1 , x 2 ) = − x 1 2 + 2 x 1 + x 2 2 − 2 x 2 + 3
次に,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
(
r
≥
1
)
(
r
≥
1
)
(r >= 1) (r \geq 1) ( r ≥ 1 ) の回転を定義し, その性質 について述べる。
X
X
X \boldsymbol{X} X を
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
(
r
≥
1
)
(
r
≥
1
)
(r >= 1) (r \geq 1) ( r ≥ 1 ) とし,
X
=
X
=
X= \boldsymbol{X}= X =
(
X
1
,
X
2
,
X
3
)
X
1
,
X
2
,
X
3
(X_(1),X_(2),X_(3)) \left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right) ( X 1 , X 2 , X 3 ) とする.
D
D
D D D 上のスカラー場
rot
X
rot
X
rot X \operatorname{rot} \boldsymbol{X} rot X を
(
rot
X
)
p
:=
(
(
∂
X
3
∂
x
2
)
p
−
(
∂
X
2
∂
x
3
)
p
,
(
∂
X
1
∂
x
3
)
p
−
(
∂
X
3
∂
x
1
)
p
(
∂
X
2
∂
x
1
)
p
−
(
∂
X
1
∂
x
2
)
p
)
(
p
∈
E
3
)
(
rot
X
)
p
:=
∂
X
3
∂
x
2
p
−
∂
X
2
∂
x
3
p
,
∂
X
1
∂
x
3
p
−
∂
X
3
∂
x
1
p
∂
X
2
∂
x
1
p
−
∂
X
1
∂
x
2
p
p
∈
E
3
{:[(rot X)_(p):=(((delX_(3))/(delx_(2)))_(p)-:}((delX_(2))/(delx_(3)))_(p)","((delX_(1))/(delx_(3)))_(p)-((delX_(3))/(delx_(1)))_(p)],[{:((delX_(2))/(delx_(1)))_(p)-((delX_(1))/(delx_(2)))_(p))quad(p inE^(3))]:} \begin{aligned}
(\operatorname{rot} \boldsymbol{X})_{p}:=\left(\left(\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{2}}\right)_{p}-\right. & \left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}\right)_{p},\left(\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}}\right)_{p}-\left(\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{1}}\right)_{p} \\
& \left.\left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}\right)_{p}-\left(\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right)_{p}\right) \quad\left(p \in \mathbb{E}^{3}\right)
\end{aligned} ( rot X ) p := ( ( ∂ X 3 ∂ x 2 ) p − ( ∂ X 2 ∂ x 3 ) p , ( ∂ X 1 ∂ x 3 ) p − ( ∂ X 3 ∂ x 1 ) p ( ∂ X 2 ∂ x 1 ) p − ( ∂ X 1 ∂ x 2 ) p ) ( p ∈ E 3 )
によって定義する. 明らかに,
rot
X
rot
X
rot X \operatorname{rot} \boldsymbol{X} rot X は
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 ベクトル場である. このベク トル場
rot
X
rot
X
rot X \operatorname{rot} \boldsymbol{X} rot X を
X
X
X \boldsymbol{X} X の回転(rotation)という(図1.5.3を参照).
rot
X
rot
X
rot X \operatorname{rot} \boldsymbol{X} rot X は,前述の形式的行ベクトル
∇
=
(
∂
∂
x
1
,
∂
∂
x
2
,
∂
∂
x
3
)
∇
=
∂
∂
x
1
,
∂
∂
x
2
,
∂
∂
x
3
grad=((del)/(delx_(1)),(del)/(delx_(2)),(del)/(delx_(3))) \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \frac{\partial}{\partial x_{3}}\right) ∇ = ( ∂ ∂ x 1 , ∂ ∂ x 2 , ∂ ∂ x 3 ) を用いて,
rot
X
=
∇
×
X
rot
X
=
∇
×
X
rot X=grad xx X \operatorname{rot} \boldsymbol{X}=\nabla \times \boldsymbol{X} rot X = ∇ × X と 形式的に表される。それゆえ, ベクトル解析では,
rot
X
rot
X
rot X \operatorname{rot} \boldsymbol{X} rot X を
∇
×
X
∇
×
X
grad xx X \nabla \times \boldsymbol{X} ∇ × X と表すこ とが多い.
図 1.5.3
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 上のベクトル場の回転
特に,
X
=
(
X
1
,
X
2
,
0
)
X
=
X
1
,
X
2
,
0
X=(X_(1),X_(2),0) \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, 0\right) X = ( X 1 , X 2 , 0 ) かつ
∂
X
1
∂
x
3
=
∂
X
2
∂
x
3
=
0
∂
X
1
∂
x
3
=
∂
X
2
∂
x
3
=
0
(delX_(1))/(delx_(3))=(delX_(2))/(delx_(3))=0 \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}}=\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}=0 ∂ X 1 ∂ x 3 = ∂ X 2 ∂ x 3 = 0 のとき,
rot
X
=
(
0
,
0
,
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
)
rot
X
=
0
,
0
,
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
rot X=(0,0,(delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2))) \operatorname{rot} \boldsymbol{X}=\left(0,0, \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right) rot X = ( 0 , 0 , ∂ X 2 ∂ x 1 − ∂ X 1 ∂ x 2 )
となる. この事実から,
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 の領域
D
′
D
′
D^(') D^{\prime} D ′ 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
Y
=
(
Y
1
,
Y
2
)
(
r
≥
Y
=
Y
1
,
Y
2
(
r
≥
Y=(Y_(1),Y_(2))(r >= \boldsymbol{Y}=\left(Y_{1}, Y_{2}\right)(r \geq Y = ( Y 1 , Y 2 ) ( r ≥ 1) の回転 rot
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y は,
(
rot
Y
)
p
:=
(
∂
Y
2
∂
x
1
)
p
−
(
∂
Y
1
∂
x
2
)
p
(
p
∈
D
′
)
(
rot
Y
)
p
:=
∂
Y
2
∂
x
1
p
−
∂
Y
1
∂
x
2
p
p
∈
D
′
(rot Y)_(p):=((delY_(2))/(delx_(1)))_(p)-((delY_(1))/(delx_(2)))_(p)quad(p inD^(')) (\operatorname{rot} \boldsymbol{Y})_{p}:=\left(\frac{\partial Y_{2}}{\partial x_{1}}\right)_{p}-\left(\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}}\right)_{p} \quad\left(p \in D^{\prime}\right) ( rot Y ) p := ( ∂ Y 2 ∂ x 1 ) p − ( ∂ Y 1 ∂ x 2 ) p ( p ∈ D ′ )
によって定義される.
注意
n
≥
4
n
≥
4
n >= 4 n \geq 4 n ≥ 4 の場合,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上の
(
n
−
2
)
(
n
−
2
)
(n-2) (n-2) ( n − 2 ) 本の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
X
1
,
…
,
X
n
−
2
X
1
,
…
,
X
n
−
2
X_(1),dots,X_(n-2) \boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{n-2} X 1 , … , X n − 2 に対 し, 形式的外積
∇
×
X
1
×
⋯
×
X
n
−
2
∇
×
X
1
×
⋯
×
X
n
−
2
grad xxX_(1)xx cdots xxX_(n-2) \nabla \times \boldsymbol{X}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{X}_{n-2} ∇ × X 1 × ⋯ × X n − 2 が何を意味するかを考えてみることは興味深いのではないか.
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場の回転の性質を述べることにする.
命題 1.5.5
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y と
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場
f
f
f f f に 対し, 次の関係式が成り立つ:
(i)
rot
(
α
X
+
β
Y
)
=
α
rot
X
+
β
rot
Y
(
α
,
β
∈
R
)
rot
(
α
X
+
β
Y
)
=
α
rot
X
+
β
rot
Y
(
α
,
β
∈
R
)
rot(alpha X+beta Y)=alpha rot X+beta rot Y quad(alpha,beta inR) \operatorname{rot}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y})=\alpha \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+\beta \operatorname{rot} \boldsymbol{Y} \quad(\alpha, \beta \in \mathbb{R}) rot ( α X + β Y ) = α rot X + β rot Y ( α , β ∈ R ) ;
(ii)
rot
(
f
X
)
=
f
rot
X
+
grad
f
×
X
rot
(
f
X
)
=
f
rot
X
+
grad
f
×
X
rot(fX)=f rot X+grad f xx X \operatorname{rot}(f \boldsymbol{X})=f \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+\operatorname{grad} f \times \boldsymbol{X} rot ( f X ) = f rot X + grad f × X .
証明 式(i)は,回転の定義より直接示される。式(ii)を示そう.
X
=
X
=
X= \boldsymbol{X}= X =
(
X
1
,
X
2
,
X
3
)
X
1
,
X
2
,
X
3
(X_(1),X_(2),X_(3)) \left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right) ( X 1 , X 2 , X 3 ) とする. このとき,
f
X
=
(
f
X
1
,
f
X
2
,
f
X
3
)
f
X
=
f
X
1
,
f
X
2
,
f
X
3
fX=(fX_(1),fX_(2),fX_(3)) f \boldsymbol{X}=\left(f X_{1}, f X_{2}, f X_{3}\right) f X = ( f X 1 , f X 2 , f X 3 ) となるので,
rot
(
f
X
)
=
(
∂
(
f
X
3
)
∂
x
2
−
∂
(
f
X
2
)
∂
x
3
,
∂
(
f
X
1
)
∂
x
3
−
∂
(
f
X
3
)
∂
x
1
,
∂
(
f
X
2
)
∂
x
1
−
∂
(
f
X
1
)
∂
x
2
)
=
(
f
(
∂
X
3
∂
x
2
−
∂
X
2
∂
x
3
)
+
∂
f
∂
x
2
X
3
−
∂
f
∂
x
3
X
2
f
(
∂
X
1
∂
x
3
−
∂
X
3
∂
x
1
)
+
∂
f
∂
x
3
X
1
−
∂
f
∂
x
1
X
3
f
(
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
)
+
∂
f
∂
x
1
X
2
−
∂
f
∂
x
2
X
1
)
=
f
rot
X
+
grad
f
×
X
rot
(
f
X
)
=
∂
f
X
3
∂
x
2
−
∂
f
X
2
∂
x
3
,
∂
f
X
1
∂
x
3
−
∂
f
X
3
∂
x
1
,
∂
f
X
2
∂
x
1
−
∂
f
X
1
∂
x
2
=
f
∂
X
3
∂
x
2
−
∂
X
2
∂
x
3
+
∂
f
∂
x
2
X
3
−
∂
f
∂
x
3
X
2
f
∂
X
1
∂
x
3
−
∂
X
3
∂
x
1
+
∂
f
∂
x
3
X
1
−
∂
f
∂
x
1
X
3
f
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
+
∂
f
∂
x
1
X
2
−
∂
f
∂
x
2
X
1
=
f
rot
X
+
grad
f
×
X
{:[rot(fX)=((del(fX_(3)))/(delx_(2))-(del(fX_(2)))/(delx_(3)),(del(fX_(1)))/(delx_(3))-(del(fX_(3)))/(delx_(1)),(del(fX_(2)))/(delx_(1))-(del(fX_(1)))/(delx_(2)))],[=(f((delX_(3))/(delx_(2))-(delX_(2))/(delx_(3)))+(del f)/(delx_(2))X_(3)-(del f)/(delx_(3))X_(2):}],[quad f((delX_(1))/(delx_(3))-(delX_(3))/(delx_(1)))+(del f)/(delx_(3))X_(1)-(del f)/(delx_(1))X_(3)],[{: quad f((delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2)))+(del f)/(delx_(1))X_(2)-(del f)/(delx_(2))X_(1))],[=f rot X+grad f xx X]:} \begin{aligned}
\operatorname{rot}(f \boldsymbol{X})= & \left(\frac{\partial\left(f X_{3}\right)}{\partial x_{2}}-\frac{\partial\left(f X_{2}\right)}{\partial x_{3}}, \frac{\partial\left(f X_{1}\right)}{\partial x_{3}}-\frac{\partial\left(f X_{3}\right)}{\partial x_{1}}, \frac{\partial\left(f X_{2}\right)}{\partial x_{1}}-\frac{\partial\left(f X_{1}\right)}{\partial x_{2}}\right) \\
= & \left(f\left(\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}\right)+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} X_{3}-\frac{\partial f}{\partial x_{3}} X_{2}\right. \\
& \quad f\left(\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{1}}\right)+\frac{\partial f}{\partial x_{3}} X_{1}-\frac{\partial f}{\partial x_{1}} X_{3} \\
& \left.\quad f\left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right)+\frac{\partial f}{\partial x_{1}} X_{2}-\frac{\partial f}{\partial x_{2}} X_{1}\right) \\
= & f \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+\operatorname{grad} f \times \boldsymbol{X}
\end{aligned} rot ( f X ) = ( ∂ ( f X 3 ) ∂ x 2 − ∂ ( f X 2 ) ∂ x 3 , ∂ ( f X 1 ) ∂ x 3 − ∂ ( f X 3 ) ∂ x 1 , ∂ ( f X 2 ) ∂ x 1 − ∂ ( f X 1 ) ∂ x 2 ) = ( f ( ∂ X 3 ∂ x 2 − ∂ X 2 ∂ x 3 ) + ∂ f ∂ x 2 X 3 − ∂ f ∂ x 3 X 2 f ( ∂ X 1 ∂ x 3 − ∂ X 3 ∂ x 1 ) + ∂ f ∂ x 3 X 1 − ∂ f ∂ x 1 X 3 f ( ∂ X 2 ∂ x 1 − ∂ X 1 ∂ x 2 ) + ∂ f ∂ x 1 X 2 − ∂ f ∂ x 2 X 1 ) = f rot X + grad f × X
をえる.
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場
(
r
≥
2
)
(
r
≥
2
)
(r >= 2) (r \geq 2) ( r ≥ 2 ) の勾配ベクトル場の回転に関して,次の事実が成り立つ.
命題 1.5.6
r
≥
2
r
≥
2
quad r >= 2 \quad r \geq 2 r ≥ 2 とする. 任意の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場
f
f
f f f に対し,
rot
(
grad
f
)
=
rot
(
grad
f
)
=
rot(grad f)= \operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)= rot ( grad f ) = 0 が成り立つ.
証明 この関係式は, 次のように示される:
rot
(
grad
f
)
=
rot
(
∂
f
∂
x
1
,
∂
f
∂
x
2
,
∂
f
∂
x
3
)
=
(
∂
∂
x
2
(
∂
f
∂
x
3
)
−
∂
∂
x
3
(
∂
f
∂
x
2
)
,
∂
∂
x
3
(
∂
f
∂
x
1
)
−
∂
∂
x
1
(
∂
f
∂
x
3
)
∂
∂
x
1
(
∂
f
∂
x
2
)
−
∂
∂
x
2
(
∂
f
∂
x
1
)
)
=
0
rot
(
grad
f
)
=
rot
∂
f
∂
x
1
,
∂
f
∂
x
2
,
∂
f
∂
x
3
=
∂
∂
x
2
∂
f
∂
x
3
−
∂
∂
x
3
∂
f
∂
x
2
,
∂
∂
x
3
∂
f
∂
x
1
−
∂
∂
x
1
∂
f
∂
x
3
∂
∂
x
1
∂
f
∂
x
2
−
∂
∂
x
2
∂
f
∂
x
1
=
0
{:[rot(grad f)=rot((del f)/(delx_(1)),(del f)/(delx_(2)),(del f)/(delx_(3)))],[=((del)/(delx_(2))((del f)/(delx_(3)))-(del)/(delx_(3))((del f)/(delx_(2))),(del)/(delx_(3))((del f)/(delx_(1)))-(del)/(delx_(1))((del f)/(delx_(3))):}],[{:(del)/(delx_(1))((del f)/(delx_(2)))-(del)/(delx_(2))((del f)/(delx_(1))))],[=0]:} \begin{aligned}
& \operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)=\operatorname{rot}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}, \frac{\partial f}{\partial x_{3}}\right) \\
= & \left(\frac{\partial}{\partial x_{2}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{3}}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{3}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{2}}\right), \frac{\partial}{\partial x_{3}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{3}}\right)\right. \\
& \left.\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{2}}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{2}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right)\right) \\
= & \mathbf{0}
\end{aligned} rot ( grad f ) = rot ( ∂ f ∂ x 1 , ∂ f ∂ x 2 , ∂ f ∂ x 3 ) = ( ∂ ∂ x 2 ( ∂ f ∂ x 3 ) − ∂ ∂ x 3 ( ∂ f ∂ x 2 ) , ∂ ∂ x 3 ( ∂ f ∂ x 1 ) − ∂ ∂ x 1 ( ∂ f ∂ x 3 ) ∂ ∂ x 1 ( ∂ f ∂ x 2 ) − ∂ ∂ x 2 ( ∂ f ∂ x 1 ) ) = 0
注意 命題1.5.6によれば,
rot
X
rot
X
rot X \operatorname{rot} \boldsymbol{X} rot X は,
X
X
X \boldsymbol{X} X がある
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場
f
(
r
≥
2
)
f
(
r
≥
2
)
f(r >= 2) f(r \geq 2) f ( r ≥ 2 ) を用 いて
X
=
grad
f
X
=
grad
f
X=grad f \boldsymbol{X}=\operatorname{grad} f X = grad f と表されることに対する障害を表す量であることがわかる.
簡便のため,
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 の領域
D
D
D D D 上のベクトル場
X
=
(
X
1
,
X
2
)
,
Y
=
(
Y
1
,
Y
2
)
X
=
X
1
,
X
2
,
Y
=
Y
1
,
Y
2
X=(X_(1),X_(2)),Y=(Y_(1),Y_(2)) \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}\right), \boldsymbol{Y}=\left(Y_{1}, Y_{2}\right) X = ( X 1 , X 2 ) , Y = ( Y 1 , Y 2 ) に 対し,
D
D
D D D 上のスカラー場
[
X
,
Y
]
[
X
,
Y
]
[X,Y] [\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}] [ X , Y ] を
[
X
,
Y
]
:=
|
X
1
Y
1
X
2
Y
2
|
[
X
,
Y
]
:=
X
1
Y
1
X
2
Y
2
[X,Y]:=|[X_(1),Y_(1)],[X_(2),Y_(2)]| [\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}]:=\left|\begin{array}{ll}
X_{1} & Y_{1} \\
X_{2} & Y_{2}
\end{array}\right| [ X , Y ] := | X 1 Y 1 X 2 Y 2 |
によって定義しておく. このとき,
rot
X
rot
X
rot X \operatorname{rot} \boldsymbol{X} rot X は, 形式的に
[
∇
,
X
]
[
∇
,
X
]
[grad,X] [\nabla, \boldsymbol{X}] [ ∇ , X ] と表される.
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場の回転の性質を述べることにする.
命題 1.5.7
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y と
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場
f
f
f f f に 対し, 次の関係式が成り立つ.
(i)
rot
(
α
X
+
β
Y
)
=
α
rot
X
+
β
rot
Y
(
α
,
β
∈
R
)
rot
(
α
X
+
β
Y
)
=
α
rot
X
+
β
rot
Y
(
α
,
β
∈
R
)
rot(alpha X+beta Y)=alpha rot X+beta rot Y quad(alpha,beta inR) \operatorname{rot}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y})=\alpha \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+\beta \operatorname{rot} \boldsymbol{Y} \quad(\alpha, \beta \in \mathbb{R}) rot ( α X + β Y ) = α rot X + β rot Y ( α , β ∈ R ) ;
(ii)
rot
(
f
X
)
=
f
rot
X
+
[
grad
f
,
X
]
rot
(
f
X
)
=
f
rot
X
+
[
grad
f
,
X
]
rot(fX)=f rot X+[grad f,X] \operatorname{rot}(f \boldsymbol{X})=f \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+[\operatorname{grad} f, \boldsymbol{X}] rot ( f X ) = f rot X + [ grad f , X ] .
証明 式 (i) は, 回転の定義より直接示される。式 (ii)を示そう.
X
=
X
=
X= \boldsymbol{X}= X =
(
X
1
,
X
2
)
X
1
,
X
2
(X_(1),X_(2)) \left(X_{1}, X_{2}\right) ( X 1 , X 2 ) とする. このとき,
f
X
=
(
f
X
1
,
f
X
2
)
f
X
=
f
X
1
,
f
X
2
fX=(fX_(1),fX_(2)) f \boldsymbol{X}=\left(f X_{1}, f X_{2}\right) f X = ( f X 1 , f X 2 ) となるので,
rot
(
f
X
)
=
∂
(
f
X
2
)
∂
x
1
−
∂
(
f
X
1
)
∂
x
2
=
(
∂
f
∂
x
1
X
2
+
f
∂
X
2
∂
x
1
)
−
(
∂
f
∂
x
2
X
1
+
f
∂
X
1
∂
x
2
)
=
f
(
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
)
+
(
∂
f
∂
x
1
X
2
−
∂
f
∂
x
2
X
1
)
=
f
rot
X
+
[
grad
f
,
X
]
rot
(
f
X
)
=
∂
f
X
2
∂
x
1
−
∂
f
X
1
∂
x
2
=
∂
f
∂
x
1
X
2
+
f
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
f
∂
x
2
X
1
+
f
∂
X
1
∂
x
2
=
f
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
+
∂
f
∂
x
1
X
2
−
∂
f
∂
x
2
X
1
=
f
rot
X
+
[
grad
f
,
X
]
{:[rot(fX)=(del(fX_(2)))/(delx_(1))-(del(fX_(1)))/(delx_(2))],[=((del f)/(delx_(1))X_(2)+f((delX_(2))/(delx_(1))))-((del f)/(delx_(2))X_(1)+f((delX_(1))/(delx_(2))))],[=f((delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2)))+((del f)/(delx_(1))X_(2)-(del f)/(delx_(2))X_(1))],[=f rot X+[grad f","X]]:} \begin{aligned}
\operatorname{rot}(f \boldsymbol{X}) & =\frac{\partial\left(f X_{2}\right)}{\partial x_{1}}-\frac{\partial\left(f X_{1}\right)}{\partial x_{2}} \\
& =\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}} X_{2}+f \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}\right)-\left(\frac{\partial f}{\partial x_{2}} X_{1}+f \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right) \\
& =f\left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}} X_{2}-\frac{\partial f}{\partial x_{2}} X_{1}\right) \\
& =f \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+[\operatorname{grad} f, \boldsymbol{X}]
\end{aligned} rot ( f X ) = ∂ ( f X 2 ) ∂ x 1 − ∂ ( f X 1 ) ∂ x 2 = ( ∂ f ∂ x 1 X 2 + f ∂ X 2 ∂ x 1 ) − ( ∂ f ∂ x 2 X 1 + f ∂ X 1 ∂ x 2 ) = f ( ∂ X 2 ∂ x 1 − ∂ X 1 ∂ x 2 ) + ( ∂ f ∂ x 1 X 2 − ∂ f ∂ x 2 X 1 ) = f rot X + [ grad f , X ]
をえる。
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場
(
r
≥
2
)
(
r
≥
2
)
(r >= 2) (r \geq 2) ( r ≥ 2 ) の勾配ベクトル場の回転に関して も, 次の事実が成り立つ.
命題 1.5.8
r
≥
2
r
≥
2
quad r >= 2 \quad r \geq 2 r ≥ 2 とする。任意の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場
f
f
f f f に対し,
rot
(
grad
f
)
=
rot
(
grad
f
)
=
rot(grad f)= \operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)= rot ( grad f ) = 0 が成り立つ.
次に,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場の発散を定義しよう.
X
=
X
=
X= \boldsymbol{X}= X =
(
X
1
,
…
,
X
n
)
X
1
,
…
,
X
n
(X_(1),dots,X_(n)) \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) ( X 1 , … , X n ) を
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場とする。
D
D
D D D 上の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 スカ ラー場
div
X
div
X
div X \operatorname{div} \boldsymbol{X} div X を
図 1.5.4
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 上のベクトル場の発散
(
div
X
)
p
:=
∑
i
=
1
n
(
∂
X
i
∂
x
i
)
p
(
p
∈
D
)
(
div
X
)
p
:=
∑
i
=
1
n
∂
X
i
∂
x
i
p
(
p
∈
D
)
(div X)_(p):=sum_(i=1)^(n)((delX_(i))/(delx_(i)))_(p)quad(p in D) (\operatorname{div} \boldsymbol{X})_{p}:=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}}\right)_{p} \quad(p \in D) ( div X ) p := ∑ i = 1 n ( ∂ X i ∂ x i ) p ( p ∈ D )
によって定義する. この
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 スカラー場
div
X
div
X
div X \operatorname{div} \boldsymbol{X} div X を
X
X
X \boldsymbol{X} X の発散(divergence) という(図 1.5.4を参照)。
div
X
div
X
div X \operatorname{div} \boldsymbol{X} div X は, 形式的行ベクトル
∇
∇
grad \nabla ∇ を用いて, 形式的 に
∇
⋅
X
∇
⋅
X
grad*X \nabla \cdot \boldsymbol{X} ∇ ⋅ X と表される。それゆえ, ベクトル解析では,
X
X
X \boldsymbol{X} X の発散を
∇
⋅
X
∇
⋅
X
grad*X \nabla \cdot \boldsymbol{X} ∇ ⋅ X と表 すことが多い.
命題 1.5.9
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場
f
f
f f f , および
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y に対し, 次の関係式が成り立つ.
(i)
div
(
α
X
+
β
Y
)
=
α
div
X
+
β
div
Y
(
α
,
β
∈
R
)
div
(
α
X
+
β
Y
)
=
α
div
X
+
β
div
Y
(
α
,
β
∈
R
)
div(alpha X+beta Y)=alpha div X+beta div Y quad(alpha,beta inR) \operatorname{div}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y})=\alpha \operatorname{div} \boldsymbol{X}+\beta \operatorname{div} \boldsymbol{Y} \quad(\alpha, \beta \in \mathbb{R}) div ( α X + β Y ) = α div X + β div Y ( α , β ∈ R ) ;
(ii)
div
(
f
X
)
=
f
div
X
+
grad
f
⋅
X
div
(
f
X
)
=
f
div
X
+
grad
f
⋅
X
div(fX)=f div X+grad f*X \operatorname{div}(f \boldsymbol{X})=f \operatorname{div} \boldsymbol{X}+\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{X} div ( f X ) = f div X + grad f ⋅ X .
証明 両式とも, 発散の定義より直接示される.
命題 1.5.10
r
≥
2
r
≥
2
r >= 2 r \geq 2 r ≥ 2 とする.
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 の領域
D
D
D D D 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し,
div
(
rot
X
)
=
0
div
(
rot
X
)
=
0
div(rot X)=0 \operatorname{div}(\operatorname{rot} \boldsymbol{X})=0 div ( rot X ) = 0 が成り立つ.
証明この関係式は, 左辺を回転と発散の定義に基づいて表示し, 偏微分の 順序交換可能性を用いることにより示される。
このように,
div
X
div
X
div X \operatorname{div} \boldsymbol{X} div X は,
X
X
X \boldsymbol{X} X がある
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
(
r
≥
2
)
(
r
≥
2
)
(r >= 2) (r \geq 2) ( r ≥ 2 ) の回転として表 されることに対する障害を表す量であることがわかる.
問 1.5.2 次の
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し,
rot
X
,
div
X
rot
X
,
div
X
rot X,div X \operatorname{rot} \boldsymbol{X}, \operatorname{div} \boldsymbol{X} rot X , div X を求めよ. また
X
X
X \boldsymbol{X} X と
rot
X
rot
X
rot X \operatorname{rot} \boldsymbol{X} rot X を図示し,
rot
X
rot
X
rot X \operatorname{rot} \boldsymbol{X} rot X がどのようなものであるか分析せよ.
(i)
X
p
=
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
(
p
=
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
∈
E
3
)
X
p
=
p
1
,
p
2
,
p
3
p
=
p
1
,
p
2
,
p
3
∈
E
3
quadX_(p)=(p_(1),p_(2),p_(3))quad(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inE^(3)) \quad \boldsymbol{X}_{p}=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in \mathbb{E}^{3}\right) X p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) ∈ E 3 )
(ii)
X
p
=
(
−
p
2
,
p
1
,
1
)
(
p
=
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
∈
E
3
)
X
p
=
−
p
2
,
p
1
,
1
p
=
p
1
,
p
2
,
p
3
∈
E
3
quadX_(p)=(-p_(2),p_(1),1)quad(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inE^(3)) \quad \boldsymbol{X}_{p}=\left(-p_{2}, p_{1}, 1\right) \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in \mathbb{E}^{3}\right) X p = ( − p 2 , p 1 , 1 ) ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) ∈ E 3 )
問 1.5.3 次の
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し,
rot
X
rot
X
rot X \operatorname{rot} \boldsymbol{X} rot X を求めよ.
(i)
X
p
=
(
p
1
,
p
2
)
(
p
=
(
p
1
,
p
2
)
∈
E
2
)
X
p
=
p
1
,
p
2
p
=
p
1
,
p
2
∈
E
2
quadX_(p)=(p_(1),p_(2))quad(p=(p_(1),p_(2))inE^(2)) \quad \boldsymbol{X}_{p}=\left(p_{1}, p_{2}\right) \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{E}^{2}\right) X p = ( p 1 , p 2 ) ( p = ( p 1 , p 2 ) ∈ E 2 )
(ii)
X
p
=
(
−
p
2
,
p
1
)
(
p
=
(
p
1
,
p
2
)
∈
E
2
)
X
p
=
−
p
2
,
p
1
p
=
p
1
,
p
2
∈
E
2
quadX_(p)=(-p_(2),p_(1))quad(p=(p_(1),p_(2))inE^(2)) \quad \boldsymbol{X}_{p}=\left(-p_{2}, p_{1}\right) \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{E}^{2}\right) X p = ( − p 2 , p 1 ) ( p = ( p 1 , p 2 ) ∈ E 2 )
1.6 長さ汎関数とエネルギー汎関数の変分公式
この節では,
r
≥
3
r
≥
3
r >= 3 r \geq 3 r ≥ 3 とする. この節において,
n
n
n n n 次元ユークリッド空間
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線の長さとエネルギーを定義し,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線全体のなす空間上で定義 される長さ汎関数とエネルギー汎関数の第 1 変分公式, および第 2 変分公式 を導出することにする。
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c:[a,b]rarrE^(n) c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n} c : [ a , b ] → E n を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線とする。
L
(
c
)
L
(
c
)
L(c) L(c) L ( c ) , および
E
(
c
)
E
(
c
)
E(c) E(c) E ( c ) を次式によって定義する:
L
(
c
)
:=
∫
a
b
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
,
E
(
c
)
:=
∫
a
b
‖
c
→
′
(
t
)
‖
2
d
t
L
(
c
)
:=
∫
a
b
c
→
′
(
t
)
d
t
,
E
(
c
)
:=
∫
a
b
c
→
′
(
t
)
2
d
t
L(c):=int_(a)^(b)|| vec(c)^(')(t)||dt,quad E(c):=int_(a)^(b)|| vec(c)^(')(t)||^(2)dt L(c):=\int_{a}^{b}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t, \quad E(c):=\int_{a}^{b}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\|^{2} d t L ( c ) := ∫ a b ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t , E ( c ) := ∫ a b ‖ c → ′ ( t ) ‖ 2 d t
L
(
c
)
L
(
c
)
L(c) L(c) L ( c ) は
c
c
c c c の長さ(length)とよばれ,
E
(
c
)
E
(
c
)
E(c) E(c) E ( c ) は
c
c
c c c のエネルギー(energy)と よばれる。
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] を定義域とする
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 内の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線全体からなる集合を
C
r
(
[
a
,
b
]
,
E
n
)
C
r
[
a
,
b
]
,
E
n
C^(r)([a,b],E^(n)) C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right) C r ( [ a , b ] , E n ) と表す. 各
c
∈
C
r
(
[
a
,
b
]
,
E
n
)
c
∈
C
r
[
a
,
b
]
,
E
n
c inC^(r)([a,b],E^(n)) c \in C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right) c ∈ C r ( [ a , b ] , E n ) に対し,
L
(
c
)
L
(
c
)
L(c) L(c) L ( c ) を対応させることに より定義される
C
r
(
[
a
,
b
]
,
E
n
)
C
r
[
a
,
b
]
,
E
n
C^(r)([a,b],E^(n)) C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right) C r ( [ a , b ] , E n ) 上の関数を
L
L
L \mathcal{L} L と表し, 各
c
∈
C
r
(
[
a
,
b
]
,
E
n
)
c
∈
C
r
[
a
,
b
]
,
E
n
c inC^(r)([a,b],E^(n)) c \in C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right) c ∈ C r ( [ a , b ] , E n ) に対 し,
E
(
c
)
E
(
c
)
E(c) E(c) E ( c ) を対応させることにより定義される
C
r
(
[
a
,
b
]
,
E
n
)
C
r
[
a
,
b
]
,
E
n
C^(r)([a,b],E^(n)) C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right) C r ( [ a , b ] , E n ) 上の関数を
E
E
E \mathcal{E} E と 表す.
L
,
E
L
,
E
L,E \mathcal{L}, \mathcal{E} L , E は各々, 長さ汎関数(length functional) エネルギー汎関数 (energy functional) とよばれる.
次に,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 変形という概念を定義する.
c
∈
C
r
(
[
a
,
b
]
,
E
n
)
c
∈
C
r
[
a
,
b
]
,
E
n
c inC^(r)([a,b],E^(n)) c \in C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right) c ∈ C r ( [ a , b ] , E n ) とする. とを十分小さな正の数とし,
δ
δ
delta \delta δ を
[
a
,
b
]
×
(
−
ε
,
ε
)
[
a
,
b
]
×
(
−
ε
,
ε
)
[a,b]xx(-epsi,epsi) [a, b] \times(-\varepsilon, \varepsilon) [ a , b ] × ( − ε , ε ) から
E
n
へ
の
C
r
E
n
へ
の
C
r
E^(n)へのC^(r) \mathbb{E}^{n} へ の C^{r} へ の E n へ の C r 写像, つま り,
δ
→
(
t
,
u
)
=
o
δ
(
t
,
u
)
→
(
(
t
,
u
)
∈
[
a
,
b
]
×
(
−
ε
,
ε
)
)
δ
→
(
t
,
u
)
=
o
δ
(
t
,
u
)
→
(
(
t
,
u
)
∈
[
a
,
b
]
×
(
−
ε
,
ε
)
)
vec(delta)(t,u)= vec(o delta(t,u))quad((t,u)in[a,b]xx(-epsi,epsi)) \vec{\delta}(t, u)=\overrightarrow{o \delta(t, u)} \quad((t, u) \in[a, b] \times(-\varepsilon, \varepsilon)) δ → ( t , u ) = o δ ( t , u ) → ( ( t , u ) ∈ [ a , b ] × ( − ε , ε ) )
によって定義される
[
a
,
b
]
×
(
−
ε
,
ε
)
[
a
,
b
]
×
(
−
ε
,
ε
)
[a,b]xx(-epsi,epsi) [a, b] \times(-\varepsilon, \varepsilon) [ a , b ] × ( − ε , ε ) 上のベクトル値関数
δ
→
δ
→
vec(delta) \vec{\delta} δ → が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるよ うなものとする.
δ
(
t
,
0
)
=
c
(
t
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
δ
(
t
,
0
)
=
c
(
t
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
delta(t,0)=c(t)(t in[a,b]) \delta(t, 0)=c(t)(t \in[a, b]) δ ( t , 0 ) = c ( t ) ( t ∈ [ a , b ] ) が成り立つとき,
δ
δ
delta \delta δ を
c
c
c c c の
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 変形
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -deformation) という.
c
c
c c c の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 変形
δ
δ
delta \delta δ に対し,
図 1.6.1
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 変形と変分ベクトル場
V
(
t
)
:=
(
∂
δ
→
∂
u
)
(
t
,
0
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
V
(
t
)
:=
∂
δ
→
∂
u
(
t
,
0
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
V(t):=((del( vec(delta)))/(del u))_((t,0))quad(t in[a,b]) V(t):=\left(\frac{\partial \vec{\delta}}{\partial u}\right)_{(t, 0)} \quad(t \in[a, b]) V ( t ) := ( ∂ δ → ∂ u ) ( t , 0 ) ( t ∈ [ a , b ] )
で定義される
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] 上のベクトル値関数
V
V
V V V を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 変形
δ
δ
delta \delta δ の変分ベクトル場 (variational vector field) という(図 1.6.1 を参照). 特に,
δ
(
a
,
u
)
=
c
(
a
)
δ
(
a
,
u
)
=
c
(
a
)
delta(a,u)=c(a) \delta(a, u)=c(a) δ ( a , u ) = c ( a ) ,
δ
(
b
,
u
)
=
c
(
b
)
(
u
∈
(
−
ε
,
ε
)
)
δ
(
b
,
u
)
=
c
(
b
)
(
u
∈
(
−
ε
,
ε
)
)
delta(b,u)=c(b)(u in(-epsi,epsi)) \delta(b, u)=c(b)(u \in(-\varepsilon, \varepsilon)) δ ( b , u ) = c ( b ) ( u ∈ ( − ε , ε ) ) のとき,
δ
δ
delta \delta δ を両端固定の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 変形(both ends fixed
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r -deformation) という. また,
V
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
=
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
V
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
=
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
V(t)* vec(c)^(')(t)=0(t in[a,b]) V(t) \cdot \vec{c}^{\prime}(t)=0(t \in[a, b]) V ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) = 0 ( t ∈ [ a , b ] ) が成 り立つとき,
δ
δ
delta \delta δ を
c
c
c c c の
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 法変形(
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r -normal deformation)という. 各
u
∈
(
−
ε
,
ε
)
u
∈
(
−
ε
,
ε
)
u in(-epsi,epsi) u \in(-\varepsilon, \varepsilon) u ∈ ( − ε , ε ) に対し,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線
c
u
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c
u
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c_(u):[a,b]rarrE^(n) c_{u}:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n} c u : [ a , b ] → E n を
c
u
(
t
)
:=
δ
(
t
,
u
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c
u
(
t
)
:=
δ
(
t
,
u
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c_(u)(t):=delta(t,u)(t in[a,b]) c_{u}(t):=\delta(t, u)(t \in[a, b]) c u ( t ) := δ ( t , u ) ( t ∈ [ a , b ] ) に よって定義する.
L
L
L \mathcal{L} L に対し, 次の第 1 変分公式(the first variational formula)とよばれ る公式が成り立つ.
定理 1.6.1(L の第 1 変分公式)
c
c
c c c が定速である, つまり, ある定数
l
l
l l l に対 し
‖
c
→
′
(
t
)
‖
=
l
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c
→
′
(
t
)
=
l
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
|| vec(c)^(')(t)||=l(t in[a,b]) \left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\|=l(t \in[a, b]) ‖ c → ′ ( t ) ‖ = l ( t ∈ [ a , b ] ) が成り立つとする. このとき,
c
c
c c c の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 変形
δ
δ
delta \delta δ に対 し,次の積分公式が成り立つ:
d
d
u
|
u
=
0
L
(
c
u
)
=
1
l
(
V
(
b
)
⋅
c
→
′
(
b
)
−
V
(
a
)
⋅
c
→
′
(
a
)
−
∫
a
b
c
→
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
)
d
d
u
u
=
0
L
c
u
=
1
l
V
(
b
)
⋅
c
→
′
(
b
)
−
V
(
a
)
⋅
c
→
′
(
a
)
−
∫
a
b
c
→
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
(d)/(du)|_(u=0)L(c_(u))=(1)/(l)(V(b)* vec(c)^(')(b)-V(a)* vec(c)^(')(a)-int_(a)^(b) vec(c)^('')(t)*V(t)dt) \left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=\frac{1}{l}\left(V(b) \cdot \vec{c}^{\prime}(b)-V(a) \cdot \vec{c}^{\prime}(a)-\int_{a}^{b} \vec{c}^{\prime \prime}(t) \cdot V(t) d t\right) d d u | u = 0 L ( c u ) = 1 l ( V ( b ) ⋅ c → ′ ( b ) − V ( a ) ⋅ c → ′ ( a ) − ∫ a b c → ′ ′ ( t ) ⋅ V ( t ) d t )
証明この変分公式は次のように微分と積分の順序交換を用いて示される:
d
d
u
|
u
=
0
L
(
c
u
)
=
d
d
u
|
u
=
0
∫
a
b
c
→
u
′
(
t
)
⋅
c
→
u
′
(
t
)
d
t
=
∫
a
b
1
2
‖
c
→
′
(
t
)
‖
×
d
d
u
|
u
=
0
(
c
→
u
′
(
t
)
⋅
c
→
u
′
(
t
)
)
d
t
=
1
l
∫
a
b
(
∂
2
δ
→
∂
u
∂
t
)
(
t
,
0
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
1
l
∫
a
b
(
∂
2
δ
→
∂
t
∂
u
)
(
t
,
0
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
1
l
∫
a
b
(
d
d
t
(
V
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
)
−
V
(
t
)
⋅
c
→
′
′
(
t
)
)
d
t
=
1
l
(
V
(
b
)
⋅
c
→
′
(
b
)
−
V
(
a
)
⋅
c
→
′
(
a
)
−
∫
a
b
c
→
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
)
d
d
u
u
=
0
L
c
u
=
d
d
u
u
=
0
∫
a
b
c
→
u
′
(
t
)
⋅
c
→
u
′
(
t
)
d
t
=
∫
a
b
1
2
c
→
′
(
t
)
×
d
d
u
u
=
0
c
→
u
′
(
t
)
⋅
c
→
u
′
(
t
)
d
t
=
1
l
∫
a
b
∂
2
δ
→
∂
u
∂
t
(
t
,
0
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
1
l
∫
a
b
∂
2
δ
→
∂
t
∂
u
(
t
,
0
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
1
l
∫
a
b
d
d
t
V
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
−
V
(
t
)
⋅
c
→
′
′
(
t
)
d
t
=
1
l
V
(
b
)
⋅
c
→
′
(
b
)
−
V
(
a
)
⋅
c
→
′
(
a
)
−
∫
a
b
c
→
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
{:[(d)/(du)|_(u=0)L(c_(u))=(d)/(du)|_(u=0)int_(a)^(b)sqrt( vec(c)_(u)^(')(t)* vec(c)_(u)^(')(t))dt],[=int_(a)^(b)(1)/(2|| vec(c)^(')(t)||)xx(d)/(du)|_(u=0)( vec(c)_(u)^(')(t)* vec(c)_(u)^(')(t))dt],[=(1)/(l)int_(a)^(b)((del^(2)( vec(delta)))/(del u del t))_((t,0))* vec(c)^(')(t)dt=(1)/(l)int_(a)^(b)((del^(2)( vec(delta)))/(del t del u))_((t,0))* vec(c)^(')(t)dt],[=(1)/(l)int_(a)^(b)((d)/(dt)(V(t)* vec(c)^(')(t))-V(t)* vec(c)^('')(t))dt],[=(1)/(l)(V(b)* vec(c)^(')(b)-V(a)* vec(c)^(')(a)-int_(a)^(b) vec(c)^('')(t)*V(t)dt)]:} \begin{aligned}
\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} & \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \int_{a}^{b} \sqrt{\vec{c}_{u}^{\prime}(t) \cdot \vec{c}_{u}^{\prime}(t)} d t \\
& =\int_{a}^{b} \frac{1}{2\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\|} \times\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0}\left(\vec{c}_{u}^{\prime}(t) \cdot \vec{c}_{u}^{\prime}(t)\right) d t \\
& =\frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial u \partial t}\right)_{(t, 0)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t=\frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial t \partial u}\right)_{(t, 0)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\
= & \frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left(\frac{d}{d t}\left(V(t) \cdot \vec{c}^{\prime}(t)\right)-V(t) \cdot \vec{c}^{\prime \prime}(t)\right) d t \\
= & \frac{1}{l}\left(V(b) \cdot \vec{c}^{\prime}(b)-V(a) \cdot \vec{c}^{\prime}(a)-\int_{a}^{b} \vec{c}^{\prime \prime}(t) \cdot V(t) d t\right)
\end{aligned} d d u | u = 0 L ( c u ) = d d u | u = 0 ∫ a b c → u ′ ( t ) ⋅ c → u ′ ( t ) d t = ∫ a b 1 2 ‖ c → ′ ( t ) ‖ × d d u | u = 0 ( c → u ′ ( t ) ⋅ c → u ′ ( t ) ) d t = 1 l ∫ a b ( ∂ 2 δ → ∂ u ∂ t ) ( t , 0 ) ⋅ c → ′ ( t ) d t = 1 l ∫ a b ( ∂ 2 δ → ∂ t ∂ u ) ( t , 0 ) ⋅ c → ′ ( t ) d t = 1 l ∫ a b ( d d t ( V ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) ) − V ( t ) ⋅ c → ′ ′ ( t ) ) d t = 1 l ( V ( b ) ⋅ c → ′ ( b ) − V ( a ) ⋅ c → ′ ( a ) − ∫ a b c → ′ ′ ( t ) ⋅ V ( t ) d t )
同様に,
E
E
E \mathcal{E} E に対し, 次の第 1 変分公式が成り立つ.
定理 1.6.2(Eの第 1 変分公式)
δ
δ
delta \delta δ を
c
C
r
c
C
r
cC^(r) c C^{r} c C r 変形とする。このとき,次の 積分公式が成り立つ:
d
d
u
|
u
=
0
E
(
c
u
)
=
2
(
V
(
b
)
⋅
c
→
′
(
b
)
−
V
(
a
)
⋅
c
→
′
(
a
)
−
∫
a
b
c
→
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
)
d
d
u
u
=
0
E
c
u
=
2
V
(
b
)
⋅
c
→
′
(
b
)
−
V
(
a
)
⋅
c
→
′
(
a
)
−
∫
a
b
c
→
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
(d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=2(V(b)* vec(c)^(')(b)-V(a)* vec(c)^(')(a)-int_(a)^(b) vec(c)^('')(t)*V(t)dt) \left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=2\left(V(b) \cdot \vec{c}^{\prime}(b)-V(a) \cdot \vec{c}^{\prime}(a)-\int_{a}^{b} \vec{c}^{\prime \prime}(t) \cdot V(t) d t\right) d d u | u = 0 E ( c u ) = 2 ( V ( b ) ⋅ c → ′ ( b ) − V ( a ) ⋅ c → ′ ( a ) − ∫ a b c → ′ ′ ( t ) ⋅ V ( t ) d t )
証明この変分公式は次のように微分と積分の順序交換を用いて示され る:
d
d
u
|
u
=
0
E
(
c
u
)
=
d
d
u
|
u
=
0
∫
a
b
c
→
u
′
(
t
)
⋅
c
→
u
′
(
t
)
d
t
=
∫
a
b
d
d
u
|
u
=
0
(
c
→
u
′
(
t
)
⋅
c
→
u
′
(
t
)
)
d
t
=
2
∫
a
b
(
∂
2
δ
→
∂
u
∂
t
)
(
t
,
0
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
2
∫
a
b
(
∂
2
δ
→
∂
t
∂
u
)
(
t
,
0
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
2
∫
a
b
(
d
d
t
(
V
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
)
−
V
(
t
)
⋅
c
→
′
′
(
t
)
)
d
t
=
2
(
V
(
b
)
⋅
c
→
′
(
b
)
−
V
(
a
)
⋅
c
→
′
(
a
)
−
∫
a
b
c
→
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
)
d
d
u
u
=
0
E
c
u
=
d
d
u
u
=
0
∫
a
b
c
→
u
′
(
t
)
⋅
c
→
u
′
(
t
)
d
t
=
∫
a
b
d
d
u
u
=
0
c
→
u
′
(
t
)
⋅
c
→
u
′
(
t
)
d
t
=
2
∫
a
b
∂
2
δ
→
∂
u
∂
t
(
t
,
0
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
2
∫
a
b
∂
2
δ
→
∂
t
∂
u
(
t
,
0
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
=
2
∫
a
b
d
d
t
V
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
−
V
(
t
)
⋅
c
→
′
′
(
t
)
d
t
=
2
V
(
b
)
⋅
c
→
′
(
b
)
−
V
(
a
)
⋅
c
→
′
(
a
)
−
∫
a
b
c
→
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
{:[(d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=(d)/(du)|_(u=0)int_(a)^(b) vec(c)_(u)^(')(t)* vec(c)_(u)^(')(t)dt=int_(a)^(b)(d)/(du)|_(u=0)( vec(c)_(u)^(')(t)* vec(c)_(u)^(')(t))dt],[=2int_(a)^(b)((del^(2)( vec(delta)))/(del u del t))_((t,0))* vec(c)^(')(t)dt=2int_(a)^(b)((del^(2)( vec(delta)))/(del t del u))_((t,0))* vec(c)^(')(t)dt],[=2int_(a)^(b)((d)/(dt)(V(t)* vec(c)^(')(t))-V(t)* vec(c)^('')(t))dt],[=2(V(b)* vec(c)^(')(b)-V(a)* vec(c)^(')(a)-int_(a)^(b) vec(c)^('')(t)*V(t)dt)]:} \begin{aligned}
\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right) & =\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \int_{a}^{b} \vec{c}_{u}^{\prime}(t) \cdot \vec{c}_{u}^{\prime}(t) d t=\left.\int_{a}^{b} \frac{d}{d u}\right|_{u=0}\left(\vec{c}_{u}^{\prime}(t) \cdot \vec{c}_{u}^{\prime}(t)\right) d t \\
& =2 \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial u \partial t}\right)_{(t, 0)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t=2 \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial t \partial u}\right)_{(t, 0)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\
& =2 \int_{a}^{b}\left(\frac{d}{d t}\left(V(t) \cdot \vec{c}^{\prime}(t)\right)-V(t) \cdot \vec{c}^{\prime \prime}(t)\right) d t \\
& =2\left(V(b) \cdot \vec{c}^{\prime}(b)-V(a) \cdot \vec{c}^{\prime}(a)-\int_{a}^{b} \vec{c}^{\prime \prime}(t) \cdot V(t) d t\right)
\end{aligned} d d u | u = 0 E ( c u ) = d d u | u = 0 ∫ a b c → u ′ ( t ) ⋅ c → u ′ ( t ) d t = ∫ a b d d u | u = 0 ( c → u ′ ( t ) ⋅ c → u ′ ( t ) ) d t = 2 ∫ a b ( ∂ 2 δ → ∂ u ∂ t ) ( t , 0 ) ⋅ c → ′ ( t ) d t = 2 ∫ a b ( ∂ 2 δ → ∂ t ∂ u ) ( t , 0 ) ⋅ c → ′ ( t ) d t = 2 ∫ a b ( d d t ( V ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) ) − V ( t ) ⋅ c → ′ ′ ( t ) ) d t = 2 ( V ( b ) ⋅ c → ′ ( b ) − V ( a ) ⋅ c → ′ ( a ) − ∫ a b c → ′ ′ ( t ) ⋅ V ( t ) d t )
c
→
′
′
(
t
)
=
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c
→
′
′
(
t
)
=
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
vec(c)^('')(t)=0(t in[a,b]) \vec{c}^{\prime \prime}(t)=\mathbf{0}(t \in[a, b]) c → ′ ′ ( t ) = 0 ( t ∈ [ a , b ] ) が成り立つとき,
c
c
c c c を
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上の測地線(geodesic) という.
c
c
c c c を
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 内を動く物体の運動とみたとき,
c
→
′
′
(
t
)
c
→
′
′
(
t
)
vec(c)^('')(t) \vec{c}^{\prime \prime}(t) c → ′ ′ ( t ) はその物体の加速度
ベクトルとみなされるので,
c
→
′
′
(
t
)
=
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c
→
′
′
(
t
)
=
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
vec(c)^('')(t)=0(t in[a,b]) \vec{c}^{\prime \prime}(t)=\mathbf{0}(t \in[a, b]) c → ′ ′ ( t ) = 0 ( t ∈ [ a , b ] ) という条件は,
c
c
c c c が
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 内 を等速度運動することを意味する。このように,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上の測地線とは,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 内 を等速度運動する物体の軌道と解釈することができる.
定理 1.6.1 と定理 1.6.2 から, 次の事実が導かれる。
系 1.6.3
c
∈
C
r
(
[
a
,
b
]
,
E
n
)
c
∈
C
r
[
a
,
b
]
,
E
n
quad c inC^(r)([a,b],E^(n)) \quad c \in C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right) c ∈ C r ( [ a , b ] , E n ) とする. このとき, 次の 2 つの主張は同値であ る:
(i)
c
c
c c c の任意の両端固定の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 変形
δ
δ
delta \delta δ に対し,
d
d
u
|
u
=
0
E
(
c
u
)
=
0
d
d
u
u
=
0
E
c
u
=
0
(d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=0 \left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=0 d d u | u = 0 E ( c u ) = 0 が成り立 כ;
さらに,
c
c
c c c が定速の場合, これらの主張は次の主張と同値である:
(iii)
c
c
c c c の任意の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 法変形
δ
δ
delta \delta δ に対し,
d
d
u
|
u
=
0
E
(
c
u
)
=
0
d
d
u
u
=
0
E
c
u
=
0
(d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=0 \left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=0 d d u | u = 0 E ( c u ) = 0 が成り立つ;
(iv)
c
c
c c c の任意の両端固定の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 変形
δ
δ
delta \delta δ に対し,
d
d
u
|
u
=
0
L
(
c
u
)
=
0
d
d
u
u
=
0
L
c
u
=
0
(d)/(du)|_(u=0)L(c_(u))=0 \left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=0 d d u | u = 0 L ( c u ) = 0 が成り立 ? ;
(v)
c
c
c c c の任意の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 法変形
δ
δ
delta \delta δ に対し,
d
d
u
|
u
=
0
L
(
c
u
)
=
0
d
d
u
u
=
0
L
c
u
=
0
(d)/(du)|_(u=0)L(c_(u))=0 \left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=0 d d u | u = 0 L ( c u ) = 0 が成り立つ.
証明
(
ii
)
⇒
(
i
)
(
ii
)
⇒
(
i
)
quad(ii)=>(i) \quad(\mathrm{ii}) \Rightarrow(\mathrm{i}) ( ii ) ⇒ ( i ) は, 定理 1.6.2における変分公式から直接導かれる。逆を示 そう。(i)が成り立つとする。
ρ
ρ
rho \rho ρ を
ρ
(
a
)
=
ρ
(
b
)
=
0
,
ρ
(
t
)
>
0
(
a
<
t
<
b
)
ρ
(
a
)
=
ρ
(
b
)
=
0
,
ρ
(
t
)
>
0
(
a
<
t
<
b
)
rho(a)=rho(b)=0,rho(t) > 0(a < t < b) \rho(a)=\rho(b)=0, \rho(t)>0(a<t<b) ρ ( a ) = ρ ( b ) = 0 , ρ ( t ) > 0 ( a < t < b ) を満 たす
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数とし,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像
δ
:
[
a
,
b
]
×
(
−
ε
,
ε
)
→
E
n
δ
:
[
a
,
b
]
×
(
−
ε
,
ε
)
→
E
n
delta:[a,b]xx(-epsi,epsi)rarrE^(n) \delta:[a, b] \times(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow \mathbb{E}^{n} δ : [ a , b ] × ( − ε , ε ) → E n を
δ
→
(
t
,
u
)
:=
c
→
(
t
)
+
u
ρ
(
t
)
c
→
′
′
(
t
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
×
(
−
ε
,
ε
)
)
δ
→
(
t
,
u
)
:=
c
→
(
t
)
+
u
ρ
(
t
)
c
→
′
′
(
t
)
(
t
∈
[
a
,
b
]
×
(
−
ε
,
ε
)
)
vec(delta)(t,u):= vec(c)(t)+u rho(t) vec(c)^('')(t)quad(t in[a,b]xx(-epsi,epsi)) \vec{\delta}(t, u):=\vec{c}(t)+u \rho(t) \vec{c}^{\prime \prime}(t) \quad(t \in[a, b] \times(-\varepsilon, \varepsilon)) δ → ( t , u ) := c → ( t ) + u ρ ( t ) c → ′ ′ ( t ) ( t ∈ [ a , b ] × ( − ε , ε ) )
によって定義する.明らかに,
δ
δ
delta \delta δ は
c
c
c c c の両端固定の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 変形になる. それゆえ, (i)を仮定しているので,
d
d
u
|
u
=
0
E
(
c
u
)
=
0
(
c
u
(
t
)
:=
δ
(
t
,
u
)
)
d
d
u
u
=
0
E
c
u
=
0
c
u
(
t
)
:=
δ
(
t
,
u
)
(d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=0(c_(u)(t):=delta(t,u)) \left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=0\left(c_{u}(t):=\delta(t, u)\right) d d u | u = 0 E ( c u ) = 0 ( c u ( t ) := δ ( t , u ) ) となる. 一方,
δ
δ
delta \delta δ の変分ベクトル場
V
(
t
)
V
(
t
)
V(t) \boldsymbol{V}(t) V ( t ) が
V
(
t
)
=
ρ
(
t
)
c
→
′
′
(
t
)
V
(
t
)
=
ρ
(
t
)
c
→
′
′
(
t
)
V(t)=rho(t) vec(c)^('')(t) \boldsymbol{V}(t)=\rho(t) \vec{c}^{\prime \prime}(t) V ( t ) = ρ ( t ) c → ′ ′ ( t ) によて与えられることに注意して, 定理 1.6.2における変分公式を用いることにより,
d
d
u
|
u
=
0
E
(
c
u
)
=
−
2
∫
a
b
ρ
(
t
)
‖
c
→
′
′
(
t
)
‖
2
d
t
d
d
u
u
=
0
E
c
u
=
−
2
∫
a
b
ρ
(
t
)
c
→
′
′
(
t
)
2
d
t
(d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=-2int_(a)^(b)rho(t)|| vec(c)^('')(t)||^(2)dt \left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=-2 \int_{a}^{b} \rho(t)\left\|\vec{c}^{\prime \prime}(t)\right\|^{2} d t d d u | u = 0 E ( c u ) = − 2 ∫ a b ρ ( t ) ‖ c → ′ ′ ( t ) ‖ 2 d t
が示され, それゆえ,
∫
a
b
ρ
(
t
)
‖
c
→
′
′
(
t
)
‖
2
d
t
=
0
∫
a
b
ρ
(
t
)
c
→
′
′
(
t
)
2
d
t
=
0
int_(a)^(b)rho(t)|| vec(c)^('')(t)||^(2)dt=0 \int_{a}^{b} \rho(t)\left\|\vec{c}^{\prime \prime}(t)\right\|^{2} d t=0 ∫ a b ρ ( t ) ‖ c → ′ ′ ( t ) ‖ 2 d t = 0
をえる。したがって,
ρ
ρ
rho \rho ρ の任意性から
c
→
′
′
(
t
)
=
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c
→
′
′
(
t
)
=
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
vec(c)^('')(t)=0(t in[a,b]) \vec{c}^{\prime \prime}(t)=\mathbf{0}(t \in[a, b]) c → ′ ′ ( t ) = 0 ( t ∈ [ a , b ] ) , つまり,
c
c
c c c が測地線であることが示され, (ii)が導かれる.
後半部を示そう.
c
c
c c c が定速であるとする。この場合, (ii)が成り立つならば, (iii), (iv), (v) が成り立つことは, 定理1.6.1, 1.6.2における変分公式から直接導かれる。逆は,
c
c
c c c が定速であることから, 上述の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数
ρ
ρ
rho \rho ρ を用いた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 変形
δ
δ
delta \delta δ が
c
c
c c c の両端固定の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 変形であると同時に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 法変形でもあることに注意して, 上述と同様の議論を行うことにより示される.
L
,
E
L
,
E
L,E \mathcal{L}, \mathcal{E} L , E に対し, 次の第 2 変分公式(the second variational formula)と よばれる公式が成り立つ.
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 法変形とする。このとき,次の積分公式が成り立つ:
d
2
d
u
2
|
u
=
0
L
(
c
u
)
=
−
1
l
∫
a
b
V
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
d
2
d
u
2
|
u
=
0
E
(
c
u
)
=
−
2
∫
a
b
V
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
d
2
d
u
2
u
=
0
L
c
u
=
−
1
l
∫
a
b
V
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
d
2
d
u
2
u
=
0
E
c
u
=
−
2
∫
a
b
V
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
{:[(d^(2))/(du^(2))|_(u=0)L(c_(u))=-(1)/(l)int_(a)^(b)V^('')(t)*V(t)dt],[(d^(2))/(du^(2))|_(u=0)E(c_(u))=-2int_(a)^(b)V^('')(t)*V(t)dt]:} \begin{aligned}
\left.\frac{d^{2}}{d u^{2}}\right|_{u=0} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=-\frac{1}{l} \int_{a}^{b} \boldsymbol{V}^{\prime \prime}(t) \cdot \boldsymbol{V}(t) d t \\
\left.\frac{d^{2}}{d u^{2}}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=-2 \int_{a}^{b} \boldsymbol{V}^{\prime \prime}(t) \cdot \boldsymbol{V}(t) d t
\end{aligned} d 2 d u 2 | u = 0 L ( c u ) = − 1 l ∫ a b V ′ ′ ( t ) ⋅ V ( t ) d t d 2 d u 2 | u = 0 E ( c u ) = − 2 ∫ a b V ′ ′ ( t ) ⋅ V ( t ) d t
証明
l
:=
‖
c
→
′
(
t
)
‖
l
:=
c
→
′
(
t
)
l:=|| vec(c)^(')(t)|| l:=\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| l := ‖ c → ′ ( t ) ‖ とおく.
δ
δ
delta \delta δ は両端固定の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 法変形なので, 定理 1.6.1 の証明によれば,
d
d
u
L
(
c
u
)
=
∫
a
b
1
‖
c
→
u
′
(
t
)
‖
⋅
(
∂
2
δ
→
∂
t
∂
u
⋅
∂
δ
→
∂
t
)
d
t
d
d
u
L
c
u
=
∫
a
b
1
c
→
u
′
(
t
)
⋅
∂
2
δ
→
∂
t
∂
u
⋅
∂
δ
→
∂
t
d
t
(d)/(du)L(c_(u))=int_(a)^(b)(1)/(|| vec(c)_(u)^(')(t)||)*((del^(2)( vec(delta)))/(del t del u)*(del( vec(delta)))/(del t))dt \frac{d}{d u} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=\int_{a}^{b} \frac{1}{\left\|\vec{c}_{u}^{\prime}(t)\right\|} \cdot\left(\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial t \partial u} \cdot \frac{\partial \vec{\delta}}{\partial t}\right) d t d d u L ( c u ) = ∫ a b 1 ‖ c → u ′ ( t ) ‖ ⋅ ( ∂ 2 δ → ∂ t ∂ u ⋅ ∂ δ → ∂ t ) d t
が成り立つ. これに基点付き微分作用素
d
d
u
|
u
=
0
d
d
u
u
=
0
(d)/(du)|_(u=0) \left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} d d u | u = 0 を作用させて,
c
c
c c c が測地線で あることと
δ
δ
delta \delta δ が両端固定の法変形であることに注意すると,
d
2
d
u
2
|
u
=
0
L
(
c
u
)
=
−
1
l
3
∫
a
b
(
V
′
(
t
)
⋅
c
′
(
t
)
)
2
d
t
+
1
l
[
∂
2
δ
→
∂
u
2
|
u
=
0
⋅
c
→
′
(
t
)
]
a
b
+
1
l
∫
a
b
‖
V
′
(
t
)
‖
2
d
t
d
2
d
u
2
u
=
0
L
c
u
=
−
1
l
3
∫
a
b
V
′
(
t
)
⋅
c
′
(
t
)
2
d
t
+
1
l
∂
2
δ
→
∂
u
2
u
=
0
⋅
c
→
′
(
t
)
a
b
+
1
l
∫
a
b
V
′
(
t
)
2
d
t
{:[(d^(2))/(du^(2))|_(u=0)L(c_(u))=-(1)/(l^(3))int_(a)^(b)(V^(')(t)*c^(')(t))^(2)dt+(1)/(l)[(del^(2)( vec(delta)))/(delu^(2))|_(u=0)* vec(c)^(')(t)]_(a)^(b)],[+(1)/(l)int_(a)^(b)||V^(')(t)||^(2)dt]:} \begin{aligned}
\left.\frac{d^{2}}{d u^{2}}\right|_{u=0} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)= & -\frac{1}{l^{3}} \int_{a}^{b}\left(\boldsymbol{V}^{\prime}(t) \cdot c^{\prime}(t)\right)^{2} d t+\frac{1}{l}\left[\left.\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial u^{2}}\right|_{u=0} \cdot \vec{c}^{\prime}(t)\right]_{a}^{b} \\
& +\frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left\|\boldsymbol{V}^{\prime}(t)\right\|^{2} d t
\end{aligned} d 2 d u 2 | u = 0 L ( c u ) = − 1 l 3 ∫ a b ( V ′ ( t ) ⋅ c ′ ( t ) ) 2 d t + 1 l [ ∂ 2 δ → ∂ u 2 | u = 0 ⋅ c → ′ ( t ) ] a b + 1 l ∫ a b ‖ V ′ ( t ) ‖ 2 d t
=
1
l
∫
a
b
‖
V
′
(
t
)
‖
2
d
t
=
1
l
∫
a
b
(
∂
∂
t
(
V
(
t
)
⋅
V
′
(
t
)
)
−
V
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
)
d
t
=
−
1
l
∫
a
b
V
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
=
1
l
∫
a
b
V
′
(
t
)
2
d
t
=
1
l
∫
a
b
∂
∂
t
V
(
t
)
⋅
V
′
(
t
)
−
V
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
=
−
1
l
∫
a
b
V
′
′
(
t
)
⋅
V
(
t
)
d
t
{:[=(1)/(l)int_(a)^(b)||V^(')(t)||^(2)dt],[=(1)/(l)int_(a)^(b)((del)/(del t)(V(t)*V^(')(t))-V^('')(t)*V(t))dt],[=-(1)/(l)int_(a)^(b)V^('')(t)*V(t)dt]:} \begin{aligned}
& =\frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left\|\boldsymbol{V}^{\prime}(t)\right\|^{2} d t \\
& =\frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial}{\partial t}\left(\boldsymbol{V}(t) \cdot \boldsymbol{V}^{\prime}(t)\right)-\boldsymbol{V}^{\prime \prime}(t) \cdot \boldsymbol{V}(t)\right) d t \\
& =-\frac{1}{l} \int_{a}^{b} \boldsymbol{V}^{\prime \prime}(t) \cdot \boldsymbol{V}(t) d t
\end{aligned} = 1 l ∫ a b ‖ V ′ ( t ) ‖ 2 d t = 1 l ∫ a b ( ∂ ∂ t ( V ( t ) ⋅ V ′ ( t ) ) − V ′ ′ ( t ) ⋅ V ( t ) ) d t = − 1 l ∫ a b V ′ ′ ( t ) ⋅ V ( t ) d t
をえる。このように,
L
L
L \mathcal{L} L に対する第 2 変分公式が示される.
E
E
E \mathcal{E} E に対する第 2 変分公式も定理 1.6.2 の証明を用いて, 同様の計算を行うことにより示される.
1.7 ユークリッド空間内の曲線の曲率・フルネ枠
この節では,
r
≥
n
+
1
r
≥
n
+
1
r >= n+1 r \geq n+1 r ≥ n + 1 とする. この節において,
n
n
n n n 次元ユークリッド空間
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 内の正則曲線の曲率・フルネ枠について述べることにする。
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c:[a,b]rarrE^(n) c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n} c : [ a , b ] → E n を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線とする.
t
0
∈
[
a
,
b
]
t
0
∈
[
a
,
b
]
t_(0)in[a,b] t_{0} \in[a, b] t 0 ∈ [ a , b ] に対し,
c
→
′
(
t
0
)
c
→
′
t
0
vec(c)^(')(t_(0)) \vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right) c → ′ ( t 0 ) を
c
c
c c c の
t
0
t
0
t_(0) t_{0} t 0 における速度ベクトル (velocity vector), または接ベクトルという.
注意 1.2 節で述べたように, 数ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n は
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n の点
c
(
t
0
)
c
t
0
c(t_(0)) c\left(t_{0}\right) c ( t 0 ) における接空間
T
c
(
t
0
)
A
n
T
c
t
0
A
n
T_(c(t_(0)))A^(n) T_{c\left(t_{0}\right)} \mathbb{A}^{n} T c ( t 0 ) A n と同一視されるので,
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n のベクトル
c
→
′
(
t
0
)
c
→
′
t
0
vec(c)^(')(t_(0)) \vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right) c → ′ ( t 0 ) は,
T
c
(
t
0
)
A
n
T
c
t
0
A
n
T_(c(t_(0)))A^(n) T_{c\left(t_{0}\right)} \mathbb{A}^{n} T c ( t 0 ) A n のベクトル
c
′
(
t
0
)
c
′
t
0
c^(')(t_(0)) c^{\prime}\left(t_{0}\right) c ′ ( t 0 ) と同一視される. 厳密には,
c
→
′
(
t
0
)
c
→
′
t
0
vec(c)^(')(t_(0)) \vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right) c → ′ ( t 0 ) よりも
c
′
(
t
0
)
c
′
t
0
c^(')(t_(0)) c^{\prime}\left(t_{0}\right) c ′ ( t 0 ) を
c
c
c c c の
t
0
t
0
t_(0) t_{0} t 0 における速度べ クトルとよぶべきである(図 1.7 .1 を参照).
c
→
′
(
t
)
≠
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c
→
′
(
t
)
≠
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
vec(c)^(')(t)!=0(t in[a,b]) \vec{c}^{\prime}(t) \neq \mathbf{0}(t \in[a, b]) c → ′ ( t ) ≠ 0 ( t ∈ [ a , b ] ) のとき,
c
c
c c c を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -regular curve) とい
E
n
,
R
n
,
T
c
(
t
0
)
A
n
E
n
,
R
n
,
T
c
t
0
A
n
E^(n),R^(n),T_(c(t_(0)))A^(n) \mathbb{E}^{n}, \mathbb{R}^{n}, T_{c\left(t_{0}\right)} \mathbb{A}^{n} E n , R n , T c ( t 0 ) A n を重ねた図
図 1.7.1曲線の速度ベクトル
う.
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c:[a,b]rarrE^(n) c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n} c : [ a , b ] → E n に対し,
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] 上の関数
φ
φ
varphi \varphi φ を
φ
(
t
)
:=
∫
a
t
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
φ
(
t
)
:=
∫
a
t
c
→
′
(
t
)
d
t
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
varphi(t):=int_(a)^(t)|| vec(c)^(')(t)||dt quad(t in[a,b]) \varphi(t):=\int_{a}^{t}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t \quad(t \in[a, b]) φ ( t ) := ∫ a t ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t ( t ∈ [ a , b ] )
によって定義し,
s
=
φ
(
t
)
s
=
φ
(
t
)
s=varphi(t) s=\varphi(t) s = φ ( t ) とおく. このとき,
‖
c
→
′
(
t
)
‖
>
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
c
→
′
(
t
)
>
0
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
|| vec(c)^(')(t)|| > 0(t in[a,b]) \left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\|>0(t \in[a, b]) ‖ c → ′ ( t ) ‖ > 0 ( t ∈ [ a , b ] ) なの で,
φ
φ
varphi \varphi φ は単調堌加である.
α
:=
φ
(
a
)
,
β
:=
φ
(
b
)
α
:=
φ
(
a
)
,
β
:=
φ
(
b
)
alpha:=varphi(a),beta:=varphi(b) \alpha:=\varphi(a), \beta:=\varphi(b) α := φ ( a ) , β := φ ( b ) とおく.
c
^
:
[
α
,
β
]
→
E
n
c
^
:
[
α
,
β
]
→
E
n
widehat(c):[alpha,beta]rarrE^(n) \widehat{c}:[\alpha, \beta] \rightarrow \mathbb{E}^{n} c ^ : [ α , β ] → E n を
c
^
:=
c
∘
φ
−
1
c
^
:=
c
∘
φ
−
1
widehat(c):=c@varphi^(-1) \widehat{c}:=c \circ \varphi^{-1} c ^ := c ∘ φ − 1 と定義する。明らかに,
φ
φ
varphi \varphi φ は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像(つまり,
φ
,
φ
−
1
φ
,
φ
−
1
varphi,varphi^(-1) \varphi, \varphi^{-1} φ , φ − 1 共に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像)になるので,
c
^
も
C
r
c
^
も
C
r
hat(c)もC^(r) \hat{c} も C^{r} も c ^ も C r 正則曲線になる.
c
^
c
^
widehat(c) \widehat{c} c ^ について,次の事実が成り立つ.
命題 1.7.1 (i)
‖
c
→
′
(
s
)
‖
=
1
c
→
′
(
s
)
=
1
|| vec(c)^(')(s)||=1 \left\|\vec{c}^{\prime}(s)\right\|=1 ‖ c → ′ ( s ) ‖ = 1 である.
(ii) 各
s
∈
[
0
,
L
(
c
)
]
s
∈
[
0
,
L
(
c
)
]
s in[0,L(c)] s \in[0, L(c)] s ∈ [ 0 , L ( c ) ] に対し,
L
(
c
^
|
[
0
,
s
]
)
=
s
L
c
^
[
0
,
s
]
=
s
L(( widehat(c))|_([0,s]))=s L\left(\left.\widehat{c}\right|_{[0, s]}\right)=s L ( c ^ | [ 0 , s ] ) = s が成り立つ.
証明
c
→
′
(
s
)
=
d
(
→
c
∘
φ
−
1
)
d
s
=
d
c
→
d
t
|
t
=
φ
−
1
(
s
)
d
t
d
s
=
c
→
′
(
φ
−
1
(
s
)
)
1
d
s
d
t
=
c
→
′
(
φ
−
1
(
s
)
)
1
φ
′
(
φ
−
1
(
s
)
)
=
1
‖
c
→
′
(
φ
−
1
(
s
)
)
‖
c
→
′
(
φ
−
1
(
s
)
)
c
→
′
(
s
)
=
d
(
→
c
∘
φ
−
1
d
s
=
d
c
→
d
t
t
=
φ
−
1
(
s
)
d
t
d
s
=
c
→
′
φ
−
1
(
s
)
1
d
s
d
t
=
c
→
′
φ
−
1
(
s
)
1
φ
′
φ
−
1
(
s
)
=
1
c
→
′
φ
−
1
(
s
)
c
→
′
φ
−
1
(
s
)
{:[ vec(c)^(')(s)=(d vec(()c@varphi^(-1)))/(ds)=(d( vec(c)))/(dt)|_(t=varphi^(-1)(s))(dt)/(ds)= vec(c)^(')(varphi^(-1)(s))(1)/((ds)/(dt))],[= vec(c)^(')(varphi^(-1)(s))(1)/(varphi^(')(varphi^(-1)(s)))=(1)/(|| vec(c)^(')(varphi^(-1)(s))||) vec(c)^(')(varphi^(-1)(s))]:} \begin{aligned}
\vec{c}^{\prime}(s) & =\frac{\left.d \overrightarrow{(} c \circ \varphi^{-1}\right)}{d s}=\left.\frac{d \vec{c}}{d t}\right|_{t=\varphi^{-1}(s)} \frac{d t}{d s}=\vec{c}^{\prime}\left(\varphi^{-1}(s)\right) \frac{1}{\frac{d s}{d t}} \\
& =\vec{c}^{\prime}\left(\varphi^{-1}(s)\right) \frac{1}{\varphi^{\prime}\left(\varphi^{-1}(s)\right)}=\frac{1}{\left\|\vec{c}^{\prime}\left(\varphi^{-1}(s)\right)\right\|} \vec{c}^{\prime}\left(\varphi^{-1}(s)\right)
\end{aligned} c → ′ ( s ) = d ( → c ∘ φ − 1 ) d s = d c → d t | t = φ − 1 ( s ) d t d s = c → ′ ( φ − 1 ( s ) ) 1 d s d t = c → ′ ( φ − 1 ( s ) ) 1 φ ′ ( φ − 1 ( s ) ) = 1 ‖ c → ′ ( φ − 1 ( s ) ) ‖ c → ′ ( φ − 1 ( s ) )
となるので,
‖
c
→
′
(
s
)
‖
=
1
c
→
′
(
s
)
=
1
|| vec(c)^(')(s)||=1 \left\|\vec{c}^{\prime}(s)\right\|=1 ‖ c → ′ ( s ) ‖ = 1 をえる. さらに, この事実から,
L
(
c
^
|
[
0
,
s
]
)
=
∫
0
s
‖
c
→
′
(
s
)
‖
d
s
=
∫
0
s
1
d
s
=
s
L
c
^
[
0
,
s
]
=
∫
0
s
c
→
′
(
s
)
d
s
=
∫
0
s
1
d
s
=
s
L(( widehat(c))|_([0,s]))=int_(0)^(s)|| vec(c)^(')(s)||ds=int_(0)^(s)1ds=s L\left(\left.\widehat{c}\right|_{[0, s]}\right)=\int_{0}^{s}\left\|\vec{c}^{\prime}(s)\right\| d s=\int_{0}^{s} 1 d s=s L ( c ^ | [ 0 , s ] ) = ∫ 0 s ‖ c → ′ ( s ) ‖ d s = ∫ 0 s 1 d s = s
が導かれる。
命題 1.7.1の(ii)の事実により, このような曲線
c
^
c
^
widehat(c) \widehat{c} c ^ を
c
c
c \boldsymbol{c} c を弧長によってパラ メーター付けし直した曲線という。一般に,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線
c
:
[
0
,
l
]
→
E
n
c
:
[
0
,
l
]
→
E
n
c:[0,l]rarrE^(n) c:[0, l] \rightarrow \mathbb{E}^{n} c : [ 0 , l ] → E n で
L
(
c
|
[
0
,
s
]
)
=
s
(
∀
s
∈
[
0
,
l
]
)
L
c
[
0
,
s
]
=
s
(
∀
s
∈
[
0
,
l
]
)
L(c|_([0,s]))=s(AA s in[0,l]) L\left(\left.c\right|_{[0, s]}\right)=s(\forall s \in[0, l]) L ( c | [ 0 , s ] ) = s ( ∀ s ∈ [ 0 , l ] ) を満たすようなものを弧長によってパラメーター 付けされた
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 曲線という。ここで,
L
(
c
|
[
0
,
s
]
)
=
s
(
∀
s
∈
[
0
,
l
]
)
L
c
[
0
,
s
]
=
s
(
∀
s
∈
[
0
,
l
]
)
L(c|_([0,s]))=s(AA s in[0,l]) L\left(\left.c\right|_{[0, s]}\right)=s(\forall s \in[0, l]) L ( c | [ 0 , s ] ) = s ( ∀ s ∈ [ 0 , l ] ) が成り立つこ とと,
‖
c
→
′
(
s
)
‖
=
1
(
∀
s
∈
[
0
,
l
]
)
c
→
′
(
s
)
=
1
(
∀
s
∈
[
0
,
l
]
)
|| vec(c)^(')(s)||=1(AA s in[0,l]) \left\|\vec{c}^{\prime}(s)\right\|=1(\forall s \in[0, l]) ‖ c → ′ ( s ) ‖ = 1 ( ∀ s ∈ [ 0 , l ] ) が成り立つことは同値であることを注意して おく.
問 1.7.1
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
(
t
)
=
(
a
cos
t
,
a
sin
t
)
(
0
≤
t
≤
2
π
)
c
(
t
)
=
(
a
cos
t
,
a
sin
t
)
(
0
≤
t
≤
2
π
)
c(t)=(a cos t,a sin t)quad(0 <= t <= 2pi) c(t)=(a \cos t, a \sin t) \quad(0 \leq t \leq 2 \pi) c ( t ) = ( a cos t , a sin t ) ( 0 ≤ t ≤ 2 π )
(
a
a
a a a :正の定数)を弧長によってパラメーター付けせよ.
κ
1
(
s
0
)
:
κ
1
s
0
:
kappa_(1)(s_(0)): \kappa_{1}\left(s_{0}\right): κ 1 ( s 0 ) : 大
κ
1
(
s
0
)
:
κ
1
s
0
:
kappa_(1)(s_(0)): \kappa_{1}\left(s_{0}\right): κ 1 ( s 0 ) : 小
図 1.7.2曲線の第 1 曲率
問 1.7.2
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
(
t
)
=
(
a
cos
t
,
a
sin
t
,
b
t
)
(
0
≤
t
≤
2
π
)
c
(
t
)
=
(
a
cos
t
,
a
sin
t
,
b
t
)
(
0
≤
t
≤
2
π
)
c(t)=(a cos t,a sin t,bt)quad(0 <= t <= 2pi) c(t)=(a \cos t, a \sin t, b t) \quad(0 \leq t \leq 2 \pi) c ( t ) = ( a cos t , a sin t , b t ) ( 0 ≤ t ≤ 2 π )
(
a
,
b
:
(
a
,
b
:
(a,b: (a, b: ( a , b : 正の定数
)
)
) ) ) を弧長によってパラメーター付けせよ.
c
:
[
0
,
l
]
→
E
n
(
n
≥
2
)
c
:
[
0
,
l
]
→
E
n
(
n
≥
2
)
c:[0,l]rarrE^(n)(n >= 2) c:[0, l] \rightarrow \mathbb{E}^{n}(n \geq 2) c : [ 0 , l ] → E n ( n ≥ 2 ) を弧長でパラメーター付けられた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線とする.
c
c
c c c の
s
0
s
0
s_(0) s_{0} s 0 における接ベクトル
c
→
′
(
s
0
)
c
→
′
s
0
vec(c)^(')(s_(0)) \vec{c}^{\prime}\left(s_{0}\right) c → ′ ( s 0 ) は長さが 1 なので,
c
c
c c c の
s
0
s
0
s_(0) s_{0} s 0 における単位接ベクトル(unit tangent vector)とよばれる。以下, これを
t
(
s
0
)
t
s
0
t(s_(0)) \boldsymbol{t}\left(s_{0}\right) t ( s 0 ) と表 す. また, 各
s
∈
[
0
,
l
]
s
∈
[
0
,
l
]
s in[0,l] s \in[0, l] s ∈ [ 0 , l ] に対し,
t
(
s
)
t
(
s
)
t(s) \boldsymbol{t}(s) t ( s ) を対応させることにより定義されるベク トル値関数
t
t
t \boldsymbol{t} t を,
c
c
c c c の単位接ベクトル場(unit tangent vector field)と いう. ベクトル値関数
t
t
t \boldsymbol{t} t の微分
t
′
(
s
)
t
′
(
s
)
t^(')(s) \boldsymbol{t}^{\prime}(s) t ′ ( s ) のノルム
‖
t
′
(
s
)
‖
t
′
(
s
)
||t^(')(s)|| \left\|\boldsymbol{t}^{\prime}(s)\right\| ‖ t ′ ( s ) ‖ を
κ
1
(
s
)
κ
1
(
s
)
kappa_(1)(s) \kappa_{1}(s) κ 1 ( s ) と表す.
κ
1
κ
1
kappa_(1) \kappa_{1} κ 1 :
[
0
,
l
]
→
R
[
0
,
l
]
→
R
[0,l]rarrR [0, l] \rightarrow \mathbb{R} [ 0 , l ] → R を
c
c
c c c の第
1
1
1 \mathbf{1} 1 曲率(the first curvature)という(図 1.7 .2 を参照).
κ
1
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
κ
1
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
kappa_(1)(s)!=0quad(s in[0,l]) \kappa_{1}(s) \neq 0 \quad(s \in[0, l]) κ 1 ( s ) ≠ 0 ( s ∈ [ 0 , l ] ) と仮定する.
n
1
(
s
)
:=
1
κ
1
(
s
)
⋅
t
′
(
s
)
n
1
(
s
)
:=
1
κ
1
(
s
)
⋅
t
′
(
s
)
n_(1)(s):=(1)/(kappa_(1)(s))*t^(')(s) \boldsymbol{n}_{1}(s):=\frac{1}{\kappa_{1}(s)} \cdot \boldsymbol{t}^{\prime}(s) n 1 ( s ) := 1 κ 1 ( s ) ⋅ t ′ ( s ) とおく.
n
1
:
[
0
,
l
]
→
n
1
:
[
0
,
l
]
→
n_(1):[0,l]rarr \boldsymbol{n}_{1}:[0, l] \rightarrow n 1 : [ 0 , l ] →
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n を
c
c
c c c の第 1 法線ベクトル場(the first normal vector field)という.明らかに,
(1.7.1)
t
′
(
s
)
=
κ
1
(
s
)
n
1
(
s
)
(1.7.1)
t
′
(
s
)
=
κ
1
(
s
)
n
1
(
s
)
{:(1.7.1)t^(')(s)=kappa_(1)(s)n_(1)(s):} \begin{equation*}
\boldsymbol{t}^{\prime}(s)=\kappa_{1}(s) \boldsymbol{n}_{1}(s) \tag{1.7.1}
\end{equation*} (1.7.1) t ′ ( s ) = κ 1 ( s ) n 1 ( s )
が成り立つ. 容易に,
t
(
s
)
⋅
n
1
(
s
)
=
0
t
(
s
)
⋅
n
1
(
s
)
=
0
t(s)*n_(1)(s)=0 \boldsymbol{t}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{1}(s)=0 t ( s ) ⋅ n 1 ( s ) = 0 が示される.
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の 2 次元部分ベクトル 空間
O
1
(
s
)
:=
Span
{
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
}
O
1
(
s
)
:=
Span
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
O_(1)(s):=Span{t(s),n_(1)(s)} \mathcal{O}_{1}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s)\right\} O 1 ( s ) := Span { t ( s ) , n 1 ( s ) }
を
c
c
c c c の
s
s
s s s における第 1 接触空間(the first osculating space)という. べ
クトル値関数
s
↦
n
1
(
s
)
s
↦
n
1
(
s
)
s|->n_(1)(s) s \mapsto \boldsymbol{n}_{1}(s) s ↦ n 1 ( s ) の微分
n
1
′
(
s
)
n
1
′
(
s
)
n_(1)^(')(s) \boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s) n 1 ′ ( s ) を
n
1
′
(
s
)
=
α
(
s
)
t
(
s
)
+
β
(
s
)
n
1
(
s
)
+
w
2
(
s
)
(
α
(
s
)
,
β
(
s
)
∈
R
,
w
2
(
s
)
∈
O
1
(
s
)
⊥
)
n
1
′
(
s
)
=
α
(
s
)
t
(
s
)
+
β
(
s
)
n
1
(
s
)
+
w
2
(
s
)
α
(
s
)
,
β
(
s
)
∈
R
,
w
2
(
s
)
∈
O
1
(
s
)
⊥
n_(1)^(')(s)=alpha(s)t(s)+beta(s)n_(1)(s)+w_(2)(s)quad(alpha(s),beta(s)inR,w_(2)(s)inO_(1)(s)^(_|_)) \boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s)=\alpha(s) \boldsymbol{t}(s)+\beta(s) \boldsymbol{n}_{1}(s)+\boldsymbol{w}_{2}(s) \quad\left(\alpha(s), \beta(s) \in \mathbb{R}, \boldsymbol{w}_{2}(s) \in \mathcal{O}_{1}(s)^{\perp}\right) n 1 ′ ( s ) = α ( s ) t ( s ) + β ( s ) n 1 ( s ) + w 2 ( s ) ( α ( s ) , β ( s ) ∈ R , w 2 ( s ) ∈ O 1 ( s ) ⊥ )
という形に分解する. ここで,
O
1
(
s
)
⊥
O
1
(
s
)
⊥
O_(1)(s)^(_|_) \mathcal{O}_{1}(s)^{\perp} O 1 ( s ) ⊥ は
O
1
(
s
)
O
1
(
s
)
O_(1)(s) \mathcal{O}_{1}(s) O 1 ( s ) の直交補空間を表す.
α
(
s
)
α
(
s
)
alpha(s) \alpha(s) α ( s ) ,
β
(
s
)
β
(
s
)
beta(s) \beta(s) β ( s ) を求めると,
α
(
s
)
=
n
1
′
(
s
)
⋅
t
(
s
)
=
−
n
1
(
s
)
⋅
t
′
(
s
)
=
−
κ
1
(
s
)
β
(
s
)
=
n
1
′
(
s
)
⋅
n
1
(
s
)
=
0
α
(
s
)
=
n
1
′
(
s
)
⋅
t
(
s
)
=
−
n
1
(
s
)
⋅
t
′
(
s
)
=
−
κ
1
(
s
)
β
(
s
)
=
n
1
′
(
s
)
⋅
n
1
(
s
)
=
0
{:[alpha(s)=n_(1)^(')(s)*t(s)=-n_(1)(s)*t^(')(s)=-kappa_(1)(s)],[beta(s)=n_(1)^(')(s)*n_(1)(s)=0]:} \begin{aligned}
& \alpha(s)=\boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{t}(s)=-\boldsymbol{n}_{1}(s) \cdot \boldsymbol{t}^{\prime}(s)=-\kappa_{1}(s) \\
& \beta(s)=\boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{1}(s)=0
\end{aligned} α ( s ) = n 1 ′ ( s ) ⋅ t ( s ) = − n 1 ( s ) ⋅ t ′ ( s ) = − κ 1 ( s ) β ( s ) = n 1 ′ ( s ) ⋅ n 1 ( s ) = 0
となる.
κ
2
(
s
)
:=
‖
w
2
(
s
)
‖
κ
2
(
s
)
:=
w
2
(
s
)
kappa_(2)(s):=||w_(2)(s)|| \kappa_{2}(s):=\left\|\boldsymbol{w}_{2}(s)\right\| κ 2 ( s ) := ‖ w 2 ( s ) ‖ とおく.
κ
2
:
[
0
,
l
]
→
R
κ
2
:
[
0
,
l
]
→
R
kappa_(2):[0,l]rarrR \kappa_{2}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R} κ 2 : [ 0 , l ] → R を
c
c
c c c 第
2
2
2 \mathbf{2} 2 曲率(the second curvature) という.
κ
2
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
κ
2
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
kappa_(2)(s)!=0(s in[0,l]) \kappa_{2}(s) \neq 0(s \in[0, l]) κ 2 ( s ) ≠ 0 ( s ∈ [ 0 , l ] ) と仮定する.
n
2
(
s
)
:=
n
2
(
s
)
:=
n_(2)(s):= \boldsymbol{n}_{2}(s):= n 2 ( s ) :=
1
κ
2
(
s
)
⋅
w
2
(
s
)
1
κ
2
(
s
)
⋅
w
2
(
s
)
(1)/(kappa_(2)(s))*w_(2)(s) \frac{1}{\kappa_{2}(s)} \cdot \boldsymbol{w}_{2}(s) 1 κ 2 ( s ) ⋅ w 2 ( s ) とおく.
n
2
:
[
0
,
l
]
→
R
n
n
2
:
[
0
,
l
]
→
R
n
n_(2):[0,l]rarrR^(n) \boldsymbol{n}_{2}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}^{n} n 2 : [ 0 , l ] → R n を,
c
c
c c c の第
2
2
2 \mathbf{2} 2 法線ベクトル場(the second normal vector field) という. このとき, 上述の事実より,
n
1
′
(
s
)
n
1
′
(
s
)
n_(1)^(')(s) \boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s) n 1 ′ ( s ) は 次のように表される:
(1.7.2)
n
1
′
(
s
)
=
−
κ
1
(
s
)
t
(
s
)
+
κ
2
(
s
)
n
2
(
s
)
(1.7.2)
n
1
′
(
s
)
=
−
κ
1
(
s
)
t
(
s
)
+
κ
2
(
s
)
n
2
(
s
)
{:(1.7.2)n_(1)^(')(s)=-kappa_(1)(s)t(s)+kappa_(2)(s)n_(2)(s):} \begin{equation*}
\boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s)=-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}(s)+\kappa_{2}(s) \boldsymbol{n}_{2}(s) \tag{1.7.2}
\end{equation*} (1.7.2) n 1 ′ ( s ) = − κ 1 ( s ) t ( s ) + κ 2 ( s ) n 2 ( s )
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の 3 次元部分ベクトル空間
O
2
(
s
)
:=
Span
{
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
,
n
2
(
s
)
}
O
2
(
s
)
:=
Span
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
,
n
2
(
s
)
O_(2)(s):=Span{t(s),n_(1)(s),n_(2)(s)} \mathcal{O}_{2}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s), \boldsymbol{n}_{2}(s)\right\} O 2 ( s ) := Span { t ( s ) , n 1 ( s ) , n 2 ( s ) }
を
c
c
c c c の
s
s
s s s における第
2
2
2 \mathbf{2} 2 接触空間(the second osculating space)という. ベクトル値関数
s
↦
n
2
(
s
)
s
↦
n
2
(
s
)
s|->n_(2)(s) s \mapsto \boldsymbol{n}_{2}(s) s ↦ n 2 ( s ) の微分
n
2
′
(
s
)
n
2
′
(
s
)
n_(2)^(')(s) \boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s) n 2 ′ ( s ) を
n
2
′
(
s
)
=
α
^
(
s
)
t
(
s
)
+
β
^
1
(
s
)
n
1
(
s
)
+
β
^
2
(
s
)
n
2
(
s
)
+
w
3
(
s
)
(
α
^
(
s
)
,
β
^
1
(
s
)
,
β
^
2
(
s
)
∈
R
,
w
3
(
s
)
∈
O
2
(
s
)
⊥
)
n
2
′
(
s
)
=
α
^
(
s
)
t
(
s
)
+
β
^
1
(
s
)
n
1
(
s
)
+
β
^
2
(
s
)
n
2
(
s
)
+
w
3
(
s
)
α
^
(
s
)
,
β
^
1
(
s
)
,
β
^
2
(
s
)
∈
R
,
w
3
(
s
)
∈
O
2
(
s
)
⊥
{:[n_(2)^(')(s)= hat(alpha)(s)t(s)+ hat(beta)_(1)(s)n_(1)(s)+ hat(beta)_(2)(s)n_(2)(s)+w_(3)(s)],[(( hat(alpha))(s), hat(beta)_(1)(s), hat(beta)_(2)(s)inR,w_(3)(s)inO_(2)(s)^(_|_))]:} \begin{array}{r}
\boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s)=\hat{\alpha}(s) \boldsymbol{t}(s)+\hat{\beta}_{1}(s) \boldsymbol{n}_{1}(s)+\hat{\beta}_{2}(s) \boldsymbol{n}_{2}(s)+\boldsymbol{w}_{3}(s) \\
\left(\hat{\alpha}(s), \hat{\beta}_{1}(s), \hat{\beta}_{2}(s) \in \mathbb{R}, \boldsymbol{w}_{3}(s) \in \mathcal{O}_{2}(s)^{\perp}\right)
\end{array} n 2 ′ ( s ) = α ^ ( s ) t ( s ) + β ^ 1 ( s ) n 1 ( s ) + β ^ 2 ( s ) n 2 ( s ) + w 3 ( s ) ( α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) ∈ R , w 3 ( s ) ∈ O 2 ( s ) ⊥ )
という形に分解する。
α
^
(
s
)
,
β
^
1
(
s
)
,
β
^
2
(
s
)
α
^
(
s
)
,
β
^
1
(
s
)
,
β
^
2
(
s
)
hat(alpha)(s), hat(beta)_(1)(s), hat(beta)_(2)(s) \hat{\alpha}(s), \hat{\beta}_{1}(s), \hat{\beta}_{2}(s) α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) を求めると,
α
^
(
s
)
=
n
2
′
(
s
)
⋅
t
(
s
)
=
−
n
2
(
s
)
⋅
t
′
(
s
)
=
−
κ
1
(
s
)
(
n
2
(
s
)
⋅
n
1
(
s
)
)
=
0
β
^
1
(
s
)
=
n
2
′
(
s
)
⋅
n
1
(
s
)
=
−
n
2
(
s
)
⋅
n
1
′
(
s
)
=
−
n
2
(
s
)
⋅
(
−
κ
1
(
s
)
t
(
s
)
+
κ
2
(
s
)
n
2
(
s
)
)
=
−
κ
2
(
s
)
β
^
2
(
s
)
=
n
2
′
(
s
)
⋅
n
2
(
s
)
=
0
α
^
(
s
)
=
n
2
′
(
s
)
⋅
t
(
s
)
=
−
n
2
(
s
)
⋅
t
′
(
s
)
=
−
κ
1
(
s
)
n
2
(
s
)
⋅
n
1
(
s
)
=
0
β
^
1
(
s
)
=
n
2
′
(
s
)
⋅
n
1
(
s
)
=
−
n
2
(
s
)
⋅
n
1
′
(
s
)
=
−
n
2
(
s
)
⋅
−
κ
1
(
s
)
t
(
s
)
+
κ
2
(
s
)
n
2
(
s
)
=
−
κ
2
(
s
)
β
^
2
(
s
)
=
n
2
′
(
s
)
⋅
n
2
(
s
)
=
0
{:[ hat(alpha)(s)=n_(2)^(')(s)*t(s)=-n_(2)(s)*t^(')(s)=-kappa_(1)(s)(n_(2)(s)*n_(1)(s))=0],[ hat(beta)_(1)(s)=n_(2)^(')(s)*n_(1)(s)=-n_(2)(s)*n_(1)^(')(s)],[=-n_(2)(s)*(-kappa_(1)(s)t(s)+kappa_(2)(s)n_(2)(s))=-kappa_(2)(s)],[ hat(beta)_(2)(s)=n_(2)^(')(s)*n_(2)(s)=0]:} \begin{aligned}
\hat{\alpha}(s) & =\boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{t}(s)=-\boldsymbol{n}_{2}(s) \cdot \boldsymbol{t}^{\prime}(s)=-\kappa_{1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{2}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{1}(s)\right)=0 \\
\hat{\beta}_{1}(s) & =\boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{1}(s)=-\boldsymbol{n}_{2}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s) \\
& =-\boldsymbol{n}_{2}(s) \cdot\left(-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}(s)+\kappa_{2}(s) \boldsymbol{n}_{2}(s)\right)=-\kappa_{2}(s) \\
\hat{\beta}_{2}(s) & =\boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{2}(s)=0
\end{aligned} α ^ ( s ) = n 2 ′ ( s ) ⋅ t ( s ) = − n 2 ( s ) ⋅ t ′ ( s ) = − κ 1 ( s ) ( n 2 ( s ) ⋅ n 1 ( s ) ) = 0 β ^ 1 ( s ) = n 2 ′ ( s ) ⋅ n 1 ( s ) = − n 2 ( s ) ⋅ n 1 ′ ( s ) = − n 2 ( s ) ⋅ ( − κ 1 ( s ) t ( s ) + κ 2 ( s ) n 2 ( s ) ) = − κ 2 ( s ) β ^ 2 ( s ) = n 2 ′ ( s ) ⋅ n 2 ( s ) = 0
となる.
κ
3
(
s
)
:=
‖
w
3
(
s
)
‖
κ
3
(
s
)
:=
w
3
(
s
)
kappa_(3)(s):=||w_(3)(s)|| \kappa_{3}(s):=\left\|\boldsymbol{w}_{3}(s)\right\| κ 3 ( s ) := ‖ w 3 ( s ) ‖ とおく.
κ
3
:
[
0
,
l
]
→
R
κ
3
:
[
0
,
l
]
→
R
kappa_(3):[0,l]rarrR \kappa_{3}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R} κ 3 : [ 0 , l ] → R を
c
c
c c c の第
3
3
3 \mathbf{3} 3 曲率(the
third curvature) という.
κ
3
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
κ
3
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
kappa_(3)(s)!=0(s in[0,l]) \kappa_{3}(s) \neq 0(s \in[0, l]) κ 3 ( s ) ≠ 0 ( s ∈ [ 0 , l ] ) と仮定する。
n
3
(
s
)
:=
n
3
(
s
)
:=
n_(3)(s):= \boldsymbol{n}_{3}(s):= n 3 ( s ) :=
1
κ
3
(
s
)
⋅
w
3
(
s
)
1
κ
3
(
s
)
⋅
w
3
(
s
)
(1)/(kappa_(3)(s))*w_(3)(s) \frac{1}{\kappa_{3}(s)} \cdot \boldsymbol{w}_{3}(s) 1 κ 3 ( s ) ⋅ w 3 ( s ) とおく.
n
3
:
[
0
,
l
]
→
R
n
n
3
:
[
0
,
l
]
→
R
n
n_(3):[0,l]rarrR^(n) \boldsymbol{n}_{3}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}^{n} n 3 : [ 0 , l ] → R n を,
c
c
c c c の第
3
3
3 \mathbf{3} 3 法線ベクトル場(the third normal vector field) という. このとき, 上述の事実より,
n
2
′
(
s
)
n
2
′
(
s
)
n_(2)^(')(s) \boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s) n 2 ′ ( s ) は次のように表される:
(1.7.3)
n
2
′
(
s
)
=
−
κ
2
(
s
)
n
1
(
s
)
+
κ
3
(
s
)
n
3
(
s
)
(1.7.3)
n
2
′
(
s
)
=
−
κ
2
(
s
)
n
1
(
s
)
+
κ
3
(
s
)
n
3
(
s
)
{:(1.7.3)n_(2)^(')(s)=-kappa_(2)(s)n_(1)(s)+kappa_(3)(s)n_(3)(s):} \begin{equation*}
\boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s)=-\kappa_{2}(s) \boldsymbol{n}_{1}(s)+\kappa_{3}(s) \boldsymbol{n}_{3}(s) \tag{1.7.3}
\end{equation*} (1.7.3) n 2 ′ ( s ) = − κ 2 ( s ) n 1 ( s ) + κ 3 ( s ) n 3 ( s )
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の 4 次元部分ベクトル空間
O
3
(
s
)
:=
Span
{
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
,
n
2
(
s
)
,
n
3
(
s
)
}
O
3
(
s
)
:=
Span
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
,
n
2
(
s
)
,
n
3
(
s
)
O_(3)(s):=Span{t(s),n_(1)(s),n_(2)(s),n_(3)(s)} \mathcal{O}_{3}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s), \boldsymbol{n}_{2}(s), \boldsymbol{n}_{3}(s)\right\} O 3 ( s ) := Span { t ( s ) , n 1 ( s ) , n 2 ( s ) , n 3 ( s ) }
を
c
c
c c c の第 3 接触空間(the third osculating space)という。以下, 同様な プロセスを繰り返すことにより, 順次,
κ
4
(
s
)
,
κ
5
(
s
)
,
…
,
n
4
(
s
)
,
n
5
(
s
)
,
…
κ
4
(
s
)
,
κ
5
(
s
)
,
…
,
n
4
(
s
)
,
n
5
(
s
)
,
…
kappa_(4)(s),kappa_(5)(s),dots,n_(4)(s),n_(5)(s),dots \kappa_{4}(s), \kappa_{5}(s), \ldots, \boldsymbol{n}_{4}(s), \boldsymbol{n}_{5}(s), \ldots κ 4 ( s ) , κ 5 ( s ) , … , n 4 ( s ) , n 5 ( s ) , … , および
O
4
(
s
)
,
O
5
(
s
)
,
…
O
4
(
s
)
,
O
5
(
s
)
,
…
O_(4)(s),O_(5)(s),dots \mathcal{O}_{4}(s), \mathcal{O}_{5}(s), \ldots O 4 ( s ) , O 5 ( s ) , … が定義され,
(1.7.4)
n
i
′
(
s
)
=
−
κ
i
(
s
)
n
i
−
1
(
s
)
+
κ
i
+
1
(
s
)
n
i
+
1
(
s
)
(
i
=
3
,
4
,
…
)
(1.7.4)
n
i
′
(
s
)
=
−
κ
i
(
s
)
n
i
−
1
(
s
)
+
κ
i
+
1
(
s
)
n
i
+
1
(
s
)
(
i
=
3
,
4
,
…
)
{:(1.7.4)n_(i)^(')(s)=-kappa_(i)(s)n_(i-1)(s)+kappa_(i+1)(s)n_(i+1)(s)quad(i=3","4","dots):} \begin{equation*}
\boldsymbol{n}_{i}^{\prime}(s)=-\kappa_{i}(s) \boldsymbol{n}_{i-1}(s)+\kappa_{i+1}(s) \boldsymbol{n}_{i+1}(s) \quad(i=3,4, \ldots) \tag{1.7.4}
\end{equation*} (1.7.4) n i ′ ( s ) = − κ i ( s ) n i − 1 ( s ) + κ i + 1 ( s ) n i + 1 ( s ) ( i = 3 , 4 , … )
が示される.
κ
i
(
i
=
4
,
5
,
…
)
κ
i
(
i
=
4
,
5
,
…
)
kappa_(i)(i=4,5,dots) \kappa_{i}(i=4,5, \ldots) κ i ( i = 4 , 5 , … ) を
c
c
c c c の第
i
i
i \boldsymbol{i} i 曲率(
i
i
i \boldsymbol{i} i -th curvature)といい,
n
i
(
i
=
4
,
5
,
…
)
n
i
(
i
=
4
,
5
,
…
)
n_(i)(i=4,5,dots) \boldsymbol{n}_{i}(i=4,5, \ldots) n i ( i = 4 , 5 , … ) を第
i
i
i \boldsymbol{i} i 法線ベクトル場(隹-th normal vector field)とい う. また,
O
i
(
s
)
:=
Span
{
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
,
…
,
n
i
(
s
)
}
(
i
=
4
,
5
,
…
)
O
i
(
s
)
:=
Span
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
,
…
,
n
i
(
s
)
(
i
=
4
,
5
,
…
)
O_(i)(s):=Span{t(s),n_(1)(s),dots,n_(i)(s)}quad(i=4,5,dots) \mathcal{O}_{i}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s), \ldots, \boldsymbol{n}_{i}(s)\right\} \quad(i=4,5, \ldots) O i ( s ) := Span { t ( s ) , n 1 ( s ) , … , n i ( s ) } ( i = 4 , 5 , … )
を
c
c
c c c の第
i
i
i \boldsymbol{i} i 接触空間(the
i
i
i \boldsymbol{i} i -th osculating space)という.
κ
i
(
s
)
,
n
i
(
s
)
(
i
=
1
,
…
,
n
−
2
)
κ
i
(
s
)
,
n
i
(
s
)
(
i
=
1
,
…
,
n
−
2
)
kappa_(i)(s),n_(i)(s)(i=1,dots,n-2) \kappa_{i}(s), \boldsymbol{n}_{i}(s)(i=1, \ldots, n-2) κ i ( s ) , n i ( s ) ( i = 1 , … , n − 2 ) が定義される場合を考える. このとき, べ クトル値関数
s
↦
n
n
−
2
(
s
)
s
↦
n
n
−
2
(
s
)
s|->n_(n-2)(s) s \mapsto \boldsymbol{n}_{n-2}(s) s ↦ n n − 2 ( s ) の微分
n
n
−
2
′
(
s
)
n
n
−
2
′
(
s
)
n_(n-2)^(')(s) \boldsymbol{n}_{n-2}^{\prime}(s) n n − 2 ′ ( s ) は
n
n
−
2
′
(
s
)
=
−
κ
n
−
2
(
s
)
n
n
−
3
(
s
)
+
w
n
−
1
(
s
)
(
w
n
−
1
(
s
)
∈
O
n
−
2
(
s
)
⊥
)
n
n
−
2
′
(
s
)
=
−
κ
n
−
2
(
s
)
n
n
−
3
(
s
)
+
w
n
−
1
(
s
)
w
n
−
1
(
s
)
∈
O
n
−
2
(
s
)
⊥
n_(n-2)^(')(s)=-kappa_(n-2)(s)n_(n-3)(s)+w_(n-1)(s)quad(w_(n-1)(s)inO_(n-2)(s)^(_|_)) \boldsymbol{n}_{n-2}^{\prime}(s)=-\kappa_{n-2}(s) \boldsymbol{n}_{n-3}(s)+\boldsymbol{w}_{n-1}(s) \quad\left(\boldsymbol{w}_{n-1}(s) \in \mathcal{O}_{n-2}(s)^{\perp}\right) n n − 2 ′ ( s ) = − κ n − 2 ( s ) n n − 3 ( s ) + w n − 1 ( s ) ( w n − 1 ( s ) ∈ O n − 2 ( s ) ⊥ )
という形に分解される. さらに,
w
n
−
1
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
w
n
−
1
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
w_(n-1)(s)!=0(s in[0,l]) \boldsymbol{w}_{n-1}(s) \neq \mathbf{0}(s \in[0, l]) w n − 1 ( s ) ≠ 0 ( s ∈ [ 0 , l ] ) の場合を考える.
(1.7.5)
ε
:=
{
1
(
|
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
,
…
,
n
n
−
2
(
s
)
,
w
n
−
1
|
>
0
のとき)
−
1
(
|
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
,
…
,
n
n
−
2
(
s
)
,
w
n
−
1
|
<
0
のとき)
(1.7.5)
ε
:=
1
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
,
…
,
n
n
−
2
(
s
)
,
w
n
−
1
>
0
のとき)
−
1
t
(
s
)
,
n
1
(
s
)
,
…
,
n
n
−
2
(
s
)
,
w
n
−
1
<
0
のとき)
{:(1.7.5)epsi:={[1,(|t(s),n_(1)(s),dots,n_(n-2)(s),w_(n-1)| > 0:}" のとき) "],[-1,(|t(s),n_(1)(s),dots,n_(n-2)(s),w_(n-1)| < 0:}" のとき) "]:}:} \varepsilon:= \begin{cases}1 & \left(\left|\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s), \ldots, \boldsymbol{n}_{n-2}(s), \boldsymbol{w}_{n-1}\right|>0\right. \text { のとき) } \tag{1.7.5}\\ -1 & \left(\left|\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s), \ldots, \boldsymbol{n}_{n-2}(s), \boldsymbol{w}_{n-1}\right|<0\right. \text { のとき) }\end{cases} の と き の と き (1.7.5) ε := { 1 ( | t ( s ) , n 1 ( s ) , … , n n − 2 ( s ) , w n − 1 | > 0 のとき) − 1 ( | t ( s ) , n 1 ( s ) , … , n n − 2 ( s ) , w n − 1 | < 0 のとき)
と定義し,
κ
n
−
1
(
s
)
,
n
n
−
1
(
s
)
κ
n
−
1
(
s
)
,
n
n
−
1
(
s
)
kappa_(n-1)(s),n_(n-1)(s) \kappa_{n-1}(s), \boldsymbol{n}_{n-1}(s) κ n − 1 ( s ) , n n − 1 ( s ) を各々,
κ
n
−
1
(
s
)
:=
ε
‖
w
n
−
1
(
s
)
‖
(1.7.6)
n
n
−
1
(
s
)
:=
ε
1
‖
w
n
−
1
(
s
)
‖
w
n
−
1
(
s
)
κ
n
−
1
(
s
)
:=
ε
w
n
−
1
(
s
)
(1.7.6)
n
n
−
1
(
s
)
:=
ε
1
w
n
−
1
(
s
)
w
n
−
1
(
s
)
{:[kappa_(n-1)(s):=epsi||w_(n-1)(s)||],[(1.7.6)n_(n-1)(s):=epsi(1)/(||w_(n-1)(s)||)w_(n-1)(s)]:} \begin{align*}
& \kappa_{n-1}(s):=\varepsilon\left\|\boldsymbol{w}_{n-1}(s)\right\| \\
& \boldsymbol{n}_{n-1}(s):=\varepsilon \frac{1}{\left\|\boldsymbol{w}_{n-1}(s)\right\|} \boldsymbol{w}_{n-1}(s) \tag{1.7.6}
\end{align*} κ n − 1 ( s ) := ε ‖ w n − 1 ( s ) ‖ (1.7.6) n n − 1 ( s ) := ε 1 ‖ w n − 1 ( s ) ‖ w n − 1 ( s )
によって定義する。
κ
n
−
1
:
[
0
,
l
]
→
R
κ
n
−
1
:
[
0
,
l
]
→
R
kappa_(n-1):[0,l]rarrR \kappa_{n-1}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R} κ n − 1 : [ 0 , l ] → R を
c
c
c c c 第
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (\boldsymbol{n}-\mathbf{1}) ( n − 1 ) 曲率(the
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (\boldsymbol{n}-\mathbf{1}) ( n − 1 ) -th curvature) といい,
n
n
−
1
:
[
0
,
l
]
→
R
n
n
n
−
1
:
[
0
,
l
]
→
R
n
n_(n-1):[0,l]rarrR^(n) \boldsymbol{n}_{n-1}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}^{n} n n − 1 : [ 0 , l ] → R n を
c
c
c c c 第
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (\boldsymbol{n}-1) ( n − 1 ) 法線ベク トル場(the
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (\boldsymbol{n}-1) ( n − 1 ) -th normal vector field)という。
κ
1
,
…
,
κ
n
−
2
κ
1
,
…
,
κ
n
−
2
kappa_(1),dots,kappa_(n-2) \kappa_{1}, \ldots, \kappa_{n-2} κ 1 , … , κ n − 2 は正値であるが,
κ
n
−
1
κ
n
−
1
kappa_(n-1) \kappa_{n-1} κ n − 1 は正値であるとは限らないことに注意する。このような曲線
c
c
c c c を至る所位数
n
n
n \boldsymbol{n} n の
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{r}} C r 正則曲線(
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r -regular curve of order
n
n
n \boldsymbol{n} n everywhere)という。上述の定義より, 次の関係式が成り立つ:
(1.7.7)
{
t
′
(
s
)
=
κ
1
(
s
)
n
1
(
s
)
n
1
′
(
s
)
=
−
κ
1
(
s
)
t
(
s
)
+
κ
2
(
s
)
n
2
(
s
)
n
2
′
(
s
)
=
−
κ
2
(
s
)
n
1
(
s
)
+
κ
3
(
s
)
n
3
(
s
)
⋮
n
n
−
2
′
(
s
)
=
−
κ
n
−
2
(
s
)
n
n
−
3
(
s
)
+
κ
n
−
1
(
s
)
n
n
−
1
(
s
)
n
n
−
1
′
(
s
)
=
−
κ
n
−
1
(
s
)
n
n
−
2
(
s
)
(1.7.7)
t
′
(
s
)
=
κ
1
(
s
)
n
1
(
s
)
n
1
′
(
s
)
=
−
κ
1
(
s
)
t
(
s
)
+
κ
2
(
s
)
n
2
(
s
)
n
2
′
(
s
)
=
−
κ
2
(
s
)
n
1
(
s
)
+
κ
3
(
s
)
n
3
(
s
)
⋮
n
n
−
2
′
(
s
)
=
−
κ
n
−
2
(
s
)
n
n
−
3
(
s
)
+
κ
n
−
1
(
s
)
n
n
−
1
(
s
)
n
n
−
1
′
(
s
)
=
−
κ
n
−
1
(
s
)
n
n
−
2
(
s
)
{:(1.7.7){[t^(')(s)=kappa_(1)(s)n_(1)(s)],[n_(1)^(')(s)=-kappa_(1)(s)t(s)+kappa_(2)(s)n_(2)(s)],[n_(2)^(')(s)=-kappa_(2)(s)n_(1)(s)+kappa_(3)(s)n_(3)(s)],[vdots],[n_(n-2)^(')(s)=-kappa_(n-2)(s)n_(n-3)(s)+kappa_(n-1)(s)n_(n-1)(s)],[n_(n-1)^(')(s)=-kappa_(n-1)(s)n_(n-2)(s)]:}:} \left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{t}^{\prime}(s)=\kappa_{1}(s) \boldsymbol{n}_{1}(s) \tag{1.7.7}\\
\boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s)=-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}(s)+\kappa_{2}(s) \boldsymbol{n}_{2}(s) \\
\boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s)=-\kappa_{2}(s) \boldsymbol{n}_{1}(s)+\kappa_{3}(s) \boldsymbol{n}_{3}(s) \\
\vdots \\
\boldsymbol{n}_{n-2}^{\prime}(s)=-\kappa_{n-2}(s) \boldsymbol{n}_{n-3}(s)+\kappa_{n-1}(s) \boldsymbol{n}_{n-1}(s) \\
\boldsymbol{n}_{n-1}^{\prime}(s)=-\kappa_{n-1}(s) \boldsymbol{n}_{n-2}(s)
\end{array}\right. (1.7.7) { t ′ ( s ) = κ 1 ( s ) n 1 ( s ) n 1 ′ ( s ) = − κ 1 ( s ) t ( s ) + κ 2 ( s ) n 2 ( s ) n 2 ′ ( s ) = − κ 2 ( s ) n 1 ( s ) + κ 3 ( s ) n 3 ( s ) ⋮ n n − 2 ′ ( s ) = − κ n − 2 ( s ) n n − 3 ( s ) + κ n − 1 ( s ) n n − 1 ( s ) n n − 1 ′ ( s ) = − κ n − 1 ( s ) n n − 2 ( s )
この関係式を
c
c
c c c のフルネの公式(Frenêt formula)といい,
(
t
,
n
1
,
…
,
n
n
−
1
)
t
,
n
1
,
…
,
n
n
−
1
(t,n_(1),dots,n_(n-1)) \left(\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}_{1}, \ldots, \boldsymbol{n}_{n-1}\right) ( t , n 1 , … , n n − 1 ) を
c
c
c c c のフルネ枠(Frenêt frame)という。特に,
κ
1
,
…
,
κ
n
−
1
κ
1
,
…
,
κ
n
−
1
kappa_(1),dots,kappa_(n-1) \kappa_{1}, \ldots, \kappa_{n-1} κ 1 , … , κ n − 1 が定数である とき,
c
c
c c c を位数
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) の常螺旋(helix of order
(
n
−
1
)
)
(
n
−
1
)
)
(n-1)) (n-1) ) ) ( n − 1 ) ) という.
注意 特に,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の至る所位数 3 の弧長でパラメーター付けられた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線
c
c
c c c に 対しては, 第 1 曲率
κ
1
κ
1
kappa_(1) \kappa_{1} κ 1 と第 2 曲率
κ
2
κ
2
kappa_(2) \kappa_{2} κ 2 が定義されるが, 通常,
κ
2
κ
2
kappa_(2) \kappa_{2} κ 2 は
c
c
c c c の捩率 (torsion)とよばれ,
τ
τ
tau \tau τ で表される.
最後に, 一般パラメーターでパラメーター付けられた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線の第
i
i
i i i 曲率, 第
i
i
i i i 法線ベクトル場を定義しておく.
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
c:[a,b]rarrE^(n) c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n} c : [ a , b ] → E n を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線と し,
c
c
c c c を弧長でパラメーター付けし直した曲線を
c
^
:
[
0
,
l
]
→
E
n
c
^
:
[
0
,
l
]
→
E
n
hat(c):[0,l]rarrE^(n) \hat{c}:[0, l] \rightarrow \mathbb{E}^{n} c ^ : [ 0 , l ] → E n , つまり
c
^
:=
c
^
:=
hat(c):= \hat{c}:= c ^ :=
c
∘
φ
−
1
(
φ
(
t
)
:=
∫
a
t
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
)
c
∘
φ
−
1
φ
(
t
)
:=
∫
a
t
c
→
′
(
t
)
d
t
c@varphi^(-1)(varphi(t):=int_(a)^(t)|| vec(c)^(')(t)||dt) c \circ \varphi^{-1}\left(\varphi(t):=\int_{a}^{t}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t\right) c ∘ φ − 1 ( φ ( t ) := ∫ a t ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t ) とする.
c
^
c
^
hat(c) \hat{c} c ^ の第
i
i
i i i 曲率, 第
i
i
i i i 法線ベクトル場を
κ
^
i
,
n
^
i
κ
^
i
,
n
^
i
hat(kappa)_(i), hat(n)_(i) \hat{\kappa}_{i}, \hat{\boldsymbol{n}}_{i} κ ^ i , n ^ i とするとき,
κ
^
i
∘
φ
(
:
[
a
,
b
]
→
R
)
,
n
^
i
∘
φ
(
:
[
a
,
b
]
→
T
S
)
κ
^
i
∘
φ
(
:
[
a
,
b
]
→
R
)
,
n
^
i
∘
φ
(
:
[
a
,
b
]
→
T
S
)
hat(kappa)_(i)@varphi(:[a,b]rarrR), hat(n)_(i)@varphi(:[a,b]rarr TS) \hat{\kappa}_{i} \circ \varphi(:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}), \hat{\boldsymbol{n}}_{i} \circ \varphi(:[a, b] \rightarrow T S) κ ^ i ∘ φ ( : [ a , b ] → R ) , n ^ i ∘ φ ( : [ a , b ] → T S ) を
c
c
c c c の第
i
i
i i i 曲率, 第
i
i
i i i 法線ベクトル場という。
1.8 グリーンの定理
この節において、
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 の領域上で定義されたべクトル場に対する積分公式の 一つである,グリーンの定理を紹介する。この定理は, 第 3 章で述べる
n
n
n n n 次元多様体上の
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 次微分形式に対するストークスの定理(定理 3.10 .1 を参照)の最も基本的な形の主張であることを注意しておく.
c
:
[
a
,
b
]
→
E
2
c
:
[
a
,
b
]
→
E
2
c:[a,b]rarrE^(2) c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{2} c : [ a , b ] → E 2 を
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 曲線とする.
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] の分割
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
=
b
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
=
b
a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k)=b a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}=b a = t 0 < t 1 < ⋯ < t k = b で,
c
c
c c c の
[
t
i
−
1
,
t
i
]
∼
t
i
−
1
,
t
i
∼
[t_(i-1),t_(i)]∼ \left[t_{i-1}, t_{i}\right] \sim [ t i − 1 , t i ] ∼ の制限
c
|
[
t
i
−
1
,
t
i
]
(
i
=
1
,
…
,
k
−
1
)
c
t
i
−
1
,
t
i
(
i
=
1
,
…
,
k
−
1
)
c|_([t_(i-1),t_(i)])(i=1,dots,k-1) \left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i=1, \ldots, k-1) c | [ t i − 1 , t i ] ( i = 1 , … , k − 1 ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線であるようなものが存在す るとき,
c
c
c c c を区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則な曲線(piecewise
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -regular curve)と いう. さらに,
c
|
[
a
,
b
)
c
[
a
,
b
)
c|_([a,b)) \left.c\right|_{[a, b)} c | [ a , b ) が単射であり,
c
(
a
)
=
c
(
b
)
c
(
a
)
=
c
(
b
)
c(a)=c(b) c(a)=c(b) c ( a ) = c ( b ) であるとき,
c
c
c c c を区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則な単純閉曲線(piecewise
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -regular simple closed curve)と いう。区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則な単純閉曲線で囲まれた有界閉領域を,区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域(closed bounded domain with piecewise
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -boundary) という.
定理 1.8.1(グリーンの定理)
D
D
D D D を
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域とし, その境界
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D が区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則な単純閉曲線
c
:
[
a
,
b
]
→
E
2
c
:
[
a
,
b
]
→
E
2
c:[a,b]rarrE^(2) c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{2} c : [ a , b ] → E 2 に よって与えられているとする.
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
−
1
<
t
k
=
b
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
−
1
<
t
k
=
b
a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k-1) < t_(k)=b a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k-1}<t_{k}=b a = t 0 < t 1 < ⋯ < t k − 1 < t k = b を
c
|
[
t
i
−
1
,
t
i
]
c
t
i
−
1
,
t
i
c|_([t_(i-1),t_(i)]) \left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]} c | [ t i − 1 , t i ]
(
i
=
1
,
…
,
k
)
(
i
=
1
,
…
,
k
)
(i=1,dots,k) (i=1, \ldots, k) ( i = 1 , … , k ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線であるような
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] の分割とする. このとき,
D
D
D D D を含む領域上で定義された
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し, 次の関係式が成り立 つ :
∬
D
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∫
c
X
⋅
d
r
∬
D
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∫
c
X
⋅
d
r
∬_(D)rot Xdx_(1)dx_(2)=int_(c)X*dr \iint_{D} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∬ D rot X d x 1 d x 2 = ∫ c X ⋅ d r
証明 有限個の長方形閉領域
{
E
k
j
}
j
=
1
m
k
(
E
k
j
=
[
a
k
j
,
b
k
j
]
×
[
a
¯
k
j
,
b
¯
k
j
]
)
E
k
j
j
=
1
m
k
E
k
j
=
a
k
j
,
b
k
j
×
a
¯
k
j
,
b
¯
k
j
{E_(k)^(j)}_(j=1)^(m_(k))(E_(k)^(j)=[a_(k)^(j),b_(k)^(j)]xx[ bar(a)_(k)^(j), bar(b)_(k)^(j)]) \left\{E_{k}^{j}\right\}_{j=1}^{m_{k}}\left(E_{k}^{j}=\left[a_{k}^{j}, b_{k}^{j}\right] \times\left[\bar{a}_{k}^{j}, \bar{b}_{k}^{j}\right]\right) { E k j } j = 1 m k ( E k j = [ a k j , b k j ] × [ a ¯ k j , b ¯ k j ] ) の和に分割 されるような(Dに含まれる)区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ有界閉領域
D
k
D
k
D_(k) D_{k} D k の増加列
{
D
k
}
k
=
1
∞
D
k
k
=
1
∞
{D_(k)}_(k=1)^(oo) \left\{D_{k}\right\}_{k=1}^{\infty} { D k } k = 1 ∞ で, その境界の列
{
∂
D
k
}
k
=
1
∞
∂
D
k
k
=
1
∞
{delD_(k)}_(k=1)^(oo) \left\{\partial D_{k}\right\}_{k=1}^{\infty} { ∂ D k } k = 1 ∞ が,次の意味で
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D に収束す るようなものをとる:
(*)
∂
D
k
∂
D
k
delD_(k) \partial D_{k} ∂ D k を像とする区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉曲線
c
k
:
[
a
,
b
]
→
E
2
c
k
:
[
a
,
b
]
→
E
2
c_(k):[a,b]rarrE^(2) c_{k}:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{2} c k : [ a , b ] → E 2 の族
{
c
k
}
k
=
1
∞
c
k
k
=
1
∞
{c_(k)}_(k=1)^(oo) \left\{c_{k}\right\}_{k=1}^{\infty} { c k } k = 1 ∞ で
lim
k
→
∞
sup
t
∈
[
a
,
b
]
‖
c
k
→
(
t
)
−
c
→
(
t
)
‖
=
0
lim
k
→
∞
sup
t
∈
[
a
,
b
]
c
k
→
(
t
)
−
c
→
(
t
)
=
0
lim_(k rarr oo)s u p_(t in[a,b])|| vec(c_(k))(t)-( vec(c))(t)||=0 \lim _{k \rightarrow \infty} \sup _{t \in[a, b]}\left\|\overrightarrow{c_{k}}(t)-\vec{c}(t)\right\|=0 lim k → ∞ sup t ∈ [ a , b ] ‖ c k → ( t ) − c → ( t ) ‖ = 0
となるようなものを許容する(このとき,“
D
∖
D
k
D
∖
D
k
D\\D_(k) D \backslash D_{k} D ∖ D k の面積”
→
0
(
k
→
∞
)
→
0
(
k
→
∞
)
rarr0(k rarr oo) \rightarrow 0(k \rightarrow \infty) → 0 ( k → ∞ )
図 1.8.1 区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則な曲線
c
k
j
c
k
j
c_(k)^(j) c_{k}^{j} c k j
となる).
l
k
j
:=
b
k
j
−
a
k
j
,
l
¯
k
j
:=
b
¯
k
j
−
a
¯
k
j
l
k
j
:=
b
k
j
−
a
k
j
,
l
¯
k
j
:=
b
¯
k
j
−
a
¯
k
j
l_(k)^(j):=b_(k)^(j)-a_(k)^(j), bar(l)_(k)^(j):= bar(b)_(k)^(j)- bar(a)_(k)^(j) l_{k}^{j}:=b_{k}^{j}-a_{k}^{j}, \bar{l}_{k}^{j}:=\bar{b}_{k}^{j}-\bar{a}_{k}^{j} l k j := b k j − a k j , l ¯ k j := b ¯ k j − a ¯ k j とする. 区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則な単純閉曲線
c
k
j
:
c
k
j
:
c_(k)^(j): c_{k}^{j}: c k j :
[
a
k
j
,
a
k
j
+
2
l
k
j
+
2
l
¯
k
j
]
→
A
2
a
k
j
,
a
k
j
+
2
l
k
j
+
2
l
¯
k
j
→
A
2
[a_(k)^(j),a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+2 bar(l)_(k)^(j)]rarrA^(2) \left[a_{k}^{j}, a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+2 \bar{l}_{k}^{j}\right] \rightarrow \mathbb{A}^{2} [ a k j , a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j ] → A 2 を
c
k
j
(
t
)
:=
{
(
t
,
a
¯
k
j
)
(
a
k
j
≤
t
≤
a
k
j
+
l
k
j
)
(
b
k
j
,
t
−
a
k
j
−
l
k
j
+
a
¯
k
j
)
(
a
k
j
+
l
k
j
≤
t
≤
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
)
(
a
k
j
+
b
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
−
t
,
b
¯
k
j
)
(
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
≤
t
≤
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
)
(
a
k
j
,
a
k
j
+
b
¯
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
−
t
)
(
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
≤
t
≤
a
k
j
+
2
l
k
j
+
2
l
¯
k
j
)
c
k
j
(
t
)
:=
t
,
a
¯
k
j
a
k
j
≤
t
≤
a
k
j
+
l
k
j
b
k
j
,
t
−
a
k
j
−
l
k
j
+
a
¯
k
j
a
k
j
+
l
k
j
≤
t
≤
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
b
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
−
t
,
b
¯
k
j
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
≤
t
≤
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
,
a
k
j
+
b
¯
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
−
t
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
≤
t
≤
a
k
j
+
2
l
k
j
+
2
l
¯
k
j
c_(k)^(j)(t):={[(t, bar(a)_(k)^(j)),(a_(k)^(j) <= t <= a_(k)^(j)+l_(k)^(j))],[(b_(k)^(j),t-a_(k)^(j)-l_(k)^(j)+ bar(a)_(k)^(j)),(a_(k)^(j)+l_(k)^(j) <= t <= a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))],[(a_(k)^(j)+b_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j)-t, bar(b)_(k)^(j)),(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j) <= t <= a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))],[(a_(k)^(j),a_(k)^(j)+ bar(b)_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j)-t),(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j) <= t <= a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+2 bar(l)_(k)^(j))]:} c_{k}^{j}(t):= \begin{cases}\left(t, \bar{a}_{k}^{j}\right) & \left(a_{k}^{j} \leq t \leq a_{k}^{j}+l_{k}^{j}\right) \\ \left(b_{k}^{j}, t-a_{k}^{j}-l_{k}^{j}+\bar{a}_{k}^{j}\right) & \left(a_{k}^{j}+l_{k}^{j} \leq t \leq a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}\right) \\ \left(a_{k}^{j}+b_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}-t, \bar{b}_{k}^{j}\right) & \left(a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j} \leq t \leq a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}\right) \\ \left(a_{k}^{j}, a_{k}^{j}+\bar{b}_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}-t\right) & \left(a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j} \leq t \leq a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+2 \bar{l}_{k}^{j}\right)\end{cases} c k j ( t ) := { ( t , a ¯ k j ) ( a k j ≤ t ≤ a k j + l k j ) ( b k j , t − a k j − l k j + a ¯ k j ) ( a k j + l k j ≤ t ≤ a k j + l k j + l ¯ k j ) ( a k j + b k j + l k j + l ¯ k j − t , b ¯ k j ) ( a k j + l k j + l ¯ k j ≤ t ≤ a k j + 2 l k j + l ¯ k j ) ( a k j , a k j + b ¯ k j + 2 l k j + l ¯ k j − t ) ( a k j + 2 l k j + l ¯ k j ≤ t ≤ a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j )
によって定義する(図 1.8 .1 を参照)。明らかに
∂
E
k
j
∂
E
k
j
delE_(k)^(j) \partial E_{k}^{j} ∂ E k j は, この単純閉曲線によ って与えられる。まず, 各
(
k
,
j
)
(
k
,
j
)
(k,j) (k, j) ( k , j ) に対し,
∬
E
j
k
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∫
c
j
k
X
⋅
d
r
∬
E
j
k
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∫
c
j
k
X
⋅
d
r
∬_(E_(j)^(k))rot Xdx_(1)dx_(2)=int_(c_(j)^(k))X*dr \iint_{E_{j}^{k}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\int_{c_{j}^{k}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∬ E j k rot X d x 1 d x 2 = ∫ c j k X ⋅ d r
が成り立つことを示す.
X
=
(
X
1
,
X
2
)
X
=
X
1
,
X
2
X=(X_(1),X_(2)) \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}\right) X = ( X 1 , X 2 ) とする。このとき、
∬
E
k
j
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∬
E
k
j
(
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
)
d
x
1
d
x
2
=
∫
a
k
j
b
k
j
∫
a
¯
k
j
b
¯
k
j
(
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
)
d
x
1
d
x
2
=
∫
a
¯
k
j
b
¯
k
j
(
X
2
(
b
k
j
,
x
2
)
−
X
2
(
a
k
j
,
x
2
)
)
d
x
2
−
∫
a
k
j
b
k
j
(
X
1
(
x
1
,
b
¯
k
j
)
−
X
1
(
x
1
,
a
¯
k
j
)
)
d
x
1
=
∫
a
k
j
b
k
j
X
1
(
t
,
a
¯
k
j
)
d
t
+
∫
a
¯
k
j
b
¯
k
j
X
2
(
b
k
j
,
t
)
d
t
−
∫
a
k
j
b
k
j
X
1
(
t
,
b
¯
k
j
)
d
t
−
∫
a
¯
k
j
b
¯
k
j
X
2
(
a
k
j
,
t
)
d
t
∬
E
k
j
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∬
E
k
j
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
d
x
1
d
x
2
=
∫
a
k
j
b
k
j
∫
a
¯
k
j
b
¯
k
j
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
d
x
1
d
x
2
=
∫
a
¯
k
j
b
¯
k
j
X
2
b
k
j
,
x
2
−
X
2
a
k
j
,
x
2
d
x
2
−
∫
a
k
j
b
k
j
X
1
x
1
,
b
¯
k
j
−
X
1
x
1
,
a
¯
k
j
d
x
1
=
∫
a
k
j
b
k
j
X
1
t
,
a
¯
k
j
d
t
+
∫
a
¯
k
j
b
¯
k
j
X
2
b
k
j
,
t
d
t
−
∫
a
k
j
b
k
j
X
1
t
,
b
¯
k
j
d
t
−
∫
a
¯
k
j
b
¯
k
j
X
2
a
k
j
,
t
d
t
{:[∬_(E_(k)^(j))rot Xdx_(1)dx_(2)],[=∬_(E_(k)^(j))((delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2)))dx_(1)dx_(2)=int_(a_(k)^(j))^(b_(k)^(j))int_( bar(a)_(k)^(j))^( bar(b)_(k)^(j))((delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2)))dx_(1)dx_(2)],[=int_( bar(a)_(k)^(j))^( bar(b)_(k)^(j))(X_(2)(b_(k)^(j),x_(2))-X_(2)(a_(k)^(j),x_(2)))dx_(2)-int_(a_(k)^(j))^(b_(k)^(j))(X_(1)(x_(1), bar(b)_(k)^(j))-X_(1)(x_(1), bar(a)_(k)^(j)))dx_(1)],[=int_(a_(k)^(j))^(b_(k)^(j))X_(1)(t, bar(a)_(k)^(j))dt+int_( bar(a)_(k)^(j))^( bar(b)_(k)^(j))X_(2)(b_(k)^(j),t)dt-int_(a_(k)^(j))^(b_(k)^(j))X_(1)(t, bar(b)_(k)^(j))dt-int_( bar(a)_(k)^(j))^( bar(b)_(k)^(j))X_(2)(a_(k)^(j),t)dt]:} \begin{aligned}
& \iint_{E_{k}^{j}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2} \\
= & \iint_{E_{k}^{j}}\left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right) d x_{1} d x_{2}=\int_{a_{k}^{j}}^{b_{k}^{j}} \int_{\bar{a}_{k}^{j}}^{\bar{b}_{k}^{j}}\left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right) d x_{1} d x_{2} \\
= & \int_{\bar{a}_{k}^{j}}^{\bar{b}_{k}^{j}}\left(X_{2}\left(b_{k}^{j}, x_{2}\right)-X_{2}\left(a_{k}^{j}, x_{2}\right)\right) d x_{2}-\int_{a_{k}^{j}}^{b_{k}^{j}}\left(X_{1}\left(x_{1}, \bar{b}_{k}^{j}\right)-X_{1}\left(x_{1}, \bar{a}_{k}^{j}\right)\right) d x_{1} \\
= & \int_{a_{k}^{j}}^{b_{k}^{j}} X_{1}\left(t, \bar{a}_{k}^{j}\right) d t+\int_{\bar{a}_{k}^{j}}^{\bar{b}_{k}^{j}} X_{2}\left(b_{k}^{j}, t\right) d t-\int_{a_{k}^{j}}^{b_{k}^{j}} X_{1}\left(t, \bar{b}_{k}^{j}\right) d t-\int_{\bar{a}_{k}^{j}}^{\bar{b}_{k}^{j}} X_{2}\left(a_{k}^{j}, t\right) d t
\end{aligned} ∬ E k j rot X d x 1 d x 2 = ∬ E k j ( ∂ X 2 ∂ x 1 − ∂ X 1 ∂ x 2 ) d x 1 d x 2 = ∫ a k j b k j ∫ a ¯ k j b ¯ k j ( ∂ X 2 ∂ x 1 − ∂ X 1 ∂ x 2 ) d x 1 d x 2 = ∫ a ¯ k j b ¯ k j ( X 2 ( b k j , x 2 ) − X 2 ( a k j , x 2 ) ) d x 2 − ∫ a k j b k j ( X 1 ( x 1 , b ¯ k j ) − X 1 ( x 1 , a ¯ k j ) ) d x 1 = ∫ a k j b k j X 1 ( t , a ¯ k j ) d t + ∫ a ¯ k j b ¯ k j X 2 ( b k j , t ) d t − ∫ a k j b k j X 1 ( t , b ¯ k j ) d t − ∫ a ¯ k j b ¯ k j X 2 ( a k j , t ) d t
=
∫
a
k
j
a
k
j
+
l
k
j
X
1
(
c
k
j
(
t
)
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
l
k
j
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
2
(
c
k
j
(
t
)
)
d
t
−
∫
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
1
(
c
k
j
(
t
)
)
d
t
−
∫
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
2
l
¯
k
j
X
2
(
c
k
j
(
t
)
)
d
t
=
∫
a
k
j
a
k
j
+
l
k
j
X
(
c
k
j
(
t
)
)
⋅
(
1
,
0
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
l
k
j
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
(
c
k
j
(
t
)
)
⋅
(
0
,
1
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
(
c
k
j
(
t
)
)
⋅
(
−
1
,
0
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
2
l
¯
k
j
X
(
c
k
j
(
t
)
)
⋅
(
0
,
−
1
)
d
t
=
∫
a
k
j
a
k
j
+
l
k
j
X
(
c
k
j
(
t
)
)
⋅
(
c
k
j
)
′
(
t
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
l
k
j
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
(
c
k
j
(
t
)
)
⋅
(
c
k
j
)
′
(
t
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
(
c
k
j
(
t
)
)
⋅
(
c
k
j
)
′
(
t
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
2
l
¯
k
j
X
(
c
k
j
(
t
)
)
⋅
(
c
k
j
)
′
(
t
)
d
t
=
∫
c
k
j
X
⋅
d
r
=
∫
a
k
j
a
k
j
+
l
k
j
X
1
c
k
j
(
t
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
l
k
j
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
2
c
k
j
(
t
)
d
t
−
∫
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
1
c
k
j
(
t
)
d
t
−
∫
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
2
l
¯
k
j
X
2
c
k
j
(
t
)
d
t
=
∫
a
k
j
a
k
j
+
l
k
j
X
c
k
j
(
t
)
⋅
(
1
,
0
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
l
k
j
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
c
k
j
(
t
)
⋅
(
0
,
1
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
c
k
j
(
t
)
⋅
(
−
1
,
0
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
2
l
¯
k
j
X
c
k
j
(
t
)
⋅
(
0
,
−
1
)
d
t
=
∫
a
k
j
a
k
j
+
l
k
j
X
c
k
j
(
t
)
⋅
c
k
j
′
(
t
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
l
k
j
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
c
k
j
(
t
)
⋅
c
k
j
′
(
t
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
X
c
k
j
(
t
)
⋅
c
k
j
′
(
t
)
d
t
+
∫
a
k
j
+
2
l
k
j
+
l
¯
k
j
a
k
j
+
2
l
k
j
+
2
l
¯
k
j
X
c
k
j
(
t
)
⋅
c
k
j
′
(
t
)
d
t
=
∫
c
k
j
X
⋅
d
r
{:[=int_(a_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))X_(1)(c_(k)^(j)(t))dt+int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X_(2)(c_(k)^(j)(t))dt],[-int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X_(1)(c_(k)^(j)(t))dt-int_(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+2 bar(l)_(k)^(j))X_(2)(c_(k)^(j)(t))dt],[=int_(a_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(1","0)dt+int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(0","1)dt],[+int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(-1","0)dt+int_(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+2 bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(0","-1)dt],[=int_(a_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(c_(k)^(j))^(')(t)dt+int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(c_(k)^(j))^(')(t)dt],[+int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(c_(k)^(j))^(')(t)dt+int_(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+2 bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(c_(k)^(j))^(')(t)dt],[=int_(c_(k)^(j))X*dr]:} \begin{aligned}
= & \int_{a_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}} X_{1}\left(c_{k}^{j}(t)\right) d t+\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} X_{2}\left(c_{k}^{j}(t)\right) d t \\
& -\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} X_{1}\left(c_{k}^{j}(t)\right) d t-\int_{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+2 \bar{l}_{k}^{j}} X_{2}\left(c_{k}^{j}(t)\right) d t \\
= & \int_{a_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot(1,0) d t+\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot(0,1) d t \\
& +\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot(-1,0) d t+\int_{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+2 \bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot(0,-1) d t \\
= & \int_{a_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot\left(c_{k}^{j}\right)^{\prime}(t) d t+\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot\left(c_{k}^{j}\right)^{\prime}(t) d t \\
& +\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot\left(c_{k}^{j}\right)^{\prime}(t) d t+\int_{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+2 \bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot\left(c_{k}^{j}\right)^{\prime}(t) d t \\
= & \int_{c_{k}^{j}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}
\end{aligned} = ∫ a k j a k j + l k j X 1 ( c k j ( t ) ) d t + ∫ a k j + l k j a k j + l k j + l ¯ k j X 2 ( c k j ( t ) ) d t − ∫ a k j + l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + l ¯ k j X 1 ( c k j ( t ) ) d t − ∫ a k j + 2 l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j X 2 ( c k j ( t ) ) d t = ∫ a k j a k j + l k j X ( c k j ( t ) ) ⋅ ( 1 , 0 ) d t + ∫ a k j + l k j a k j + l k j + l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ⋅ ( 0 , 1 ) d t + ∫ a k j + l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ⋅ ( − 1 , 0 ) d t + ∫ a k j + 2 l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ⋅ ( 0 , − 1 ) d t = ∫ a k j a k j + l k j X ( c k j ( t ) ) ⋅ ( c k j ) ′ ( t ) d t + ∫ a k j + l k j a k j + l k j + l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ⋅ ( c k j ) ′ ( t ) d t + ∫ a k j + l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ⋅ ( c k j ) ′ ( t ) d t + ∫ a k j + 2 l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ⋅ ( c k j ) ′ ( t ) d t = ∫ c k j X ⋅ d r
が示される。それゆえ,
(1.8.1)
∬
D
k
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∑
j
=
1
m
k
∬
E
k
j
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∑
j
=
1
m
k
∫
c
k
j
X
⋅
d
r
(1.8.1)
∬
D
k
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∑
j
=
1
m
k
∬
E
k
j
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∑
j
=
1
m
k
∫
c
k
j
X
⋅
d
r
{:(1.8.1)∬_(D_(k))rot Xdx_(1)dx_(2)=sum_(j=1)^(m_(k))∬_(E_(k)^(j))rot Xdx_(1)dx_(2)=sum_(j=1)^(m_(k))int_(c_(k)^(j))X*dr:} \begin{equation*}
\iint_{D_{k}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\sum_{j=1}^{m_{k}} \iint_{E_{k}^{j}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\sum_{j=1}^{m_{k}} \int_{c_{k}^{j}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} \tag{1.8.1}
\end{equation*} (1.8.1) ∬ D k rot X d x 1 d x 2 = ∑ j = 1 m k ∬ E k j rot X d x 1 d x 2 = ∑ j = 1 m k ∫ c k j X ⋅ d r
をえる.
E
k
j
E
k
j
E_(k)^(j) E_{k}^{j} E k j と
E
k
j
′
E
k
j
′
E_(k)^(j^(')) E_{k}^{j^{\prime}} E k j ′ が辺の一部を共有する場合,
E
k
j
E
k
j
E_(k)^(j) E_{k}^{j} E k j の辺として与えられるそ の辺の向きと
E
k
j
′
E
k
j
′
E_(k)^(j^(')) E_{k}^{j^{\prime}} E k j ′ の辺として与えられるその辺の向きは, 共有する部分で逆向きとなる(図 1.8.2 を参照)。それゆえ,命題 1.4 .1 (i) の第 2 式と命題 1.4 .3 により, その共有部分上での積分が相殺されることがわかる.したがって,
(1.8.2)
∑
j
=
1
m
k
∫
c
k
j
X
⋅
d
r
=
∫
c
k
X
⋅
d
r
(1.8.2)
∑
j
=
1
m
k
∫
c
k
j
X
⋅
d
r
=
∫
c
k
X
⋅
d
r
{:(1.8.2)sum_(j=1)^(m_(k))int_(c_(k)^(j))X*dr=int_(c_(k))X*dr:} \begin{equation*}
\sum_{j=1}^{m_{k}} \int_{c_{k}^{j}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c_{k}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} \tag{1.8.2}
\end{equation*} (1.8.2) ∑ j = 1 m k ∫ c k j X ⋅ d r = ∫ c k X ⋅ d r
が成り立つ. 式 (1.8.1) と式 (1.8.2) から,
∬
D
k
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∫
c
k
X
⋅
d
r
∬
D
k
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∫
c
k
X
⋅
d
r
∬_(D_(k))rot Xdx_(1)dx_(2)=int_(c_(k))X*dr \iint_{D_{k}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\int_{c_{k}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∬ D k rot X d x 1 d x 2 = ∫ c k X ⋅ d r
が導かれる. それゆえ, “
D
∖
D
k
D
∖
D
k
D\\D_(k) D \backslash D_{k} D ∖ D k の面積”
→
0
(
k
→
∞
)
→
0
(
k
→
∞
)
rarr0(k rarr oo) \rightarrow 0 ( k \rightarrow \infty ) ( ) → 0 ( k → ∞ ) となるので,
∬
D
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
lim
k
→
∞
∬
D
k
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
lim
k
→
∞
∫
c
k
X
⋅
d
r
∬
D
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
lim
k
→
∞
∬
D
k
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
lim
k
→
∞
∫
c
k
X
⋅
d
r
∬_(D)rot Xdx_(1)dx_(2)=lim_(k rarr oo)∬_(D_(k))rot Xdx_(1)dx_(2)=lim_(k rarr oo)int_(c_(k))X*dr \iint_{D} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\lim _{k \rightarrow \infty} \iint_{D_{k}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{c_{k}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∬ D rot X d x 1 d x 2 = lim k → ∞ ∬ D k rot X d x 1 d x 2 = lim k → ∞ ∫ c k X ⋅ d r
点線部は
D
k
D
k
D_(k) D_{k} D k を表す.
図 1.8.2隣接する長方形領域の境界上の向きが逆になる様子
をえる. さらに,
lim
k
→
∞
sup
t
∈
[
a
,
b
]
‖
c
k
→
(
t
)
−
c
→
(
t
)
‖
=
0
lim
k
→
∞
sup
t
∈
[
a
,
b
]
c
k
→
(
t
)
−
c
→
(
t
)
=
0
lim_(k rarr oo)s u p_(t in[a,b])|| vec(c_(k))(t)-( vec(c))(t)||=0 \lim _{k \rightarrow \infty} \sup _{t \in[a, b]}\left\|\overrightarrow{c_{k}}(t)-\vec{c}(t)\right\|=0 lim k → ∞ sup t ∈ [ a , b ] ‖ c k → ( t ) − c → ( t ) ‖ = 0
から, ベクトル場の線積分の定義と命題 1.4.3を用いて,
lim
k
→
∞
∫
c
k
X
⋅
d
r
=
∫
c
X
⋅
d
r
lim
k
→
∞
∫
c
k
X
⋅
d
r
=
∫
c
X
⋅
d
r
lim_(k rarr oo)int_(c_(k))X*dr=int_(c)X*dr \lim _{k \rightarrow \infty} \int_{c_{k}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} lim k → ∞ ∫ c k X ⋅ d r = ∫ c X ⋅ d r
を示すことができる. したがって, 求めるべき関係式
∫
D
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
∫
D
rot
X
d
x
1
d
x
2
=
int_(D)rot Xdx_(1)dx_(2)= \int_{D} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}= ∫ D rot X d x 1 d x 2 =
∫
c
X
⋅
d
r
∫
c
X
⋅
d
r
int_(c)X*dr \int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ c X ⋅ d r をえる。
1.9 超曲面
この節において,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面, さらに一般に, 区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の超曲面の概念を定義する。最初に,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面の構成要素である
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面の概念を定義する。以下,
n
≥
2
n
≥
2
n >= 2 n \geq 2 n ≥ 2 とする。
D
D
D D D を
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n (単なる
R
R
R \mathbb{R} R の
n
n
n n n 個の直積)の領域とし,
x
x
x \boldsymbol{x} x を
D
D
D D D から
(
n
+
1
)
(
n
+
1
)
(n+1) (n+1) ( n + 1 ) 次元ユークリッド空間
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像とする. つまり,
x
→
(
u
1
,
…
,
u
n
)
=
o
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
→
(
(
u
1
,
…
,
u
n
)
∈
D
)
x
→
u
1
,
…
,
u
n
=
o
x
u
1
,
…
,
u
n
→
u
1
,
…
,
u
n
∈
D
vec(x)(u_(1),dots,u_(n))= vec(ox(u_(1),dots,u_(n)))quad((u_(1),dots,u_(n))in D) \overrightarrow{\boldsymbol{x}}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\overrightarrow{o \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right) x → ( u 1 , … , u n ) = o x ( u 1 , … , u n ) → ( ( u 1 , … , u n ) ∈ D )
によって定義されるベクトル値関数
x
→
:
D
→
R
n
+
1
x
→
:
D
→
R
n
+
1
vec(x):D rarrR^(n+1) \overrightarrow{\boldsymbol{x}}: D \rightarrow \mathbb{R}^{n+1} x → : D → R n + 1 が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとする.
x
→
(
u
1
,
…
,
u
n
)
=
(
x
1
(
u
1
,
…
,
u
n
)
,
…
,
x
n
+
1
(
u
1
,
…
,
u
n
)
)
x
→
u
1
,
…
,
u
n
=
x
1
u
1
,
…
,
u
n
,
…
,
x
n
+
1
u
1
,
…
,
u
n
vec(x)(u_(1),dots,u_(n))=(x_(1)(u_(1),dots,u_(n)),dots,x_(n+1)(u_(1),dots,u_(n))) \overrightarrow{\boldsymbol{x}}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(x_{1}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \ldots, x_{n+1}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right) x → ( u 1 , … , u n ) = ( x 1 ( u 1 , … , u n ) , … , x n + 1 ( u 1 , … , u n ) )
J
x
=
t
(
∂
x
1
∂
u
1
⋯
∂
x
n
+
1
∂
u
1
⋮
⋮
⋮
∂
x
1
∂
u
n
⋯
∂
x
n
∂
u
n
)
J
x
=
t
∂
x
1
∂
u
1
⋯
∂
x
n
+
1
∂
u
1
⋮
⋮
⋮
∂
x
1
∂
u
n
⋯
∂
x
n
∂
u
n
Jx=^(t)([(delx_(1))/(delu_(1)),cdots,(delx_(n+1))/(delu_(1))],[vdots,vdots,vdots],[(delx_(1))/(delu_(n)),cdots,(delx_(n))/(delu_(n))]) J \boldsymbol{x}={ }^{t}\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x_{1}}{\partial u_{1}} & \cdots & \frac{\partial x_{n+1}}{\partial u_{1}} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial u_{n}} & \cdots & \frac{\partial x_{n}}{\partial u_{n}}
\end{array}\right) J x = t ( ∂ x 1 ∂ u 1 ⋯ ∂ x n + 1 ∂ u 1 ⋮ ⋮ ⋮ ∂ x 1 ∂ u n ⋯ ∂ x n ∂ u n )
は,
x
x
x \boldsymbol{x} x のヤコビ行列(Jacobi matrix)とよばれる.
D
D
D D D の各点における
J
x
J
x
Jx J \boldsymbol{x} J x の階数が
n
n
n n n であるとき,
x
:
D
→
E
n
+
1
x
:
D
→
E
n
+
1
x:D rarrE^(n+1) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x : D → E n + 1 を
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 正則局所超曲面 (
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -regular local hypersurface)(あるいは,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r はめ 込み(
C
r
−
C
r
−
C^(r_(-)) C^{r_{-}} C r − immersion))といい, その像
S
:=
x
(
D
)
S
:=
x
(
D
)
S:=x(D) S:=\boldsymbol{x}(D) S := x ( D ) を
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 超曲面片
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(\boldsymbol{C}^{r}\right. ( C r -hypersurface piece) という.
命題 1.9.1
x
:
D
→
E
n
+
1
x
:
D
→
E
n
+
1
x:D rarrE^(n+1) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x : D → E n + 1 が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面であるとき,
∂
x
→
∂
u
1
,
…
∂
x
→
∂
u
1
,
…
(del vec(x))/(delu_(1)),dots \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{1}}, \ldots ∂ x → ∂ u 1 , … ,
∂
x
→
∂
u
n
∂
x
→
∂
u
n
(del vec(x))/(delu_(n)) \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{n}} ∂ x → ∂ u n は 1 次独立である(図 1.9 .1 を参照).
証明の概略
x
x
x \boldsymbol{x} x は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面なので,
J
x
J
x
Jx J \boldsymbol{x} J x の階数は
D
D
D D D の各点で
n
n
n n n で あり,
t
J
x
t
J
x
^(t)Jx { }^{t} J \boldsymbol{x} t J x の第 1 行,
⋯
⋯
cdots \cdots ⋯ , 第
n
n
n n n 行の定める行ベクトルは各々,
∂
x
→
∂
u
1
,
…
,
∂
x
→
∂
u
n
∂
x
→
∂
u
1
,
…
,
∂
x
→
∂
u
n
(del vec(x))/(delu_(1)),dots,(del vec(x))/(delu_(n)) \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{1}}, \ldots, \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{n}} ∂ x → ∂ u 1 , … , ∂ x → ∂ u n
であるので, これらのべクトルは 1 次独立になることがわかる(一般に, 行列の階数は, その行列の 1 次独立な行ベクトルの最大個数に等しいことに注意).
問 1.9.1
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
=
(
u
1
,
…
,
u
n
,
f
(
u
1
,
…
,
u
n
)
)
(
(
u
1
,
…
,
u
n
)
∈
D
)
(
f
x
u
1
,
…
,
u
n
=
u
1
,
…
,
u
n
,
f
u
1
,
…
,
u
n
u
1
,
…
,
u
n
∈
D
(
f
x(u_(1),dots,u_(n))=(u_(1),dots,u_(n),f(u_(1),dots,u_(n)))((u_(1),dots,u_(n))in D)(f \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, f\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right)(f x ( u 1 , … , u n ) = ( u 1 , … , u n , f ( u 1 , … , u n ) ) ( ( u 1 , … , u n ) ∈ D ) ( f :
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の
n
n
n n n 変数関数) は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面であることを示せ(この
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面は,
f
f
f f f のグラフ超曲面(graphical hypersurface)とよばれる).
問 1.9.2
x
(
u
1
,
u
2
)
=
(
f
(
u
1
)
cos
u
2
,
f
(
u
1
)
sin
u
2
,
u
1
)
(
(
u
1
,
u
2
)
∈
(
a
,
b
)
×
[
0
,
2
π
)
)
x
u
1
,
u
2
=
f
u
1
cos
u
2
,
f
u
1
sin
u
2
,
u
1
u
1
,
u
2
∈
(
a
,
b
)
×
[
0
,
2
π
)
x(u_(1),u_(2))=(f(u_(1))cos u_(2),f(u_(1))sin u_(2),u_(1))((u_(1),u_(2))in(a,b)xx[0,2pi)) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(f\left(u_{1}\right) \cos u_{2}, f\left(u_{1}\right) \sin u_{2}, u_{1}\right)\left(\left(u_{1}, u_{2}\right) \in(a, b) \times[0,2 \pi)\right) x ( u 1 , u 2 ) = ( f ( u 1 ) cos u 2 , f ( u 1 ) sin u 2 , u 1 ) ( ( u 1 , u 2 ) ∈ ( a , b ) × [ 0 , 2 π ) )
(
f
:
(
a
,
b
)
f
:
(
a
,
b
)
(f:(a,b):} \left(f:(a, b)\right. ( f : ( a , b ) 上の正値
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数) は,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面であることを示せ.(この
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所曲面は
x
1
=
f
(
x
3
)
x
1
=
f
x
3
x_(1)=f(x_(3)) x_{1}=f\left(x_{3}\right) x 1 = f ( x 3 ) を母線とする
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 回転面
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -rotational hypersurface) とよばれる).
以下,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面
x
:
D
→
E
n
+
1
x
:
D
→
E
n
+
1
x:D rarrE^(n+1) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x : D → E n + 1 は, すべて単射であるとする.
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面
x
=
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
(
(
u
1
,
…
,
u
n
)
∈
D
)
x
=
x
u
1
,
…
,
u
n
u
1
,
…
,
u
n
∈
D
x=x(u_(1),dots,u_(n))quad((u_(1),dots,u_(n))in D) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right) x = x ( u 1 , … , u n ) ( ( u 1 , … , u n ) ∈ D ) に対し,
x
−
1
=
x
−
1
=
x^(-1)= \boldsymbol{x}^{-1}= x − 1 =
図 1.9.1
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面
(
u
1
,
…
,
u
n
)
:
S
:=
x
(
D
)
→
R
n
u
1
,
…
,
u
n
:
S
:=
x
(
D
)
→
R
n
(u_(1),dots,u_(n)):S:=x(D)rarrR^(n) \left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right): S:=\boldsymbol{x}(D) \rightarrow \mathbb{R}^{n} ( u 1 , … , u n ) : S := x ( D ) → R n を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
S
S S S の座標(coordinate)と よぶ. 各
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
i in{1,dots,n} i \in\{1, \ldots, n\} i ∈ { 1 , … , n } に対し,
S
(
=
x
(
D
)
)
S
(
=
x
(
D
)
)
S(=x(D)) S(=\boldsymbol{x}(D)) S ( = x ( D ) ) 上の曲線
u
i
↦
x
(
a
1
,
…
,
a
i
−
1
u
i
↦
x
a
1
,
…
,
a
i
−
1
u_(i)|->x(a_(1),dots,a_(i-1):} u_{i} \mapsto \boldsymbol{x}\left(a_{1}, \ldots, a_{i-1}\right. u i ↦ x ( a 1 , … , a i − 1 ,
u
i
,
a
i
+
1
,
…
,
a
n
)
(
a
1
,
…
,
a
n
u
i
,
a
i
+
1
,
…
,
a
n
a
1
,
…
,
a
n
{:u_(i),a_(i+1),dots,a_(n))(a_(1),dots,a_(n):} \left.u_{i}, a_{i+1}, \ldots, a_{n}\right)\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right. u i , a i + 1 , … , a n ) ( a 1 , … , a n : 定数)を
u
i
u
i
u_(i) \boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}} u i 曲線
(
u
i
−
u
i
−
(u_(i)-:} \left(\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}-\right. ( u i − curve) とよび, これ らをまとめて,
S
S
S S S の座標曲線(coordinate curve)とよぶ. 点
p
=
x
(
a
1
p
=
x
a
1
p=x(a_(1):} p=\boldsymbol{x}\left(a_{1}\right. p = x ( a 1 ,
…
,
a
n
)
∈
S
…
,
a
n
∈
S
{: dots,a_(n))in S \left.\ldots, a_{n}\right) \in S … , a n ) ∈ S に対し,
(
∂
∂
u
i
)
p
:=
(
∂
x
→
∂
u
i
)
(
a
1
,
…
,
a
n
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
∂
∂
u
i
p
:=
∂
x
→
∂
u
i
a
1
,
…
,
a
n
(
i
=
1
,
…
,
n
)
((del)/(delu_(i)))_(p):=((del vec(x))/(delu_(i)))_((a_(1),dots,a_(n)))quad(i=1,dots,n) \left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}:=\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{i}}\right)_{\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)} \quad(i=1, \ldots, n) ( ∂ ∂ u i ) p := ( ∂ x → ∂ u i ) ( a 1 , … , a n ) ( i = 1 , … , n )
とおく.
(
∂
∂
u
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
u
n
)
p
∂
∂
u
1
p
,
…
,
∂
∂
u
n
p
((del)/(delu_(1)))_(p),dots,((del)/(delu_(n)))_(p) \left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p} ( ∂ ∂ u 1 ) p , … , ( ∂ ∂ u n ) p
によって生成される数ベクトル空間
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 の
n
n
n n n 次元部分ベクトル空間を
S
S
S S S の
p
p
p p p における接空間といい,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S で表す. また,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の各元を
S
S
S S S の
p
p
p p p における 接ベクトルという. 各点
p
p
p p p に対し,
(
∂
∂
u
i
)
p
∂
∂
u
i
p
((del)/(delu_(i)))_(p) \left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p} ( ∂ ∂ u i ) p を対応させる対応
∂
∂
u
i
(
i
=
1
∂
∂
u
i
(
i
=
1
(del)/(delu_(i))(i=1 \frac{\partial}{\partial u_{i}}(i=1 ∂ ∂ u i ( i = 1 ,
…
,
n
)
…
,
n
)
dots,n) \ldots, n) … , n ) の順序対
(
∂
∂
u
1
,
…
,
∂
∂
u
n
)
∂
∂
u
1
,
…
,
∂
∂
u
n
((del)/(delu_(1)),dots,(del)/(delu_(n))) \left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right) ( ∂ ∂ u 1 , … , ∂ ∂ u n )
を
S
S
S S S の座標基底場(coordinate frame field)(あるいは,自然基底場 (natural frame field)) という. また,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の直交補空間
(
T
p
S
)
⊥
:=
{
v
∈
R
n
+
1
∣
v
⋅
w
=
0
(
∀
w
∈
T
p
S
)
}
T
p
S
⊥
:=
v
∈
R
n
+
1
∣
v
⋅
w
=
0
∀
w
∈
T
p
S
(T_(p)S)^(_|_):={v inR^(n+1)∣v*w=0quad(AA w inT_(p)S)} \left(T_{p} S\right)^{\perp}:=\left\{\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w}=0 \quad\left(\forall \boldsymbol{w} \in T_{p} S\right)\right\} ( T p S ) ⊥ := { v ∈ R n + 1 ∣ v ⋅ w = 0 ( ∀ w ∈ T p S ) }
を
S
S
S S S の
p
p
p p p にける法空間(normal space)といい,
T
p
⊥
S
T
p
⊥
S
T_(p)^(_|_)S T_{p}^{\perp} S T p ⊥ S と表す. たた,
T
p
⊥
S
T
p
⊥
S
T_(p)^(_|_)S T_{p}^{\perp} S T p ⊥ S の各元を
S
S
S S S の
p
p
p p p における法ベクトル(normal vector)という.
dim
T
p
⊥
S
=
dim
R
n
+
1
−
dim
T
p
S
=
(
n
+
1
)
−
n
=
1
dim
T
p
⊥
S
=
dim
R
n
+
1
−
dim
T
p
S
=
(
n
+
1
)
−
n
=
1
dimT_(p)^(_|_)S=dimR^(n+1)-dimT_(p)S=(n+1)-n=1 \operatorname{dim} T_{p}^{\perp} S=\operatorname{dim} \mathbb{R}^{n+1}-\operatorname{dim} T_{p} S=(n+1)-n=1 dim T p ⊥ S = dim R n + 1 − dim T p S = ( n + 1 ) − n = 1
であることを注意しておく.
命題 1.9.2
x
:
D
→
E
n
+
1
x
:
D
→
E
n
+
1
quad x:D rarrE^(n+1) \quad x: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x : D → E n + 1 を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面とし,
φ
φ
varphi \varphi φ を
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n のある領域
D
′
D
′
D^(') D^{\prime} D ′ から
D
D
D D D への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像とする。このとき,
x
∘
φ
:
D
′
→
E
n
+
1
x
∘
φ
:
D
′
→
E
n
+
1
x@varphi:D^(')rarrE^(n+1) \boldsymbol{x} \circ \varphi: D^{\prime} \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x ∘ φ : D ′ → E n + 1 も
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面になる.
証明
x
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
,
(
x
∘
φ
)
−
1
=
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
x
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
,
(
x
∘
φ
)
−
1
=
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
quadx^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)),(x@varphi)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)) \quad \boldsymbol{x}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right),(\boldsymbol{x} \circ \varphi)^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right) x − 1 = ( u 1 , … , u n ) , ( x ∘ φ ) − 1 = ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) とする. このとき,合成関数の偏微分法(連鎖律)により,
(1.9.1)
∂
(
x
∘
φ
→
)
∂
u
¯
i
=
∑
j
=
1
n
∂
x
→
∂
u
j
⋅
∂
u
j
∂
u
¯
i
(1.9.1)
∂
(
x
∘
φ
→
)
∂
u
¯
i
=
∑
j
=
1
n
∂
x
→
∂
u
j
⋅
∂
u
j
∂
u
¯
i
{:(1.9.1)(del( vec(x@varphi)))/(del bar(u)_(i))=sum_(j=1)^(n)(del vec(x))/(delu_(j))*(delu_(j))/(del bar(u)_(i)):} \begin{equation*}
\frac{\partial(\overrightarrow{\boldsymbol{x} \circ \varphi})}{\partial \bar{u}_{i}}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{j}} \cdot \frac{\partial u_{j}}{\partial \bar{u}_{i}} \tag{1.9.1}
\end{equation*} (1.9.1) ∂ ( x ∘ φ → ) ∂ u ¯ i = ∑ j = 1 n ∂ x → ∂ u j ⋅ ∂ u j ∂ u ¯ i
が成り立つ. この式から,
x
∘
φ
,
x
x
∘
φ
,
x
x@varphi,x \boldsymbol{x} \circ \varphi, \boldsymbol{x} x ∘ φ , x のヤコビ行列間に次の関係式が成り立つ ことが示される:
J
(
x
∘
φ
)
=
J
x
⋅
J
φ
=
J
x
(
∂
u
1
∂
u
¯
1
⋯
∂
u
1
∂
u
¯
n
⋮
⋱
⋮
∂
u
n
∂
u
¯
1
⋯
∂
u
n
∂
u
¯
n
)
J
(
x
∘
φ
)
=
J
x
⋅
J
φ
=
J
x
∂
u
1
∂
u
¯
1
⋯
∂
u
1
∂
u
¯
n
⋮
⋱
⋮
∂
u
n
∂
u
¯
1
⋯
∂
u
n
∂
u
¯
n
J(x@varphi)=Jx*J varphi=Jx([(delu_(1))/(del bar(u)_(1)),cdots,(delu_(1))/(del bar(u)_(n))],[vdots,ddots,vdots],[(delu_(n))/(del bar(u)_(1)),cdots,(delu_(n))/(del bar(u)_(n))]) J(\boldsymbol{x} \circ \varphi)=J \boldsymbol{x} \cdot J \varphi=J \boldsymbol{x}\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{u}_{1}} & \cdots & \frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{u}_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial u_{n}}{\partial \bar{u}_{1}} & \cdots & \frac{\partial u_{n}}{\partial \bar{u}_{n}}
\end{array}\right) J ( x ∘ φ ) = J x ⋅ J φ = J x ( ∂ u 1 ∂ u ¯ 1 ⋯ ∂ u 1 ∂ u ¯ n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ u n ∂ u ¯ 1 ⋯ ∂ u n ∂ u ¯ n )
右辺における行列は
φ
φ
varphi \varphi φ のヤコビ行列であり,
φ
φ
varphi \varphi φ が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像であることか ら,この行列は正則行列である。したがって上述の関係式から,
J
(
x
∘
φ
)
J
(
x
∘
φ
)
J(x@varphi) J(\boldsymbol{x} \circ \varphi) J ( x ∘ φ ) が 各点で階数
n
n
n n n であることがわかり, それゆえ,
x
∘
φ
x
∘
φ
x@varphi \boldsymbol{x} \circ \varphi x ∘ φ が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所超曲面で あることが示される.
命題1.9.2において,
x
―
:=
x
∘
φ
x
¯
:=
x
∘
φ
bar(x):=x@varphi \overline{\boldsymbol{x}}:=\boldsymbol{x} \circ \varphi x ― := x ∘ φ とする.
x
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x − 1 = ( u 1 , … , u n ) も
x
―
−
1
=
x
¯
−
1
=
bar(x)^(-1)= \overline{\boldsymbol{x}}^{-1}= x ― − 1 =
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
{: bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)) \left.\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right) u ¯ 1 , … , u ¯ n ) も
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
=
x
(
D
)
=
x
―
(
D
′
)
S
=
x
(
D
)
=
x
¯
D
′
S=x(D)= bar(x)(D^(')) S=\boldsymbol{x}(D)=\overline{\boldsymbol{x}}\left(D^{\prime}\right) S = x ( D ) = x ― ( D ′ ) の座槽であるので,
φ
φ
varphi \varphi φ は
S
S
S S S の 座標変換(coordinate transformation)という. 式 (1.9.1) から, 次の命
図 1.9.2
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の正則超曲面の自然に定まる単位法ベクトル場
題が導かれる.
命題 1.9.3 上の記号の設定の下で,
x
―
:=
x
∘
φ
x
¯
:=
x
∘
φ
bar(x):=x@varphi \overline{\boldsymbol{x}}:=\boldsymbol{x} \circ \varphi x ― := x ∘ φ とし,
∂
∂
u
i
:=
∂
x
→
∂
u
i
,
∂
∂
u
¯
i
:=
∂
∂
u
i
:=
∂
x
→
∂
u
i
,
∂
∂
u
¯
i
:=
(del)/(delu_(i)):=(del vec(x))/(delu_(i)),(del)/(del bar(u)_(i)):= \frac{\partial}{\partial u_{i}}:=\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{i}}, \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}:= ∂ ∂ u i := ∂ x → ∂ u i , ∂ ∂ u ¯ i :=
∂
x
→
∂
u
¯
i
∂
x
→
∂
u
¯
i
(del vec(x))/(del bar(u)_(i)) \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial \bar{u}_{i}} ∂ x → ∂ u ¯ i とする. このとき,
∂
∂
u
¯
i
=
∑
j
=
1
n
∂
u
j
∂
u
¯
i
∂
∂
u
j
∂
∂
u
¯
i
=
∑
j
=
1
n
∂
u
j
∂
u
¯
i
∂
∂
u
j
(del)/(del bar(u)_(i))=sum_(j=1)^(n)(delu_(j))/(del bar(u)_(i))(del)/(delu_(j)) \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial u_{j}}{\partial \bar{u}_{i}} \frac{\partial}{\partial u_{j}} ∂ ∂ u ¯ i = ∑ j = 1 n ∂ u j ∂ u ¯ i ∂ ∂ u j が成り立つ.
命題 1.2 .3 によれば,
(
∂
∂
u
i
)
p
⋅
(
(
∂
∂
u
1
)
p
×
⋯
×
(
∂
∂
u
n
)
p
)
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
∂
∂
u
i
p
⋅
∂
∂
u
1
p
×
⋯
×
∂
∂
u
n
p
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
((del)/(delu_(i)))_(p)*(((del)/(delu_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(delu_(n)))_(p))=0quad(i=1,dots,n) \left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p} \cdot\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p}\right)=0 \quad(i=1, \ldots, n) ( ∂ ∂ u i ) p ⋅ ( ( ∂ ∂ u 1 ) p × ⋯ × ( ∂ ∂ u n ) p ) = 0 ( i = 1 , … , n )
が成り立つ. それゆえ,
(
∂
∂
u
1
)
p
×
⋯
×
(
∂
∂
u
n
)
p
∂
∂
u
1
p
×
⋯
×
∂
∂
u
n
p
((del)/(delu_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(delu_(n)))_(p) \left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p} ( ∂ ∂ u 1 ) p × ⋯ × ( ∂ ∂ u n ) p
は, 法空間
T
p
⊥
S
T
p
⊥
S
T_(p)^(_|_)S T_{p}^{\perp} S T p ⊥ S に属する。
N
p
:=
(
∂
∂
u
1
)
p
×
⋯
×
(
∂
∂
u
n
)
p
‖
(
∂
∂
u
1
)
p
×
⋯
×
(
∂
∂
u
n
)
p
‖
N
p
:=
∂
∂
u
1
p
×
⋯
×
∂
∂
u
n
p
∂
∂
u
1
p
×
⋯
×
∂
∂
u
n
p
N_(p):=(((del)/(delu_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(delu_(n)))_(p))/(||((del)/(delu_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(delu_(n)))_(p)||) \boldsymbol{N}_{p}:=\frac{\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p}}{\left\|\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p}\right\|} N p := ( ∂ ∂ u 1 ) p × ⋯ × ( ∂ ∂ u n ) p ‖ ( ∂ ∂ u 1 ) p × ⋯ × ( ∂ ∂ u n ) p ‖
とし, 各点
p
p
p p p に対し
N
p
N
p
N_(p) N_{p} N p を対応させる対応
N
N
N N N を自然に定まる
S
S
S S S の単位法べ クトル場 (naturally defined unit normal vector field of
S
S
S S S ) という (図 1.9.2 を参照).
次に,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面を定義しよう.
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 の部分集合
S
S
S S S がいくつかの
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面
x
λ
:
D
λ
→
R
n
(
λ
∈
Λ
)
x
λ
:
D
λ
→
R
n
(
λ
∈
Λ
)
x_(lambda):D_(lambda)rarrR^(n)(lambda in Lambda) \boldsymbol{x}_{\lambda}: D_{\lambda} \rightarrow \mathbb{R}^{n}(\lambda \in \Lambda) x λ : D λ → R n ( λ ∈ Λ ) の定める
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
λ
=
x
λ
(
D
λ
)
S
λ
=
x
λ
D
λ
S_(lambda)=x_(lambda)(D_(lambda)) S_{\lambda}=\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(D_{\lambda}\right) S λ = x λ ( D λ ) た
図 1.9.3
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面
も
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面になるとき,
S
S
S S S を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面(
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -hypersurface)と よび, 族
D
:=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
:=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
D:={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}:=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D := { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ } を
S
S
S S S の
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 構造(
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -structure)とよ ぶ(正確には,組
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面とよぶべきである)(図 1.9 .3 を参照). また各
λ
λ
lambda \lambda λ に対し,
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ を
S
S
S S S 局所座標近傍(local coordinate neighborhood)とよび,
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 を
S
S
S S S 局所座標(local coordinate)とよぶ.
S
λ
∩
S
μ
S
λ
∩
S
μ
S_(lambda)nnS_(mu) S_{\lambda} \cap S_{\mu} S λ ∩ S μ
≠
∅
≠
∅
!=O/ \neq \emptyset ≠ ∅ のとき,
x
μ
−
1
∘
x
λ
:
x
λ
−
1
(
S
λ
∩
S
μ
)
→
x
μ
−
1
(
S
λ
∩
S
μ
)
x
μ
−
1
∘
x
λ
:
x
λ
−
1
S
λ
∩
S
μ
→
x
μ
−
1
S
λ
∩
S
μ
x_(mu)^(-1)@x_(lambda):x_(lambda)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))rarrx_(mu)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu)) \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}: \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) \rightarrow \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) x μ − 1 ∘ x λ : x λ − 1 ( S λ ∩ S μ ) → x μ − 1 ( S λ ∩ S μ )
は,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像になる. これを局所座標変換(local coordinate transformation) とよぶ.
問 1.9.3 単位球面
S
2
(
1
)
:=
{
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∣
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
=
1
}
S
2
(
1
)
:=
x
1
,
x
2
,
x
3
∣
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
=
1
S^(2)(1):={(x_(1),x_(2),x_(3))∣x_(1)^(2)+x_(2)^(2)+x_(3)^(2)=1} S^{2}(1):=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\} S 2 ( 1 ) := { ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∣ x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 1 }
の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造をつくれ.
S
S
S S S を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面とし,
D
:=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
:=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
D:={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}:=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D := { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ } をその
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造とする. 点
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対し,
S
S
S S S の
p
p
p p p における接空間を,
p
∈
S
λ
p
∈
S
λ
p inS_(lambda) p \in S_{\lambda} p ∈ S λ となる
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∈
D
S
λ
,
x
λ
−
1
∈
D
(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))inD \left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \in \mathcal{D} ( S λ , x λ − 1 ) ∈ D をと り,
T
p
S
λ
T
p
S
λ
T_(p)S_(lambda) T_{p} S_{\lambda} T p S λ によって定義する。 これを
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S と表す.
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の各元は,
S
S
S S S の
p
p
p p p にお ける接ベクトルとよばれる.
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S が, well-defined であること, つまり,
p
p
p p p を 含む
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
S
λ
,
x
λ
−
1
(S_(lambda),x_(lambda)^(-1)) \left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) ( S λ , x λ − 1 ) のとり方によらないことを示そう.
p
∈
S
μ
p
∈
S
μ
p inS_(mu) p \in S_{\mu} p ∈ S μ となる
(
S
μ
,
x
μ
)
∈
S
μ
,
x
μ
∈
(S_(mu),x_(mu))in \left(S_{\mu}, \boldsymbol{x}_{\mu}\right) \in ( S μ , x μ ) ∈ Dをもう 1 つとる.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
,
x
μ
−
1
=
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
,
x
μ
−
1
=
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)),quadx_(mu)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \quad \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) , x μ − 1 = ( u ¯ 1 , … , u ¯ n )
とする. このとき,
(
∂
∂
u
¯
i
)
p
=
(
∂
x
μ
→
∂
u
¯
i
)
x
μ
−
1
(
p
)
=
(
∂
(
x
λ
∘
x
λ
−
1
∘
x
μ
)
→
∂
u
¯
i
)
x
μ
−
1
(
p
)
=
∂
∂
u
¯
i
|
x
μ
−
1
(
p
)
(
x
λ
→
(
(
u
1
∘
x
μ
)
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
,
…
,
(
u
n
∘
x
μ
)
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
)
)
=
∑
j
=
1
n
(
∂
x
λ
→
∂
u
j
)
x
λ
−
1
(
p
)
(
∂
(
u
j
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
)
x
μ
−
1
(
p
)
(1.9.2)
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
u
j
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
)
x
μ
−
1
(
p
)
(
∂
∂
u
j
)
p
∂
∂
u
¯
i
p
=
∂
x
μ
→
∂
u
¯
i
x
μ
−
1
(
p
)
=
∂
x
λ
∘
x
λ
−
1
∘
x
μ
→
∂
u
¯
i
x
μ
−
1
(
p
)
=
∂
∂
u
¯
i
x
μ
−
1
(
p
)
x
λ
→
u
1
∘
x
μ
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
,
…
,
u
n
∘
x
μ
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
=
∑
j
=
1
n
∂
x
λ
→
∂
u
j
x
λ
−
1
(
p
)
∂
u
j
∘
x
μ
∂
u
¯
i
x
μ
−
1
(
p
)
(1.9.2)
=
∑
j
=
1
n
∂
u
j
∘
x
μ
∂
u
¯
i
x
μ
−
1
(
p
)
∂
∂
u
j
p
{:[((del)/(del bar(u)_(i)))_(p)=((del vec(x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p))=((del vec((x_(lambda)@x_(lambda)^(-1)@x_(mu))))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p))],[=(del)/(del bar(u)_(i))|_(x_(mu)^(-1)(p))( vec(x_(lambda))((u_(1)@x_(mu))( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)),dots,(u_(n)@x_(mu))( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n))))],[=sum_(j=1)^(n)((del vec(x_(lambda)))/(delu_(j)))_(x_(lambda)^(-1)(p))((del(u_(j)@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p))],[(1.9.2)=sum_(j=1)^(n)((del(u_(j)@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p))((del)/(delu_(j)))_(p)]:} \begin{align*}
& \left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{p}=\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\mu}}}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}=\left(\frac{\partial \overrightarrow{\left(\boldsymbol{x}_{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \\
= & \left.\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}\right|_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\left(\overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}\left(\left(u_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right), \ldots,\left(u_{n} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)\right)\right) \\
= & \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial\left(u_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \\
= & \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(u_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p} \tag{1.9.2}
\end{align*} ( ∂ ∂ u ¯ i ) p = ( ∂ x μ → ∂ u ¯ i ) x μ − 1 ( p ) = ( ∂ ( x λ ∘ x λ − 1 ∘ x μ ) → ∂ u ¯ i ) x μ − 1 ( p ) = ∂ ∂ u ¯ i | x μ − 1 ( p ) ( x λ → ( ( u 1 ∘ x μ ) ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) , … , ( u n ∘ x μ ) ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) ) ) = ∑ j = 1 n ( ∂ x λ → ∂ u j ) x λ − 1 ( p ) ( ∂ ( u j ∘ x μ ) ∂ u ¯ i ) x μ − 1 ( p ) (1.9.2) = ∑ j = 1 n ( ∂ ( u j ∘ x μ ) ∂ u ¯ i ) x μ − 1 ( p ) ( ∂ ∂ u j ) p
が示される. この関係式から
T
p
S
μ
⊂
T
p
S
λ
T
p
S
μ
⊂
T
p
S
λ
T_(p)S_(mu)subT_(p)S_(lambda) T_{p} S_{\mu} \subset T_{p} S_{\lambda} T p S μ ⊂ T p S λ が示される. 逆も, 同様に示され るので,
T
p
S
λ
=
T
p
S
μ
T
p
S
λ
=
T
p
S
μ
T_(p)S_(lambda)=T_(p)S_(mu) T_{p} S_{\lambda}=T_{p} S_{\mu} T p S λ = T p S μ をえる。このように,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S が well-defined であること が示される.
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片の場合と同様に,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の直交補空間を
S
S
S S S の
p
p
p p p における法空間と いい,
T
p
⊥
S
T
p
⊥
S
T_(p)^(_|_)S T_{p}^{\perp} S T p ⊥ S と表し,
T
p
⊥
S
T
p
⊥
S
T_(p)^(_|_)S T_{p}^{\perp} S T p ⊥ S の各元を
S
S
S S S の
p
p
p p p における法べクトルという.
S
S
S S S を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面とし,
D
:=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
:=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
D:={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}:=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D := { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ } をその
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造とする.
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S_(lambda)nnS_(mu)!=O/ S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptyset S λ ∩ S μ ≠ ∅ となる任意の
λ
,
μ
∈
{
1
,
…
,
k
}
λ
,
μ
∈
{
1
,
…
,
k
}
lambda,mu in{1,dots,k} \lambda, \mu \in\{1, \ldots, k\} λ , μ ∈ { 1 , … , k } に対し,局所座標変換
x
μ
−
1
∘
x
λ
x
μ
−
1
∘
x
λ
x_(mu)^(-1)@x_(lambda) \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} x μ − 1 ∘ x λ のヤコビアン
det
(
J
(
x
μ
−
1
∘
x
λ
)
)
det
J
x
μ
−
1
∘
x
λ
det(J(x_(mu)^(-1)@x_(lambda))) \operatorname{det}\left(J\left(\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\right) det ( J ( x μ − 1 ∘ x λ ) ) が正になるとき,
D
D
D \mathcal{D} D を向きを定める
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 構造 (
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -structure determining an orientation) といい, 組
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) を向き 付けられた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面(oriented
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -hypersurface)という。また,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面
S
S
S S S が向きを定める
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造を許容するとき,
S
S
S S S を向き付け可能な
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面(orientable
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -hypersurface)という.
S
S
S S S を向き付けられた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面とし,
D
=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D = { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ } をその向き を定める
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造とする.
N
λ
(
λ
∈
Λ
)
N
λ
(
λ
∈
Λ
)
N_(lambda)(lambda in Lambda) N_{\lambda}(\lambda \in \Lambda) N λ ( λ ∈ Λ ) を
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ の自然に定まる単位法ベクトル 場とする。
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S_(lambda)nnS_(mu)!=O/ S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptyset S λ ∩ S μ ≠ ∅ のき,
S
λ
∩
S
μ
S
λ
∩
S
μ
S_(lambda)nnS_(mu) S_{\lambda} \cap S_{\mu} S λ ∩ S μ 上で,
N
λ
=
N
μ
N
λ
=
N
μ
N_(lambda)=N_(mu) \boldsymbol{N}_{\lambda}=\boldsymbol{N}_{\mu} N λ = N μ が成り立つ. 実際, この事実は,次のように示される。
p
∈
S
λ
∩
S
μ
p
∈
S
λ
∩
S
μ
p inS_(lambda)nnS_(mu) p \in S_{\lambda} \cap S_{\mu} p ∈ S λ ∩ S μ を任意にとる。
(
N
λ
)
p
N
λ
p
(N_(lambda))_(p) \left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p} ( N λ ) p も
(
N
μ
)
p
N
μ
p
(N_(mu))_(p) \left(\boldsymbol{N}_{\mu}\right)_{p} ( N μ ) p も
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S に垂直なので,
(
N
λ
)
p
=
±
(
N
μ
)
p
N
λ
p
=
±
N
μ
p
(N_(lambda))_(p)=+-(N_(mu))_(p) \left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p}= \pm\left(\boldsymbol{N}_{\mu}\right)_{p} ( N λ ) p = ± ( N μ ) p が示される.
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ の座標基底場を
(
∂
∂
u
1
,
…
,
∂
∂
u
n
)
∂
∂
u
1
,
…
,
∂
∂
u
n
((del)/(delu_(1)),dots,(del)/(delu_(n))) \left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right) ( ∂ ∂ u 1 , … , ∂ ∂ u n ) で表し,
S
μ
S
μ
S_(mu) S_{\mu} S μ の座標基底場を
(
∂
∂
u
¯
1
,
…
,
∂
∂
u
¯
n
)
∂
∂
u
¯
1
,
…
,
∂
∂
u
¯
n
((del)/(del bar(u)_(1)),dots,(del)/(del bar(u)_(n))) \left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right) ( ∂ ∂ u ¯ 1 , … , ∂ ∂ u ¯ n ) で表す.
このとき, 命題 1.9 .3 によれば,
(
∂
∂
u
i
)
p
=
∑
j
=
1
n
(
∂
u
¯
j
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
p
)
(
∂
∂
u
¯
j
)
p
∂
∂
u
i
p
=
∑
j
=
1
n
∂
u
¯
j
∂
u
i
x
λ
−
1
(
p
)
∂
∂
u
¯
j
p
((del)/(delu_(i)))_(p)=sum_(j=1)^(n)((del bar(u)_(j))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))((del)/(del bar(u)_(j)))_(p) \left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial \bar{u}_{j}}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{p} ( ∂ ∂ u i ) p = ∑ j = 1 n ( ∂ u ¯ j ∂ u i ) x λ − 1 ( p ) ( ∂ ∂ u ¯ j ) p
が成り立つ. この関係式と命題 1.2.1 の式 (i) と式 (ii)を用いて,
(
∂
∂
u
1
)
p
×
⋯
×
(
∂
∂
u
n
)
p
(1.9.3)
=
det
(
(
∂
u
¯
i
∂
u
j
)
x
λ
−
1
(
p
)
)
(
(
∂
∂
u
¯
1
)
p
×
⋯
×
(
∂
∂
u
¯
n
)
p
)
=
det
J
(
x
μ
−
1
∘
x
λ
)
(
x
λ
−
1
(
p
)
)
(
(
∂
∂
u
¯
1
)
p
×
⋯
×
(
∂
∂
u
¯
n
)
p
)
∂
∂
u
1
p
×
⋯
×
∂
∂
u
n
p
(1.9.3)
=
det
∂
u
¯
i
∂
u
j
x
λ
−
1
(
p
)
∂
∂
u
¯
1
p
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
p
=
det
J
x
μ
−
1
∘
x
λ
x
λ
−
1
(
p
)
∂
∂
u
¯
1
p
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
p
{:[((del)/(delu_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(delu_(n)))_(p)],[(1.9.3)=det(((del bar(u)_(i))/(delu_(j)))_(x_(lambda)^(-1)(p)))(((del)/(del bar(u)_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(del bar(u)_(n)))_(p))],[=det J(x_(mu)^(-1)@x_(lambda))(x_(lambda)^(-1)(p))(((del)/(del bar(u)_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(del bar(u)_(n)))_(p))]:} \begin{align*}
& \left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p} \\
& =\operatorname{det}\left(\left(\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial u_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}\right)\left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right)_{p}\right) \tag{1.9.3}\\
& =\operatorname{det} J\left(\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)\right)\left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right)_{p}\right)
\end{align*} ( ∂ ∂ u 1 ) p × ⋯ × ( ∂ ∂ u n ) p (1.9.3) = det ( ( ∂ u ¯ i ∂ u j ) x λ − 1 ( p ) ) ( ( ∂ ∂ u ¯ 1 ) p × ⋯ × ( ∂ ∂ u ¯ n ) p ) = det J ( x μ − 1 ∘ x λ ) ( x λ − 1 ( p ) ) ( ( ∂ ∂ u ¯ 1 ) p × ⋯ × ( ∂ ∂ u ¯ n ) p )
が成り立つ.
D
D
D \mathcal{D} D は向きを定める
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造なので,
det
J
(
x
μ
−
1
∘
x
λ
)
(
x
λ
−
1
(
p
)
)
det
J
x
μ
−
1
∘
x
λ
x
λ
−
1
(
p
)
det J(x_(mu)^(-1)@x_(lambda))(x_(lambda)^(-1)(p)) \operatorname{det} J\left(\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)\right) det J ( x μ − 1 ∘ x λ ) ( x λ − 1 ( p ) )
>
0
>
0
> 0 >0 > 0 となる. これらの事実から,
(
N
λ
)
p
=
(
N
μ
)
p
N
λ
p
=
N
μ
p
(N_(lambda))_(p)=(N_(mu))_(p) \left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p}=\left(\boldsymbol{N}_{\mu}\right)_{p} ( N λ ) p = ( N μ ) p が導かれる。
p
p
p p p の任意性よ り,
S
λ
∩
S
μ
S
λ
∩
S
μ
S_(lambda)nnS_(mu) S_{\lambda} \cap S_{\mu} S λ ∩ S μ 上で,
N
λ
=
N
μ
N
λ
=
N
μ
N_(lambda)=N_(mu) \boldsymbol{N}_{\lambda}=\boldsymbol{N}_{\mu} N λ = N μ が成り立つことがわかる. それゆえ,
N
λ
(
λ
∈
N
λ
(
λ
∈
N_(lambda)(lambda in \boldsymbol{N}_{\lambda}(\lambda \in N λ ( λ ∈ )を貼り合わせて
S
S
S S S に沿って定義される
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場がえられる。この
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場を
N
N
N N N と表し,
S
S
S S S の向きの定める単位法ベクトル場(unit normal vector field determined by the orientation of
S
S
S S S ) という.
次に, 区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
(
r
≥
r
′
≥
1
)
r
≥
r
′
≥
1
(r >= r^(') >= 1) \left(r \geq r^{\prime} \geq 1\right) ( r ≥ r ′ ≥ 1 ) , および区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の超曲面を定義しよう。まず,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内で, これらの概念を定義し よう. 1.8 節で,
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 内で区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域という概念 を定義したが,
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 と
R
2
R
2
R^(2) \mathbb{R}^{2} R 2 の同一視の下, この概念は
R
2
R
2
R^(2) \mathbb{R}^{2} R 2 内でも定義される.
E
E
E E E を
R
2
R
2
R^(2) \mathbb{R}^{2} R 2 内の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ有界閉領域とし,
x
:
D
→
E
3
x
:
D
→
E
3
x:D rarrE^(3) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{3} x : D → E 3 を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面とする
(
r
≥
r
′
≥
1
)
r
≥
r
′
≥
1
(r >= r^(') >= 1) \left(r \geq r^{\prime} \geq 1\right) ( r ≥ r ′ ≥ 1 ) . ここで,
D
D
D D D は
E
E
E E E を含む領域とする. このとき,
S
′
:=
x
(
E
)
S
′
:=
x
(
E
)
S^('):=x(E) S^{\prime}:=\boldsymbol{x}(E) S ′ := x ( E ) を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
:=
x
(
D
)
S
:=
x
(
D
)
S:=x(D) S:=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{D}) S := x ( D ) の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の 境界をもつ有界閉領域(bounded closed domain of
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -hypersurface piece
S
S
S S S with piecewise
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ -boundary), または,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -hypersurface piece with piecewise
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{r}^{\prime}} C r ′ -boundary)という(図 1.9.4を参照)。
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 の部分集合
S
S
S S S で, 次の 3 条件を満たすようなものを考える:
(i)
S
S
S S S は,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の有限個の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
図 1.9.4
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
S
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
S_(i)(i=1,dots,k) S_{i}(i=1, \ldots, k) S i ( i = 1 , … , k ) の和集合である
(
r
≥
r
′
≥
1
)
r
≥
r
′
≥
1
(r >= r^(') >= 1) \left(r \geq r^{\prime} \geq 1\right) ( r ≥ r ′ ≥ 1 ) ;
(ii)
S
i
∩
S
j
≠
∅
S
i
∩
S
j
≠
∅
quadS_(i)nnS_(j)!=O/ \quad S_{i} \cap S_{j} \neq \emptyset S i ∩ S j ≠ ∅ のと,
S
i
∩
S
j
S
i
∩
S
j
S_(i)nnS_(j) S_{i} \cap S_{j} S i ∩ S j は,
∂
S
i
∂
S
i
delS_(i) \partial S_{i} ∂ S i と
∂
S
j
∂
S
j
delS_(j) \partial S_{j} ∂ S j を構成する
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 曲線た ちのうちの 1 つであり,
S
i
S
i
S_(i) S_{i} S i と
S
j
S
j
S_(j) S_{j} S j の自然に定まる単位法ベクトル場は,
S
i
∪
S
j
S
i
∪
S
j
S_(i)uuS_(j) S_{i} \cup S_{j} S i ∪ S j の同じ側を向く.
(iii)相異なる
i
,
j
,
k
i
,
j
,
k
i,j,k i, j, k i , j , k に対し,
S
i
∩
S
i
∩
S
k
S
i
∩
S
i
∩
S
k
S_(i)nnS_(i)nnS_(k) S_{i} \cap S_{i} \cap S_{k} S i ∩ S i ∩ S k は空集合, または, 1 点集合であ る。
S
S
S S S が境界をもつとき,
S
S
S S S を
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の超曲面(piecewise
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -hypersurface with piecewise
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ boundary in
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 ) といい,
S
S
S S S が境界をもたないとき,
S
S
S S S を
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の区分的 に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の閉超曲面(piecewise
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -closed hypersurface in
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 ) とい う(図 1.9.5, 1.9.6 を参照).S が境界をもたないとき,
S
S
S S S は
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 のある有界閉領域
D
′
D
′
D^(') D^{\prime} D ′ の境界であり,
D
′
D
′
D^(') D^{\prime} D ′ は
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域 (bounded closed domain with piecewise
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -boundary) とよばれる。特に,
S
S
S S S が区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片,または,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 閉超曲面 であるとき,上述の族
{
S
1
,
…
,
S
k
}
S
1
,
…
,
S
k
{S_(1),dots,S_(k)} \left\{S_{1}, \ldots, S_{k}\right\} { S 1 , … , S k } を
S
S
S S S C
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) \boldsymbol{C}^{r^{\prime}} C r ′ 分割(
C
r
′
−
C
r
′
−
C^(r^('))- C^{r^{\prime}}- C r ′ − partition)とい う.
S
S
S S S が
3
3
^(3) ^{3} 3 内の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の閉超曲面である場合, その構成要素である 区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
S
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
S_(i)(i=1,dots,k) S_{i}(i=1, \ldots, k) S i ( i = 1 , … , k ) は,その自然に定 まる単位法ベクトル場が
D
′
D
′
D^(') D^{\prime} D ′ からみて外側向きになるようにとることにする。以上定義した概念は,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 と
R
3
R
3
R^(3) \mathbb{R}^{3} R 3 の同一視の下,
R
3
R
3
R^(3) \mathbb{R}^{3} R 3 内でも定義されることを注意しておく.
次に,
E
4
E
4
E^(4) \mathbb{E}^{4} E 4 内で, これらの概念を定義しよう。
E
^
を
R
3
E
^
を
R
3
hat(E)をR^(3) \hat{E} を \mathbb{R}^{3} を E ^ を R 3 内の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級 の境界をもつ有界閉領域とし,
x
^
:
D
^
→
E
4
x
^
:
D
^
→
E
4
hat(x): hat(D)rarrE^(4) \hat{\boldsymbol{x}}: \hat{D} \rightarrow \mathbb{E}^{4} x ^ : D ^ → E 4 を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面とする
図 1.9.5
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の超曲面
図 1.9.6
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の閉超曲面
(
r
≥
r
′
)
r
≥
r
′
(r >= r^(')) \left(r \geq r^{\prime}\right) ( r ≥ r ′ ) . ここで,
D
^
D
^
hat(D) \hat{D} D ^ は
E
^
E
^
hat(E) \hat{E} E ^ を含む領域とする。このとき,
S
^
′
:=
x
^
(
E
^
)
S
^
′
:=
x
^
(
E
^
)
hat(S)^('):= hat(x)( hat(E)) \hat{S}^{\prime}:=\hat{\boldsymbol{x}}(\hat{E}) S ^ ′ := x ^ ( E ^ ) を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
^
:=
x
^
(
D
^
)
S
^
:=
x
^
(
D
^
)
hat(S):= hat(x)( hat(D)) \hat{S}:=\hat{\boldsymbol{x}}(\hat{D}) S ^ := x ^ ( D ^ ) の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ有界閉領域, または,
E
4
E
4
E^(4) \mathbb{E}^{4} E 4 内の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片という。
E
4
E
4
E^(4) \mathbb{E}^{4} E 4 の部分集合
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ で,次の 3 条件を満たすようなものを考える:
(i)
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ は,
E
4
E
4
E^(4) \mathbb{E}^{4} E 4 内の有限個の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
^
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
S
^
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
hat(S)_(i)(i=1,dots,k) \hat{S}_{i}(i=1, \ldots, k) S ^ i ( i = 1 , … , k ) の和集合である;
(ii)
S
^
i
∩
S
^
j
≠
∅
S
^
i
∩
S
^
j
≠
∅
quad hat(S)_(i)nn hat(S)_(j)!=O/ \quad \hat{S}_{i} \cap \hat{S}_{j} \neq \emptyset S ^ i ∩ S ^ j ≠ ∅ のと,
S
^
i
∩
S
^
j
S
^
i
∩
S
^
j
hat(S)_(i)nn hat(S)_(j) \hat{S}_{i} \cap \hat{S}_{j} S ^ i ∩ S ^ j は,
∂
S
^
i
∂
S
^
i
del hat(S)_(i) \partial \hat{S}_{i} ∂ S ^ i と
∂
S
^
j
∂
S
^
j
del hat(S)_(j) \partial \hat{S}_{j} ∂ S ^ j を構成する区分的に滑ら かな境界をもつ
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 超曲面片たちのうちの 1 つであり,
S
^
i
S
^
i
hat(S)_(i) \hat{S}_{i} S ^ i と
S
^
j
S
^
j
hat(S)_(j) \hat{S}_{j} S ^ j の自然 に定まる単位法ベクトル場は,
S
^
i
∪
S
^
j
S
^
i
∪
S
^
j
hat(S)_(i)uu hat(S)_(j) \hat{S}_{i} \cup \hat{S}_{j} S ^ i ∪ S ^ j の同じ側を向く.
(iii)相異なる
i
,
j
,
k
i
,
j
,
k
i,j,k i, j, k i , j , k に対し,
S
^
i
∩
S
^
j
∩
S
^
k
S
^
i
∩
S
^
j
∩
S
^
k
hat(S)_(i)nn hat(S)_(j)nn hat(S)_(k) \hat{S}_{i} \cap \hat{S}_{j} \cap \hat{S}_{k} S ^ i ∩ S ^ j ∩ S ^ k は,空集合,または
S
^
i
∩
S
^
j
S
^
i
∩
S
^
j
hat(S)_(i)nn hat(S)_(j) \hat{S}_{i} \cap \hat{S}_{j} S ^ i ∩ S ^ j の 境界を構成する滑らかな曲線たちのうちの 1 つ, または, その端点であ る。
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ が境界をもつとき,
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ を
E
4
E
4
E^(4) \mathbb{E}^{4} E 4 内の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の超曲面といい,
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ が境界をもたないとき,
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ を
E
4
E
4
E^(4) \mathbb{E}^{4} E 4 内の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の 閉超曲面という.
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ が境界をもたないとき,
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ は
E
4
E
4
E^(4) \mathbb{E}^{4} E 4 のある有界閉領域
D
′
D
′
D^(') D^{\prime} D ′ の
境界であり,
D
′
D
′
D^(') D^{\prime} D ′ は
E
4
E
4
E^(4) \mathbb{E}^{4} E 4 内の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域とよばれ る. 特に,
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ が区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片, または,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 閉超曲面であるとき, 上述の族
{
S
^
1
,
…
,
S
^
k
}
S
^
1
,
…
,
S
^
k
{ hat(S)_(1),dots, hat(S)_(k)} \left\{\hat{S}_{1}, \ldots, \hat{S}_{k}\right\} { S ^ 1 , … , S ^ k } を
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ の
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) \boldsymbol{C}^{r^{\prime}} C r ′ 分割という.
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ が
E
4
E
4
E^(4) \mathbb{E}^{4} E 4 内 の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の閉超曲面である場合, その構成要素である区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級 の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
^
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
S
^
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
hat(S)_(i)(i=1,dots,k) \hat{S}_{i}(i=1, \ldots, k) S ^ i ( i = 1 , … , k ) は, その自然に定まる単位法ベク トル場が
D
′
D
′
D^(') D^{\prime} D ′ からみて外側向きになるようにとることにする。以上で定義した 概念は,
E
4
E
4
E^(4) \mathbb{E}^{4} E 4 と
R
4
R
4
R^(4) \mathbb{R}^{4} R 4 の同一視の下,
R
4
R
4
R^(4) \mathbb{R}^{4} R 4 内でも定義されることを注意しておく.以下, 同様の操作を繰り返すことにより,
n
≥
4
n
≥
4
n >= 4 n \geq 4 n ≥ 4 に対しても, 順次,
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内 の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の超曲面, 区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の閉超曲面, および区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ有界閉領域等を定義することが できる.
1.10 スカラー場・ベクトル場の超曲面に沿う面積分
以下,
r
≥
r
′
≥
1
r
≥
r
′
≥
1
r >= r^(') >= 1 r \geq r^{\prime} \geq 1 r ≥ r ′ ≥ 1 とする。この節において,
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 の領域上のスカラー場と ベクトル場の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の超曲面に沿う面積分を定義する。最初に, 区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片上での面積分を定義しよう.
S
=
x
(
E
)
S
=
x
(
E
)
S=x(E) S=\boldsymbol{x}(E) S = x ( E ) を
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片とし,
f
,
X
f
,
X
f,X f, \boldsymbol{X} f , X を各々,
S
S
S S S を含む
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 の領域上で定義された
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 スカラー場,
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 ベクトル場とする. また,
x
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x − 1 = ( u 1 , … , u n ) とする。このとき,
∫
S
f
d
A
,
∫
S
X
⋅
d
A
∫
S
f
d
A
,
∫
S
X
⋅
d
A
int_(S)fdA,int_(S)X*dA \int_{S} f d A, \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} ∫ S f d A , ∫ S X ⋅ d A を各々,
∫
S
f
d
A
:=
∫
⋯
∫
E
f
(
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
)
‖
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
‖
d
u
1
⋯
d
u
n
∫
S
X
⋅
d
A
:=
∫
⋯
∫
E
X
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
⋅
(
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
)
d
u
1
⋯
d
u
n
∫
S
f
d
A
:=
∫
⋯
∫
E
f
x
u
1
,
…
,
u
n
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
d
u
1
⋯
d
u
n
∫
S
X
⋅
d
A
:=
∫
⋯
∫
E
X
x
u
1
,
…
,
u
n
⋅
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
d
u
1
⋯
d
u
n
{:[int_(S)fdA:=int cdotsint_(E)f(x(u_(1),dots,u_(n)))||(del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n))||du_(1)cdots du_(n)],[int_(S)X*dA:=int cdotsint_(E)X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*((del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n)))du_(1)cdots du_(n)]:} \begin{aligned}
\int_{S} f d A & :=\int \cdots \int_{E} f\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)\left\|\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right\| d u_{1} \cdots d u_{n} \\
\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} & :=\int \cdots \int_{E} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right) d u_{1} \cdots d u_{n}
\end{aligned} ∫ S f d A := ∫ ⋯ ∫ E f ( x ( u 1 , … , u n ) ) ‖ ∂ ∂ u 1 × ⋯ × ∂ ∂ u n ‖ d u 1 ⋯ d u n ∫ S X ⋅ d A := ∫ ⋯ ∫ E X x ( u 1 , … , u n ) ⋅ ( ∂ ∂ u 1 × ⋯ × ∂ ∂ u n ) d u 1 ⋯ d u n
によって定義する.
∫
S
f
d
A
,
∫
S
X
⋅
d
A
∫
S
f
d
A
,
∫
S
X
⋅
d
A
int_(S)fdA,int_(S)X*dA \int_{S} f d A, \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} ∫ S f d A , ∫ S X ⋅ d A を各々,
f
,
X
f
,
X
f,X f, \boldsymbol{X} f , X の
S
S
S S S に沿う面積分 (surface integral) という. 特に,
∫
S
1
d
A
∫
S
1
d
A
int_(S)1dA \int_{S} 1 d A ∫ S 1 d A を
S
S
S S S の超曲面積(hypersurface area) といい,
V
(
S
)
V
(
S
)
V(S) \mathcal{V}(S) V ( S ) , または
A
(
S
)
A
(
S
)
A(S) \mathcal{A}(S) A ( S ) と表す. 以下, 簡単のため,
n
n
n n n 重積分
∫
⋯
∫
E
(
⋅
)
d
u
1
⋯
d
u
n
∫
⋯
∫
E
(
⋅
)
d
u
1
⋯
d
u
n
int cdotsint_(E)(*)du_(1)cdots du_(n) \int \cdots \int_{E}(\cdot) d u_{1} \cdots d u_{n} ∫ ⋯ ∫ E ( ⋅ ) d u 1 ⋯ d u n を
∫
E
(
⋅
)
d
u
1
⋯
d
u
n
∫
E
(
⋅
)
d
u
1
⋯
d
u
n
int_(E)(*)du_(1)cdots du_(n) \int_{E}(\cdot) d u_{1} \cdots d u_{n} ∫ E ( ⋅ ) d u 1 ⋯ d u n と略記する.
N
N
N \boldsymbol{N} N を
S
S
S S S の自然に定義される単位法ベクトル場とするとき,
(1.10.1)
∫
S
X
⋅
d
A
=
∫
S
(
X
⋅
N
)
d
A
(1.10.1)
∫
S
X
⋅
d
A
=
∫
S
(
X
⋅
N
)
d
A
{:(1.10.1)int_(S)X*dA=int_(S)(X*N)dA:} \begin{equation*}
\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{S}(\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{N}) d A \tag{1.10.1}
\end{equation*} (1.10.1) ∫ S X ⋅ d A = ∫ S ( X ⋅ N ) d A
が成り立つ. 実際, この関係式は次のように示される。
∫
S
X
⋅
d
A
=
∫
E
X
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
⋅
(
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
)
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
(
X
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
⋅
N
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
)
‖
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
‖
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
X
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
⋅
N
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
d
A
=
∫
S
(
X
⋅
N
)
d
A
∫
S
X
⋅
d
A
=
∫
E
X
x
u
1
,
…
,
u
n
⋅
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
X
x
u
1
,
…
,
u
n
⋅
N
x
u
1
,
…
,
u
n
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
X
x
u
1
,
…
,
u
n
⋅
N
x
u
1
,
…
,
u
n
d
A
=
∫
S
(
X
⋅
N
)
d
A
{:[int_(S)X*dA=int_(E)X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*((del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n)))du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E)(X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*N_(x(u_(1),dots,u_(n))))||(del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n))||du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E)X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*N_(x(u_(1),dots,u_(n)))dA=int_(S)(X*N)dA]:} \begin{aligned}
\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} & =\int_{E} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right) d u_{1} \cdots d u_{n} \\
& =\int_{E}\left(\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot \boldsymbol{N}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}\right)\left\|\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right\| d u_{1} \cdots d u_{n} \\
& =\int_{E} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot \boldsymbol{N}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} d A=\int_{S}(\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{N}) d A
\end{aligned} ∫ S X ⋅ d A = ∫ E X x ( u 1 , … , u n ) ⋅ ( ∂ ∂ u 1 × ⋯ × ∂ ∂ u n ) d u 1 ⋯ d u n = ∫ E ( X x ( u 1 , … , u n ) ⋅ N x ( u 1 , … , u n ) ) ‖ ∂ ∂ u 1 × ⋯ × ∂ ∂ u n ‖ d u 1 ⋯ d u n = ∫ E X x ( u 1 , … , u n ) ⋅ N x ( u 1 , … , u n ) d A = ∫ S ( X ⋅ N ) d A
注意
n
≥
3
n
≥
3
n >= 3 n \geq 3 n ≥ 3 の場合は
S
S
S S S の次元が 3 以上なので, 超曲面積
∫
S
1
d
A
∫
S
1
d
A
int_(S)1dA \int_{S} 1 d A ∫ S 1 d A は
S
S
S S S の体積と よばれるべきである.
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則局所超曲面
x
x
x \boldsymbol{x} x の定義域を
D
(
⊃
E
)
D
(
⊃
E
)
D(sup E) D(\supset E) D ( ⊃ E ) とし,
φ
φ
varphi \varphi φ を
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n のある領域
D
′
D
′
D^(') D^{\prime} D ′ か ら
D
D
D D D への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像とし,
x
―
:=
x
∘
φ
(
:
D
′
→
E
n
+
1
)
,
E
′
:=
φ
−
1
(
E
)
x
¯
:=
x
∘
φ
:
D
′
→
E
n
+
1
,
E
′
:=
φ
−
1
(
E
)
bar(x):=x@varphi(:D^(')rarrE^(n+1)),E^('):=varphi^(-1)(E) \overline{\boldsymbol{x}}:=\boldsymbol{x} \circ \varphi\left(: D^{\prime} \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}\right), E^{\prime}:=\varphi^{-1}(E) x ― := x ∘ φ ( : D ′ → E n + 1 ) , E ′ := φ − 1 ( E ) とおく. また,
x
―
−
1
=
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
x
¯
−
1
=
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
bar(x)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)) \overline{\boldsymbol{x}}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right) x ― − 1 = ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) とする. このとき, 明らかに
x
―
(
E
′
)
=
x
¯
E
′
=
bar(x)(E^('))= \overline{\boldsymbol{x}}\left(E^{\prime}\right)= x ― ( E ′ ) =
x
(
E
)
=
S
x
(
E
)
=
S
x(E)=S \boldsymbol{x}(E)=S x ( E ) = S となるので,
(
u
1
,
…
,
u
n
)
u
1
,
…
,
u
n
(u_(1),dots,u_(n)) \left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) ( u 1 , … , u n ) と
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)) \left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right) ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) は, 共に
S
S
S S S の座標であ る。
命題 1.10.1 (i)
∫
S
f
d
A
∫
S
f
d
A
int_(S)fdA \int_{S} f d A ∫ S f d A の値は,
S
S
S S S の座標のとり方によらずに定まる.
∫
E
f
(
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
)
‖
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
‖
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
′
f
(
x
―
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
)
‖
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
‖
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
∫
E
f
x
u
1
,
…
,
u
n
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
′
f
x
¯
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
{:[int_(E)f(x(u_(1),dots,u_(n)))||(del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n))||du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E^('))f( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))||(del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))||d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n)]:} \begin{aligned}
& \int_{E} f\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)\left\|\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right\| d u_{1} \cdots d u_{n} \\
= & \int_{E^{\prime}} f\left(\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)\right)\left\|\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right\| d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n}
\end{aligned} ∫ E f ( x ( u 1 , … , u n ) ) ‖ ∂ ∂ u 1 × ⋯ × ∂ ∂ u n ‖ d u 1 ⋯ d u n = ∫ E ′ f ( x ― ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) ) ‖ ∂ ∂ u ¯ 1 × ⋯ × ∂ ∂ u ¯ n ‖ d u ¯ 1 ⋯ d u ¯ n
が成り立つ.
(ii)
∫
S
X
⋅
d
A
∫
S
X
⋅
d
A
int_(S)X*dA \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} ∫ S X ⋅ d A の値は,
S
S
S S S の同じ向きを与える座標のとり方によらずに定 まり,
S
S
S S S の逆向きを与える座標をとると, 符号が変わる.つまり,
∫
E
X
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
⋅
(
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
)
d
u
1
⋯
d
u
n
=
{
∫
E
′
X
x
―
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
⋅
(
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
)
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
(
det
J
φ
>
0
のとき)
−
∫
E
′
X
x
―
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
⋅
(
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
)
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
(
det
J
φ
<
0
のとき)
∫
E
X
x
u
1
,
…
,
u
n
⋅
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
′
X
x
¯
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
⋅
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
(
det
J
φ
>
0
のとき)
−
∫
E
′
X
x
¯
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
⋅
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
(
det
J
φ
<
0
のとき)
{:[int_(E)X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*((del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n)))du_(1)cdots du_(n)],[={[int_(E^('))X_( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n)))d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n),(det J varphi > 0" のとき) "],[-int_(E^('))X_( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n)))d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n),(det J varphi < 0" のとき) "]:}]:} \begin{aligned}
& \int_{E} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right) d u_{1} \cdots d u_{n} \\
= & \begin{cases}\int_{E^{\prime}} \boldsymbol{X}_{\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right) d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} & (\operatorname{det} J \varphi>0 \text { のとき) } \\
-\int_{E^{\prime}} \boldsymbol{X}_{\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right) d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} & (\operatorname{det} J \varphi<0 \text { のとき) }\end{cases}
\end{aligned} の と き の と き ∫ E X x ( u 1 , … , u n ) ⋅ ( ∂ ∂ u 1 × ⋯ × ∂ ∂ u n ) d u 1 ⋯ d u n = { ∫ E ′ X x ― ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) ⋅ ( ∂ ∂ u ¯ 1 × ⋯ × ∂ ∂ u ¯ n ) d u ¯ 1 ⋯ d u ¯ n ( det J φ > 0 のとき) − ∫ E ′ X x ― ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) ⋅ ( ∂ ∂ u ¯ 1 × ⋯ × ∂ ∂ u ¯ n ) d u ¯ 1 ⋯ d u ¯ n ( det J φ < 0 のとき)
が成り立つ.
証明(i)は命題 1.2 .1 と
n
n
n n n 重積分の変数変換の公式を用いて次のように示 される。
∫
E
f
(
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
)
‖
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
‖
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
f
(
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
)
|
det
(
∂
u
¯
i
∂
u
j
)
|
‖
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
‖
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
′
f
(
x
―
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
)
|
(
det
(
∂
u
¯
i
∂
u
j
)
∘
φ
)
|
×
‖
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
‖
|
det
(
∂
u
i
∂
u
¯
j
)
|
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
=
∫
E
′
f
(
x
―
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
)
‖
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
‖
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
∫
E
f
x
u
1
,
…
,
u
n
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
f
x
u
1
,
…
,
u
n
det
∂
u
¯
i
∂
u
j
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
′
f
x
¯
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
det
∂
u
¯
i
∂
u
j
∘
φ
×
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
det
∂
u
i
∂
u
¯
j
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
=
∫
E
′
f
x
¯
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
{:[int_(E)f(x(u_(1),dots,u_(n)))||(del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n))||du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E)f(x(u_(1),dots,u_(n)))|det((del bar(u)_(i))/(delu_(j)))|||(del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))||du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E^('))f( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))|(det((del bar(u)_(i))/(delu_(j)))@varphi)|],[quad xx||(del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))|||det((delu_(i))/(del bar(u)_(j)))|d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n)],[=int_(E^('))f( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))||(del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))||d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n)]:} \begin{aligned}
& \int_{E} f\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)\left\|\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right\| d u_{1} \cdots d u_{n} \\
&= \int_{E} f\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)\left|\operatorname{det}\left(\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial u_{j}}\right)\right|\left\|\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right\| d u_{1} \cdots d u_{n} \\
&= \int_{E^{\prime}} f\left(\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)\right)\left|\left(\operatorname{det}\left(\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial u_{j}}\right) \circ \varphi\right)\right| \\
& \quad \times\left\|\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right\|\left|\operatorname{det}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial \bar{u}_{j}}\right)\right| d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} \\
&= \int_{E^{\prime}} f\left(\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)\right)\left\|\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right\| d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n}
\end{aligned} ∫ E f ( x ( u 1 , … , u n ) ) ‖ ∂ ∂ u 1 × ⋯ × ∂ ∂ u n ‖ d u 1 ⋯ d u n = ∫ E f ( x ( u 1 , … , u n ) ) | det ( ∂ u ¯ i ∂ u j ) | ‖ ∂ ∂ u ¯ 1 × ⋯ × ∂ ∂ u ¯ n ‖ d u 1 ⋯ d u n = ∫ E ′ f ( x ― ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) ) | ( det ( ∂ u ¯ i ∂ u j ) ∘ φ ) | × ‖ ∂ ∂ u ¯ 1 × ⋯ × ∂ ∂ u ¯ n ‖ | det ( ∂ u i ∂ u ¯ j ) | d u ¯ 1 ⋯ d u ¯ n = ∫ E ′ f ( x ― ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) ) ‖ ∂ ∂ u ¯ 1 × ⋯ × ∂ ∂ u ¯ n ‖ d u ¯ 1 ⋯ d u ¯ n
(ii) も命題 1.2 .1 と
n
n
n n n 重積分の変数変換の公式を用いて次のように示される.
∫
E
X
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
⋅
(
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
)
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
det
(
∂
u
¯
i
∂
u
j
)
(
X
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
⋅
(
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
)
)
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
′
(
det
(
∂
u
¯
i
∂
u
j
)
∘
φ
)
(
X
x
―
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
⋅
(
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
)
)
×
|
det
(
∂
u
i
∂
u
¯
j
)
|
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
=
{
∫
E
′
X
x
―
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
⋅
(
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
)
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
(
det
J
φ
>
0
のとき)
−
∫
E
′
X
x
―
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
⋅
(
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
)
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
(
det
J
φ
<
0
のとき).
∫
E
X
x
u
1
,
…
,
u
n
⋅
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
det
∂
u
¯
i
∂
u
j
X
x
u
1
,
…
,
u
n
⋅
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
E
′
det
∂
u
¯
i
∂
u
j
∘
φ
X
x
¯
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
⋅
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
×
det
∂
u
i
∂
u
¯
j
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
=
∫
E
′
X
x
¯
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
⋅
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
(
det
J
φ
>
0
のとき)
−
∫
E
′
X
x
¯
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
⋅
∂
∂
u
¯
1
×
⋯
×
∂
∂
u
¯
n
d
u
¯
1
⋯
d
u
¯
n
(
det
J
φ
<
0
のとき).
{:[int_(E)X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*((del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n)))du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E)det((del bar(u)_(i))/(delu_(j)))(X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))))du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E^('))(det((del bar(u)_(i))/(delu_(j)))@varphi)(X_( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))))],[ xx|det((delu_(i))/(del bar(u)_(j)))|d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n)],[={[int_(E^('))X_( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n)))d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n),(det J varphi > 0" のとき) "],[-int_(E^('))X_( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n)))d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n),(det J varphi < 0" のとき). "]:}]:} \begin{aligned}
& \int_{E} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right) d u_{1} \cdots d u_{n} \\
& =\int_{E} \operatorname{det}\left(\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial u_{j}}\right)\left(\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right)\right) d u_{1} \cdots d u_{n} \\
& =\int_{E^{\prime}}\left(\operatorname{det}\left(\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial u_{j}}\right) \circ \varphi\right)\left(\boldsymbol{X}_{\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right)\right) \\
& \times\left|\operatorname{det}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial \bar{u}_{j}}\right)\right| d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} \\
& = \begin{cases}\int_{E^{\prime}} \boldsymbol{X}_{\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right) d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} & (\operatorname{det} J \varphi>0 \text { のとき) } \\
-\int_{E^{\prime}} \boldsymbol{X}_{\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right) d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} & (\operatorname{det} J \varphi<0 \text { のとき). }\end{cases}
\end{aligned} の と き の と き ∫ E X x ( u 1 , … , u n ) ⋅ ( ∂ ∂ u 1 × ⋯ × ∂ ∂ u n ) d u 1 ⋯ d u n = ∫ E det ( ∂ u ¯ i ∂ u j ) ( X x ( u 1 , … , u n ) ⋅ ( ∂ ∂ u ¯ 1 × ⋯ × ∂ ∂ u ¯ n ) ) d u 1 ⋯ d u n = ∫ E ′ ( det ( ∂ u ¯ i ∂ u j ) ∘ φ ) ( X x ― ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) ⋅ ( ∂ ∂ u ¯ 1 × ⋯ × ∂ ∂ u ¯ n ) ) × | det ( ∂ u i ∂ u ¯ j ) | d u ¯ 1 ⋯ d u ¯ n = { ∫ E ′ X x ― ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) ⋅ ( ∂ ∂ u ¯ 1 × ⋯ × ∂ ∂ u ¯ n ) d u ¯ 1 ⋯ d u ¯ n ( det J φ > 0 のとき) − ∫ E ′ X x ― ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) ⋅ ( ∂ ∂ u ¯ 1 × ⋯ × ∂ ∂ u ¯ n ) d u ¯ 1 ⋯ d u ¯ n ( det J φ < 0 のとき).
S
=
S
1
∪
⋯
∪
S
k
S
=
S
1
∪
⋯
∪
S
k
S=S_(1)uu cdots uuS_(k) S=S_{1} \cup \cdots \cup S_{k} S = S 1 ∪ ⋯ ∪ S k を区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の超曲面とし,
f
,
X
f
,
X
f,X f, \boldsymbol{X} f , X を
S
S
S S S を含む
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 の 領域上の
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 スカラー場,
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 ベクトル場とする. このとき,
∫
S
f
d
A
∫
S
f
d
A
int_(S)fdA \int_{S} f d A ∫ S f d A ,
∫
S
X
⋅
d
A
∫
S
X
⋅
d
A
int_(S)X*dA \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} ∫ S X ⋅ d A を各々,
∫
S
f
d
A
:=
∑
i
=
1
k
∫
S
i
f
d
A
,
∫
S
X
⋅
d
A
:=
∑
i
=
1
k
∫
S
i
X
⋅
d
A
∫
S
f
d
A
:=
∑
i
=
1
k
∫
S
i
f
d
A
,
∫
S
X
⋅
d
A
:=
∑
i
=
1
k
∫
S
i
X
⋅
d
A
int_(S)fdA:=sum_(i=1)^(k)int_(S_(i))fdA,quadint_(S)X*dA:=sum_(i=1)^(k)int_(S_(i))X*dA \int_{S} f d A:=\sum_{i=1}^{k} \int_{S_{i}} f d A, \quad \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}:=\sum_{i=1}^{k} \int_{S_{i}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} ∫ S f d A := ∑ i = 1 k ∫ S i f d A , ∫ S X ⋅ d A := ∑ i = 1 k ∫ S i X ⋅ d A
によって定義する.
∫
S
f
d
A
,
∫
S
X
⋅
d
A
∫
S
f
d
A
,
∫
S
X
⋅
d
A
int_(S)fdA,int_(S)X*dA \int_{S} f d A, \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} ∫ S f d A , ∫ S X ⋅ d A を各々,
f
,
X
f
,
X
f,X f, \boldsymbol{X} f , X の
S
S
S S S に沿う面積分と いう. 特に,
∫
S
1
d
A
∫
S
1
d
A
int_(S)1dA \int_{S} 1 d A ∫ S 1 d A を
S
S
S S S の超曲面積といい,
V
(
S
)
V
(
S
)
V(S) \mathcal{V}(S) V ( S ) , または
A
(
S
)
A
(
S
)
A(S) \mathcal{A}(S) A ( S ) と表す.
問 1.10.1
F
F
F F F を,
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ有界閉領域
E
E
E E E を含む領域
D
D
D D D 上で定義された
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数
(
r
≥
r
′
)
r
≥
r
′
(r >= r^(')) \left(r \geq r^{\prime}\right) ( r ≥ r ′ ) とし,
x
:
D
→
E
n
+
1
x
:
D
→
E
n
+
1
x:D rarrE^(n+1) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x : D → E n + 1 をそのグラフ曲面, つ まり,
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
=
(
u
1
,
…
,
u
n
,
F
(
u
1
,
…
,
u
n
)
)
(
(
u
1
,
…
,
u
n
)
∈
D
)
x
u
1
,
…
,
u
n
=
u
1
,
…
,
u
n
,
F
u
1
,
…
,
u
n
u
1
,
…
,
u
n
∈
D
x(u_(1),dots,u_(n))=(u_(1),dots,u_(n),F(u_(1),dots,u_(n)))quad((u_(1),dots,u_(n))in D) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, F\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right) \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right) x ( u 1 , … , u n ) = ( u 1 , … , u n , F ( u 1 , … , u n ) ) ( ( u 1 , … , u n ) ∈ D )
とする。
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
:=
x
(
E
)
S
:=
x
(
E
)
S:=x(E) S:=\boldsymbol{x}(E) S := x ( E ) を考え る. このとき,
S
S
S S S を含む
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 の領域上で定義された
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 スカラー場
f
f
f f f と
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 ベク トル場
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
+
1
)
X
=
X
1
,
…
,
X
n
+
1
X=(X_(1),dots,X_(n+1)) \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, \ldots, X_{n+1}\right) X = ( X 1 , … , X n + 1 ) に対し.
∫
S
f
d
A
=
∬
E
f
(
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
)
1
+
∑
i
=
1
n
(
∂
F
∂
u
i
)
2
d
u
1
⋯
d
u
n
∫
S
f
d
A
=
∬
E
f
x
u
1
,
…
,
u
n
1
+
∑
i
=
1
n
∂
F
∂
u
i
2
d
u
1
⋯
d
u
n
int_(S)fdA=∬_(E)f(x(u_(1),dots,u_(n)))sqrt(1+sum_(i=1)^(n)((del F)/(delu_(i)))^(2))du_(1)cdots du_(n) \int_{S} f d A=\iint_{E} f\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right) \sqrt{1+\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial F}{\partial u_{i}}\right)^{2}} d u_{1} \cdots d u_{n} ∫ S f d A = ∬ E f ( x ( u 1 , … , u n ) ) 1 + ∑ i = 1 n ( ∂ F ∂ u i ) 2 d u 1 ⋯ d u n ,
∫
S
X
⋅
d
A
=
∬
E
(
(
−
1
)
n
−
1
∑
i
=
1
X
i
(
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
)
∂
F
∂
u
i
+
(
−
1
)
n
X
n
+
1
)
d
u
1
⋯
d
u
n
∫
S
X
⋅
d
A
=
∬
E
(
−
1
)
n
−
1
∑
i
=
1
X
i
x
u
1
,
…
,
u
n
∂
F
∂
u
i
+
(
−
1
)
n
X
n
+
1
d
u
1
⋯
d
u
n
int_(S)X*dA=∬_(E)((-1)^(n-1)sum_(i=1)X_(i)(x(u_(1),dots,u_(n)))(del F)/(delu_(i))+(-1)^(n)X_(n+1))du_(1)cdots du_(n) \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\iint_{E}\left((-1)^{n-1} \sum_{i=1} X_{i}\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right) \frac{\partial F}{\partial u_{i}}+(-1)^{n} X_{n+1}\right) d u_{1} \cdots d u_{n} ∫ S X ⋅ d A = ∬ E ( ( − 1 ) n − 1 ∑ i = 1 X i ( x ( u 1 , … , u n ) ) ∂ F ∂ u i + ( − 1 ) n X n + 1 ) d u 1 ⋯ d u n が成り立つことを示せ.
1.11 ベクトル解析におけるストークスの定理
この節において、ストークスの定理(Stokes, theorem)について述べる ことにする. ストークスの定理にはいろいろなタイプのものがあり、この節で 述べるストークスの定理は通常, ベクトル解析の分野においてそうよばれるも のである.
定理 1.11.1(ストークスの定理)
S
=
x
(
E
)
S
=
x
(
E
)
S=x(E) S=\boldsymbol{x}(E) S = x ( E ) を
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の 境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
(
r
≥
max
{
r
′
,
2
}
,
r
′
≥
1
)
r
≥
max
r
′
,
2
,
r
′
≥
1
(r >= max{r^('),2},r^(') >= 1) \left(r \geq \max \left\{r^{\prime}, 2\right\}, r^{\prime} \geq 1\right) ( r ≥ max { r ′ , 2 } , r ′ ≥ 1 ) とし,
c
:
[
0
,
1
]
→
E
3
c
:
[
0
,
1
]
→
E
3
c:[0,1]rarrE^(3) c:[0,1] \rightarrow \mathbb{E}^{3} c : [ 0 , 1 ] → E 3 を境界
∂
S
∂
S
del S \partial S ∂ S を与える区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の単純閉曲線で,
x
−
1
∘
c
x
−
1
∘
c
x^(-1)@c \boldsymbol{x}^{-1} \circ c x − 1 ∘ c が反時計回りに進む
図 1.11.1 区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片の長方形型領域への分割
図 1.11.2長方形型領域の境界を与える区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の単純閉曲線
ようなものとする。このとき,
S
S
S S S を含む
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 の領域上で定義された
C
1
C
1
C^(1) C^{1} C 1 ベクト ル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し, 次式が成り立つ:
(1.11.1)
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∫
c
X
⋅
d
r
(1.11.1)
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∫
c
X
⋅
d
r
{:(1.11.1)int_(S)rot X*dA=int_(c)X*dr:} \begin{equation*}
\int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} \tag{1.11.1}
\end{equation*} (1.11.1) ∫ S rot X ⋅ d A = ∫ c X ⋅ d r
証明
S
S
S S S を, いくつかの
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
[0,1]xx[0,1] [0,1] \times[0,1] [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] を定義域とする区分的に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の境界 をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
λ
=
x
λ
(
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
)
(
λ
=
1
,
…
,
l
)
S
λ
=
x
λ
(
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
)
(
λ
=
1
,
…
,
l
)
S_(lambda)=x_(lambda)([0,1]xx[0,1])(lambda=1,dots,l) S_{\lambda}=\boldsymbol{x}_{\lambda}([0,1] \times[0,1])(\lambda=1, \ldots, l) S λ = x λ ( [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ) ( λ = 1 , … , l ) たちに分割する(図 1.11.1 を参照). ここで,
x
λ
x
λ
x_(lambda) \boldsymbol{x}_{\lambda} x λ は,
det
J
(
x
λ
−
1
∘
x
)
>
0
det
J
x
λ
−
1
∘
x
>
0
det J(x_(lambda)^(-1)@x) > 0 \operatorname{det} J\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ \boldsymbol{x}\right)>0 det J ( x λ − 1 ∘ x ) > 0 となるようにとってお く.
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 曲線
c
i
λ
:
[
0
,
1
]
→
E
3
(
i
=
1
,
…
,
4
)
c
i
λ
:
[
0
,
1
]
→
E
3
(
i
=
1
,
…
,
4
)
c_(i)^(lambda):[0,1]rarrE^(3)(i=1,dots,4) c_{i}^{\lambda}:[0,1] \rightarrow \mathbb{E}^{3}(i=1, \ldots, 4) c i λ : [ 0 , 1 ] → E 3 ( i = 1 , … , 4 ) を
c
1
λ
(
u
1
)
:=
x
λ
(
u
1
,
0
)
,
c
3
λ
(
u
1
)
:=
x
λ
(
1
−
u
1
,
1
)
(
0
≤
u
1
≤
1
)
c
2
λ
(
u
2
)
:=
x
λ
(
1
,
u
2
)
,
c
4
λ
(
u
2
)
:=
x
λ
(
0
,
1
−
u
2
)
(
0
≤
u
2
≤
1
)
c
1
λ
u
1
:=
x
λ
u
1
,
0
,
c
3
λ
u
1
:=
x
λ
1
−
u
1
,
1
0
≤
u
1
≤
1
c
2
λ
u
2
:=
x
λ
1
,
u
2
,
c
4
λ
u
2
:=
x
λ
0
,
1
−
u
2
0
≤
u
2
≤
1
{:[c_(1)^(lambda)(u_(1)):=x_(lambda)(u_(1),0)",",c_(3)^(lambda)(u_(1)):=x_(lambda)(1-u_(1),1),(0 <= u_(1) <= 1)],[c_(2)^(lambda)(u_(2)):=x_(lambda)(1,u_(2))",",c_(4)^(lambda)(u_(2)):=x_(lambda)(0,1-u_(2)),(0 <= u_(2) <= 1)]:} \begin{array}{lll}
c_{1}^{\lambda}\left(u_{1}\right):=\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}, 0\right), & c_{3}^{\lambda}\left(u_{1}\right):=\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(1-u_{1}, 1\right) & \left(0 \leq u_{1} \leq 1\right) \\
c_{2}^{\lambda}\left(u_{2}\right):=\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(1, u_{2}\right), & c_{4}^{\lambda}\left(u_{2}\right):=\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(0,1-u_{2}\right) & \left(0 \leq u_{2} \leq 1\right)
\end{array} c 1 λ ( u 1 ) := x λ ( u 1 , 0 ) , c 3 λ ( u 1 ) := x λ ( 1 − u 1 , 1 ) ( 0 ≤ u 1 ≤ 1 ) c 2 λ ( u 2 ) := x λ ( 1 , u 2 ) , c 4 λ ( u 2 ) := x λ ( 0 , 1 − u 2 ) ( 0 ≤ u 2 ≤ 1 )
によって定義する(図 1.11.2を参照).
c
1
λ
∼
c
4
λ
c
1
λ
∼
c
4
λ
c_(1)^(lambda)∼c_(4)^(lambda) c_{1}^{\lambda} \sim c_{4}^{\lambda} c 1 λ ∼ c 4 λ を順に結んでできる区分的 に
C
r
′
C
r
′
C^(r^(')) C^{r^{\prime}} C r ′ 級の閉曲線を
c
λ
c
λ
c_(lambda) c_{\lambda} c λ と表す。このとき明らかに,
c
λ
c
λ
c_(lambda) c_{\lambda} c λ は
∂
S
λ
∂
S
λ
delS_(lambda) \partial S_{\lambda} ∂ S λ を与える単純閉曲線で,
x
−
1
∘
c
λ
x
−
1
∘
c
λ
x^(-1)@c_(lambda) \boldsymbol{x}^{-1} \circ c_{\lambda} x − 1 ∘ c λ が反時計回りに進むようなものである。最初に, 各
λ
∈
λ
∈
lambda in \lambda \in λ ∈
{
1
,
…
,
l
}
{
1
,
…
,
l
}
{1,dots,l} \{1, \ldots, l\} { 1 , … , l } に対し,
∫
S
λ
rot
X
⋅
d
A
=
∫
c
λ
X
⋅
d
r
∫
S
λ
rot
X
⋅
d
A
=
∫
c
λ
X
⋅
d
r
int_(S_(lambda))rot X*dA=int_(c_(lambda))X*dr \int_{S_{\lambda}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{c_{\lambda}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ S λ rot X ⋅ d A = ∫ c λ X ⋅ d r
が成り立つことを示す.
x
λ
(
u
1
,
u
2
)
=
(
x
1
(
u
1
,
u
2
)
,
x
2
(
u
1
,
u
2
)
,
x
3
(
u
1
,
u
2
)
)
x
λ
u
1
,
u
2
=
x
1
u
1
,
u
2
,
x
2
u
1
,
u
2
,
x
3
u
1
,
u
2
x_(lambda)(u_(1),u_(2))=(x_(1)(u_(1),u_(2)),x_(2)(u_(1),u_(2)),x_(3)(u_(1),u_(2))) \boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(x_{1}\left(u_{1}, u_{2}\right), x_{2}\left(u_{1}, u_{2}\right), x_{3}\left(u_{1}, u_{2}\right)\right) x λ ( u 1 , u 2 ) = ( x 1 ( u 1 , u 2 ) , x 2 ( u 1 , u 2 ) , x 3 ( u 1 , u 2 ) ) ,
X
=
(
X
1
,
X
2
,
X
3
)
X
=
X
1
,
X
2
,
X
3
X=(X_(1),X_(2),X_(3)) \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right) X = ( X 1 , X 2 , X 3 ) とする. このとき,
rot
X
=
(
∂
X
3
∂
x
2
−
∂
X
2
∂
x
3
,
∂
X
1
∂
x
3
−
∂
X
3
∂
x
1
,
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
)
rot
X
=
∂
X
3
∂
x
2
−
∂
X
2
∂
x
3
,
∂
X
1
∂
x
3
−
∂
X
3
∂
x
1
,
∂
X
2
∂
x
1
−
∂
X
1
∂
x
2
rot X=((delX_(3))/(delx_(2))-(delX_(2))/(delx_(3)),(delX_(1))/(delx_(3))-(delX_(3))/(delx_(1)),(delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2))) \operatorname{rot} \boldsymbol{X}=\left(\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}, \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{1}}, \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right) rot X = ( ∂ X 3 ∂ x 2 − ∂ X 2 ∂ x 3 , ∂ X 1 ∂ x 3 − ∂ X 3 ∂ x 1 , ∂ X 2 ∂ x 1 − ∂ X 1 ∂ x 2 )
および,
∂
∂
u
1
×
∂
∂
u
2
=
(
∂
x
2
∂
u
1
∂
x
3
∂
u
2
−
∂
x
3
∂
u
1
∂
x
2
∂
u
2
,
∂
x
3
∂
u
1
∂
x
1
∂
u
2
−
∂
x
1
∂
u
1
∂
x
3
∂
u
2
,
∂
x
1
∂
u
1
∂
x
2
∂
u
2
−
∂
x
2
∂
u
1
∂
x
1
∂
u
2
)
∂
∂
u
1
×
∂
∂
u
2
=
∂
x
2
∂
u
1
∂
x
3
∂
u
2
−
∂
x
3
∂
u
1
∂
x
2
∂
u
2
,
∂
x
3
∂
u
1
∂
x
1
∂
u
2
−
∂
x
1
∂
u
1
∂
x
3
∂
u
2
,
∂
x
1
∂
u
1
∂
x
2
∂
u
2
−
∂
x
2
∂
u
1
∂
x
1
∂
u
2
{:[(del)/(delu_(1))xx(del)/(delu_(2))],[=((delx_(2))/(delu_(1))(delx_(3))/(delu_(2))-(delx_(3))/(delu_(1))(delx_(2))/(delu_(2)),(delx_(3))/(delu_(1))(delx_(1))/(delu_(2))-(delx_(1))/(delu_(1))(delx_(3))/(delu_(2)),(delx_(1))/(delu_(1))(delx_(2))/(delu_(2))-(delx_(2))/(delu_(1))(delx_(1))/(delu_(2)))]:} \begin{aligned}
& \frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \frac{\partial}{\partial u_{2}} \\
= & \left(\frac{\partial x_{2}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{3}}{\partial u_{2}}-\frac{\partial x_{3}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{2}}{\partial u_{2}}, \frac{\partial x_{3}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{2}}-\frac{\partial x_{1}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{3}}{\partial u_{2}}, \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{2}}{\partial u_{2}}-\frac{\partial x_{2}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{2}}\right)
\end{aligned} ∂ ∂ u 1 × ∂ ∂ u 2 = ( ∂ x 2 ∂ u 1 ∂ x 3 ∂ u 2 − ∂ x 3 ∂ u 1 ∂ x 2 ∂ u 2 , ∂ x 3 ∂ u 1 ∂ x 1 ∂ u 2 − ∂ x 1 ∂ u 1 ∂ x 3 ∂ u 2 , ∂ x 1 ∂ u 1 ∂ x 2 ∂ u 2 − ∂ x 2 ∂ u 1 ∂ x 1 ∂ u 2 )
より,
(1.11.2)
(
rot
X
)
x
λ
(
u
1
,
u
2
)
⋅
(
∂
∂
u
1
×
∂
∂
u
2
)
x
λ
(
u
1
,
u
2
)
=
∂
(
X
∘
x
λ
)
∂
u
1
⋅
∂
x
λ
∂
u
2
−
∂
(
X
∘
x
λ
)
∂
u
2
⋅
∂
x
λ
∂
u
1
(1.11.2)
(
rot
X
)
x
λ
u
1
,
u
2
⋅
∂
∂
u
1
×
∂
∂
u
2
x
λ
u
1
,
u
2
=
∂
X
∘
x
λ
∂
u
1
⋅
∂
x
λ
∂
u
2
−
∂
X
∘
x
λ
∂
u
2
⋅
∂
x
λ
∂
u
1
{:[(1.11.2)(rot X)_(x_(lambda)(u_(1),u_(2)))*((del)/(delu_(1))xx(del)/(delu_(2)))_(x_(lambda)(u_(1),u_(2)))],[=(del(X@x_(lambda)))/(delu_(1))*(delx_(lambda))/(delu_(2))-(del(X@x_(lambda)))/(delu_(2))*(delx_(lambda))/(delu_(1))]:} \begin{align*}
&(\operatorname{rot} \boldsymbol{X})_{\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}, u_{2}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}, u_{2}\right)} \tag{1.11.2}\\
&= \frac{\partial\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{2}}-\frac{\partial\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{1}}
\end{align*} (1.11.2) ( rot X ) x λ ( u 1 , u 2 ) ⋅ ( ∂ ∂ u 1 × ∂ ∂ u 2 ) x λ ( u 1 , u 2 ) = ∂ ( X ∘ x λ ) ∂ u 1 ⋅ ∂ x λ ∂ u 2 − ∂ ( X ∘ x λ ) ∂ u 2 ⋅ ∂ x λ ∂ u 1
が示される. ここで,合成関数の偏微分法(連鎖律)
∂
(
X
i
∘
x
λ
)
∂
u
j
=
∑
k
=
1
3
∂
X
i
∂
x
k
∂
x
k
∂
u
j
∂
X
i
∘
x
λ
∂
u
j
=
∑
k
=
1
3
∂
X
i
∂
x
k
∂
x
k
∂
u
j
(del(X_(i)@x_(lambda)))/(delu_(j))=sum_(k=1)^(3)(delX_(i))/(delx_(k))(delx_(k))/(delu_(j)) \frac{\partial\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}}=\sum_{k=1}^{3} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial x_{k}}{\partial u_{j}} ∂ ( X i ∘ x λ ) ∂ u j = ∑ k = 1 3 ∂ X i ∂ x k ∂ x k ∂ u j
を用いた。
F
(
u
1
,
u
2
)
:=
(
X
∘
x
λ
)
(
u
1
,
u
2
)
⋅
∂
x
λ
∂
u
1
|
(
u
1
,
u
2
)
G
(
u
1
,
u
2
)
:=
(
X
∘
x
λ
)
(
u
1
,
u
2
)
⋅
∂
x
λ
∂
u
2
|
(
u
1
,
u
2
)
F
u
1
,
u
2
:=
X
∘
x
λ
u
1
,
u
2
⋅
∂
x
λ
∂
u
1
u
1
,
u
2
G
u
1
,
u
2
:=
X
∘
x
λ
u
1
,
u
2
⋅
∂
x
λ
∂
u
2
u
1
,
u
2
{:[F(u_(1),u_(2)):=(X@x_(lambda))(u_(1),u_(2))*(delx_(lambda))/(delu_(1))|_((u_(1),u_(2)))],[G(u_(1),u_(2)):=(X@x_(lambda))(u_(1),u_(2))*(delx_(lambda))/(delu_(2))|_((u_(1),u_(2)))]:} \begin{aligned}
& F\left(u_{1}, u_{2}\right):=\left.\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(u_{1}, u_{2}\right) \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{1}}\right|_{\left(u_{1}, u_{2}\right)} \\
& G\left(u_{1}, u_{2}\right):=\left.\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(u_{1}, u_{2}\right) \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{2}}\right|_{\left(u_{1}, u_{2}\right)}
\end{aligned} F ( u 1 , u 2 ) := ( X ∘ x λ ) ( u 1 , u 2 ) ⋅ ∂ x λ ∂ u 1 | ( u 1 , u 2 ) G ( u 1 , u 2 ) := ( X ∘ x λ ) ( u 1 , u 2 ) ⋅ ∂ x λ ∂ u 2 | ( u 1 , u 2 )
とおく. このとき,
(1.11.3)
∂
G
∂
u
1
−
∂
F
∂
u
2
=
∂
(
X
∘
x
λ
)
∂
u
1
⋅
∂
x
λ
∂
u
2
−
∂
(
X
∘
x
λ
)
∂
u
2
⋅
∂
x
λ
∂
u
1
(1.11.3)
∂
G
∂
u
1
−
∂
F
∂
u
2
=
∂
X
∘
x
λ
∂
u
1
⋅
∂
x
λ
∂
u
2
−
∂
X
∘
x
λ
∂
u
2
⋅
∂
x
λ
∂
u
1
{:(1.11.3)(del G)/(delu_(1))-(del F)/(delu_(2))=(del(X@x_(lambda)))/(delu_(1))*(delx_(lambda))/(delu_(2))-(del(X@x_(lambda)))/(delu_(2))*(delx_(lambda))/(delu_(1)):} \begin{equation*}
\frac{\partial G}{\partial u_{1}}-\frac{\partial F}{\partial u_{2}}=\frac{\partial\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{2}}-\frac{\partial\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{1}} \tag{1.11.3}
\end{equation*} (1.11.3) ∂ G ∂ u 1 − ∂ F ∂ u 2 = ∂ ( X ∘ x λ ) ∂ u 1 ⋅ ∂ x λ ∂ u 2 − ∂ ( X ∘ x λ ) ∂ u 2 ⋅ ∂ x λ ∂ u 1
が成り立つ. 式 (1.11.2) と式 (1.11.3) から,
∫
S
λ
rot
X
⋅
d
A
=
∫
0
1
∫
0
1
(
∂
G
∂
u
1
−
∂
F
∂
u
2
)
d
u
1
d
u
2
(1.11.4)
=
∫
0
1
(
G
(
1
,
u
2
)
−
G
(
0
,
u
2
)
)
d
u
2
−
∫
0
1
(
F
(
u
1
,
1
)
−
F
(
u
1
,
0
)
)
d
u
1
∫
S
λ
rot
X
⋅
d
A
=
∫
0
1
∫
0
1
∂
G
∂
u
1
−
∂
F
∂
u
2
d
u
1
d
u
2
(1.11.4)
=
∫
0
1
G
1
,
u
2
−
G
0
,
u
2
d
u
2
−
∫
0
1
F
u
1
,
1
−
F
u
1
,
0
d
u
1
{:[int_(S_(lambda))rot X*dA=int_(0)^(1)int_(0)^(1)((del G)/(delu_(1))-(del F)/(delu_(2)))du_(1)du_(2)],[(1.11.4)=int_(0)^(1)(G(1,u_(2))-G(0,u_(2)))du_(2)-int_(0)^(1)(F(u_(1),1)-F(u_(1),0))du_(1)]:} \begin{align*}
& \int_{S_{\lambda}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(\frac{\partial G}{\partial u_{1}}-\frac{\partial F}{\partial u_{2}}\right) d u_{1} d u_{2} \\
= & \int_{0}^{1}\left(G\left(1, u_{2}\right)-G\left(0, u_{2}\right)\right) d u_{2}-\int_{0}^{1}\left(F\left(u_{1}, 1\right)-F\left(u_{1}, 0\right)\right) d u_{1} \tag{1.11.4}
\end{align*} ∫ S λ rot X ⋅ d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( ∂ G ∂ u 1 − ∂ F ∂ u 2 ) d u 1 d u 2 (1.11.4) = ∫ 0 1 ( G ( 1 , u 2 ) − G ( 0 , u 2 ) ) d u 2 − ∫ 0 1 ( F ( u 1 , 1 ) − F ( u 1 , 0 ) ) d u 1
が示される. 一方,
F
(
u
1
,
0
)
=
X
c
1
λ
(
u
1
)
⋅
(
c
1
λ
)
′
(
u
1
)
,
F
(
u
1
,
1
)
=
X
c
3
λ
(
1
−
u
1
)
⋅
(
−
(
c
3
λ
)
′
(
1
−
u
1
)
)
G
(
0
,
u
2
)
=
X
c
4
λ
(
1
−
u
2
)
⋅
(
−
(
c
4
λ
)
′
(
1
−
u
2
)
)
,
G
(
1
,
u
2
)
=
X
c
2
λ
(
u
2
)
⋅
(
c
2
λ
)
′
(
u
2
)
F
u
1
,
0
=
X
c
1
λ
u
1
⋅
c
1
λ
′
u
1
,
F
u
1
,
1
=
X
c
3
λ
1
−
u
1
⋅
−
c
3
λ
′
1
−
u
1
G
0
,
u
2
=
X
c
4
λ
1
−
u
2
⋅
−
c
4
λ
′
1
−
u
2
,
G
1
,
u
2
=
X
c
2
λ
u
2
⋅
c
2
λ
′
u
2
{:[F(u_(1),0)=X_(c_(1)^(lambda)(u_(1)))*(c_(1)^(lambda))^(')(u_(1))","quad F(u_(1),1)=X_(c_(3)^(lambda)(1-u_(1)))*(-(c_(3)^(lambda))^(')(1-u_(1)))],[G(0,u_(2))=X_(c_(4)^(lambda)(1-u_(2)))*(-(c_(4)^(lambda))^(')(1-u_(2)))","quad G(1,u_(2))=X_(c_(2)^(lambda)(u_(2)))*(c_(2)^(lambda))^(')(u_(2))]:} \begin{aligned}
& F\left(u_{1}, 0\right)=\boldsymbol{X}_{c_{1}^{\lambda}\left(u_{1}\right)} \cdot\left(c_{1}^{\lambda}\right)^{\prime}\left(u_{1}\right), \quad F\left(u_{1}, 1\right)=\boldsymbol{X}_{c_{3}^{\lambda}\left(1-u_{1}\right)} \cdot\left(-\left(c_{3}^{\lambda}\right)^{\prime}\left(1-u_{1}\right)\right) \\
& G\left(0, u_{2}\right)=\boldsymbol{X}_{c_{4}^{\lambda}\left(1-u_{2}\right)} \cdot\left(-\left(c_{4}^{\lambda}\right)^{\prime}\left(1-u_{2}\right)\right), \quad G\left(1, u_{2}\right)=\boldsymbol{X}_{c_{2}^{\lambda}\left(u_{2}\right)} \cdot\left(c_{2}^{\lambda}\right)^{\prime}\left(u_{2}\right)
\end{aligned} F ( u 1 , 0 ) = X c 1 λ ( u 1 ) ⋅ ( c 1 λ ) ′ ( u 1 ) , F ( u 1 , 1 ) = X c 3 λ ( 1 − u 1 ) ⋅ ( − ( c 3 λ ) ′ ( 1 − u 1 ) ) G ( 0 , u 2 ) = X c 4 λ ( 1 − u 2 ) ⋅ ( − ( c 4 λ ) ′ ( 1 − u 2 ) ) , G ( 1 , u 2 ) = X c 2 λ ( u 2 ) ⋅ ( c 2 λ ) ′ ( u 2 )
が示される. これらの関係式を式 (1.11.4) に代入して,
∫
S
λ
rot
X
⋅
d
A
=
∑
i
=
1
4
∫
c
i
λ
X
⋅
d
r
=
∫
c
λ
X
⋅
d
r
∫
S
λ
rot
X
⋅
d
A
=
∑
i
=
1
4
∫
c
i
λ
X
⋅
d
r
=
∫
c
λ
X
⋅
d
r
int_(S_(lambda))rot X*dA=sum_(i=1)^(4)int_(c_(i)^(lambda))X*dr=int_(c^(lambda))X*dr \int_{S_{\lambda}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^{4} \int_{c_{i}^{\lambda}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c^{\lambda}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ S λ rot X ⋅ d A = ∑ i = 1 4 ∫ c i λ X ⋅ d r = ∫ c λ X ⋅ d r
をえる。それゆえ,
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∑
λ
=
1
l
∫
S
λ
rot
X
⋅
d
A
=
∑
λ
=
1
l
∫
c
λ
X
⋅
d
r
=
∫
c
X
⋅
d
r
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∑
λ
=
1
l
∫
S
λ
rot
X
⋅
d
A
=
∑
λ
=
1
l
∫
c
λ
X
⋅
d
r
=
∫
c
X
⋅
d
r
int_(S)rot X*dA=sum_(lambda=1)^(l)int_(S_(lambda))rot X*dA=sum_(lambda=1)^(l)int_(c^(lambda))X*dr=int_(c)X*dr \int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\sum_{\lambda=1}^{l} \int_{S_{\lambda}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\sum_{\lambda=1}^{l} \int_{c^{\lambda}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ S rot X ⋅ d A = ∑ λ = 1 l ∫ S λ rot X ⋅ d A = ∑ λ = 1 l ∫ c λ X ⋅ d r = ∫ c X ⋅ d r
が示される。最初の等号は,
det
J
(
x
λ
−
1
∘
x
)
>
0
det
J
x
λ
−
1
∘
x
>
0
det J(x_(lambda)^(-1)@x) > 0 \operatorname{det} J\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ \boldsymbol{x}\right)>0 det J ( x λ − 1 ∘ x ) > 0 であることより, 2 重積分 の変数変換の公式を用いて示され,最後の等号は,
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ と
S
μ
S
μ
S_(mu) S_{\mu} S μ が隣接するとき, その隣接する部分で
c
λ
c
λ
c_(lambda) c_{\lambda} c λ と
c
μ
c
μ
c_(mu) c_{\mu} c μ が逆向きになることより導かれる.
ストークスの定理と 1.8 節で述べたグリーンの定理(定理 1.8.1)を比較し てみよう. ストークスの定理における
S
=
x
(
E
)
S
=
x
(
E
)
S=x(E) S=\boldsymbol{x}(E) S = x ( E ) として
S
=
{
x
(
u
1
,
u
2
)
=
(
u
1
,
u
2
,
0
)
∣
(
u
1
,
u
2
)
∈
E
}
S
=
x
u
1
,
u
2
=
u
1
,
u
2
,
0
∣
u
1
,
u
2
∈
E
S={x(u_(1),u_(2))=(u_(1),u_(2),0)∣(u_(1),u_(2))in E} S=\left\{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}, u_{2}, 0\right) \mid\left(u_{1}, u_{2}\right) \in E\right\} S = { x ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , u 2 , 0 ) ∣ ( u 1 , u 2 ) ∈ E }
をとり、, として
X
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
(
X
1
(
x
1
,
x
2
)
,
X
2
(
x
1
,
x
2
)
,
0
)
X
x
1
,
x
2
,
x
3
=
X
1
x
1
,
x
2
,
X
2
x
1
,
x
2
,
0
X_((x_(1),x_(2),x_(3)))=(X_(1)(x_(1),x_(2)),X_(2)(x_(1),x_(2)),0) \boldsymbol{X}_{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}=\left(X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right), X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right), 0\right) X ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( X 1 ( x 1 , x 2 ) , X 2 ( x 1 , x 2 ) , 0 ) という形のもの をとる.
E
E
E E E 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
X
―
X
¯
bar(X) \overline{\boldsymbol{X}} X ― を
X
―
(
x
1
,
x
2
)
=
(
X
1
(
x
1
,
x
2
)
,
X
2
(
x
1
,
x
2
)
)
X
¯
x
1
,
x
2
=
X
1
x
1
,
x
2
,
X
2
x
1
,
x
2
bar(X)_((x_(1),x_(2)))=(X_(1)(x_(1),x_(2)),X_(2)(x_(1),x_(2))) \overline{\boldsymbol{X}}_{\left(x_{1}, x_{2}\right)}=\left(X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right), X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) X ― ( x 1 , x 2 ) = ( X 1 ( x 1 , x 2 ) , X 2 ( x 1 , x 2 ) ) で 定める. このとき,
rot
X
=
(
0
,
0
,
rot
X
―
)
,
∂
∂
u
1
×
∂
∂
u
2
=
(
0
,
0
,
1
)
rot
X
=
(
0
,
0
,
rot
X
¯
)
,
∂
∂
u
1
×
∂
∂
u
2
=
(
0
,
0
,
1
)
rot X=(0,0,rot bar(X)),quad(del)/(delu_(1))xx(del)/(delu_(2))=(0,0,1) \operatorname{rot} \boldsymbol{X}=(0,0, \operatorname{rot} \overline{\boldsymbol{X}}), \quad \frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \frac{\partial}{\partial u_{2}}=(0,0,1) rot X = ( 0 , 0 , rot X ― ) , ∂ ∂ u 1 × ∂ ∂ u 2 = ( 0 , 0 , 1 )
となるので,
rot
X
⋅
(
∂
∂
u
1
×
∂
∂
u
2
)
=
rot
X
―
rot
X
⋅
∂
∂
u
1
×
∂
∂
u
2
=
rot
X
¯
rot X*((del)/(delu_(1))xx(del)/(delu_(2)))=rot bar(X) \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)=\operatorname{rot} \overline{\boldsymbol{X}} rot X ⋅ ( ∂ ∂ u 1 × ∂ ∂ u 2 ) = rot X ―
をえる。それゆえ,
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∬
E
rot
X
―
d
u
1
d
u
2
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∬
E
rot
X
¯
d
u
1
d
u
2
int_(S)rot X*dA=∬_(E)rot bar(X)du_(1)du_(2) \int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\iint_{E} \operatorname{rot} \overline{\boldsymbol{X}} d u_{1} d u_{2} ∫ S rot X ⋅ d A = ∬ E rot X ― d u 1 d u 2
が示される。一方,
c
c
c c c を
∂
S
∂
S
del S \partial S ∂ S を与える区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の単純閉曲線とし,
c
¯
:=
c
¯
:=
bar(c):= \bar{c}:= c ¯ :=
x
−
1
∘
c
x
−
1
∘
c
x^(-1)@c \boldsymbol{x}^{-1} \circ c x − 1 ∘ c とおく(
c
¯
c
¯
bar(c) \bar{c} c ¯ は,
∂
E
∂
E
del E \partial E ∂ E を与える区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の単純閉曲線になる)と き, 明らかに,
∫
c
X
⋅
d
r
=
∫
c
¯
X
―
⋅
d
r
∫
c
X
⋅
d
r
=
∫
c
¯
X
¯
⋅
d
r
int_(c)X*dr=int_( bar(c)) bar(X)*dr \int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{\bar{c}} \overline{\boldsymbol{X}} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ c X ⋅ d r = ∫ c ¯ X ― ⋅ d r
が成り立つ. したがって, グリーンの定理により示される関係式
∬
E
rot
X
―
d
u
1
d
u
2
=
∫
c
¯
X
―
⋅
d
r
∬
E
rot
X
¯
d
u
1
d
u
2
=
∫
c
¯
X
¯
⋅
d
r
∬_(E)rot bar(X)du_(1)du_(2)=int_( bar(c)) bar(X)*dr \iint_{E} \operatorname{rot} \overline{\boldsymbol{X}} d u_{1} d u_{2}=\int_{\bar{c}} \overline{\boldsymbol{X}} \cdot d \boldsymbol{r} ∬ E rot X ― d u 1 d u 2 = ∫ c ¯ X ― ⋅ d r
が, 上述のストークスの定理により示される関係式
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∫
c
X
⋅
d
r
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∫
c
X
⋅
d
r
int_(S)rot X*dA=int_(c)X*dr \int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ S rot X ⋅ d A = ∫ c X ⋅ d r
から従うことがわかる. このように, グリーンの定理は, 上述のストークスの 定理の特別な場合として捉えることができる.
1.12 ガウスの発散定理
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の閉超曲面によって囲まれた有界閉領域を含む
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 の領域上で定義された
C
1
C
1
C^(1) C^{1} C 1 ベクトル場に対し, 次のガウスの発散定理 (Gauss' divergence theorem) が成り立つ.
定理 1.12.1(ガウスの発散定理)
S
S
S S S を
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の閉超曲面
(
r
≥
2
)
(
r
≥
2
)
(r >= 2) (r \geq 2) ( r ≥ 2 ) とし,
V
V
V V V を
S
S
S S S で囲まれた区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域と する。また,
X
X
X \boldsymbol{X} X を,
V
V
V V V を含む
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 の領域上で定義された
C
1
C
1
C^(1) C^{1} C 1 ベクトル場と する. このとき,
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∫
S
X
⋅
d
A
(
=
∫
S
X
⋅
N
d
A
)
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∫
S
X
⋅
d
A
=
∫
S
X
⋅
N
d
A
int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)=int_(S)X*dA(=int_(S)X*NdA) \int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1}=\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}\left(=\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{N} d A\right) ∫ ⋯ ∫ V div X d x 1 ⋯ d x n + 1 = ∫ S X ⋅ d A ( = ∫ S X ⋅ N d A )
が成り立つ.
証明
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
+
1
)
X
=
X
1
,
…
,
X
n
+
1
X=(X_(1),dots,X_(n+1)) \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, \ldots, X_{n+1}\right) X = ( X 1 , … , X n + 1 ) とする。最初に,
V
V
V V V が直方体領域
{
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
∣
a
i
≤
x
i
≤
b
i
(
i
=
1
,
…
,
n
+
1
)
}
(
=
∏
i
=
1
n
+
1
[
a
i
,
b
i
]
)
x
1
,
…
,
x
n
+
1
∣
a
i
≤
x
i
≤
b
i
(
i
=
1
,
…
,
n
+
1
)
=
∏
i
=
1
n
+
1
a
i
,
b
i
{(x_(1),dots,x_(n+1))∣a_(i) <= x_(i) <= b_(i)quad(i=1,dots,n+1)}(=prod_(i=1)^(n+1)[a_(i),b_(i)]) \left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \mid a_{i} \leq x_{i} \leq b_{i} \quad(i=1, \ldots, n+1)\right\}\left(=\prod_{i=1}^{n+1}\left[a_{i}, b_{i}\right]\right) { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∣ a i ≤ x i ≤ b i ( i = 1 , … , n + 1 ) } ( = ∏ i = 1 n + 1 [ a i , b i ] )
の場合を考える. 簡単のため,
E
i
:=
[
a
1
,
b
1
]
×
⋯
×
[
a
i
,
b
i
]
^
×
⋯
×
[
a
n
+
1
,
b
n
+
1
]
(
i
=
1
,
…
,
n
+
1
)
E
i
:=
a
1
,
b
1
×
⋯
×
a
i
,
b
i
^
×
⋯
×
a
n
+
1
,
b
n
+
1
(
i
=
1
,
…
,
n
+
1
)
E_(i):=[a_(1),b_(1)]xx cdots xx widehat([a_(i),b_(i)])xx cdots xx[a_(n+1),b_(n+1)]quad(i=1,dots,n+1) E_{i}:=\left[a_{1}, b_{1}\right] \times \cdots \times \widehat{\left[a_{i}, b_{i}\right]} \times \cdots \times\left[a_{n+1}, b_{n+1}\right] \quad(i=1, \ldots, n+1) E i := [ a 1 , b 1 ] × ⋯ × [ a i , b i ] ^ × ⋯ × [ a n + 1 , b n + 1 ] ( i = 1 , … , n + 1 )
とおく. ここで,
[
a
i
,
b
i
]
^
a
i
,
b
i
^
widehat([a_(i),b_(i)]) \widehat{\left[a_{i}, b_{i}\right]} [ a i , b i ] ^ は
[
a
i
,
b
i
]
a
i
,
b
i
[a_(i),b_(i)] \left[a_{i}, b_{i}\right] [ a i , b i ] を取り除くことを意味する。
x
i
±
:
E
i
→
x
i
±
:
E
i
→
x_(i)^(+-):E_(i)rarr \boldsymbol{x}_{i}^{ \pm}: E_{i} \rightarrow x i ± : E i →
E
n
+
1
(
i
=
1
,
…
,
n
+
1
)
E
n
+
1
(
i
=
1
,
…
,
n
+
1
)
E^(n+1)(i=1,dots,n+1) \mathbb{E}^{n+1}(i=1, \ldots, n+1) E n + 1 ( i = 1 , … , n + 1 ) を
x
2
i
−
1
+
(
u
1
,
…
,
u
2
i
−
1
^
,
…
,
u
n
+
1
)
:=
(
u
1
,
…
,
u
2
i
−
2
,
b
2
i
−
1
,
u
2
i
,
…
,
u
n
+
1
)
(
1
≤
i
≤
[
n
/
2
]
+
1
)
x
2
i
+
(
u
1
,
…
,
u
2
i
^
,
…
,
u
n
+
1
)
:=
(
u
1
,
…
,
u
2
i
−
1
,
b
2
i
,
u
2
i
+
1
,
…
,
u
n
,
a
n
+
1
+
b
n
+
1
−
u
n
+
1
)
(
1
≤
i
≤
[
(
n
+
1
)
/
2
]
)
x
n
+
1
+
(
u
1
,
…
,
u
n
)
:=
{
(
u
1
,
…
,
u
n
−
1
,
a
n
+
b
n
−
u
n
,
b
n
+
1
)
(
n
:
奇数
)
(
u
1
,
…
,
u
n
,
b
n
+
1
)
(
n
:
偶数
)
x
2
i
−
(
u
1
,
…
,
u
2
i
^
,
…
,
u
n
+
1
)
:=
(
u
1
,
…
,
u
2
i
−
1
,
a
2
i
,
u
2
i
+
1
,
…
,
u
n
+
1
)
(
1
≤
i
≤
[
(
n
+
1
)
/
2
]
)
x
2
i
−
1
−
(
u
1
,
…
,
u
2
i
−
1
^
,
…
,
u
n
+
1
)
:=
(
u
1
,
…
,
u
2
i
−
2
,
a
2
i
−
1
,
u
2
i
,
…
,
u
n
,
a
n
+
1
+
b
n
+
1
−
u
n
+
1
)
(
1
≤
i
≤
[
n
/
2
]
+
1
)
x
n
+
1
−
(
u
1
,
…
,
u
n
)
:=
{
(
u
1
,
…
,
u
n
−
1
,
a
n
+
b
n
−
u
n
,
a
n
+
1
)
(
n
:
偶数
)
(
u
1
,
…
,
u
n
−
1
,
a
n
+
1
)
(
n
:
奇数
)
x
2
i
−
1
+
u
1
,
…
,
u
2
i
−
1
^
,
…
,
u
n
+
1
:=
u
1
,
…
,
u
2
i
−
2
,
b
2
i
−
1
,
u
2
i
,
…
,
u
n
+
1
(
1
≤
i
≤
[
n
/
2
]
+
1
)
x
2
i
+
u
1
,
…
,
u
2
i
^
,
…
,
u
n
+
1
:=
u
1
,
…
,
u
2
i
−
1
,
b
2
i
,
u
2
i
+
1
,
…
,
u
n
,
a
n
+
1
+
b
n
+
1
−
u
n
+
1
(
1
≤
i
≤
[
(
n
+
1
)
/
2
]
)
x
n
+
1
+
u
1
,
…
,
u
n
:=
u
1
,
…
,
u
n
−
1
,
a
n
+
b
n
−
u
n
,
b
n
+
1
(
n
:
奇数
)
u
1
,
…
,
u
n
,
b
n
+
1
(
n
:
偶数
)
x
2
i
−
u
1
,
…
,
u
2
i
^
,
…
,
u
n
+
1
:=
u
1
,
…
,
u
2
i
−
1
,
a
2
i
,
u
2
i
+
1
,
…
,
u
n
+
1
(
1
≤
i
≤
[
(
n
+
1
)
/
2
]
)
x
2
i
−
1
−
u
1
,
…
,
u
2
i
−
1
^
,
…
,
u
n
+
1
:=
u
1
,
…
,
u
2
i
−
2
,
a
2
i
−
1
,
u
2
i
,
…
,
u
n
,
a
n
+
1
+
b
n
+
1
−
u
n
+
1
(
1
≤
i
≤
[
n
/
2
]
+
1
)
x
n
+
1
−
u
1
,
…
,
u
n
:=
u
1
,
…
,
u
n
−
1
,
a
n
+
b
n
−
u
n
,
a
n
+
1
(
n
:
偶数
)
u
1
,
…
,
u
n
−
1
,
a
n
+
1
(
n
:
奇数
)
{:[x_(2i-1)^(+)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i-1))),dots,u_(n+1)):=(u_(1),dots,u_(2i-2),b_(2i-1),u_(2i),dots,u_(n+1))],[(1 <= i <= [n//2]+1)],[x_(2i)^(+)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i))),dots,u_(n+1))],[:=(u_(1),dots,u_(2i-1),b_(2i),u_(2i+1),dots,u_(n),a_(n+1)+b_(n+1)-u_(n+1))],[(1 <= i <= [(n+1)//2])],[x_(n+1)^(+)(u_(1),dots,u_(n)):={[(u_(1),dots,u_(n-1),a_(n)+b_(n)-u_(n),b_(n+1)),(n:" 奇数 ")],[(u_(1),dots,u_(n),b_(n+1)),(n:" 偶数 ")]:}],[x_(2i)^(-)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i))),dots,u_(n+1)):=(u_(1),dots,u_(2i-1),a_(2i),u_(2i+1),dots,u_(n+1))],[(1 <= i <= [(n+1)//2])],[x_(2i-1)^(-)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i-1))),dots,u_(n+1))],[:=(u_(1),dots,u_(2i-2),a_(2i-1),u_(2i),dots,u_(n),a_(n+1)+b_(n+1)-u_(n+1))],[(1 <= i <= [n//2]+1)],[x_(n+1)^(-)(u_(1),dots,u_(n)):={[(u_(1),dots,u_(n-1),a_(n)+b_(n)-u_(n),a_(n+1)),(n:" 偶数 ")],[(u_(1),dots,u_(n-1),a_(n+1)),(n:" 奇数 ")]:}]:} \begin{aligned}
& \boldsymbol{x}_{2 i-1}^{+}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i-1}}, \ldots, u_{n+1}\right):=\left(u_{1}, \ldots, u_{2 i-2}, b_{2 i-1}, u_{2 i}, \ldots, u_{n+1}\right) \\
& (1 \leq i \leq[n / 2]+1) \\
& \boldsymbol{x}_{2 i}^{+}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i}}, \ldots, u_{n+1}\right) \\
& :=\left(u_{1}, \ldots, u_{2 i-1}, b_{2 i}, u_{2 i+1}, \ldots, u_{n}, a_{n+1}+b_{n+1}-u_{n+1}\right) \\
& (1 \leq i \leq[(n+1) / 2]) \\
& \boldsymbol{x}_{n+1}^{+}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right):= \begin{cases}\left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}, a_{n}+b_{n}-u_{n}, b_{n+1}\right) & (n: \text { 奇数 }) \\
\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, b_{n+1}\right) & (n: \text { 偶数 })\end{cases} \\
& \boldsymbol{x}_{2 i}^{-}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i}}, \ldots, u_{n+1}\right):=\left(u_{1}, \ldots, u_{2 i-1}, a_{2 i}, u_{2 i+1}, \ldots, u_{n+1}\right) \\
& (1 \leq i \leq[(n+1) / 2]) \\
& \boldsymbol{x}_{2 i-1}^{-}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i-1}}, \ldots, u_{n+1}\right) \\
& :=\left(u_{1}, \ldots, u_{2 i-2}, a_{2 i-1}, u_{2 i}, \ldots, u_{n}, a_{n+1}+b_{n+1}-u_{n+1}\right) \\
& (1 \leq i \leq[n / 2]+1) \\
& \boldsymbol{x}_{n+1}^{-}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right):= \begin{cases}\left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}, a_{n}+b_{n}-u_{n}, a_{n+1}\right) & (n: \text { 偶数 }) \\
\left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}, a_{n+1}\right) & (n: \text { 奇数 })\end{cases}
\end{aligned} 奇 数 偶 数 偶 数 奇 数 x 2 i − 1 + ( u 1 , … , u 2 i − 1 ^ , … , u n + 1 ) := ( u 1 , … , u 2 i − 2 , b 2 i − 1 , u 2 i , … , u n + 1 ) ( 1 ≤ i ≤ [ n / 2 ] + 1 ) x 2 i + ( u 1 , … , u 2 i ^ , … , u n + 1 ) := ( u 1 , … , u 2 i − 1 , b 2 i , u 2 i + 1 , … , u n , a n + 1 + b n + 1 − u n + 1 ) ( 1 ≤ i ≤ [ ( n + 1 ) / 2 ] ) x n + 1 + ( u 1 , … , u n ) := { ( u 1 , … , u n − 1 , a n + b n − u n , b n + 1 ) ( n : 奇数 ) ( u 1 , … , u n , b n + 1 ) ( n : 偶数 ) x 2 i − ( u 1 , … , u 2 i ^ , … , u n + 1 ) := ( u 1 , … , u 2 i − 1 , a 2 i , u 2 i + 1 , … , u n + 1 ) ( 1 ≤ i ≤ [ ( n + 1 ) / 2 ] ) x 2 i − 1 − ( u 1 , … , u 2 i − 1 ^ , … , u n + 1 ) := ( u 1 , … , u 2 i − 2 , a 2 i − 1 , u 2 i , … , u n , a n + 1 + b n + 1 − u n + 1 ) ( 1 ≤ i ≤ [ n / 2 ] + 1 ) x n + 1 − ( u 1 , … , u n ) := { ( u 1 , … , u n − 1 , a n + b n − u n , a n + 1 ) ( n : 偶数 ) ( u 1 , … , u n − 1 , a n + 1 ) ( n : 奇数 )
によって定義し,
S
i
±
:=
x
i
±
(
E
i
)
S
i
±
:=
x
i
±
E
i
S_(i)^(+-):=x_(i)^(+-)(E_(i)) S_{i}^{ \pm}:=\boldsymbol{x}_{i}^{ \pm}\left(E_{i}\right) S i ± := x i ± ( E i ) とおく(図 1.12.1-1.12.3を参照). このと き
∂
V
=
i
=
1
n
+
1
(
S
i
+
∪
S
i
−
)
∂
V
=
i
=
1
n
+
1
S
i
+
∪
S
i
−
del V=_(i=1)^(n+1)(S_(i)^(+)uuS_(i)^(-)) \partial V={ }_{i=1}^{n+1}\left(S_{i}^{+} \cup S_{i}^{-}\right) ∂ V = i = 1 n + 1 ( S i + ∪ S i − ) となり,
x
i
±
x
i
±
x_(i)^(+-) \boldsymbol{x}_{i}^{ \pm} x i ± の(自然に定まる)単位法ベクトル場
N
i
±
N
i
±
N_(i)^(+-) N_{i}^{ \pm} N i ± は,
N
i
±
=
±
(
0
,
…
,
0
,
1
i
,
0
,
…
,
0
)
N
i
±
=
±
(
0
,
…
,
0
,
1
i
,
0
,
…
,
0
)
N_(i)^(+-)=+-(0,dots,0,1^(i),0,dots,0) \boldsymbol{N}_{i}^{ \pm}= \pm(0, \ldots, 0, \stackrel{i}{1}, 0, \ldots, 0) N i ± = ± ( 0 , … , 0 , 1 i , 0 , … , 0 )
となり, 各々,
V
V
V V V からみて外側向きの単位法ベクトル場になる. 簡単のため,
e
i
:=
(
0
,
…
,
0
,
1
,
1
,
0
,
…
,
0
)
e
i
:=
(
0
,
…
,
0
,
1
,
1
,
0
,
…
,
0
)
e_(i):=(0,dots,0,1,1,0,dots,0) \boldsymbol{e}_{i}:=(0, \ldots, 0,1,1,0, \ldots, 0) e i := ( 0 , … , 0 , 1 , 1 , 0 , … , 0 ) とおく.
i
<
n
+
1
2
i
<
n
+
1
2
i < (n+1)/(2) i<\frac{n+1}{2} i < n + 1 2 に対し,
∫
S
2
i
−
X
⋅
d
A
+
∫
S
2
i
+
X
⋅
d
A
=
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
x
2
i
−
(
u
1
,
…
,
u
2
i
^
,
…
,
u
n
+
1
)
⋅
(
−
e
2
i
)
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
+
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
x
2
i
+
(
u
1
,
…
,
u
2
i
^
,
…
,
u
n
+
1
)
⋅
e
2
i
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
=
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
(
u
1
,
…
,
a
2
i
,
…
,
u
n
+
1
)
⋅
(
−
e
2
i
)
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
+
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
(
u
1
,
…
,
b
2
i
,
…
,
a
n
+
1
+
b
n
+
1
−
u
n
+
1
)
⋅
e
2
i
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
=
−
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
2
i
(
u
1
,
…
,
a
2
i
,
…
,
u
n
+
1
)
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
+
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
2
i
(
u
1
,
…
,
b
2
i
,
…
,
a
n
+
1
+
b
n
+
1
−
u
n
+
1
)
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
=
−
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
2
i
(
x
1
,
…
,
a
2
i
,
…
,
x
n
+
1
)
d
x
1
⋯
d
x
2
i
^
⋯
d
x
n
+
1
+
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
2
i
(
x
1
,
…
,
b
2
i
,
…
,
x
n
+
1
)
d
x
1
⋯
d
x
2
i
^
⋯
d
x
n
+
1
=
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
(
∂
X
2
i
∂
x
2
i
)
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∫
⋯
∫
V
(
∂
X
2
i
∂
x
2
i
)
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
∫
S
2
i
−
X
⋅
d
A
+
∫
S
2
i
+
X
⋅
d
A
=
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
x
2
i
−
u
1
,
…
,
u
2
i
^
,
…
,
u
n
+
1
⋅
−
e
2
i
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
+
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
x
2
i
+
u
1
,
…
,
u
2
i
^
,
…
,
u
n
+
1
⋅
e
2
i
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
=
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
u
1
,
…
,
a
2
i
,
…
,
u
n
+
1
⋅
−
e
2
i
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
+
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
u
1
,
…
,
b
2
i
,
…
,
a
n
+
1
+
b
n
+
1
−
u
n
+
1
⋅
e
2
i
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
=
−
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
2
i
u
1
,
…
,
a
2
i
,
…
,
u
n
+
1
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
+
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
2
i
u
1
,
…
,
b
2
i
,
…
,
a
n
+
1
+
b
n
+
1
−
u
n
+
1
d
u
1
⋯
d
u
2
i
^
⋯
d
u
n
+
1
=
−
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
2
i
x
1
,
…
,
a
2
i
,
…
,
x
n
+
1
d
x
1
⋯
d
x
2
i
^
⋯
d
x
n
+
1
+
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
2
i
b
2
i
^
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
X
2
i
x
1
,
…
,
b
2
i
,
…
,
x
n
+
1
d
x
1
⋯
d
x
2
i
^
⋯
d
x
n
+
1
=
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
n
+
1
b
n
+
1
∂
X
2
i
∂
x
2
i
x
1
,
…
,
x
n
+
1
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∫
⋯
∫
V
∂
X
2
i
∂
x
2
i
x
1
,
…
,
x
n
+
1
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
{:[int_(S_(2i)^(-))X*dA+int_(S_(2i)^(+))X*dA],[=int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(x_(2i)^(-)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i))),dots,u_(n+1)))*(-e_(2i))du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[+int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(x_(2i)^(+)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i))),dots,u_(n+1)))*e_(2i)du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[=int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_((u_(1),dots,a_(2i),dots,u_(n+1)))*(-e_(2i))du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[+int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_((u_(1),dots,b_(2i),dots,a_(n+1)+b_(n+1)-u_(n+1)))*e_(2i)],[du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[=-int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(2i)(u_(1),dots,a_(2i),dots,u_(n+1))du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[+int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(2i)(u_(1),dots,b_(2i),dots,a_(n+1)+b_(n+1)-u_(n+1))],[du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[=-int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(2i)(x_(1),dots,a_(2i),dots,x_(n+1))dx_(1)cdots widehat(dx_(2i))cdots dx_(n+1)],[+int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(2i)(x_(1),dots,b_(2i),dots,x_(n+1))dx_(1)cdots widehat(dx_(2i))cdots dx_(n+1)],[=int_(a_(1))^(b_(1))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))((delX_(2i))/(delx_(2i)))_((x_(1),dots,x_(n+1)))dx_(1)cdots dx_(n+1)],[=int cdotsint_(V)((delX_(2i))/(delx_(2i)))_((x_(1),dots,x_(n+1)))dx_(1)cdots dx_(n+1)]:} \begin{aligned}
& \int_{S_{2 i}^{-}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}+\int_{S_{2 i}^{+}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} \\
& =\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}_{2 i}^{-}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i}}, \ldots, u_{n+1}\right)} \cdot\left(-\boldsymbol{e}_{2 i}\right) d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\
& +\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}_{2 i}^{+}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i}}, \ldots, u_{n+1}\right)} \cdot \boldsymbol{e}_{2 i} d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\
& =\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} \boldsymbol{X}_{\left(u_{1}, \ldots, a_{2 i}, \ldots, u_{n+1}\right)} \cdot\left(-\boldsymbol{e}_{2 i}\right) d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\
& +\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} \boldsymbol{X}_{\left(u_{1}, \ldots, b_{2 i}, \ldots, a_{n+1}+b_{n+1}-u_{n+1}\right)} \cdot \boldsymbol{e}_{2 i} \\
& d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\
& =-\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} X_{2 i}\left(u_{1}, \ldots, a_{2 i}, \ldots, u_{n+1}\right) d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\
& +\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} X_{2 i}\left(u_{1}, \ldots, b_{2 i}, \ldots, a_{n+1}+b_{n+1}-u_{n+1}\right) \\
& d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\
& =-\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} X_{2 i}\left(x_{1}, \ldots, a_{2 i}, \ldots, x_{n+1}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{2 i}} \cdots d x_{n+1} \\
& +\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} X_{2 i}\left(x_{1}, \ldots, b_{2 i}, \ldots, x_{n+1}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{2 i}} \cdots d x_{n+1} \\
& =\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\frac{\partial X_{2 i}}{\partial x_{2 i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)} d x_{1} \cdots d x_{n+1} \\
& =\int \cdots \int_{V}\left(\frac{\partial X_{2 i}}{\partial x_{2 i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)} d x_{1} \cdots d x_{n+1}
\end{aligned} ∫ S 2 i − X ⋅ d A + ∫ S 2 i + X ⋅ d A = ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a 2 i b 2 i ^ ⋯ ∫ a n + 1 b n + 1 X x 2 i − ( u 1 , … , u 2 i ^ , … , u n + 1 ) ⋅ ( − e 2 i ) d u 1 ⋯ d u 2 i ^ ⋯ d u n + 1 + ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a 2 i b 2 i ^ ⋯ ∫ a n + 1 b n + 1 X x 2 i + ( u 1 , … , u 2 i ^ , … , u n + 1 ) ⋅ e 2 i d u 1 ⋯ d u 2 i ^ ⋯ d u n + 1 = ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a 2 i b 2 i ^ ⋯ ∫ a n + 1 b n + 1 X ( u 1 , … , a 2 i , … , u n + 1 ) ⋅ ( − e 2 i ) d u 1 ⋯ d u 2 i ^ ⋯ d u n + 1 + ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a 2 i b 2 i ^ ⋯ ∫ a n + 1 b n + 1 X ( u 1 , … , b 2 i , … , a n + 1 + b n + 1 − u n + 1 ) ⋅ e 2 i d u 1 ⋯ d u 2 i ^ ⋯ d u n + 1 = − ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a 2 i b 2 i ^ ⋯ ∫ a n + 1 b n + 1 X 2 i ( u 1 , … , a 2 i , … , u n + 1 ) d u 1 ⋯ d u 2 i ^ ⋯ d u n + 1 + ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a 2 i b 2 i ^ ⋯ ∫ a n + 1 b n + 1 X 2 i ( u 1 , … , b 2 i , … , a n + 1 + b n + 1 − u n + 1 ) d u 1 ⋯ d u 2 i ^ ⋯ d u n + 1 = − ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a 2 i b 2 i ^ ⋯ ∫ a n + 1 b n + 1 X 2 i ( x 1 , … , a 2 i , … , x n + 1 ) d x 1 ⋯ d x 2 i ^ ⋯ d x n + 1 + ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a 2 i b 2 i ^ ⋯ ∫ a n + 1 b n + 1 X 2 i ( x 1 , … , b 2 i , … , x n + 1 ) d x 1 ⋯ d x 2 i ^ ⋯ d x n + 1 = ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a n + 1 b n + 1 ( ∂ X 2 i ∂ x 2 i ) ( x 1 , … , x n + 1 ) d x 1 ⋯ d x n + 1 = ∫ ⋯ ∫ V ( ∂ X 2 i ∂ x 2 i ) ( x 1 , … , x n + 1 ) d x 1 ⋯ d x n + 1
が示される. 同様に,
i
<
n
2
+
1
i
<
n
2
+
1
i < (n)/(2)+1 i<\frac{n}{2}+1 i < n 2 + 1 に対し,
∫
S
2
i
−
1
−
X
⋅
d
A
+
∫
S
2
i
−
1
+
X
⋅
d
A
=
∫
⋯
∫
V
(
∂
X
2
i
−
1
∂
x
2
i
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
∫
S
2
i
−
1
−
X
⋅
d
A
+
∫
S
2
i
−
1
+
X
⋅
d
A
=
∫
⋯
∫
V
∂
X
2
i
−
1
∂
x
2
i
−
1
x
1
,
…
,
x
n
+
1
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
int_(S_(2i-1)^(-))X*dA+int_(S_(2i-1)^(+))X*dA=int cdotsint_(V)((delX_(2i-1))/(delx_(2i-1)))_((x_(1),dots,x_(n+1)))dx_(1)cdots dx_(n+1) \int_{S_{2 i-1}^{-}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}+\int_{S_{2 i-1}^{+}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int \cdots \int_{V}\left(\frac{\partial X_{2 i-1}}{\partial x_{2 i-1}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)} d x_{1} \cdots d x_{n+1} ∫ S 2 i − 1 − X ⋅ d A + ∫ S 2 i − 1 + X ⋅ d A = ∫ ⋯ ∫ V ( ∂ X 2 i − 1 ∂ x 2 i − 1 ) ( x 1 , … , x n + 1 ) d x 1 ⋯ d x n + 1
が成り立つこと,および,
∫
S
n
+
1
−
X
⋅
d
A
+
∫
S
n
+
1
+
X
⋅
d
A
=
∫
⋯
∫
V
(
∂
X
n
+
1
∂
x
n
+
1
)
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
∫
S
n
+
1
−
X
⋅
d
A
+
∫
S
n
+
1
+
X
⋅
d
A
=
∫
⋯
∫
V
∂
X
n
+
1
∂
x
n
+
1
x
1
,
…
,
x
n
+
1
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
int_(S_(n+1)^(-))X*dA+int_(S_(n+1)^(+))X*dA=int cdotsint_(V)((delX_(n+1))/(delx_(n+1)))_((x_(1),dots,x_(n+1)))dx_(1)cdots dx_(n+1) \int_{S_{n+1}^{-}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}+\int_{S_{n+1}^{+}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int \cdots \int_{V}\left(\frac{\partial X_{n+1}}{\partial x_{n+1}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)} d x_{1} \cdots d x_{n+1} ∫ S n + 1 − X ⋅ d A + ∫ S n + 1 + X ⋅ d A = ∫ ⋯ ∫ V ( ∂ X n + 1 ∂ x n + 1 ) ( x 1 , … , x n + 1 ) d x 1 ⋯ d x n + 1
が成り立つことが示される。したがって,
∫
S
X
⋅
d
A
=
∑
i
=
1
n
+
1
(
∫
S
i
−
X
⋅
d
A
+
∫
S
i
+
X
⋅
d
A
)
=
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
∫
S
X
⋅
d
A
=
∑
i
=
1
n
+
1
∫
S
i
−
X
⋅
d
A
+
∫
S
i
+
X
⋅
d
A
=
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
int_(S)X*dA=sum_(i=1)^(n+1)(int_(S_(i)^(-))X*dA+int_(S_(i)^(+))X*dA)=int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1) \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^{n+1}\left(\int_{S_{i}^{-}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}+\int_{S_{i}^{+}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}\right)=\int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1} ∫ S X ⋅ d A = ∑ i = 1 n + 1 ( ∫ S i − X ⋅ d A + ∫ S i + X ⋅ d A ) = ∫ ⋯ ∫ V div X d x 1 ⋯ d x n + 1
が導かれる.
次に,
V
V
V V V から
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 のある直方体領域
V
^
V
^
widehat(V) \widehat{V} V ^ への向きを保つ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像
φ
φ
varphi \varphi φ が 存在する場合を考える.
S
^
:=
∂
V
^
S
^
:=
∂
V
^
widehat(S):=del widehat(V) \widehat{S}:=\partial \widehat{V} S ^ := ∂ V ^ とおく。 その直方体領域
V
^
V
^
widehat(V) \widehat{V} V ^ を
{
(
y
1
,
…
,
y
n
+
1
)
∣
a
i
≤
y
i
≤
b
i
(
i
=
1
,
…
,
n
+
1
)
}
y
1
,
…
,
y
n
+
1
∣
a
i
≤
y
i
≤
b
i
(
i
=
1
,
…
,
n
+
1
)
{(y_(1),dots,y_(n+1))∣a_(i) <= y_(i) <= b_(i)quad(i=1,dots,n+1)} \left\{\left(y_{1}, \ldots, y_{n+1}\right) \mid a_{i} \leq y_{i} \leq b_{i} \quad(i=1, \ldots, n+1)\right\} { ( y 1 , … , y n + 1 ) ∣ a i ≤ y i ≤ b i ( i = 1 , … , n + 1 ) }
とする。上述と同様に,
x
^
i
±
:
E
i
→
R
n
+
1
x
^
i
±
:
E
i
→
R
n
+
1
hat(x)_(i)^(+-):E_(i)rarrR^(n+1) \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm}: E_{i} \rightarrow \mathbb{R}^{n+1} x ^ i ± : E i → R n + 1 を定め,
S
^
i
±
=
x
^
i
±
(
E
i
)
(
i
=
1
,
…
S
^
i
±
=
x
^
i
±
E
i
(
i
=
1
,
…
widehat(S)_(i)^(+-)= hat(x)_(i)^(+-)(E_(i))(i=1,dots \widehat{S}_{i}^{ \pm}=\hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm}\left(E_{i}\right)(i=1, \ldots S ^ i ± = x ^ i ± ( E i ) ( i = 1 , … ,
n
+
1
)
n
+
1
)
n+1) n+1) n + 1 ) とおく. このとき,
∂
V
^
=
i
=
1
n
+
1
(
S
^
i
+
∪
S
^
i
−
)
∂
V
^
=
i
=
1
n
+
1
S
^
i
+
∪
S
^
i
−
del widehat(V)=_(i=1)^(n+1)( widehat(S)_(i)^(+)uu widehat(S)_(i)^(-)) \partial \widehat{V}={ }_{i=1}^{n+1}\left(\widehat{S}_{i}^{+} \cup \widehat{S}_{i}^{-}\right) ∂ V ^ = i = 1 n + 1 ( S ^ i + ∪ S ^ i − ) となる.
x
i
±
:=
φ
−
1
∘
x
^
i
±
(
i
=
1
,
…
,
n
+
1
)
,
S
i
±
:=
x
i
±
(
E
i
)
=
φ
−
1
(
S
^
i
±
)
x
i
±
:=
φ
−
1
∘
x
^
i
±
(
i
=
1
,
…
,
n
+
1
)
,
S
i
±
:=
x
i
±
E
i
=
φ
−
1
S
^
i
±
x_(i)^(+-):=varphi^(-1)@ hat(x)_(i)^(+-)quad(i=1,dots,n+1),quadS_(i)^(+-):=x_(i)^(+-)(E_(i))=varphi^(-1)( widehat(S)_(i)^(+-)) \boldsymbol{x}_{i}^{ \pm}:=\varphi^{-1} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm} \quad(i=1, \ldots, n+1), \quad S_{i}^{ \pm}:=\boldsymbol{x}_{i}^{ \pm}\left(E_{i}\right)=\varphi^{-1}\left(\widehat{S}_{i}^{ \pm}\right) x i ± := φ − 1 ∘ x ^ i ± ( i = 1 , … , n + 1 ) , S i ± := x i ± ( E i ) = φ − 1 ( S ^ i ± )
とおく.
V
^
V
^
widehat(V) \widehat{V} V ^ 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y を
Y
=
∑
i
=
1
n
+
1
(
−
1
)
i
−
1
(
(
X
∘
φ
−
1
)
⋅
(
∂
φ
−
1
∂
y
1
×
⋯
×
∂
φ
−
1
^
∂
y
i
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
n
+
1
)
)
e
i
Y
=
∑
i
=
1
n
+
1
(
−
1
)
i
−
1
X
∘
φ
−
1
⋅
∂
φ
−
1
∂
y
1
×
⋯
×
∂
φ
−
1
^
∂
y
i
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
n
+
1
e
i
Y=sum_(i=1)^(n+1)(-1)^(i-1)((X@varphi^(-1))*((delvarphi^(-1))/(dely_(1))xx cdots xx(( widehat(delvarphi^(-1))))/(dely_(i))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(n+1))))e_(i) \boldsymbol{Y}=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}\left(\left(\boldsymbol{X} \circ \varphi^{-1}\right) \cdot\left(\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{1}} \times \cdots \times \frac{\widehat{\partial \varphi^{-1}}}{\partial y_{i}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n+1}}\right)\right) \boldsymbol{e}_{i} Y = ∑ i = 1 n + 1 ( − 1 ) i − 1 ( ( X ∘ φ − 1 ) ⋅ ( ∂ φ − 1 ∂ y 1 × ⋯ × ∂ φ − 1 ^ ∂ y i × ⋯ × ∂ φ − 1 ∂ y n + 1 ) ) e i
によって定義する.
i
=
1
,
…
,
n
i
=
1
,
…
,
n
i=1,dots,n i=1, \ldots, n i = 1 , … , n のとき,
∂
x
i
±
→
∂
u
j
=
∑
k
=
1
n
+
1
(
∂
φ
−
1
∂
y
k
∘
x
^
i
±
)
∂
(
y
k
∘
x
^
i
±
)
∂
u
j
=
{
∂
φ
−
1
∂
y
j
∘
x
^
i
±
(
j
∈
{
1
,
…
,
n
}
∖
{
i
}
のとき
)
±
(
−
1
)
i
−
1
∂
φ
−
1
∂
y
n
+
1
∘
x
^
i
±
(
j
=
n
+
1
)
∂
x
i
±
→
∂
u
j
=
∑
k
=
1
n
+
1
∂
φ
−
1
∂
y
k
∘
x
^
i
±
∂
y
k
∘
x
^
i
±
∂
u
j
=
∂
φ
−
1
∂
y
j
∘
x
^
i
±
(
j
∈
{
1
,
…
,
n
}
∖
{
i
}
のとき
)
±
(
−
1
)
i
−
1
∂
φ
−
1
∂
y
n
+
1
∘
x
^
i
±
(
j
=
n
+
1
)
{:[(del vec(x_(i)^(+-)))/(delu_(j))=sum_(k=1)^(n+1)((delvarphi^(-1))/(dely_(k))@ hat(x)_(i)^(+-))(del(y_(k)@ hat(x)_(i)^(+-)))/(delu_(j))],[={[(delvarphi^(-1))/(dely_(j))@ hat(x)_(i)^(+-),(j in{1","dots","n}\\{i}" のとき ")],[+-(-1)^(i-1)(delvarphi^(-1))/(dely_(n+1))@ hat(x)_(i)^(+-),(j=n+1)]:}]:} \begin{aligned}
\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{i}^{ \pm}}}{\partial u_{j}} & =\sum_{k=1}^{n+1}\left(\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{k}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm}\right) \frac{\partial\left(y_{k} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm}\right)}{\partial u_{j}} \\
& = \begin{cases}\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{j}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm} & (j \in\{1, \ldots, n\} \backslash\{i\} \text { のとき }) \\
\pm(-1)^{i-1} \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n+1}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm} & (j=n+1)\end{cases}
\end{aligned} の と き ∂ x i ± → ∂ u j = ∑ k = 1 n + 1 ( ∂ φ − 1 ∂ y k ∘ x ^ i ± ) ∂ ( y k ∘ x ^ i ± ) ∂ u j = { ∂ φ − 1 ∂ y j ∘ x ^ i ± ( j ∈ { 1 , … , n } ∖ { i } のとき ) ± ( − 1 ) i − 1 ∂ φ − 1 ∂ y n + 1 ∘ x ^ i ± ( j = n + 1 )
となり,
∂
x
n
+
1
±
→
∂
u
j
=
{
∂
φ
−
1
∂
y
j
∘
x
^
i
±
(
j
=
1
,
…
,
n
−
1
のとき
)
±
(
−
1
)
i
−
1
∂
φ
−
1
∂
y
n
∘
x
^
i
±
(
j
=
n
)
∂
x
n
+
1
±
→
∂
u
j
=
∂
φ
−
1
∂
y
j
∘
x
^
i
±
(
j
=
1
,
…
,
n
−
1
のとき
)
±
(
−
1
)
i
−
1
∂
φ
−
1
∂
y
n
∘
x
^
i
±
(
j
=
n
)
(del vec(x_(n+1)^(+-)))/(delu_(j))={[(delvarphi^(-1))/(dely_(j))@ hat(x)_(i)^(+-),(j=1","dots","n-1" のとき ")],[+-(-1)^(i-1)(delvarphi^(-1))/(dely_(n))@ hat(x)_(i)^(+-),(j=n)]:} \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{n+1}^{ \pm}}}{\partial u_{j}}= \begin{cases}\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{j}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm} & (j=1, \ldots, n-1 \text { のとき }) \\ \pm(-1)^{i-1} \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm} & (j=n)\end{cases} の と き ∂ x n + 1 ± → ∂ u j = { ∂ φ − 1 ∂ y j ∘ x ^ i ± ( j = 1 , … , n − 1 のとき ) ± ( − 1 ) i − 1 ∂ φ − 1 ∂ y n ∘ x ^ i ± ( j = n )
となるので,
?
ϱ
τ
Λ
ϱ
I
+
u
⏞
L
=
?
=
Λ
Λ
!
?
ϱ
τ
Λ
ϱ
I
+
u
⏞
L
=
?
=
Λ
Λ
!
{:(sqrt?ϱ)/(^(tau)Lambdaϱ) obrace(I+u)^(L=?)=Lambda Lambda!:} \begin{aligned}
& \frac{\sqrt{?} \varrho}{{ }^{\tau} \Lambda \varrho} \overbrace{\mathrm{I}+u}^{\mathrm{L}=?}=\boldsymbol{\Lambda} \Lambda!
\end{aligned} ? ϱ τ Λ ϱ I + u ⏞ L = ? = Λ Λ !
(
ζ
′
Z
I
⋅
I
)
τ
+
u
p
…
τ
…
X
Λ
!
p
∫
Λ
⋯
∫
=
V
p
⋅
X
∫
∵₫
π
य
k
2
2
⋅
π
T
G
X
π
⩽
4
ζ
′
Z
I
⋅
I
τ
+
u
p
…
τ
…
X
Λ
!
p
∫
Λ
⋯
∫
=
V
p
⋅
X
∫
∵₫
π
य
k
2
2
⋅
π
T
G
X
π
⩽
4
{:[(zeta^(')ZI*I)],[_(tau+u)^(p dots tau)dotsXLambda!pint^(Lambda)cdots int=V^(p)*X int],[∵₫piयk(2)/(2)*(pi )/(T)GX pi <= 4]:} \begin{aligned}
& \left(\zeta^{\prime} Z I \cdot I\right) \\
& { }_{\mathrm{\tau}+u}^{p \ldots \tau} \ldots \mathrm{X} \Lambda!\mathrm{p} \int^{\Lambda} \cdots \int=\boldsymbol{V}^{p} \cdot \boldsymbol{X} \int \\
& \because ₫ \pi य k \frac{2}{2} \cdot \frac{\pi}{T} G X \pi \leqslant 4
\end{aligned} ₫ य ( ζ ′ Z I ⋅ I ) τ + u p … τ … X Λ ! p ∫ Λ ⋯ ∫ = V p ⋅ X ∫ ∵₫ π य k 2 2 ⋅ π T G X π ⩽ 4
(
V
p
⋅
X
2
S
+
V
p
⋅
X
−
2
S
)
I
+
u
⏞
L
=
2
=
V
p
⋅
X
∫
V
p
⋅
X
2
S
+
V
p
⋅
X
−
2
S
I
+
u
⏞
L
=
2
=
V
p
⋅
X
∫
(V^(p)*X^(2)S+V^(p)*X^(-2)S) obrace(I+u)^(L=2)=V^(p)*X int \left(\boldsymbol{V}^{p} \cdot \boldsymbol{X}{ }^{2} S+\boldsymbol{V}^{p} \cdot \boldsymbol{X}{ }^{-2} S\right) \overbrace{\mathrm{I}+u}^{\mathrm{L}=2}=\boldsymbol{V}^{p} \cdot \boldsymbol{X} \int ( V p ⋅ X 2 S + V p ⋅ X − 2 S ) I + u ⏞ L = 2 = V p ⋅ X ∫
' बが
k
2
4
k
2
4
k(2)/(4) k \frac{2}{4} k 2 4 そ卉
I
+
u
+
…
p
…
n
n
p
…
I
n
p
I
+
u
+
…
p
…
n
n
p
…
I
n
p
{:_(I+u)+dots p dots^(n)np dotsInp:} \begin{aligned}
& { }_{\mathrm{I}+u}+\ldots p \ldots{ }^{n} n p \ldots \mathrm{I} n p
\end{aligned} I + u + … p … n n p … I n p
∀
p
⋅
X
∫
∓
2
S
∀
p
⋅
X
∫
∓
2
S
{:AA p*Xint^(∓^(2)S):} \begin{aligned}
& \boldsymbol{\forall} p \cdot \boldsymbol{X} \stackrel{\stackrel{2}{\mp} S}{\int}
\end{aligned} ∀ p ⋅ X ∫ ∓ 2 S
=
∑
i
=
1
n
+
1
(
−
1
)
i
−
1
∂
(
X
∘
φ
−
1
)
∂
y
i
⋅
(
∂
φ
−
1
∂
y
1
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
i
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
n
+
1
)
=
∑
j
=
1
n
+
1
(
∂
X
∂
x
j
∘
φ
−
1
)
⋅
(
∑
i
=
1
n
+
1
(
−
1
)
i
−
1
∂
(
x
j
∘
φ
−
1
)
∂
y
i
(
∂
φ
−
1
∂
y
1
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
i
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
n
+
1
)
)
=
∑
i
=
1
n
+
1
(
−
1
)
i
−
1
∂
X
∘
φ
−
1
∂
y
i
⋅
∂
φ
−
1
∂
y
1
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
i
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
n
+
1
=
∑
j
=
1
n
+
1
∂
X
∂
x
j
∘
φ
−
1
⋅
∑
i
=
1
n
+
1
(
−
1
)
i
−
1
∂
x
j
∘
φ
−
1
∂
y
i
∂
φ
−
1
∂
y
1
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
i
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
n
+
1
{:[=sum_(i=1)^(n+1)(-1)^(i-1)(del(X@varphi^(-1)))/(dely_(i))*((delvarphi^(-1))/(dely_(1))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(i))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(n+1)))],[=sum_(j=1)^(n+1)((del X)/(delx_(j))@varphi^(-1))],[*(sum_(i=1)^(n+1)(-1)^(i-1)(del(x_(j)@varphi^(-1)))/(dely_(i))((delvarphi^(-1))/(dely_(1))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(i))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(n+1))))]:} \begin{aligned}
= & \sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1} \frac{\partial\left(\boldsymbol{X} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial y_{i}} \cdot\left(\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{i}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n+1}}\right) \\
= & \sum_{j=1}^{n+1}\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial x_{j}} \circ \varphi^{-1}\right) \\
& \cdot\left(\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1} \frac{\partial\left(x_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial y_{i}}\left(\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{i}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n+1}}\right)\right)
\end{aligned} = ∑ i = 1 n + 1 ( − 1 ) i − 1 ∂ ( X ∘ φ − 1 ) ∂ y i ⋅ ( ∂ φ − 1 ∂ y 1 × ⋯ × ∂ φ − 1 ∂ y i × ⋯ × ∂ φ − 1 ∂ y n + 1 ) = ∑ j = 1 n + 1 ( ∂ X ∂ x j ∘ φ − 1 ) ⋅ ( ∑ i = 1 n + 1 ( − 1 ) i − 1 ∂ ( x j ∘ φ − 1 ) ∂ y i ( ∂ φ − 1 ∂ y 1 × ⋯ × ∂ φ − 1 ∂ y i × ⋯ × ∂ φ − 1 ∂ y n + 1 ) )
が示される. 3 つ目の等号において,
φ
φ
varphi \varphi φ が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級
(
r
≥
2
)
(
r
≥
2
)
(r >= 2) (r \geq 2) ( r ≥ 2 ) であることにより,
∂
2
φ
−
1
∂
y
i
∂
y
j
=
∂
2
φ
−
1
∂
y
j
∂
y
i
∂
2
φ
−
1
∂
y
i
∂
y
j
=
∂
2
φ
−
1
∂
y
j
∂
y
i
(del^(2)varphi^(-1))/(dely_(i)dely_(j))=(del^(2)varphi^(-1))/(dely_(j)dely_(i)) \frac{\partial^{2} \varphi^{-1}}{\partial y_{i} \partial y_{j}}=\frac{\partial^{2} \varphi^{-1}}{\partial y_{j} \partial y_{i}} ∂ 2 φ − 1 ∂ y i ∂ y j = ∂ 2 φ − 1 ∂ y j ∂ y i が成り立つこと,および,外積の交代性(命題 1.2 .1 の (i)) を用いた. さらに,
∑
i
=
1
n
+
1
(
−
1
)
i
−
1
∂
(
x
j
∘
φ
−
1
)
∂
y
i
(
∂
φ
−
1
∂
y
1
×
⋯
×
∂
φ
−
1
^
∂
y
i
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
n
+
1
)
=
det
(
J
φ
−
1
)
e
j
∑
i
=
1
n
+
1
(
−
1
)
i
−
1
∂
x
j
∘
φ
−
1
∂
y
i
∂
φ
−
1
∂
y
1
×
⋯
×
∂
φ
−
1
^
∂
y
i
×
⋯
×
∂
φ
−
1
∂
y
n
+
1
=
det
J
φ
−
1
e
j
{:[sum_(i=1)^(n+1)(-1)^(i-1)(del(x_(j)@varphi^(-1)))/(dely_(i))((delvarphi^(-1))/(dely_(1))xx cdots xx(( widehat(delvarphi^(-1))))/(dely_(i))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(n+1)))],[=det(Jvarphi^(-1))e_(j)]:} \begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1} \frac{\partial\left(x_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial y_{i}}\left(\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{1}} \times \cdots \times \frac{\widehat{\partial \varphi^{-1}}}{\partial y_{i}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n+1}}\right) \\
= & \operatorname{det}\left(J \varphi^{-1}\right) \boldsymbol{e}_{j}
\end{aligned} ∑ i = 1 n + 1 ( − 1 ) i − 1 ∂ ( x j ∘ φ − 1 ) ∂ y i ( ∂ φ − 1 ∂ y 1 × ⋯ × ∂ φ − 1 ^ ∂ y i × ⋯ × ∂ φ − 1 ∂ y n + 1 ) = det ( J φ − 1 ) e j
が示されるので,
div
Y
=
det
(
J
φ
−
1
)
⋅
(
(
div
X
)
∘
φ
−
1
)
div
Y
=
det
J
φ
−
1
⋅
(
div
X
)
∘
φ
−
1
div Y=det(Jvarphi^(-1))*((div X)@varphi^(-1)) \operatorname{div} \boldsymbol{Y}=\operatorname{det}\left(J \varphi^{-1}\right) \cdot\left((\operatorname{div} \boldsymbol{X}) \circ \varphi^{-1}\right) div Y = det ( J φ − 1 ) ⋅ ( ( div X ) ∘ φ − 1 )
をえる。それゆえ、
∫
⋯
∫
V
^
div
Y
d
y
1
⋯
d
y
n
+
1
=
∫
⋯
∫
V
(
(
div
Y
)
∘
φ
)
det
(
J
φ
)
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
∫
⋯
∫
V
^
div
Y
d
y
1
⋯
d
y
n
+
1
=
∫
⋯
∫
V
(
(
div
Y
)
∘
φ
)
det
(
J
φ
)
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
{:[int cdotsint_( widehat(V))div Ydy_(1)cdots dy_(n+1)=int cdotsint_(V)((div Y)@varphi)det(J varphi)dx_(1)cdots dx_(n+1)],[=int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)]:} \begin{aligned}
\int \cdots \int_{\widehat{V}} \operatorname{div} \boldsymbol{Y} d y_{1} \cdots d y_{n+1} & =\int \cdots \int_{V}((\operatorname{div} \boldsymbol{Y}) \circ \varphi) \operatorname{det}(J \varphi) d x_{1} \cdots d x_{n+1} \\
& =\int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1}
\end{aligned} ∫ ⋯ ∫ V ^ div Y d y 1 ⋯ d y n + 1 = ∫ ⋯ ∫ V ( ( div Y ) ∘ φ ) det ( J φ ) d x 1 ⋯ d x n + 1 = ∫ ⋯ ∫ V div X d x 1 ⋯ d x n + 1
がえられる. この式と, 式 (1.12.2)から,
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)= \int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1}= ∫ ⋯ ∫ V div X d x 1 ⋯ d x n + 1 =
∫
S
X
⋅
d
A
∫
S
X
⋅
d
A
int_(S)X*dA \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} ∫ S X ⋅ d A が導かれる。
V
V
V V V が一般の場合を考える。明らかに,
V
V
V V V は上述のような直方体領域と
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型な(有限個の)区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域の和に分割され る.
V
=
⋃
i
=
1
l
V
i
V
=
⋃
i
=
1
l
V
i
V=uuu_(i=1)^(l)V_(i) V=\bigcup_{i=1}^{l} V_{i} V = ⋃ i = 1 l V i をそのような分割とする。このとき、莳でに示した事実によ り,
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∑
i
=
1
l
∫
⋯
∫
V
i
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∑
i
=
1
l
∫
∂
V
i
X
⋅
d
A
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∑
i
=
1
l
∫
⋯
∫
V
i
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∑
i
=
1
l
∫
∂
V
i
X
⋅
d
A
{:[int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)=sum_(i=1)^(l)int cdotsint_(V_(i))div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)],[=sum_(i=1)^(l)int_(delV_(i))X*dA]:} \begin{aligned}
\int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1} & =\sum_{i=1}^{l} \int \cdots \int_{V_{i}} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1} \\
& =\sum_{i=1}^{l} \int_{\partial V_{i}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}
\end{aligned} ∫ ⋯ ∫ V div X d x 1 ⋯ d x n + 1 = ∑ i = 1 l ∫ ⋯ ∫ V i div X d x 1 ⋯ d x n + 1 = ∑ i = 1 l ∫ ∂ V i X ⋅ d A
が成り立つ.
∂
V
i
∩
∂
V
j
≠
∅
∂
V
i
∩
∂
V
j
≠
∅
delV_(i)nn delV_(j)!=O/ \partial V_{i} \cap \partial V_{j} \neq \emptyset ∂ V i ∩ ∂ V j ≠ ∅ のき, その共通部分において,
∂
V
i
∂
V
i
delV_(i) \partial V_{i} ∂ V i と
∂
V
j
∂
V
j
delV_(j) \partial V_{j} ∂ V j は逆向きなので,
∑
i
=
1
l
∫
∂
V
i
X
⋅
d
A
=
∫
S
X
⋅
d
A
∑
i
=
1
l
∫
∂
V
i
X
⋅
d
A
=
∫
S
X
⋅
d
A
sum_(i=1)^(l)int_(delV_(i))X*dA=int_(S)X*dA \sum_{i=1}^{l} \int_{\partial V_{i}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} ∑ i = 1 l ∫ ∂ V i X ⋅ d A = ∫ S X ⋅ d A
が導かれる. したがって, 次式が示される:
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∫
S
X
⋅
d
A
∫
⋯
∫
V
div
X
d
x
1
⋯
d
x
n
+
1
=
∫
S
X
⋅
d
A
int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)=int_(S)X*dA \int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1}=\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} ∫ ⋯ ∫ V div X d x 1 ⋯ d x n + 1 = ∫ S X ⋅ d A
図 1.12.1長方形型領域の境界面の与え方(その 1)
図 1.12.2長方形型領域の境界面の与え方(その 2)
図 1.12.3 長方形型領域の境界面の与え方(その 3)