Vector Analysis & Differential Geometry Enlightened by Integral Formulas -From Stokes' Theorem to Variational Formula-
積分公式で管く ぺクトル解析と 微分分运埸何学  積分公式で管く   ぺクトル解析と   微分分运埸何学  {:[" 積分公式で管く "],[" ぺクトル解析と "],[" 微分分运埸何学 "]:}\begin{aligned} & \text { 積分公式で管く } \\ & \text { ぺクトル解析と } \\ & \text { 微分分运埸何学 } \end{aligned} 積分公式で管く  ぺクトル解析と  微分分运埸何学 
ーストークスの定理から変分公式までー

小池直之 著

共立出版

まえがき

ベクトル解析とは, n ( 2 ) n ( 2 ) n( >= 2)n(\geq 2)n(2) 次元ユークリッド空間とよばれる, 計量をもつ 曲率のない(つまり,平坦な)空間上のスカラー場やベクトル場を解析する 学問であり, 線形代数学と多変数の微分積分学を土台として理論が展開され ます。本書では, n n nnn 次元ユークリッド空間は E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En と表されます. スカラー場と は, 温度分布や熱分布をはじめとする, 空間の各点にスカラー(=実数値)を 対応させる対応を意味し, ベクトル場とは, 流体の速度ベクトル場, 重力場,電場, 磁場をはじめとする,空間の各点にベクトル(=矢印)を対応させる 対応を意味します。また, これらの対応付けが自然な意味で滑らかであると き、これらの場は滑らかであるといいます。空間に与えられている計量を用い て, 滑らかなスカラー場, ベクトル場に付随して様々な場が定義されます。例 えば,滑らかなスカラー場 f f fff に対し,その勾配ベクトル場とよばれる滑らか なベクトル場 grad f ( = f ) grad f ( = f ) grad f(=grad f)\operatorname{grad} f(=\nabla f)gradf(=f) が定義され, 一方, 滑らかなベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対 し、その発散とよばれる滑らかなスカラー場 div X div X div X\operatorname{div} \boldsymbol{X}divX が定義されます。
n n nnn 次元ユークリッド空間を一般化した空間として, n n nnn 次元リーマン多様体と よばれる,計量をもつ空間が定義されます。この空間は、一般には曲率をもつ 空間であり,次元の十分高いユークリッド空間に(等長的に)埋め达んでその 姿を眺めることができ,曲率をもつ場合は,曲がってみえます。例えば,球面 やトーラス(=輪環面)をはじめとする,3 次元ユークリッド空間からその姿 を眺めると曲がってみえる滑らかな曲面のほとんどは, 曲率をもつ 2 次元リ ーマン多様体です。ただし,円筒や円錐(ただし,頂点は除く)は,3次元ユ ークリッド空間からその姿を眺めると曲がってみえる滑らかな曲面ですが、こ れらは平坦な(つまり, 曲率0の)2次元リーマン多様体ですので, 注意して ください。実際,円筒や円錐を紙だと思ってハサミで切り開けば,しわが寄ら ずに平面の領域になり、平坦であることを認識することができます。的事実 は, 外在的曲率が 0 でなくても内在的曲率は 0 になる可能性があるというこ とを意味しています。 つまり, リーマン多様体の曲率とは, 外在的曲率ではな く内在的曲率を意味します。
一般に, スカラー場やベクトル場は, n n nnn 次元リーマン多様体上で定義され, ユークリッド空間上の場合と同様に, 滑らかなスカラー場の勾配ベクトル場や 滑らかなベクトル場の発散などが定義され,ベクトル解析と同様の議論を展開 することができます. リーマン多様体上の滑らかなスカラー場やベクトル場を 研究する学問(いわゆる, リーマン多様体上のベクトル解析)は, 微分幾何学 という分野のフレームワークに属します.
n n nnn 次元ユークリッド空間上のベクトル解析と, n n nnn 次元リーマン多様体上の ベクトル解析の大きなギャップについて 2 点ご紹介します。一つは, 接空間 の捉え方です. n n nnn 次元リーマン多様体 M M MMM の各点 p p ppp に対し, M M MMM p p ppp における 1 次近似として現れる n n nnn 次元ベクトル空間(= n n nnn 次元線形空間)が M M MMM の点 p p ppp に おける接空間とよばれるものであり,通常, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM で表されます. M M MMM 上のベク トル場 X X X\boldsymbol{X}X は, 各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM のベクトル X p X p X_(p)\boldsymbol{X}_{p}Xp を対応させる対応と して定義されます. しかし, n n nnn 次元ユークリッド空間 E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En は, 土台がアフィン 空間とよばれるもの(本書では, A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An と表される)であり, この各点 p p ppp におけ る接空間 T p A n ( = T p E n ) T p A n = T p E n T_(p)A^(n)(=T_(p)E^(n))T_{p} \mathbb{A}^{n}\left(=T_{p} \mathbb{E}^{n}\right)TpAn(=TpEn) n n nnn 次元数ベクトル空間とよばれる n n nnn 次元ベクトル 空間(本書では, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn と表される)と同一視されます. それゆえ, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 上のべ クトル場 X X X\boldsymbol{X}X は, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En から n n nnn 次元数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn への写像, つまり, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 上 の R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn に値をとるベクトル値関数として定義されます. このように, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 上の スカラー場, ベクトル場を解析するベクトル解析では, 接空間という概念は 登場せず, ベクトル場はべクトル値関数として定義されます。実際, どのベク トル解析の本でも,接空間という言葉は登場しません.もう一つの大きなギャ ップは, n n nnn 次元リーマン多様体は n n nnn 次元ユークリッド空間と違い, 一般に曲率をもちますので, 2 階偏微分(正確には,2 階共変偏微分)の順序交換可能性が成り立たないという点です。以下,正確に2階偏微分と 2 階共変偏微分 を区別してよぶことにします。ユークリッド空間における 2 階偏微分 2 x i x j 2 x i x j (del^(2))/(delx_(i)delx_(j))\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}2xixj に相当するリーマン多様体上における偏微分作用素は, x i x j ( x i x j ( grad_((del)/(delx_(i)))@grad_((del)/(delx_(j)))(grad\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}(\nablaxixj( は レヴィ・チビタ接続とよばれるもの)であり,本書では,これを 2 階共変偏微分作用素とよぶことにします。一般には,共変偏微分の順序交換可能性は 成り立たないことを説明しましょう。実際, x i x j x j x i = x i x j x j x i = grad_((del)/(delx_(i)))@grad_((del)/(delx_(j)))-grad_((del)/(delx_(j)))@grad_((del)/(delx_(i)))=\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}-\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}=xixjxjxi= R ( x i , x j ) R x i , x j R((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)))R\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)R(xi,xj) という関係式が成り立ちます. ここで, R R RRR は曲率テンソル場と よばれるものであり, ユークリッド空間をはじめとしてリーマン多様体が平坦
な場合は R = 0 R = 0 R=0R=0R=0 であり, それゆえ, x i x j = x j x i x i x j = x j x i grad_((del)/(delx_(i)))@grad_((del)/(delx_(j)))=grad_((del)/(delx_(j)))@grad_((del)/(delx_(i)))\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}=\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}xixj=xjxi が成り立つ, つまり,共変偏微分の順序交換可能性が成り立ちますが, 平坦でない場合には 成り立ちません.以上で述べた 2 点が, n n nnn 次元ユークリッド空間上のベクトル 解析と n n nnn 次元リーマン多様体上のベクトル解析の大きなギャップとして取り 上げられます.
本書のタイトルにも含まれている積分公式とは, 高校数学で登場する積分計算公式, および, 大学数学の複素関数論で登場するコーシーの積分公式の ようなある量をある関数の積分量として表示する公式, つまり, 積分表示公式 をはじめとする積分を含んだ公式を意味します。例えば, 本書で登場するスト ークスの定理は積分計算公式であり, 一方, 本書で登場するガウス・ボンネの 定理や第1(第2)変分公式は, 各々, 閉曲面のオイラー標数や面積汎関数の 1 次(2 次)方向微分係数を積分で表示する積分表示公式です. もう少し詳し く述べると, ストークスの定理は, 高校数学で学ぶ閉区間 [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] (これは 1 次元の有界閉領域)上の 1 回連続微分可能な関数 f f fff (これは 0 次微分形式)に対 する微分積分学の基本定理 a b f ( x ) d x = f ( b ) f ( a ) a b f ( x ) d x = f ( b ) f ( a ) int_(a)^(b)f^(')(x)dx=f(b)-f(a)\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) d x=f(b)-f(a)abf(x)dx=f(b)f(a) を一般化した公式が, n ( 2 ) n ( 2 ) n( >= 2)n(\geq 2)n(2) 次元の有界閉領域上の ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 次微分形式に対しても成り立つことを 主張する定理です。ここで, f ( x ) d x f ( x ) d x f^(')(x)dxf^{\prime}(x) d xf(x)dx f f fff の外微分とよばれる 1 次微分形式 d f d f dfd fdf を意味することを注意しておきます。一方, ガウス・ボンネの定理は, 閉曲面のオイラー標数とよばれる量を,その閉曲面のガウス曲率とよばれる関数 の積分量として表示する公式が成り立つことを主張する定理です。本書では, より一般に, ガウス・ボンネの定理の高次元版についても述べることにしま す。また,本書で登場する第 1 , 第 2 変分公式は, 閉曲面を集めた無限次元空間(人間社会の言葉を借りると,閉曲面社会とよぶべきもの)上で定義される 面積汎関数の 1 次, 2 次方向微分係数を, その方向ベクトル(場)を含む関数 の積分量として表示する公式です。本書では,より一般に, n ( 3 ) n ( 3 ) n( >= 3)n(\geq 3)n(3) 次元リー マン部分多様体を集めた無限次元空間(リーマン部分多様体社会)上で定義さ れる体積汎関数に対する第 1 , 第 2 変分公式についても述べることにします.
本書は, 積分公式にスポットを当てて, 線形代数学と多変数の微分積分学を 土台とするベクトル解析や超曲面論を学ぶことからスタートして, スムーズに 微分幾何学を学べるように構成されており,また,図を多用することにより視覚的に理解できるように工夫されています。
以下,本書の主な目的を 3 つ挙げます。本書の1つ目の目的は, ベクトル 解析におけるグリーンの定理, ストークスの定理, およびガウスの発散定理を 学んだ後, スムーズに微分幾何学におけるストークスの定理, およびガウスの 発散定理を学んでもらうことです(第 1 章, および第 3 章を参照). さらに,多様体論と位相幾何学を結びつける重要な定理であるド・ラームの定理が, 微分幾何学におけるストークスの定理を用いて示されることを学んでもらうこと です(第 5 章を参照).ド・ラームの定理の内容を簡単に述べておきます.こ の定理は, 多様体 M M MMM 上の微分形式の外微分作用素とよばれる作用素を用いて 定義される k k kkk 次ド・ラームコホモロジー群が, M M MMM の位相構造のみを用いて定義される実係数 k k kkk 次特異コホモロジー群と同型であることを主張するもので
本書の 2 つ目の目的は, 曲面論におけるガウス・ボンネの定理と微分幾何学におけるガウス・ボンネの定理が, 全く別の手法で証明されることを学んで もらうことです.各々の証明法を簡単に説明しておきます.曲面論における閉曲面上で成立するガウス・ボンネの定理は,まず,閉曲面を三角形分割して, その各ピースである三角形領域上で成り立つ積分公式(ガウス・ボンネの定理 (局所版))をストークスの定理を用いて導きます。次に,その各ピース上で成 り立つ積分公式の両辺を足し合わせることによりえられる関係式の片方の辺の 一部を,三角形分割からオイラー標数を求める公式を用いてオイラー標数にす り替えることにより, 求めるべき積分公式を導き出すという手法で証明されま す(第 2 章を参照)。一方, 微分幾何学におけるユークリッド空間や球面内の 偶数次元リーマン閉超曲面上で成立するガウス・ボンネの定理は,ある関数族 にモースの基本定理を適用することにより導き出すという全く別の手法で証明 されます(第 5 章を参照)。ここで,モースの基本定理とは,多様体上のモー ス関数の臨界点の情報がその多様体の位相構造(正確には、ホモトピー型)を 支配することを主張するものであり,その完全証明は 5.3 節において与えられ ます。
本書の 3 つ目の目的は, ユークリッド空間内の曲線社会上で定義されるエ ネルギー汎関数, および,曲面社会上で定義される面積汎関数に対する第 1 ,第 2 変分公式(第 1 章, および第 2 章を参照)を学んだ後, その理解の下に, スムーズにリーマン部分多様体社会上で定義される体積汎関数の第 1 , 第 2
変分公式(第 4 章を参照)を学んでもらうことです。特に, 体積汎関数の第 2 変分公式(Simons の公式)の証明は複雑であり,私が把握している限り,そ の完全証明を与えている和書は見当たりません. 本書では, その完全証明を学 ぶことができます(4.7 節を参照).
なお,本書の各章に設けた問の解答は,共立出版のホームページ:
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10013505.html からダウンロードできます*.
本書は, 線形代数学と多変数の微分積分学の初歩を学んだ数学科の 2 年次以上の学生の皆様を主な読者対象としておりますが, 1 年次後半からでも線形代数学と多変数の微分積分学の初歩を学びながら, 同時進行で読みこなすこ とができるように工夫されています。また,理論物理学とも密接に関係する内容ですので, 物理学科の学生の皆様にも是非お読みいただければと思っていま .
最後に, 本書の編集にあたりいろいろとお世話になりました高橋萌子さんを はじめ, 共立出版編集部の皆様方に感謝の意を表します.
2022 年 8 月
小池直之

目 次

第 1 章 ベクトル解析におけるストークスの定理・変分公式 ..... 1
1.1 ベクトル空間とアフィン空間 ..... 1
1.2 内積・外積・ユークリッド計量 ..... 4
1.3 ベクトル値関数の微分・偏微分 ..... 13
1.4 スカラー場・ベクトル場の線積分 ..... 19
1.5 勾配ベクトル場・回転・発散 ..... 26
1.6 長さ汎関数とエネルギー汎関数の変分公式 ..... 35
1.7 ユークリッド空間内の曲線の曲率・フルネ枠 ..... 40
1.8 グリーンの定理 ..... 46
1.9 超曲面 ..... 49
1.10 スカラー場・ベクトル場の超曲面に沿う面積分 ..... 59
1.11 ベクトル解析におけるストークスの定理 ..... 62
1.12 ガウスの発散定理 ..... 66
第 2 章超曲面論における変分公式とガウス・ボンネの定理 ..... 74
2.1 超曲面上の接ベクトル場 ..... 74
2.2 超曲面上の k k kkk 次共変テンソル場 ・ ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場 ..... 80
2.3 第 2 基本形式 ・形作用素 ..... 92
2.4 平行移動 ・測地線 ..... 104
2.5 向き付けられた超曲面上の曲線の曲率・フルネ枠 ..... 113
2.6 超曲面論における体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式 ..... 117
2.7 曲面上の 1 次微分形式に対するストークスの定理 ..... 130
2.8 ガウス・ボンネの定理(局所版) ..... 136
2.9 曲面論におけるガウス・ボンネの定理 ..... 146
第 3 章 微分幾何学におけるストークスの定理・ガウスの発散定理 ..... 151
3.1 多様体 ..... 151
3.2 C r 3.2 C r 3.2C^(r)3.2 C^{r}3.2Cr 写像 ..... 163
3.3 接ベクトル ..... 165
3.4 写像の微分 ..... 172
3.5 臨界点, およびその指数 ..... 177
3.6 はめ込み・沈め込みと陰関数定理 ..... 180
3.7 ベクトル場と局所 1 パラメーター変換群 ..... 188
3.8 テンソル場・微分形式 ..... 200
3.9 多様体の向き ..... 204
3.10 ストークスの定理(微分幾何学版) ..... 208
3.11 リーマン計量・リーマン接続・ ..... 216
3.12 ガウスの発散定理(微分幾何学版) ..... 223
第 4 章 微分幾何学における体積汎関数の変分公式 ..... 230
4.1 平行移動 ・測地線 ・指数写像 ..... 230
4.2 リーマン距離関数 ..... 234
4.3 曲率テンソル場 ..... 239
4.4 実ベクトルバンドルの接続と曲率テンソル場 ..... 244
4.5 測地変形とヤコビ場 ..... 247
4.6 リーマン部分多様体論 ..... 252
4.7 体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式 ..... 261
第 5 章 微分幾何学におけるガウス・ボンネの定理 ..... 277
5.1 特異コホモロジー群, CW コホモロジー群, ド・ラームコホモロ
ジー群 ..... 277
5.2 ド・ラームの定理 ..... 289
5.3 モース理論 ..... 296
5.4 リー群作用 ..... 319
5.5 ファイバーバンドル ..... 321
5.6 偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ボンネ型定理 ..... 329
第 6 章特性類とガウス・ボンネの定理 ..... 347
6.1 リー群の無限小モデルとしてのリー代数 ..... 347
6.2 リー群とリー代数の随伴表現 ..... 354
6.3 主バンドルの接続と曲率形式 ..... 356
6.4 G 6.4 G 6.4 G6.4 G6.4G 構造と G G GGG 接続 ..... 361
6.5 連続バンドルの分類定理と特性類 ..... 362
6.6 チャーン・ヴェイユ理論とガウス・ボンネの定理 ..... 369
参考文献 ..... 375
索 引 ..... 379

1 ベクトル解析におけるストークス CHAPTER の定理・変分公式

この章において, グリーンの定理, ガウスの発散定理, ストークスの定理, および曲線のエネルギー汎関数の変分公式等の積分公式にスポットを当てて,大学の 1,2 年次に理工系学生が学ぶベクトル解析について説明する。この章 では, 特別断りのない限り, C r C r C^(r)C^{r}Cr 級性( r r rrr 回連続微分可能性)における r r rrr は 1 以上の整数, または oo\infty とする.

1.1 ベクトル空間とアフィン空間

この節において, まずべクトル空間,およびアフィン空間を定義することに する.最初に,ベクトル空間を定義する. R R R\mathbb{R}R を実数全体からなる集合とし,V を集合とする. V V VVV に加法演算 + ( v 1 + v 2 ( v 1 , v 2 V ) ) + v 1 + v 2 v 1 , v 2 V +(v_(1)+v_(2)(v_(1),v_(2)in V))+\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in V\right)\right)+(v1+v2(v1,v2V)) と実数倍 ( α v ( α ( α v ( α (alpha v(alpha in(\alpha \boldsymbol{v}(\alpha \in(αv(α R , v V ) ) R , v V ) ) R,v in V))\mathbb{R}, \boldsymbol{v} \in V))R,vV)) が定義されていて, 次の8つの条件が成り立っているとする:
(i) v 1 + v 2 = v 2 + v 1 ( v 1 , v 2 V ) v 1 + v 2 = v 2 + v 1 v 1 , v 2 V v_(1)+v_(2)=v_(2)+v_(1)quad(AAv_(1),v_(2)in V)\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}=\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{1} \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in V\right)v1+v2=v2+v1(v1,v2V);
(ii) ( v 1 + v 2 ) + v 3 = v 1 + ( v 2 + v 3 ) ( v 1 , v 2 , v 3 V ) v 1 + v 2 + v 3 = v 1 + v 2 + v 3 v 1 , v 2 , v 3 V (v_(1)+v_(2))+v_(3)=v_(1)+(v_(2)+v_(3))quad(AAv_(1),v_(2),v_(3)in V)\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)+\boldsymbol{v}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}+\left(\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{3}\right) \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3} \in V\right)(v1+v2)+v3=v1+(v2+v3)(v1,v2,v3V);
(iii) α ( v 1 + v 2 ) = α v 1 + α v 2 ( v 1 , v 2 V , α R ) α v 1 + v 2 = α v 1 + α v 2 v 1 , v 2 V , α R alpha(v_(1)+v_(2))=alphav_(1)+alphav_(2)quad(AAv_(1),v_(2)in V,AA alpha inR)\alpha\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)=\alpha \boldsymbol{v}_{1}+\alpha \boldsymbol{v}_{2} \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in V, \forall \alpha \in \mathbb{R}\right)α(v1+v2)=αv1+αv2(v1,v2V,αR);
(iv) ( α 1 + α 2 ) v = α 1 v + α 2 v ( v V , α 1 , α 2 R ) α 1 + α 2 v = α 1 v + α 2 v v V , α 1 , α 2 R (alpha_(1)+alpha_(2))v=alpha_(1)v+alpha_(2)v quad(AA v in V,AAalpha_(1),alpha_(2)inR)\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) \boldsymbol{v}=\alpha_{1} \boldsymbol{v}+\alpha_{2} \boldsymbol{v} \quad\left(\forall \boldsymbol{v} \in V, \forall \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}\right)(α1+α2)v=α1v+α2v(vV,α1,α2R);
(v) ( α 1 α 2 ) v = α 1 ( α 2 v ) ( v V , α 1 , α 2 R ) α 1 α 2 v = α 1 α 2 v v V , α 1 , α 2 R (alpha_(1)alpha_(2))v=alpha_(1)(alpha_(2)v)quad(AA v in V,AAalpha_(1),alpha_(2)inR)\left(\alpha_{1} \alpha_{2}\right) \boldsymbol{v}=\alpha_{1}\left(\alpha_{2} \boldsymbol{v}\right) \quad\left(\forall \boldsymbol{v} \in V, \forall \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}\right)(α1α2)v=α1(α2v)(vV,α1,α2R);
(vi)ある 0 V 0 V 0in V\mathbf{0} \in V0V に対し, v + 0 = v ( v V ) v + 0 = v ( v V ) v+0=v quad(AA v in V)\boldsymbol{v}+\mathbf{0}=\boldsymbol{v} \quad(\forall \boldsymbol{v} \in V)v+0=v(vV) が成り立つ;
(vii) 各 v V v V v in V\boldsymbol{v} \in VvV ごとに, v + w = 0 v + w = 0 v+w=0\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=\mathbf{0}v+w=0 となる w V w V w in V\boldsymbol{w} \in VwV が存在する;
(viii) 1 v = v ( v ) 1 v = v ( v ) 1v=v quad(AA v)1 \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v} \quad(\forall v)1v=v(v).
このとき, Vはベクトル空間 (vector space) とよばれる。(vi)における0は 零ベクトルとよばれ,(vii)における w w w\boldsymbol{w}w v v v\boldsymbol{v}v の逆ベクトル(inverse vector) とよばれ, v v -v-\boldsymbol{v}v と表される。
注意 実数全体からなる集合 R R R\mathbb{R}R や複素数全体からなる集合 C C C\mathbb{C}C は, 加法演算と乗法演算に関して体とよばれるものになる。上述の定義における R R R\mathbb{R}R を般の体 F F F\mathbb{F}F に変え て, F F F\mathbb{F}F 上のベクトル空間という概念が定義され, 特に, F = R , C F = R , C F=R,C\mathbb{F}=\mathbb{R}, \mathbb{C}F=R,C のとき, 各々, 実 ベクトル空間, 複素ベクトル空間とよばれる.
最も基本的な(実)ベクトル空間の例を挙げる. V V VVV として n n nnn 個の R R R\mathbb{R}R の直積集合 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn を考える. v = ( v 1 , , v n ) , w = ( w 1 , , w n ) R n v = v 1 , , v n , w = w 1 , , w n R n v=(v_(1),dots,v_(n)),w=(w_(1),dots,w_(n))inR^(n)\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right), \boldsymbol{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}v=(v1,,vn),w=(w1,,wn)Rn に対し,それら の和 v + w v + w v+wv+wv+w
v + w := ( v 1 + w 1 , , v n + w n ) v + w := v 1 + w 1 , , v n + w n v+w:=(v_(1)+w_(1),dots,v_(n)+w_(n))\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}:=\left(v_{1}+w_{1}, \ldots, v_{n}+w_{n}\right)v+w:=(v1+w1,,vn+wn)
によって定義し, v v v\boldsymbol{v}v α α alpha\alphaα α v α v alpha v\alpha \boldsymbol{v}αv
α v := ( α v 1 , , α v n ) α v := α v 1 , , α v n alpha v:=(alphav_(1),dots,alphav_(n))\alpha \boldsymbol{v}:=\left(\alpha v_{1}, \ldots, \alpha v_{n}\right)αv:=(αv1,,αvn)
によって定義する. このとき、この和と実数倍が上述の 8 つの条件を満たす、 つまり, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn がこの和と実数倍に関してベクトル空間になることが示される. ここで, ( 0 , , 0 ) ( 0 , , 0 ) (0,dots,0)(0, \ldots, 0)(0,,0) が零ベクトルであり, ( v 1 , , v n ) v 1 , , v n (-v_(1),dots,-v_(n))\left(-v_{1}, \ldots,-v_{n}\right)(v1,,vn) v = ( v 1 , , v n ) v = v 1 , , v n v=(v_(1),dots,v_(n))\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)v=(v1,,vn) の逆ベクトルであることを注意しておく。このベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn n n nnn 次元数ベ クトル空間 (numerial vector space) とよばれる.
次に, アフィン空間を定義する。Vをべクトル空間とする. 集合 A A A\mathbb{A}A と写像 Φ : A × A V Φ : A × A V Phi:AxxArarr V\Phi: \mathbb{A} \times \mathbb{A} \rightarrow VΦ:A×AV の組 ( A , Φ ) ( A , Φ ) (A,Phi)(\mathbb{A}, \Phi)(A,Φ) を考える。 p , q A p , q A p,q inAp, q \in \mathbb{A}p,qA に対し, Φ ( p , q ) Φ ( p , q ) Phi(p,q)\Phi(p, q)Φ(p,q) p q p q vec(pq)\overrightarrow{p q}pq と表す。 Φ Φ Phi\PhiΦ が次の 3 条件を満たすとする:
(i) p q + q r = p r ( p , q , r A ) p q + q r = p r ( p , q , r A ) quad vec(pq)+ vec(qr)= vec(pr)quad(AA p,q,r inA)\quad \overrightarrow{p q}+\overrightarrow{q r}=\overrightarrow{p r} \quad(\forall p, q, r \in \mathbb{A})pq+qr=pr(p,q,rA);
(ii) p q = q p ( p , q A ) p q = q p ( p , q A ) vec(pq)=- vec(qp)quad(AA p,q inA)\overrightarrow{p q}=-\overrightarrow{q p} \quad(\forall p, q \in \mathbb{A})pq=qp(p,qA);
(iii) 各点 p A p A p inAp \in \mathbb{A}pA に対し,
Φ p : A V ( def Φ p ( q ) := p q ( q A ) ) Φ p : A V def Φ p ( q ) := p q ( q A ) Phi_(p):Ararr V(Longleftrightarrow_(def)Phi_(p)(q):= vec(pq)quad(q inA))\Phi_{p}: \mathbb{A} \rightarrow V\left(\underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \Phi_{p}(q):=\overrightarrow{p q} \quad(q \in \mathbb{A})\right)Φp:AV(defΦp(q):=pq(qA))
は全単射である.
このとき, ( A , Φ ) ( A , Φ ) (A,Phi)(\mathbb{A}, \Phi)(A,Φ) または A A A\mathbb{A}A を, V V VVV に付随するアフィン空間 (the affine space associated to V V VVV ) という. o A o A o inAo \in \mathbb{A}oA を基点としてとり固定する. このと き, 全単射 Φ o : A V Φ o : A V Phi_(o):Ararr V\Phi_{o}: \mathbb{A} \rightarrow VΦo:AV により, A A A\mathbb{A}A V V VVV と同一視される。 以下, Φ 0 Φ 0 Phi_(0)\Phi_{0}Φ0 r r r\boldsymbol{r}r と表 すことにする. r ( p ) = o p r ( p ) = o p r(p)= vec(op)\boldsymbol{r}(p)=\overrightarrow{o p}r(p)=op は, (o を基点とする) p p ppp の位置ベクトル (position
vector) とよばれる.
n n nnn 次元数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn に付随するアフィン空間を A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An で表す. o A n o A n o inA^(n)o \in \mathbb{A}^{n}oAn を 基点としてとるとき, r ( = Φ o ) r = Φ o r(=Phi_(o))\boldsymbol{r}\left(=\Phi_{o}\right)r(=Φo) を通じて, 点の集まりである A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An がベクトル の集まりである R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn と同一視される。それゆえ, o p = ( p 1 , , p n ) o p = p 1 , , p n vec(op)=(p_(1),dots,p_(n))\overrightarrow{o p}=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)op=(p1,,pn) のとき, 点 p p ppp ( p 1 , , p n ) p 1 , , p n (p_(1),dots,p_(n))\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)(p1,,pn) と表してしまう。
高校で学んだ平面上の点 p p ppp とその位置べクトル o p o p vec(op)\overrightarrow{o p}op 考えてみよう。平面は 点の集まりであり, 上述のアフィン空間 A 2 A 2 A^(2)\mathbb{A}^{2}A2 に相当する。一方, o p o p vec(op)\overrightarrow{o p}op をじめ とする平面ベクトルの全体は,上述の 2 次元数ベクトル空間 R 2 R 2 R^(2)\mathbb{R}^{2}R2 に相当する. このように, 高校の教科書にある位置べクトルに関する図は, A 2 A 2 A^(2)\mathbb{A}^{2}A2 R 2 R 2 R^(2)\mathbb{R}^{2}R2 を重 ねた図であることを注意しておく(図1.1.1を参照)。次に, 空間内の点 p p ppp と その位置ベクトル o p o p vec(op)\overrightarrow{o p}op を考えてみよう。空間は点の集まりであり,上述のア フィン空間 A 3 A 3 A^(3)\mathbb{A}^{3}A3 に相当する。一方, o p o p vec(op)\overrightarrow{o p}op をじめとする空間ベクトルの全体は,上述の 3 次元数ベクトル空間 R 3 R 3 R^(3)\mathbb{R}^{3}R3 に相当する.
次に, A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An の任意の点 p p ppp における接空間を定義する. そのために, まず, A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An内の C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線 ( r 0 ) ( r 0 ) (r >= 0)(r \geq 0)(r0) を定義する。 o A n o A n o inA^(n)o \in \mathbb{A}^{n}oAn を固定する。 I I III を区間とし, 写像 c : I A n c : I A n c:I rarrA^(n)c: I \rightarrow \mathbb{A}^{n}c:IAn を考える. この写像 c c ccc に対し, 写像 c : I R n c : I R n vec(c):I rarrR^(n)\vec{c}: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}c:IRn c ( t ) := o c ( t ) c ( t ) := o c ( t ) vec(c)(t):= vec(oc(t))\vec{c}(t):=\overrightarrow{o c(t)}c(t):=oc(t) ( = ( r c ) ( t ) ) ( t I ) ( = ( r c ) ( t ) ) ( t I ) (=(r@c)(t))(t in I)(=(\boldsymbol{r} \circ c)(t))(t \in I)(=(rc)(t))(tI) によって定義する。 c ( t ) = ( c 1 ( t ) , , c n ( t ) ) ( t I ) c ( t ) = c 1 ( t ) , , c n ( t ) ( t I ) vec(c)(t)=(c_(1)(t),dots,c_(n)(t))(t in I)\vec{c}(t)=\left(c_{1}(t), \ldots, c_{n}(t)\right)(t \in I)c(t)=(c1(t),,cn(t))(tI) と する。各関数 c i : I R ( i = 1 , , n ) c i : I R ( i = 1 , , n ) c_(i):I rarrR(i=1,dots,n)c_{i}: I \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, n)ci:IR(i=1,,n) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, c c ccc A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An 内の C r C r C^(r)C^{r}Cr曲線 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-curve ) ) ))) という.
図 1.1.1 ベクトル空間とアフィン空間
集合 C A n , p 1 ( p A n ) C A n , p 1 p A n C_(A^(n),p)^(1)(p inA^(n))\mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1}\left(p \in \mathbb{A}^{n}\right)CAn,p1(pAn)
C A n , p 1 := { ( c , t 0 ) c : I A n : C 1 曲線, t 0 I s.t. c ( t 0 ) = p } C A n , p 1 := c , t 0 c : I A n : C 1  曲線,  t 0 I  s.t.  c t 0 = p C_(A^(n),p)^(1):={(c,t_(0))∣c:I rarrA^(n):C^(1)" 曲線, "t_(0)in I" s.t. "c(t_(0))=p}\mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1}:=\left\{\left(c, t_{0}\right) \mid c: I \rightarrow \mathbb{A}^{n}: C^{1} \text { 曲線, } t_{0} \in I \text { s.t. } c\left(t_{0}\right)=p\right\}CAn,p1:={(c,t0)c:IAn:C1 曲線, t0I s.t. c(t0)=p}
によって定義する。集合 C A n , p 1 C A n , p 1 C_(A^(n),p)^(1)\mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1}CAn,p1 に次のように 2 項関係~を定義する。 ( c i , t i ) c i , t i (c_(i),t_(i))\left(c_{i}, t_{i}\right)(ci,ti) ( i = 1 , 2 ) ( i = 1 , 2 ) (i=1,2)(i=1,2)(i=1,2) C A n , p 1 C A n , p 1 C_(A^(n),p)^(1)\mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1}CAn,p1 の元として,
( c 1 , t 1 ) ( c 2 , t 2 ) def c 1 ( t 1 ) = c 2 ( t 2 ) c 1 , t 1 c 2 , t 2 def c 1 t 1 = c 2 t 2 (c_(1),t_(1))∼(c_(2),t_(2))Longleftrightarrow_(def) vec(c)_(1)^(')(t_(1))= vec(c_(2))^(')(t_(2))\left(c_{1}, t_{1}\right) \sim\left(c_{2}, t_{2}\right) \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \vec{c}_{1}^{\prime}\left(t_{1}\right)={\overrightarrow{c_{2}}}^{\prime}\left(t_{2}\right)(c1,t1)(c2,t2)defc1(t1)=c2(t2)
と定義する. ここで, c i ( t i ) c i t i vec(c)_(i)^(')(t_(i))\vec{c}_{i}^{\prime}\left(t_{i}\right)ci(ti) はベクトル値関数 c i c i vec(c_(i))\overrightarrow{c_{i}}ci t i t i t_(i)t_{i}ti における微分係数を表 す(1.3 節を参照). この 2 項関係~が同值関係になることが容易に示される. この同値関係~に関する ( c , t 0 ) C A n , p 1 c , t 0 C A n , p 1 (c,t_(0))inC_(A^(n),p)^(1)\left(c, t_{0}\right) \in \mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1}(c,t0)CAn,p1 の属する同值類を c ( t 0 ) c t 0 c^(')(t_(0))c^{\prime}\left(t_{0}\right)c(t0) と表し, 商集合 A A n , p 1 / A A n , p 1 / A_(A^(n),p)^(1)//∼\mathcal{A}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1} / \simAAn,p1/ T p A n T p A n T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}TpAn と表す. T p A n T p A n T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}TpAn から R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn への写像 F p F p F_(p)F_{p}Fp
F p ( c ( t 0 ) ) = c ( t 0 ) ( c ( t 0 ) T p A n ) F p c t 0 = c t 0 c t 0 T p A n F_(p)(c^(')(t_(0)))= vec(c)^(')(t_(0))quad(c^(')(t_(0))inT_(p)A^(n))F_{p}\left(c^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)=\vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right) \quad\left(c^{\prime}\left(t_{0}\right) \in T_{p} \mathbb{A}^{n}\right)Fp(c(t0))=c(t0)(c(t0)TpAn)
によって定義すると, この写像 F p F p F_(p)F_{p}Fp は全単射になることが容易に示される. F p F p F_(p)F_{p}Fp を通じて, 数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の加法と実数倍から T p A n T p A n T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}TpAn におる加法と実数倍が定義され, T p A n T p A n T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}TpAn はベクトル空間になる。 このベクトル空間 T p A n T p A n T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}TpAn A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An p p p\boldsymbol{p}p における接空間 (the tangent space of A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An at p ) p {:p)\left.\boldsymbol{p}\right)p) といい, T p A n T p A n T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}TpAn の 各元を A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An p p p\boldsymbol{p}p における接ベクトル (tangent vector of A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An at p p ppp ) とい う. 通常, ベクトル解析の本では, c ( t 0 ) c t 0 c^(')(t_(0))c^{\prime}\left(t_{0}\right)c(t0) と(数)ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のベクト ル c ( t 0 ) c t 0 vec(c)^(')(t_(0))\vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right)c(t0) を同一視することにより, T p A n T p A n T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}TpAn を(数)ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn と同一視している。
注意 A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An は, 第 3 章で述べる n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とよばれるものの最も基本的な 例である. 実は, 一般に, n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM の各点 p p ppp において接空間 T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM が 定義される。 T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM は、 M M MMM の点 p p ppp における 1 次近似と解釈されるものである。 C 1 C 1 C^(1)C^{1}C1級関数 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) a a aaa における 1 次のテイラー多項式 f ( a ) x + f ( a ) f ( a ) x + f ( a ) f^(')(a)x+f(a)f^{\prime}(a) x+f(a)f(a)x+f(a) のグラフ y = f ( a ) x y = f ( a ) x y=f^(')(a)xy=f^{\prime}(a) xy=f(a)x + f ( a ) + f ( a ) +f(a)+f(a)+f(a) f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) のグラフ y = f ( x ) y = f ( x ) y=f(x)y=f(x)y=f(x) ( a , f ( a ) ) ( a , f ( a ) ) (a,f(a))(a, f(a))(a,f(a)) における接線を与えることを思い出 すとよい。

1.2 内積・外積・ユークリッド計量

この節において,数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の内積・外積を定義し,それらの性質 について述べる。 さらに、アフイン空間 A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An のユークリッド計量を定義する.
V V VVV を一般の(実)ベクトル空間とする。Vにおける内積 (inner product) と は,Vにおける演算. で次の 3 つの性質を満たすものとして定義される:
(i) ( α 1 v 1 + α 2 v 2 ) w = α 1 ( v 1 w ) + α 2 ( v 2 w ) ( v 1 , v 2 , w V , α 1 α 1 v 1 + α 2 v 2 w = α 1 v 1 w + α 2 v 2 w v 1 , v 2 , w V , α 1 (alpha_(1)v_(1)+alpha_(2)v_(2))*w=alpha_(1)(v_(1)*w)+alpha_(2)(v_(2)*w)quad(AAv_(1),v_(2),w in V,alpha_(1):}\left(\alpha_{1} \boldsymbol{v}_{1}+\alpha_{2} \boldsymbol{v}_{2}\right) \cdot \boldsymbol{w}=\alpha_{1}\left(\boldsymbol{v}_{1} \cdot \boldsymbol{w}\right)+\alpha_{2}\left(\boldsymbol{v}_{2} \cdot \boldsymbol{w}\right) \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{w} \in V, \alpha_{1}\right.(α1v1+α2v2)w=α1(v1w)+α2(v2w)(v1,v2,wV,α1 α 2 R ) α 2 R {:alpha_(2)inR)\left.\alpha_{2} \in \mathbb{R}\right)α2R);
(ii) v w = w v ( v , w V ) v w = w v ( v , w V ) v*w=w*v quad(AA v,w in V)\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w}=\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{v} \quad(\forall \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in V)vw=wv(v,wV);
(iii) 任意の v V v V v in V\boldsymbol{v} \in VvV に対し, v v 0 v v 0 v*v >= 0\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v} \geq 0vv0 が成り立ち, 等号成立は v = 0 v = 0 v=0\boldsymbol{v}=\mathbf{0}v=0 のと きに限る。
性質 (ii) は対称性とよばれ, 性質(iii)は正定値性とよばれる。内積・を用い て, v V v V v in V\boldsymbol{v} \in VvV のノルム v v ||v||\|\boldsymbol{v}\|v v := v v v := v v ||v||:=sqrt(v*v)\|\boldsymbol{v}\|:=\sqrt{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v}}v:=vv によって定義される.
数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn において, v = ( v 1 , , v n ) , w = ( w 1 , , w n ) R n v = v 1 , , v n , w = w 1 , , w n R n v=(v_(1),dots,v_(n)),w=(w_(1),dots,w_(n))inR^(n)\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right), \boldsymbol{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}v=(v1,,vn),w=(w1,,wn)Rn に対し, v w := i = 1 n v i w i v w := i = 1 n v i w i v*w:=sum_(i=1)^(n)v_(i)w_(i)\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w}:=\sum_{i=1}^{n} v_{i} w_{i}vw:=i=1nviwi によって, 内積 *\cdotが定義される。また, 数ベクトル 空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 個のベクトル v i = ( v i 1 , , v i n ) ( i = 1 , , n 1 ) v i = v i 1 , , v i n ( i = 1 , , n 1 ) v_(i)=(v_(i1),dots,v_(in))(i=1,dots,n-1)\boldsymbol{v}_{i}=\left(v_{i 1}, \ldots, v_{i n}\right)(i=1, \ldots, n-1)vi=(vi1,,vin)(i=1,,n1) に対し, n n nnn 次正方行列 A A AAA
A = ( 1 1 v 11 v 1 n v n 1 , 1 v n 1 , n ) A = 1 1 v 11 v 1 n v n 1 , 1 v n 1 , n A=([1,cdots,1],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,ddots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)])A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & \cdots & 1 \\ v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n} \end{array}\right)A=(11v11v1nvn1,1vn1,n)
によって定義し, その第 ( i , j ) ( i , j ) (i,j)(i, j)(i,j) 余因子(つまり, A A AAA から第 i i iii 行目と第 j j jjj 列目を 除いてえられる ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 次行列の行列式を ( 1 ) i + j ( 1 ) i + j (-1)^(i+j)(-1)^{i+j}(1)i+j 倍したもの)を A i j A i j A_(ij)A_{i j}Aij で表す ことにする。このとき, v 1 , , v n 1 v 1 , , v n 1 v_(1),dots,v_(n-1)\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}v1,,vn1 の外積 (exterior product) v 1 × × v 1 × × v_(1)xx cdots xx\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \timesv1×× v n 1 v n 1 v_(n-1)\boldsymbol{v}_{n-1}vn1
v 1 × × v n 1 := ( A 11 , , A 1 n ) v 1 × × v n 1 := A 11 , , A 1 n v_(1)xx cdots xxv_(n-1):=(A_(11),dots,A_(1n))\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}:=\left(A_{11}, \ldots, A_{1 n}\right)v1××vn1:=(A11,,A1n)
によって定義される. ここで,
A 1 j = ( 1 ) 1 + j | v 11 v 1 , j 1 v 1 , j + 1 v 1 n v n 1 , 1 v n 1 , j 1 v n 1 , j + 1 v n 1 , n | A 1 j = ( 1 ) 1 + j v 11 v 1 , j 1 v 1 , j + 1 v 1 n v n 1 , 1 v n 1 , j 1 v n 1 , j + 1 v n 1 , n A_(1j)=(-1)^(1+j)|[v_(11),cdots,v_(1,j-1),v_(1,j+1),cdots,v_(1n)],[vdots,ddots,vdots,,,],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,j-1),v_(n-1,j+1),cdots,v_(n-1,n)]|A_{1 j}=(-1)^{1+j}\left|\begin{array}{cccccc} v_{11} & \cdots & v_{1, j-1} & v_{1, j+1} & \cdots & v_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & & & \\ v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, j-1} & v_{n-1, j+1} & \cdots & v_{n-1, n} \end{array}\right|A1j=(1)1+j|v11v1,j1v1,j+1v1nvn1,1vn1,j1vn1,j+1vn1,n|
6 第 1 章 ベクトル解析におけるストークスの定理・変分公式
( j = 1 , , n ) ( j = 1 , , n ) (j=1,dots,n)(j=1, \ldots, n)(j=1,,n) であることを注意しておく. 特に, n = 3 n = 3 n=3n=3n=3 の場合,
(1.2.1) v 1 × v 2 = ( | v 12 v 13 v 22 v 23 | , | v 13 v 11 v 23 v 21 | , | v 11 v 12 v 21 v 22 | ) (1.2.1) v 1 × v 2 = v 12 v 13 v 22 v 23 , v 13 v 11 v 23 v 21 , v 11 v 12 v 21 v 22 {:(1.2.1)v_(1)xxv_(2)=(|[v_(12),v_(13)],[v_(22),v_(23)]|,|[v_(13),v_(11)],[v_(23),v_(21)]|,|[v_(11),v_(12)],[v_(21),v_(22)]|):}\boldsymbol{v}_{1} \times \boldsymbol{v}_{2}=\left(\left|\begin{array}{ll} v_{12} & v_{13} \tag{1.2.1}\\ v_{22} & v_{23} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} v_{13} & v_{11} \\ v_{23} & v_{21} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} v_{11} & v_{12} \\ v_{21} & v_{22} \end{array}\right|\right)(1.2.1)v1×v2=(|v12v13v22v23|,|v13v11v23v21|,|v11v12v21v22|)
となる。
k k kkk 文字の置換,つまり, { 1 , , k } { 1 , , k } {1,dots,k}\{1, \ldots, k\}{1,,k} からそれ自身への 1 対 1 対応の全体を S k S k S_(k)S_{k}Sk と表し, σ S k σ S k sigma inS_(k)\sigma \in S_{k}σSk に対し, σ σ sigma\sigmaσ の符号 sgn σ sgn σ sgn sigma\operatorname{sgn} \sigmasgnσ
sgn σ := { 1 ( σ : 偶置換 ) 1 ( σ : 奇置換 ) sgn σ := 1      ( σ :  偶置換  ) 1      ( σ :  奇置換  ) sgn sigma:={[1,(sigma:" 偶置換 ")],[-1,(sigma:" 奇置換 ")]:}\operatorname{sgn} \sigma:= \begin{cases}1 & (\sigma: \text { 偶置換 }) \\ -1 & (\sigma: \text { 奇置換 })\end{cases}sgnσ:={1(σ: 偶置換 )1(σ: 奇置換 )
によって定義される. ここで, 偶置換, 奇置換とは各々, 偶数個, 奇数個の互換 ( 1 , , k ( 1 , , k (1,dots,k(1, \ldots, k(1,,k のうち,2つのみを入れ替える置換のこと)の積で表される置換 を意味する.外積の性質をまとめておこう。
命題 1.2.1 外積に関して, 次の関係式が成り立つ.
(i) v σ ( 1 ) × × v σ ( n 1 ) = sgn σ ( v 1 × × v n 1 ) ( σ S n 1 ) v σ ( 1 ) × × v σ ( n 1 ) = sgn σ v 1 × × v n 1 σ S n 1 v_(sigma(1))xx cdots xxv_(sigma(n-1))=sgn sigma(v_(1)xx cdots xxv_(n-1))quad(AA sigma inS_(n-1))\boldsymbol{v}_{\sigma(1)} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{\sigma(n-1)}=\operatorname{sgn} \sigma\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right) \quad\left(\forall \sigma \in S_{n-1}\right)vσ(1)××vσ(n1)=sgnσ(v1××vn1)(σSn1);
v 1 × × ( α v i + β w i ) × × v n 1 = α ( v 1 × × v i × × v n 1 ) + β ( v 1 × × w i × × v n 1 ) ( v 1 , , v n 1 , w i R n , α , β R ) v 1 × × α v i + β w i × × v n 1 = α v 1 × × v i × × v n 1 + β v 1 × × w i × × v n 1 v 1 , , v n 1 , w i R n , α , β R {:[v_(1)xx cdots xx(alphav_(i)+betaw_(i))xx cdots xxv_(n-1)],[=alpha(v_(1)xx cdots xxv_(i)xx cdots xxv_(n-1))+beta(v_(1)xx cdots xxw_(i)xx cdots xxv_(n-1))],[quad(v_(1),dots,v_(n-1),w_(i)inR^(n),quad alpha,beta inR)]:}\begin{aligned} & \boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times\left(\alpha \boldsymbol{v}_{i}+\beta \boldsymbol{w}_{i}\right) \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1} \\ & =\alpha\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{i} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right)+\beta\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{w}_{i} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right) \\ & \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}, \boldsymbol{w}_{i} \in \mathbb{R}^{n}, \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}\right) \end{aligned}v1××(αvi+βwi)××vn1=α(v1××vi××vn1)+β(v1××wi××vn1)(v1,,vn1,wiRn,α,βR)
証明(i)の関係式を証明しよう。外積の定義によれば,
B 1 j = ( 1 ) 1 + j | v σ ( 1 ) 1 v σ ( 1 ) , j 1 v σ ( 1 ) , j + 1 v σ ( 1 ) n v σ ( n 1 ) 1 v σ ( n 1 ) , j 1 v σ ( n 1 ) , j + 1 v σ ( n 1 ) n | ( j = 1 , , n ) として, v σ ( 1 ) × × v σ ( n 1 ) = ( B 11 , , B 1 n ) B 1 j = ( 1 ) 1 + j v σ ( 1 ) 1 v σ ( 1 ) , j 1 v σ ( 1 ) , j + 1 v σ ( 1 ) n v σ ( n 1 ) 1 v σ ( n 1 ) , j 1 v σ ( n 1 ) , j + 1 v σ ( n 1 ) n ( j = 1 , , n )  として,  v σ ( 1 ) × × v σ ( n 1 ) = B 11 , , B 1 n {:[B_(1j)=(-1)^(1+j)|[v_(sigma(1)1),cdots,v_(sigma(1),j-1),v_(sigma(1),j+1),cdots,v_(sigma(1)n)],[vdots,cdots,vdots,vdots,cdots,vdots],[v_(sigma(n-1)1),cdots,v_(sigma(n-1),j-1),v_(sigma(n-1),j+1),cdots,v_(sigma(n-1)n)]|],[(j=1","dots","n)" として, "],[v_(sigma(1))xx cdots xxv_(sigma(n-1))=(B_(11),dots,B_(1n))]:}\begin{gathered} B_{1 j}=(-1)^{1+j}\left|\begin{array}{cccccc} v_{\sigma(1) 1} & \cdots & v_{\sigma(1), j-1} & v_{\sigma(1), j+1} & \cdots & v_{\sigma(1) n} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{\sigma(n-1) 1} & \cdots & v_{\sigma(n-1), j-1} & v_{\sigma(n-1), j+1} & \cdots & v_{\sigma(n-1) n} \end{array}\right| \\ (j=1, \ldots, n) \text { として, } \\ \boldsymbol{v}_{\sigma(1)} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{\sigma(n-1)}=\left(B_{11}, \ldots, B_{1 n}\right) \end{gathered}B1j=(1)1+j|vσ(1)1vσ(1),j1vσ(1),j+1vσ(1)nvσ(n1)1vσ(n1),j1vσ(n1),j+1vσ(n1)n|(j=1,,n) として, vσ(1)××vσ(n1)=(B11,,B1n)
となる。行列式の性質(2つの行を入れ替えると符号が変わる)より,
B 1 j = ( 1 ) 1 + j sgn σ | v 11 v 1 , j 1 v 1 , j + 1 v 1 n v n 1 , 1 v n 1 , j 1 v n 1 , j + 1 v n 1 , n | = sgn σ A 1 j B 1 j = ( 1 ) 1 + j sgn σ v 11 v 1 , j 1 v 1 , j + 1 v 1 n v n 1 , 1 v n 1 , j 1 v n 1 , j + 1 v n 1 , n = sgn σ A 1 j {:[B_(1j)=(-1)^(1+j)sgn sigma|[v_(11),cdots,v_(1,j-1),v_(1,j+1),cdots,v_(1n)],[vdots,cdots,vdots,vdots,cdots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,j-1),v_(n-1,j+1),cdots,v_(n-1,n)]|],[quad=sgn sigmaA_(1j)]:}\begin{aligned} & B_{1 j}=(-1)^{1+j} \operatorname{sgn} \sigma\left|\begin{array}{cccccc} v_{11} & \cdots & v_{1, j-1} & v_{1, j+1} & \cdots & v_{1 n} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, j-1} & v_{n-1, j+1} & \cdots & v_{n-1, n} \end{array}\right| \\ & \quad=\operatorname{sgn} \sigma A_{1 j} \end{aligned}B1j=(1)1+jsgnσ|v11v1,j1v1,j+1v1nvn1,1vn1,j1vn1,j+1vn1,n|=sgnσA1j
( j = 1 , , n ) ( j = 1 , , n ) (j=1,dots,n)(j=1, \ldots, n)(j=1,,n) となるので,
v σ ( 1 ) × × v σ ( n 1 ) = sgn σ ( v 1 × × v n 1 ) v σ ( 1 ) × × v σ ( n 1 ) = sgn σ v 1 × × v n 1 v_(sigma(1))xx cdots xxv_(sigma(n-1))=sgn sigma(v_(1)xx cdots xxv_(n-1))\boldsymbol{v}_{\sigma(1)} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{\sigma(n-1)}=\operatorname{sgn} \sigma\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right)vσ(1)××vσ(n1)=sgnσ(v1××vn1)
が示される.
次に, (ii) の関係式を示そう. w i = ( w i 1 , , w i n ) w i = w i 1 , , w i n w_(i)=(w_(i1),dots,w_(in))\boldsymbol{w}_{i}=\left(w_{i 1}, \ldots, w_{i n}\right)wi=(wi1,,win) とし,
C = ( 1 1 v 11 v 1 n α v i 1 + β w i 1 α v i n + β w i n v n 1 , 1 v n 1 , n ) C = 1 1 v 11 v 1 n α v i 1 + β w i 1 α v i n + β w i n v n 1 , 1 v n 1 , n C=([1,cdots,1],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,cdots,vdots],[alphav_(i1)+betaw_(i1),cdots,alphav_(in)+betaw_(in)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)])C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & \cdots & 1 \\ v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \alpha v_{i 1}+\beta w_{i 1} & \cdots & \alpha v_{i n}+\beta w_{i n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n} \end{array}\right)C=(11v11v1nαvi1+βwi1αvin+βwinvn1,1vn1,n)
とする. このとき, 外積の定義によれば, C C CCC ( 1 , j ) ( 1 , j ) (1,j)(1, j)(1,j) 余因子を C 1 j C 1 j C_(1j)C_{1 j}C1j として,
v 1 × × ( α v i + β w i ) × × v n 1 = ( C 11 , , C 1 n ) v 1 × × α v i + β w i × × v n 1 = C 11 , , C 1 n v_(1)xx cdots xx(alphav_(i)+betaw_(i))xx cdots xxv_(n-1)=(C_(11),dots,C_(1n))\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times\left(\alpha \boldsymbol{v}_{i}+\beta \boldsymbol{w}_{i}\right) \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}=\left(C_{11}, \ldots, C_{1 n}\right)v1××(αvi+βwi)××vn1=(C11,,C1n)
が成り立つ.
A = ( 1 1 v 11 v 1 n w i 1 w i n v n 1 , 1 v n 1 , n ) A = 1 1 v 11 v 1 n w i 1 w i n v n 1 , 1 v n 1 , n A^(')=([1,cdots,1],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,cdots,vdots],[w_(i1),cdots,w_(in)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)])A^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & \cdots & 1 \\ v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ w_{i 1} & \cdots & w_{i n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n} \end{array}\right)A=(11v11v1nwi1winvn1,1vn1,n)
とする.このとき, 行列式の性質(行に関する線形性)より, A A A^(')A^{\prime}A ( 1 , j ) ( 1 , j ) (1,j)(1, j)(1,j) 余因子を A 1 j A 1 j A_(1j)^(')A_{1 j}^{\prime}A1j として, C 1 j = α A 1 j + β A 1 j C 1 j = α A 1 j + β A 1 j C_(1j)=alphaA_(1j)+betaA_(1j)^(')C_{1 j}=\alpha A_{1 j}+\beta A_{1 j}^{\prime}C1j=αA1j+βA1j, および ( A 11 , , A 1 n ) = v 1 × × A 11 , , A 1 n = v 1 × × (A_(11)^('),dots,A_(1n)^('))=v_(1)xx cdots xx\left(A_{11}^{\prime}, \ldots, A_{1 n}^{\prime}\right)=\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times(A11,,A1n)=v1×× w i × × v n 1 w i × × v n 1 w_(i)xx cdots xxv_(n-1)\boldsymbol{w}_{i} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}wi××vn1 が成り立つので,
v 1 × × ( α v i + β w i ) × × v n 1 = ( α A 11 + β A 11 , , α A 1 n + β A 1 n ) = α ( A 11 , , A 1 n ) + β ( A 11 , , A 1 n ) = α ( v 1 × × v i × × v n 1 ) + β ( v 1 × × w i × × v n 1 ) v 1 × × α v i + β w i × × v n 1 = α A 11 + β A 11 , , α A 1 n + β A 1 n = α A 11 , , A 1 n + β A 11 , , A 1 n = α v 1 × × v i × × v n 1 + β v 1 × × w i × × v n 1 {:[v_(1)xx cdots xx(alphav_(i)+betaw_(i))xx cdots xxv_(n-1)],[=(alphaA_(11)+betaA_(11)^('),dots,alphaA_(1n)+betaA_(1n)^('))=alpha(A_(11),dots,A_(1n))+beta(A_(11)^('),dots,A_(1n)^('))],[=alpha(v_(1)xx cdots xxv_(i)xx cdots xxv_(n-1))+beta(v_(1)xx cdots xxw_(i)xx cdots xxv_(n-1))]:}\begin{aligned} & \boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times\left(\alpha \boldsymbol{v}_{i}+\beta \boldsymbol{w}_{i}\right) \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1} \\ = & \left(\alpha A_{11}+\beta A_{11}^{\prime}, \ldots, \alpha A_{1 n}+\beta A_{1 n}^{\prime}\right)=\alpha\left(A_{11}, \ldots, A_{1 n}\right)+\beta\left(A_{11}^{\prime}, \ldots, A_{1 n}^{\prime}\right) \\ = & \alpha\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{i} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right)+\beta\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{w}_{i} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right) \end{aligned}v1××(αvi+βwi)××vn1=(αA11+βA11,,αA1n+βA1n)=α(A11,,A1n)+β(A11,,A1n)=α(v1××vi××vn1)+β(v1××wi××vn1)
が示される.
次に, スカラー n n nnn 重積を定義しよう. 数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn n n nnn 個のベクト ル v i ( i = 1 , , n ) v i ( i = 1 , , n ) v_(i)(i=1,dots,n)\boldsymbol{v}_{i}(i=1, \ldots, n)vi(i=1,,n) に対し,実数 | v 1 , v 2 , , v n | v 1 , v 2 , , v n |v_(1),v_(2),dots,v_(n)|\left|\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}\right||v1,v2,,vn|
| v 1 , v 2 , , v n | := v 1 ( v 2 × × v n ) v 1 , v 2 , , v n := v 1 v 2 × × v n |v_(1),v_(2),dots,v_(n)|:=v_(1)*(v_(2)xx cdots xxv_(n))\left|\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}\right|:=\boldsymbol{v}_{1} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{2} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n}\right)|v1,v2,,vn|:=v1(v2××vn)
によって定める。これを v 1 , v 2 , , v n v 1 , v 2 , , v n v_(1),v_(2),dots,v_(n)\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}v1,v2,,vn のスカラー n n n\boldsymbol{n}n 重積 (scalar n-multiproduct) とよぶ.
命題 1.2.2 数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn n n nnn 個のベクトル v i = ( v i 1 , , v i n ) ( i = v i = v i 1 , , v i n ( i = v_(i)=(v_(i1),dots,v_(in))(i=\boldsymbol{v}_{i}=\left(v_{i 1}, \ldots, v_{i n}\right)(i=vi=(vi1,,vin)(i= 1 , , n ) 1 , , n ) 1,dots,n)1, \ldots, n)1,,n) に対し, 次の関係式が成り立つ:
| v 1 , , v n | = | v 11 v 1 n v n 1 v n n | v 1 , , v n = v 11 v 1 n v n 1 v n n |v_(1),dots,v_(n)|=|[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,ddots,vdots],[v_(n1),cdots,v_(nn)]|\left|\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}\right|=\left|\begin{array}{ccc} v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{n 1} & \cdots & v_{n n} \end{array}\right||v1,,vn|=|v11v1nvn1vnn|
証明 A = ( 1 1 v 21 v 2 n v n 1 v n n ) , B = ( v 11 v 1 n v 21 v 2 n v n 1 v n n ) A = 1 1 v 21 v 2 n v n 1 v n n , B = v 11 v 1 n v 21 v 2 n v n 1 v n n A=([1,cdots,1],[v_(21),cdots,v_(2n)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n1),cdots,v_(nn)]),quad B=([v_(11),cdots,v_(1n)],[v_(21),cdots,v_(2n)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n1),cdots,v_(nn)])A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ v_{21} & \cdots & v_{2 n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{n 1} & \cdots & v_{n n}\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc}v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\ v_{21} & \cdots & v_{2 n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{n 1} & \cdots & v_{n n}\end{array}\right)A=(11v21v2nvn1vnn),B=(v11v1nv21v2nvn1vnn) とする. こ
のとき、明らかに, A 1 j = B 1 j ( j = 1 , , n ) A 1 j = B 1 j ( j = 1 , , n ) A_(1j)=B_(1j)(j=1,dots,n)A_{1 j}=B_{1 j}(j=1, \ldots, n)A1j=B1j(j=1,,n) が成り立つ. 求めるべき関係式 の右辺の行列式を第 1 行に関して展開し, この関係式を用いると,
| v 11 v 1 n v n 1 v n n | = j = 1 n v 1 j B 1 j = j = 1 n v 1 j A 1 j = v 1 ( v 2 × × v n ) = | v 1 , v 2 , , v n | v 11 v 1 n v n 1 v n n = j = 1 n v 1 j B 1 j = j = 1 n v 1 j A 1 j = v 1 v 2 × × v n = v 1 , v 2 , , v n {:[|[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,ddots,vdots],[v_(n1),cdots,v_(nn)]|=sum_(j=1)^(n)v_(1j)B_(1j)=sum_(j=1)^(n)v_(1j)A_(1j)],[=v_(1)*(v_(2)xx cdots xxv_(n))=|v_(1),v_(2),dots,v_(n)|]:}\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccc} v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{n 1} & \cdots & v_{n n} \end{array}\right| & =\sum_{j=1}^{n} v_{1 j} B_{1 j}=\sum_{j=1}^{n} v_{1 j} A_{1 j} \\ & =\boldsymbol{v}_{1} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{2} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n}\right)=\left|\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}\right| \end{aligned}|v11v1nvn1vnn|=j=1nv1jB1j=j=1nv1jA1j=v1(v2××vn)=|v1,v2,,vn|
をえる。
次に, ベクトル空間 V V VVV の向きを定義しよう。そのために, まず, ベクトル 空間 V V VVV の基底を定義しよう. ベクトル空間 V V VVV n n nnn 個のベクトルからなる順序対 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) が次の 2 条件を満たすとする:
(i) i = 1 n α i e i = 0 i = 1 n α i e i = 0 sum_(i=1)^(n)alpha_(i)e_(i)=0\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \boldsymbol{e}_{i}=\mathbf{0}i=1nαiei=0 ならば, α 1 = = α n = 0 α 1 = = α n = 0 alpha_(1)=cdots=alpha_(n)=0\alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0α1==αn=0 である;
(ii)任意の v V v V v in V\boldsymbol{v} \in VvV は, v = i = 1 n α i e i ( α 1 , , α n R ) v = i = 1 n α i e i α 1 , , α n R v=sum_(i=1)^(n)alpha_(i)e_(i)(alpha_(1),dots,alpha_(n)inR)\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \boldsymbol{e}_{i}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{R}\right)v=i=1nαiei(α1,,αnR) という形で表せる.
このとき, 順序対 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) V V VVV の基底 (basis) という. V V VVV の基底は無数 に存在するが, V V VVV の基底を構成するべクトルの個数 n n nnn は, V V VVV に対し一意に決 まる(線形代数の本を参照)。この個数 n n nnn V V VVV の次元 (dimension) という.一般に, V V VVV のベクトル v 1 , , v k v 1 , , v k v_(1),dots,v_(k)\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}v1,,vk に対し,次の条件が成り立つとき, v 1 , v 1 , v_(1),dots\boldsymbol{v}_{1}, \ldotsv1,, v k v k v_(k)v_{k}vk は 1 次独立 (linearly independent) であるという:
(i') i = 1 k α i v i = 0 ならば, α 1 = = α k = 0 である. (i') i = 1 k α i v i = 0  ならば,  α 1 = = α k = 0  である.  {:(i')sum_(i=1)^(k)alpha_(i)v_(i)=0" ならば, "alpha_(1)=cdots=alpha_(k)=0" である. ":}\begin{equation*} \sum_{i=1}^{k} \alpha_{i} \boldsymbol{v}_{i}=\mathbf{0} \text { ならば, } \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{k}=0 \text { である. } \tag{i'} \end{equation*}(i')i=1kαivi=0 ならば, α1==αk=0 である. 
V V VVV の基底全体からなる集合を F ( V ) F ( V ) F(V)\mathcal{F}(V)F(V) と表そう. V V VVV の 2 つの基底 E = E = E=E=E= ( e 1 , , e n ) , E ¯ = ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n , E ¯ = e ¯ 1 , , e ¯ n (e_(1),dots,e_(n)), bar(E)=( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right), \bar{E}=\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right)(e1,,en),E¯=(e1,,en) に対し, e i = j = 1 n a i j e j ( i = 1 , , n ) e ¯ i = j = 1 n a i j e j ( i = 1 , , n ) bar(e)_(i)=sum_(j=1)^(n)a_(ij)e_(j)(i=1,dots,n)\overline{\boldsymbol{e}}_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \boldsymbol{e}_{j}(i=1, \ldots, n)ei=j=1naijej(i=1,,n) として 定義される n n nnn 次正方行列 A = ( a i j ) ( a i j A = a i j a i j A=(a_(ij))(a_(ij):}A=\left(a_{i j}\right)\left(a_{i j}\right.A=(aij)(aij ( i , j ) ( i , j ) (i,j)(i, j)(i,j) 成分とする行列)を基底 E E EEE から基底 E ¯ E ¯ bar(E)\bar{E}E¯ への変換行列という。 A A AAA は正則行列になることが示される。 F ( V ) F ( V ) F(V)\mathcal{F}(V)F(V) における同値関係~を次のように定義する:
( e 1 , , e n ) ( e 1 , , e n ) def det ( a i j ) > 0 ( ( a i j ) : 基底 ( e 1 , , e n ) から基底 ( e 1 , , e n ) への変換行列 ) e 1 , , e n e ¯ 1 , , e ¯ n def det a i j > 0 a i j :  基底  e 1 , , e n  から基底  e ¯ 1 , , e ¯ n  への変換行列  {:[(e_(1),dots,e_(n))∼( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n))Longleftrightarrow_(def)det(a_(ij)) > 0],[((a_(ij)):" 基底 "(e_(1),dots,e_(n))" から基底 "( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n))" への変換行列 ")]:}\begin{array}{r} \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) \sim\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right) \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \operatorname{det}\left(a_{i j}\right)>0 \\ \left(\left(a_{i j}\right): \text { 基底 }\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) \text { から基底 }\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right) \text { への変換行列 }\right) \end{array}(e1,,en)(e1,,en)defdet(aij)>0((aij): 基底 (e1,,en) から基底 (e1,,en) への変換行列 )
商集合 F ( V ) / F ( V ) / F(V)//∼\mathcal{F}(V) / \simF(V)/ O ( V ) O ( V ) O(V)\mathcal{O}(V)O(V) と表し, ( e 1 , , e n ) F ( V ) e 1 , , e n F ( V ) (e_(1),dots,e_(n))inF(V)\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) \in \mathcal{F}(V)(e1,,en)F(V) の属する同値類を [ ( e 1 , , e n ) ] e 1 , , e n [(e_(1),dots,e_(n))]\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right][(e1,,en)] と表そう. このとき, O ( V ) O ( V ) O(V)\mathcal{O}(V)O(V) は 2 点集合であることが示される.実際, V V VVV の 1 つの基底 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) に対し,
(1.2.2) O ( V ) = { [ ( e 1 , e 2 , , e n ) ] , [ ( e 1 , e 2 , , e n ) ] } (1.2.2) O ( V ) = e 1 , e 2 , , e n , e 1 , e 2 , , e n {:(1.2.2)O(V)={[(e_(1),e_(2),dots,e_(n))],[(-e_(1),e_(2),dots,e_(n))]}:}\begin{equation*} \mathcal{O}(V)=\left\{\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right],\left[\left(-\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right]\right\} \tag{1.2.2} \end{equation*}(1.2.2)O(V)={[(e1,e2,,en)],[(e1,e2,,en)]}
が成り立つことが示される. O ( V ) O ( V ) O(V)\mathcal{O}(V)O(V) の各元を V V VVV の向き (orientation) といい,一方の向きは, もう一方の向きの逆向き (reverse orientation) とよばれる.
問 1.2.1 式 ( 1 , 2 , 2 ) ( 1 , 2 , 2 ) (1,2,2)(1,2,2)(1,2,2) が成り立つことを示せ.
数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の場合を考えよう. e i o := ( 0 , , 0 , 1 i , 0 , , 0 ) ( i = 1 e i o := 0 , , 0 , 1 i , 0 , , 0 ( i = 1 e_(i)^(o):=(0,dots,0,_(1)^(i),0,dots,0)(i=1\boldsymbol{e}_{i}^{o}:=\left(0, \ldots, 0,{ }_{1}^{i}, 0, \ldots, 0\right)(i=1eio:=(0,,0,1i,0,,0)(i=1, , n ) , n ) dots,n)\ldots, n),n) とする. ここで, 1 & は i i iii 成分が 1 であることを意味する. このとき,
O ( V ) = { [ ( e 1 o , e 2 o , , e n o ) ] , [ ( e 1 o , e 2 o , , e n o ) ] } O ( V ) = e 1 o , e 2 o , , e n o , e 1 o , e 2 o , , e n o O(V)={[(e_(1)^(o),e_(2)^(o),dots,e_(n)^(o))],[(-e_(1)^(o),e_(2)^(o),dots,e_(n)^(o))]}\mathcal{O}(V)=\left\{\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{o}\right)\right],\left[\left(-\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{o}\right)\right]\right\}O(V)={[(e1o,e2o,,eno)],[(e1o,e2o,,eno)]}
となるが, [ ( e 1 o , e 2 o , , e n o ) ] e 1 o , e 2 o , , e n o [(e_(1)^(o),e_(2)^(o),dots,e_(n)^(o))]\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{o}\right)\right][(e1o,e2o,,eno)] R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の正の向き(positive orientation), [ ( e 1 o , e 2 o , , e n o ) ] e 1 o , e 2 o , , e n o [(-e_(1)^(o),e_(2)^(o),dots,e_(n)^(o))]\left[\left(-\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{o}\right)\right][(e1o,e2o,,eno)] R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の負の向き(negative orientation)という. n = n = n=n=n= 2 のとき, [ ( e 1 o , e 2 o ) ] e 1 o , e 2 o [(e_(1)^(o),e_(2)^(o))]\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}\right)\right][(e1o,e2o)] は反時計回り(anticlockwise rotation)とよばれ, [ ( e 1 o , e 2 o ) ] e 1 o , e 2 o [(-e_(1)^(o),e_(2)^(o))]\left[\left(-\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}\right)\right][(e1o,e2o)] は時計回り(clockwise rotation)とよばれる. n = 3 n = 3 n=3n=3n=3 のとき, [ ( e 1 o , e 2 o , e 3 o ) ] e 1 o , e 2 o , e 3 o [(e_(1)^(o),e_(2)^(o),e_(3)^(o))]\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \boldsymbol{e}_{3}^{o}\right)\right][(e1o,e2o,e3o)] は右手系 (right-handed system) とよばれ, [ ( e 1 o , e 2 o , e 3 o ) ] e 1 o , e 2 o , e 3 o [(-e_(1)^(o),e_(2)^(o),e_(3)^(o))]\left[\left(-\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}, \boldsymbol{e}_{3}^{o}\right)\right][(e1o,e2o,e3o)] は 左手系 (left-handed system) とよばれる。
問 1.2.2 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の基底とし, e i = ( e i 1 , , e i n ) ( i = 1 , , n ) e i = e i 1 , , e i n ( i = 1 , , n ) e_(i)=(e_(i1),dots,e_(in))(i=1,dots,n)\boldsymbol{e}_{i}=\left(e_{i 1}, \ldots, e_{i n}\right)(i=1, \ldots, n)ei=(ei1,,ein)(i=1,,n) とす る. このとき, det ( e i j ) > 0 det e i j > 0 det(e_(ij)) > 0\operatorname{det}\left(e_{i j}\right)>0det(eij)>0 ならば, [ ( e 1 , , e n ) ] e 1 , , e n [(e_(1),dots,e_(n))]\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right][(e1,,en)] R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の正の向きであることを 示せ.
外積について, 次の事実が成り立つ.
命題 1.2.3 V V VVV のベクトル v 1 , , v n 1 v 1 , , v n 1 v_(1),dots,v_(n-1)\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}v1,,vn1 が 1 次独立系であるとき, 次の事実 が成り立つ.
(i) v i ( v 1 × × v n 1 ) = 0 ( i = 1 , , n 1 ) v i v 1 × × v n 1 = 0 ( i = 1 , , n 1 ) quadv_(i)*(v_(1)xx dots xxv_(n-1))=0quad(i=1,dots,n-1)\quad \boldsymbol{v}_{i} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \ldots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right)=0 \quad(i=1, \ldots, n-1)vi(v1××vn1)=0(i=1,,n1) である;
(ii) [ ( v 1 × × v n 1 , v 1 , , v n 1 ) ] v 1 × × v n 1 , v 1 , , v n 1 [(v_(1)xx cdots xxv_(n-1),v_(1),dots,v_(n-1))]\left[\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}\right)\right][(v1××vn1,v1,,vn1)] R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の正の向きである;
(iii) v 1 × × v n 1 v 1 × × v n 1 ||v_(1)xx cdots xxv_(n-1)||\left\|\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right\|v1××vn1 は, Span { v 1 , , v n 1 } ( = R n 1 ) Span v 1 , , v n 1 = R n 1 Span{v_(1),dots,v_(n-1)}(=R^(n-1))\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}\right\}\left(=\mathbb{R}^{n-1}\right)Span{v1,,vn1}(=Rn1) の領域
D = { i = 1 n 1 α i v i 0 α i 1 ( i = 1 , , n 1 ) } D = i = 1 n 1 α i v i 0 α i 1 ( i = 1 , , n 1 ) D={sum_(i=1)^(n-1)alpha_(i)v_(i)∣0 <= alpha_(i) <= 1quad(i=1,dots,n-1)}D=\left\{\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_{i} \boldsymbol{v}_{i} \mid 0 \leq \alpha_{i} \leq 1 \quad(i=1, \ldots, n-1)\right\}D={i=1n1αivi0αi1(i=1,,n1)}
( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 次元体積(つまり, ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 重積分 D 1 d x 1 d x n 1 ) D 1 d x 1 d x n 1 {: int cdotsint_(D)1dx_(1)cdots dx_(n-1))\left.\int \cdots \int_{D} 1 d x_{1} \cdots d x_{n-1}\right)D1dx1dxn1) に等しい。
証明 v i = ( v i 1 , , v i n ) ( i = 1 , , n ) v i = v i 1 , , v i n ( i = 1 , , n ) v_(i)=(v_(i1),dots,v_(in))(i=1,dots,n)\boldsymbol{v}_{i}=\left(v_{i 1}, \ldots, v_{i n}\right)(i=1, \ldots, n)vi=(vi1,,vin)(i=1,,n) とする. (i) の主張は, 命題 1.2 .2 を用いて次のように示される:
v i ( v 1 × × v n 1 ) = | v i , v 1 , , v i , , v n 1 | v i v 1 × × v n 1 = v i , v 1 , , v i , , v n 1 v_(i)*(v_(1)xx cdots xxv_(n-1))=|v_(i),v_(1),dots,v_(i),dots,v_(n-1)|\boldsymbol{v}_{i} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right)=\left|\boldsymbol{v}_{i}, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{i}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}\right|vi(v1××vn1)=|vi,v1,,vi,,vn1|
= | v i 1 v i n v 11 v 1 n v i 1 v i n v n 1 , 1 v n 1 , n | = 0 = v i 1 v i n v 11 v 1 n v i 1 v i n v n 1 , 1 v n 1 , n = 0 =|[v_(i1),cdots,v_(in)],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,cdots,vdots],[v_(i1),cdots,v_(in)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)]|=0=\left|\begin{array}{ccc} v_{i 1} & \cdots & v_{i n} \\ v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{i 1} & \cdots & v_{i n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n} \end{array}\right|=0=|vi1vinv11v1nvi1vinvn1,1vn1,n|=0
次に, (ii)の主張を示そう. A = ( 1 1 v 11 v 1 n v n 1 , 1 v n 1 , n ) A = 1 1 v 11 v 1 n v n 1 , 1 v n 1 , n A=([1,cdots,1],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,cdots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)])A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n}\end{array}\right)A=(11v11v1nvn1,1vn1,n) とする.この とき, v 1 × × v n 1 = ( A 11 , , A 1 n ) v 1 × × v n 1 = A 11 , , A 1 n v_(1)xx cdots xxv_(n-1)=(A_(11),dots,A_(1n))\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}=\left(A_{11}, \ldots, A_{1 n}\right)v1××vn1=(A11,,A1n) となり, 一方, 行列式の展開を用 いて,
| A 11 A 1 n v 11 v 1 n v n 1 , 1 v n 1 , n | = j = 1 n A 1 j 2 > 0 A 11 A 1 n v 11 v 1 n v n 1 , 1 v n 1 , n = j = 1 n A 1 j 2 > 0 |[A_(11),cdots,A_(1n)],[v_(11),cdots,v_(1n)],[vdots,ddots,vdots],[v_(n-1,1),cdots,v_(n-1,n)]|=sum_(j=1)^(n)A_(1j)^(2) > 0\left|\begin{array}{ccc} A_{11} & \cdots & A_{1 n} \\ v_{11} & \cdots & v_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{n-1,1} & \cdots & v_{n-1, n} \end{array}\right|=\sum_{j=1}^{n} A_{1 j}^{2}>0|A11A1nv11v1nvn1,1vn1,n|=j=1nA1j2>0
が示される。それゆえ,問 1.2 .2 から, ( v 1 , , v n 1 , v 1 × × v n 1 ) v 1 , , v n 1 , v 1 × × v n 1 (v_(1),dots,v_(n-1),v_(1)xx cdots xxv_(n-1))\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}, \boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right)(v1,,vn1,v1××vn1) R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の正の向きであることがわかる。(iii)の証明は長い計算を要するので, 省く.
命題 1.2 .3 によれば, R 3 R 3 R^(3)\mathbb{R}^{3}R3 の 1 次独立なベクトル v 1 , v 2 v 1 , v 2 v_(1),v_(2)\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}v1,v2 の外積 v 1 × v 2 v 1 × v 2 v_(1)xxv_(2)\boldsymbol{v}_{1} \times \boldsymbol{v}_{2}v1×v2 は図 1.2.1 のようになる。
スカラー n n nnn 重積について, 次の事実が成り立つ.
命題 1.2.4 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)(e1,,en) V V VVV の基底とし, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の領域 D D DDD
D = { i = 1 n α i e i 0 α i 1 ( i = 1 , , n ) } D = i = 1 n α i e i 0 α i 1 ( i = 1 , , n ) D={sum_(i=1)^(n)alpha_(i)e_(i)∣0 <= alpha_(i) <= 1quad(i=1,dots,n)}D=\left\{\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \boldsymbol{e}_{i} \mid 0 \leq \alpha_{i} \leq 1 \quad(i=1, \ldots, n)\right\}D={i=1nαiei0αi1(i=1,,n)}
図 1.2.1 R 3 R 3 R^(3)\mathbb{R}^{3}R3 の 2 つのベクトルの外積
によって定める.このとき,次の事実が成り立つ:
| e 1 , , e n | = { D n 次元体積 ( [ ( e 1 , , e n ) ] が正の向きのとき ) ( D n 次元体積 ) × ( 1 ) ( [ ( e 1 , , e n ) ] が負の向きのとき ) . e 1 , , e n = D  の  n  次元体積  e 1 , , e n  が正の向きのとき  ( D  の  n  次元体積  ) × ( 1 ) e 1 , , e n  が負の向きのとき  . {:[|e_(1),dots,e_(n)|],[={[D" の "n" 次元体積 ",([(e_(1),dots,e_(n))]" が正の向きのとき ")],[(D" の "n" 次元体積 ")xx(-1),([(e_(1),dots,e_(n))]" が負の向きのとき ").]:}]:}\begin{aligned} & \left|\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right| \\ = & \begin{cases}D \text { の } n \text { 次元体積 } & \left(\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right] \text { が正の向きのとき }\right) \\ (D \text { の } n \text { 次元体積 }) \times(-1) & \left(\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right] \text { が負の向きのとき }\right) .\end{cases} \end{aligned}|e1,,en|={D の n 次元体積 ([(e1,,en)] が正の向きのとき )(D の n 次元体積 )×(1)([(e1,,en)] が負の向きのとき ).
ここで, D D DDD n n nnn 次元体積は, n n nnn 重積分 D 1 d x 1 d x n D 1 d x 1 d x n int cdotsint_(D)1dx_(1)cdots dx_(n)\int \cdots \int_{D} 1 d x_{1} \cdots d x_{n}D1dx1dxn を意味する.
証明この事実は, スカラー n n nnn 重積の定義, および命題 1.2 .3 を用いて示さ れる。
数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の 1 次独立系 ( v 1 , , v k ) v 1 , , v k (v_(1),dots,v_(k))\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)(v1,,vk) に対し,
det ( v i v j ) = | v 1 v 1 v 1 v k v k v 1 v k v k | det v i v j = v 1 v 1 v 1 v k v k v 1 v k v k det(v_(i)*v_(j))=|[v_(1)*v_(1),cdots,v_(1)*v_(k)],[vdots,ddots,vdots],[v_(k)*v_(1),cdots,v_(k)*v_(k)]|\operatorname{det}\left(\boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{j}\right)=\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{v}_{1} \cdot \boldsymbol{v}_{1} & \cdots & \boldsymbol{v}_{1} \cdot \boldsymbol{v}_{k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \boldsymbol{v}_{k} \cdot \boldsymbol{v}_{1} & \cdots & \boldsymbol{v}_{k} \cdot \boldsymbol{v}_{k} \end{array}\right|det(vivj)=|v1v1v1vkvkv1vkvk|
は, ( v 1 , , v k ) v 1 , , v k (v_(1),dots,v_(k))\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)(v1,,vk) のグラミアン (grammian) とよばれる.グラミアンについ て, 次の事実が成り立つ.
命題 1.2.5 (i) 数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の任意の 1 次独立系 ( v 1 , , v k ) v 1 , , v k (v_(1),dots,v_(k))\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)(v1,,vk) に対 し, det ( v i v j ) > 0 det v i v j > 0 det(v_(i)*v_(j)) > 0\operatorname{det}\left(\boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{j}\right)>0det(vivj)>0 が成り立つ.
(ii) 数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 個のベクトルからなる 1 次独立系 ( v 1 v 1 (v_(1):}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right.(v1, , v n 1 ) , v n 1 {: dots,v_(n-1))\left.\ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}\right),vn1) に対し, v 1 × × v n 1 2 = det ( v i v j ) v 1 × × v n 1 2 = det v i v j ||v_(1)xx cdots xxv_(n-1)||^(2)=det(v_(i)*v_(j))\left\|\boldsymbol{v}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{v}_{n-1}\right\|^{2}=\operatorname{det}\left(\boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{j}\right)v1××vn12=det(vivj) が成り立つ.
(iii)数べクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の基底 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) に対し, | e 1 , , e n | 2 = e 1 , , e n 2 = |e_(1),dots,e_(n)|^(2)=\left|\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right|^{2}=|e1,,en|2= det ( e i e j ) det e i e j det(e_(i)*e_(j))\operatorname{det}\left(\boldsymbol{e}_{i} \cdot \boldsymbol{e}_{j}\right)det(eiej) が成り立つ.
証明 これらの事実の証明は長い計算を要するので, 省く.
問 1.2.3 n = 3 n = 3 n=3n=3n=3 の場合に, 命題 1.2.5 の(ii)における関係式を示せ.
次に,アフィン空間 A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An のユークリッド計量を定義する。前節で述べたよう に, アフィン空間 A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An の点 p p ppp における接空間 T p A n T p A n T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}TpAn は 1 対 1 対応
F p : T p A n R n def F p ( c ( 0 ) ) = ( c 1 ( 0 ) , , c n ( 0 ) ) ( c ( 0 ) T p A n ) F p : T p A n R n def F p c ( 0 ) = c 1 ( 0 ) , , c n ( 0 ) c ( 0 ) T p A n F_(p):T_(p)A^(n)rarrR^(n)Longleftrightarrow_(def)F_(p)(c^(')(0))=(c_(1)^(')(0),dots,c_(n)^(')(0))quad(c^(')(0)inT_(p)A^(n))F_{p}: T_{p} \mathbb{A}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} F_{p}\left(c^{\prime}(0)\right)=\left(c_{1}^{\prime}(0), \ldots, c_{n}^{\prime}(0)\right) \quad\left(c^{\prime}(0) \in T_{p} \mathbb{A}^{n}\right)Fp:TpAnRndefFp(c(0))=(c1(0),,cn(0))(c(0)TpAn)
を通じて R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn と同一視される。それゆえ, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の内積・から F p F p F_(p)F_{p}Fp を通じて T p A n T p A n T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}TpAn の内積が定義される。 この内積を ( g E ) p g E p (g_(E))_(p)\left(g_{\mathbb{E}}\right)_{p}(gE)p と表し, 各点 p A n p A n p inA^(n)p \in \mathbb{A}^{n}pAn に対し, ( g E ) p g E p (g_(E))_(p)\left(g_{\mathbb{E}}\right)_{p}(gE)p を対応させる対応 g E g E g_(E)g_{\mathbb{E}}gE A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An 上のリーマン計量とよばれるものの一つになる (一般に, 多様体上でリーマン計量という概念が定義される(第 3 章を参照)). g E g E g_(E)g_{\mathbb{E}}gE は, A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An のユークリッド計量 (Euclidean metric) とよばれる。また, 組 ( A n , g E ) A n , g E (A^(n),g_(E))\left(\mathbb{A}^{n}, g_{\mathbb{E}}\right)(An,gE) n n n\boldsymbol{n}n 次元ユークリッド空間 ( n ( n (n(\boldsymbol{n}(n-dimensional Euclidean space) と よばれ, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En と表される。
ユークリッド幾何学 (Euclidean geometry) とは, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 内の図形の性質で E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En の等長変換とよばれる変換たちで不変なものを調べる学問である. 等長変換の定義については, 5.4 節を参照のこと.

1.3 ベクトル値関数の微分・偏微分

この節において, ベクトル値関数, および, その微分可能性・偏微分可能性 を定義する. ある集合 D D DDD からベクトル空間 V V VVV への写像を D D DDD 上の V V VVV に値をと るベクトル値関数 (vector-valued function) という. I I III を区間とし, x x x\boldsymbol{x}x I I III上の n n nnn 次元数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn に値をとるベクトル値関数とする. t 0 I t 0 I t_(0)in It_{0} \in It0I を固定する。ある b R n b R n b inR^(n)\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{n}bRn に対し, lim t t 0 x ( t ) b = 0 lim t t 0 x ( t ) b = 0 lim_(t rarrt_(0))||x(t)-b||=0\lim _{t \rightarrow t_{0}}\|\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{b}\|=0limtt0x(t)b=0, つまり,
ε > 0 ; δ > 0 ; [ 0 < | t t 0 | < δ x ( t ) b < ε ] ε > 0 ; δ > 0 ; 0 < t t 0 < δ x ( t ) b < ε AA epsi > 0;EE delta > 0;[0 < |t-t_(0)| < delta=>||x(t)-b|| < epsi]\forall \varepsilon>0 ; \exists \delta>0 ;\left[0<\left|t-t_{0}\right|<\delta \Rightarrow\|\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{b}\|<\varepsilon\right]ε>0;δ>0;[0<|tt0|<δx(t)b<ε]
が成り立つとき, t t 0 t t 0 t rarrt_(0)t \rightarrow t_{0}tt0 のとき, x ( t ) x ( t ) x(t)x(t)x(t) b b bbb に収束する ( x ( t ) ( x ( t ) (x(t)(x(t)(x(t) converges to b b bbb as t t 0 t t 0 t rarrt_(0)t \rightarrow t_{0}tt0 ) といい, b b bbb を極限値(limit value)という. この事実を lim t t 0 x ( t ) = b lim t t 0 x ( t ) = b lim_(t rarrt_(0))x(t)=b\lim _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{b}limtt0x(t)=b と表す. 特に, lim t t 0 x ( t ) = x ( t 0 ) lim t t 0 x ( t ) = x t 0 lim_(t rarrt_(0))x(t)=x(t_(0))\lim _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)limtt0x(t)=x(t0) が成り立つとき, ベクトル値関数 x x x\boldsymbol{x}x t 0 t 0 t_(0)t_{0}t0 において連続である( x x x\boldsymbol{x}x is continuous at t 0 t 0 t_(0)t_{0}t0 ) という. x x x\boldsymbol{x}x I I III の各点で連続であるとき, x x x\boldsymbol{x}x は連続である( x x x\boldsymbol{x}x is continuous)という.
次に, ベクトル値関数 x : I R n x : I R n x:I rarrR^(n)\boldsymbol{x}: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}x:IRn の微分可能性を定義する. 極限
lim t t 0 x ( t ) x ( t 0 ) t t 0 lim t t 0 x ( t ) x t 0 t t 0 lim_(t rarrt_(0))(x(t)-x(t_(0)))/(t-t_(0))\lim _{t \rightarrow t_{0}} \frac{\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}}limtt0x(t)x(t0)tt0
が存在するとき, x x x\boldsymbol{x}x t 0 t 0 t_(0)t_{0}t0 において微分可能である ( x ( x (x(\boldsymbol{x}(x is differentiable at t 0 t 0 t_(0)\boldsymbol{t}_{\mathbf{0}}t0 )という。また, この極限ベクトルは x x x\boldsymbol{x}x t 0 t 0 t_(0)t_{0}t0 における微分係数(derivative)とよばれ, x ( t 0 ) x t 0 x^(')(t_(0))\boldsymbol{x}^{\prime}\left(t_{0}\right)x(t0) と表される。 x x x\boldsymbol{x}x I I III の各点で微分可能であるとき, x x x\boldsymbol{x}x は微分可能である( x x x\boldsymbol{x}x is differentiable)といい, 各 t I t I t in It \in ItI に対し, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の ベクトル x ( t ) x ( t ) x^(')(t)\boldsymbol{x}^{\prime}(t)x(t) を対応させることにより定義される I I III 上のベクトル値関数を x x x\boldsymbol{x}x の導関数(derivative)という. x x x\boldsymbol{x}x の導関数は x x x^(')\boldsymbol{x}^{\prime}x と表される.
次に, ベクトル値関数 x : I R n x : I R n x:I rarrR^(n)\boldsymbol{x}: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}x:IRn C r C r C^(r)C^{r}Cr 級性 ( r 0 ) ( r 0 ) (r >= 0)(r \geq 0)(r0) を定義しよう. x x x\boldsymbol{x}x が微分可能で, その導関数 x x x^(')\boldsymbol{x}^{\prime}x も微分可能であるとき, x x x\boldsymbol{x}x は 2 回微分可能で

と表し, x x x\boldsymbol{x}x の 2 次導関数(the second derivative)という。さらに, x x x^('')\boldsymbol{x}^{\prime \prime}x も微分可能であるとき, x x x\boldsymbol{x}x は 3 回微分可能である ( x ( x (x(\boldsymbol{x}(x is differentiable 3-times) といい, x x x^('')\boldsymbol{x}^{\prime \prime}x の導関数 ( x ) x (x^(''))^(')\left(\boldsymbol{x}^{\prime \prime}\right)^{\prime}(x) x x x^(''')\boldsymbol{x}^{\prime \prime \prime}x または x ( 3 ) x ( 3 ) x^((3))\boldsymbol{x}^{(3)}x(3) と表し, x x x\boldsymbol{x}x の 3 次導関数(the third derivative) という。以下, 帰納的に x x x\boldsymbol{x}x k k k\boldsymbol{k}k 回微分可能性(differentiability k k k\boldsymbol{k}k-times) ( k = 4 , 5 , ) ( k = 4 , 5 , ) (k=4,5,dots)(k=4,5, \ldots)(k=4,5,), および k k k\boldsymbol{k}k 次導関数(the k k k\boldsymbol{k}k-th derivative) x ( k ) ( k = 4 , 5 , ) x ( k ) ( k = 4 , 5 , ) x^((k))(k=4,5,dots)\boldsymbol{x}^{(k)}(k=4,5, \ldots)x(k)(k=4,5,) を定義していくことができる. x x x\boldsymbol{x}x r r rrr 回微分可能で r r rrr 次導関数 x ( r ) x ( r ) x^((r))\boldsymbol{x}^{(r)}x(r) が連続であるとき, x x x\boldsymbol{x}x r r r\boldsymbol{r}r 回連続微分可能である( x x x\boldsymbol{x}x is continuously differentiable r r r\boldsymbol{r}r-times), または x x x\boldsymbol{x}x C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 級である( x x x\boldsymbol{x}x is of class C r ) C r {:C^(r))\left.C^{r}\right)Cr) という.
命題 1.3.1 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , , x n ( t ) ) ( t I ) x ( t ) = x 1 ( t ) , , x n ( t ) ( t I ) x(t)=(x_(1)(t),dots,x_(n)(t))(t in I)\boldsymbol{x}(t)=\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)(t \in I)x(t)=(x1(t),,xn(t))(tI) とするとき, 次の事実が成り 立つ.
(i) x x x\boldsymbol{x}x k k kkk 回微分可能であることと各 x i ( t ) ( i = 1 , , n ) x i ( t ) ( i = 1 , , n ) x_(i)(t)(i=1,dots,n)x_{i}(t)(i=1, \ldots, n)xi(t)(i=1,,n) k k kkk 回微分可能 であることは同値である。
(ii) 次式が成り立つ:
x ( k ) ( t ) = ( x 1 ( k ) ( t ) , , x n ( k ) ( t ) ) x ( k ) ( t ) = x 1 ( k ) ( t ) , , x n ( k ) ( t ) x^((k))(t)=(x_(1)^((k))(t),dots,x_(n)^((k))(t))\boldsymbol{x}^{(k)}(t)=\left(x_{1}^{(k)}(t), \ldots, x_{n}^{(k)}(t)\right)x(k)(t)=(x1(k)(t),,xn(k)(t))
これらの事実は, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn における加法, 実数倍, および, ノルムの定義から容易に示されるので,証明は省く。
次に,区間 I I III 上の R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn に値をとるベクトル値関数同士の和・内積, および,外積を定義する。 I I III 上の R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn に值をとるベクトル値関数 x , y x , y x,y\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}x,y に対し, x x x\boldsymbol{x}x y y y\boldsymbol{y}y の和 x + y x + y x+y\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}x+y, および内積 x y x y x*y\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}xy を,各々,
( x + y ) ( t ) := x ( t ) + y ( t ) ( t I ) ( x y ) ( t ) := x ( t ) y ( t ) ( t I ) ( x + y ) ( t ) := x ( t ) + y ( t ) ( t I ) ( x y ) ( t ) := x ( t ) y ( t ) ( t I ) {:[(x+y)(t):=x(t)+y(t)quad(t in I)],[(x*y)(t):=x(t)*y(t)quad(t in I)]:}\begin{aligned} & (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})(t):=\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{y}(t) \quad(t \in I) \\ & (\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y})(t):=\boldsymbol{x}(t) \cdot \boldsymbol{y}(t) \quad(t \in I) \end{aligned}(x+y)(t):=x(t)+y(t)(tI)(xy)(t):=x(t)y(t)(tI)
によって定義する. f f fff I I III 上の関数とする. x x x\boldsymbol{x}x f f fff f x f x fxf \boldsymbol{x}fx
( f x ) ( t ) := f ( t ) x ( t ) ( t I ) ( f x ) ( t ) := f ( t ) x ( t ) ( t I ) (fx)(t):=f(t)x(t)quad(t in I)(f \boldsymbol{x})(t):=f(t) \boldsymbol{x}(t) \quad(t \in I)(fx)(t):=f(t)x(t)(tI)
によって定義する。また, I I III 上の R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn に値をとるべクトル値関数 x 1 , , x n 1 x 1 , , x n 1 x_(1),dots,x_(n-1)\boldsymbol{x}_{1}, \ldots, \boldsymbol{x}_{n-1}x1,,xn1 に対し,それらの外積 x 1 × × x n 1 x 1 × × x n 1 x_(1)xx cdots xxx_(n-1)\boldsymbol{x}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{n-1}x1××xn1
( x 1 × × x n 1 ) ( t ) := x 1 ( t ) × × x n 1 ( t ) ( t I ) x 1 × × x n 1 ( t ) := x 1 ( t ) × × x n 1 ( t ) ( t I ) (x_(1)xx cdots xxx_(n-1))(t):=x_(1)(t)xx cdots xxx_(n-1)(t)quad(t in I)\left(\boldsymbol{x}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{n-1}\right)(t):=\boldsymbol{x}_{1}(t) \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{n-1}(t) \quad(t \in I)(x1××xn1)(t):=x1(t)××xn1(t)(tI)
によって定義する.
命題 1.3.2 x , y , f , x 1 , , x n 1 x , y , f , x 1 , , x n 1 x,y,f,x_(1),dots,x_(n-1)\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, f, \boldsymbol{x}_{1}, \ldots, \boldsymbol{x}_{n-1}x,y,f,x1,,xn1 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ならば, x + y , x y , f x x + y , x y , f x x+y,x*y,fx\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}, f \boldsymbol{x}x+y,xy,fx, およ び x 1 × × x n 1 x 1 × × x n 1 x_(1)xx dots xxx_(n-1)\boldsymbol{x}_{1} \times \ldots \times \boldsymbol{x}_{n-1}x1××xn1 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であり,次の関係式が成り立つ.
(i) ( x + y ) ( t ) = x ( t ) + y ( t ) ( x + y ) ( t ) = x ( t ) + y ( t ) quad(x+y)^(')(t)=x^(')(t)+y^(')(t)\quad(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\prime}(t)=\boldsymbol{x}^{\prime}(t)+\boldsymbol{y}^{\prime}(t)(x+y)(t)=x(t)+y(t);
(ii) ( f x ) ( t ) = f ( t ) x ( t ) + f ( t ) x ( t ) ( f x ) ( t ) = f ( t ) x ( t ) + f ( t ) x ( t ) quad(fx)^(')(t)=f^(')(t)x(t)+f(t)x^(')(t)\quad(f \boldsymbol{x})^{\prime}(t)=f^{\prime}(t) \boldsymbol{x}(t)+f(t) \boldsymbol{x}^{\prime}(t)(fx)(t)=f(t)x(t)+f(t)x(t);
(iii) ( x y ) ( t ) = x ( t ) y ( t ) + x ( t ) y ( t ) ( x y ) ( t ) = x ( t ) y ( t ) + x ( t ) y ( t ) (x*y)^(')(t)=x^(')(t)*y(t)+x(t)*y^(')(t)(\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y})^{\prime}(t)=\boldsymbol{x}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{y}(t)+\boldsymbol{x}(t) \cdot \boldsymbol{y}^{\prime}(t)(xy)(t)=x(t)y(t)+x(t)y(t);
(iv) ( x 1 × × x n 1 ) ( t ) = i = 1 n 1 ( x 1 ( t ) × × x i ( t ) × × x n 1 ( t ) ) x 1 × × x n 1 ( t ) = i = 1 n 1 x 1 ( t ) × × x i ( t ) × × x n 1 ( t ) (x_(1)xx cdots xxx_(n-1))^(')(t)=sum_(i=1)^(n-1)(x_(1)(t)xx cdots xxx_(i)^(')(t)xx cdots xxx_(n-1)(t))\left(\boldsymbol{x}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{n-1}\right)^{\prime}(t)=\sum_{i=1}^{n-1}\left(\boldsymbol{x}_{1}(t) \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{i}^{\prime}(t) \times \cdots \times \boldsymbol{x}_{n-1}(t)\right)(x1××xn1)(t)=i=1n1(x1(t)××xi(t)××xn1(t)).
証明 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , , x n ( t ) ) , y ( t ) = ( y 1 ( t ) , , y n ( t ) ) , x i ( t ) = ( x i 1 ( t ) x ( t ) = x 1 ( t ) , , x n ( t ) , y ( t ) = y 1 ( t ) , , y n ( t ) , x i ( t ) = x i 1 ( t ) x(t)=(x_(1)(t),dots,x_(n)(t)),y(t)=(y_(1)(t),dots,y_(n)(t)),x_(i)(t)=(x_(i1)(t):}\boldsymbol{x}(t)=\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right), \boldsymbol{y}(t)=\left(y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)\right), \boldsymbol{x}_{i}(t)=\left(x_{i 1}(t)\right.x(t)=(x1(t),,xn(t)),y(t)=(y1(t),,yn(t)),xi(t)=(xi1(t), , x i n ( t ) ) ( i = 1 , , n 1 ) , x i n ( t ) ( i = 1 , , n 1 ) {: dots,x_(in)(t))(i=1,dots,n-1)\left.\ldots, x_{i n}(t)\right)(i=1, \ldots, n-1),xin(t))(i=1,,n1) とする. ず,式(i)を示そう.
( x + y ) ( t ) = ( x 1 ( t ) + y 1 ( t ) , , x n ( t ) + y n ( t ) ) ( x + y ) ( t ) = x 1 ( t ) + y 1 ( t ) , , x n ( t ) + y n ( t ) (x+y)(t)=(x_(1)(t)+y_(1)(t),dots,x_(n)(t)+y_(n)(t))(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})(t)=\left(x_{1}(t)+y_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)+y_{n}(t)\right)(x+y)(t)=(x1(t)+y1(t),,xn(t)+yn(t))
となるので,命題1.3.1の (ii) より,
( x + y ) ( t ) = ( x 1 ( t ) + y 1 ( t ) , , x n ( t ) + y n ( t ) ) = ( x 1 ( t ) , , x n ( t ) ) + ( y 1 ( t ) , , y n ( t ) ) = x ( t ) + y ( t ) ( x + y ) ( t ) = x 1 ( t ) + y 1 ( t ) , , x n ( t ) + y n ( t ) = x 1 ( t ) , , x n ( t ) + y 1 ( t ) , , y n ( t ) = x ( t ) + y ( t ) {:[(x+y)^(')(t)=(x_(1)^(')(t)+y_(1)^(')(t),dots,x_(n)^(')(t)+y_(n)^(')(t))],[=(x_(1)^(')(t),dots,x_(n)^(')(t))+(y_(1)^(')(t),dots,y_(n)^(')(t))=x^(')(t)+y^(')(t)]:}\begin{aligned} (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\prime}(t) & =\left(x_{1}^{\prime}(t)+y_{1}^{\prime}(t), \ldots, x_{n}^{\prime}(t)+y_{n}^{\prime}(t)\right) \\ & =\left(x_{1}^{\prime}(t), \ldots, x_{n}^{\prime}(t)\right)+\left(y_{1}^{\prime}(t), \ldots, y_{n}^{\prime}(t)\right)=\boldsymbol{x}^{\prime}(t)+\boldsymbol{y}^{\prime}(t) \end{aligned}(x+y)(t)=(x1(t)+y1(t),,xn(t)+yn(t))=(x1(t),,xn(t))+(y1(t),,yn(t))=x(t)+y(t)
をえる. このように, 式 (i) が示される. 次に, 式 (ii)を示そう.
16 第 1 章 ベクトル解析におけるストークスの定理・変分公式
( f x ) ( t ) = f ( t ) x ( t ) = ( f ( t ) x 1 ( t ) , , f ( t ) x n ( t ) ) ( f x ) ( t ) = f ( t ) x ( t ) = f ( t ) x 1 ( t ) , , f ( t ) x n ( t ) (fx)(t)=f(t)x(t)=(f(t)x_(1)(t),dots,f(t)x_(n)(t))(f \boldsymbol{x})(t)=f(t) \boldsymbol{x}(t)=\left(f(t) x_{1}(t), \ldots, f(t) x_{n}(t)\right)(fx)(t)=f(t)x(t)=(f(t)x1(t),,f(t)xn(t))
となるので, 命題1.3.1の (ii)より,
( f x ) ( t ) = ( f ( t ) x 1 ( t ) + f ( t ) x 1 ( t ) , , f ( t ) x n ( t ) + f ( t ) x n ( t ) ) = f ( t ) ( x 1 ( t ) , , x n ( t ) ) + f ( t ) ( x 1 ( t ) , , x n ( t ) ) = f ( t ) x ( t ) + f ( t ) x ( t ) ( f x ) ( t ) = f ( t ) x 1 ( t ) + f ( t ) x 1 ( t ) , , f ( t ) x n ( t ) + f ( t ) x n ( t ) = f ( t ) x 1 ( t ) , , x n ( t ) + f ( t ) x 1 ( t ) , , x n ( t ) = f ( t ) x ( t ) + f ( t ) x ( t ) {:[(fx)^(')(t)=(f^(')(t)x_(1)(t)+f(t)x_(1)^(')(t),dots,f^(')(t)x_(n)(t)+f(t)x_(n)^(')(t))],[=f^(')(t)(x_(1)(t),dots,x_(n)(t))+f(t)(x_(1)^(')(t),dots,x_(n)^(')(t))],[=f^(')(t)x(t)+f(t)x^(')(t)]:}\begin{aligned} (f \boldsymbol{x})^{\prime}(t) & =\left(f^{\prime}(t) x_{1}(t)+f(t) x_{1}^{\prime}(t), \ldots, f^{\prime}(t) x_{n}(t)+f(t) x_{n}^{\prime}(t)\right) \\ & =f^{\prime}(t)\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)+f(t)\left(x_{1}^{\prime}(t), \ldots, x_{n}^{\prime}(t)\right) \\ & =f^{\prime}(t) \boldsymbol{x}(t)+f(t) \boldsymbol{x}^{\prime}(t) \end{aligned}(fx)(t)=(f(t)x1(t)+f(t)x1(t),,f(t)xn(t)+f(t)xn(t))=f(t)(x1(t),,xn(t))+f(t)(x1(t),,xn(t))=f(t)x(t)+f(t)x(t)
をえる. このように, 式 (ii) が示される. 次に, 式 (iii) を示そう.
( x y ) ( t ) = x ( t ) y ( t ) = i = 1 n x i ( t ) y i ( t ) ( x y ) ( t ) = x ( t ) y ( t ) = i = 1 n x i ( t ) y i ( t ) (x*y)(t)=x(t)*y(t)=sum_(i=1)^(n)x_(i)(t)y_(i)(t)(\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y})(t)=\boldsymbol{x}(t) \cdot \boldsymbol{y}(t)=\sum_{i=1}^{n} x_{i}(t) y_{i}(t)(xy)(t)=x(t)y(t)=i=1nxi(t)yi(t)
となるので,
( x y ) ( t ) = i = 1 n ( x i ( t ) y i ( t ) + x i ( t ) y i ( t ) ) = i = 1 n x i ( t ) y i ( t ) + i = 1 n x i ( t ) y i ( t ) = x ( t ) y ( t ) + x ( t ) y ( t ) ( x y ) ( t ) = i = 1 n x i ( t ) y i ( t ) + x i ( t ) y i ( t ) = i = 1 n x i ( t ) y i ( t ) + i = 1 n x i ( t ) y i ( t ) = x ( t ) y ( t ) + x ( t ) y ( t ) {:[(x*y)^(')(t)=sum_(i=1)^(n)(x_(i)^(')(t)y_(i)(t)+x_(i)(t)y_(i)^(')(t))],[=sum_(i=1)^(n)x_(i)^(')(t)y_(i)(t)+sum_(i=1)^(n)x_(i)(t)y_(i)^(')(t)],[=x^(')(t)*y(t)+x(t)*y^(')(t)]:}\begin{aligned} (\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y})^{\prime}(t) & =\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}^{\prime}(t) y_{i}(t)+x_{i}(t) y_{i}^{\prime}(t)\right) \\ & =\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(t) y_{i}(t)+\sum_{i=1}^{n} x_{i}(t) y_{i}^{\prime}(t) \\ & =\boldsymbol{x}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{y}(t)+\boldsymbol{x}(t) \cdot \boldsymbol{y}^{\prime}(t) \end{aligned}(xy)(t)=i=1n(xi(t)yi(t)+xi(t)yi(t))=i=1nxi(t)yi(t)+i=1nxi(t)yi(t)=x(t)y(t)+x(t)y(t)
をえる. このように, 式 (iii) が示される。最後に, 式 (iv)を示そう. 簡単の ため, n = 3 n = 3 n=3n=3n=3 の場合を考えよう. この場合,
( x 1 × x 2 ) ( t ) = x 1 ( t ) × x 2 ( t ) = ( | x 12 ( t ) x 13 ( t ) x 22 ( t ) x 23 ( t ) | , | x 13 ( t ) x 11 ( t ) x 23 ( t ) x 21 ( t ) | , | x 11 ( t ) x 12 ( t ) x 21 ( t ) x 22 ( t ) | ) x 1 × x 2 ( t ) = x 1 ( t ) × x 2 ( t ) = x 12 ( t ) x 13 ( t ) x 22 ( t ) x 23 ( t ) , x 13 ( t ) x 11 ( t ) x 23 ( t ) x 21 ( t ) , x 11 ( t ) x 12 ( t ) x 21 ( t ) x 22 ( t ) {:[(x_(1)xxx_(2))(t)],[=x_(1)(t)xxx_(2)(t)],[=(|[x_(12)(t),x_(13)(t)],[x_(22)(t),x_(23)(t)]|,|[x_(13)(t),x_(11)(t)],[x_(23)(t),x_(21)(t)]|,|[x_(11)(t),x_(12)(t)],[x_(21)(t),x_(22)(t)]|)]:}\begin{aligned} & \left(\boldsymbol{x}_{1} \times \boldsymbol{x}_{2}\right)(t) \\ = & \boldsymbol{x}_{1}(t) \times \boldsymbol{x}_{2}(t) \\ = & \left(\left|\begin{array}{ll} x_{12}(t) & x_{13}(t) \\ x_{22}(t) & x_{23}(t) \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} x_{13}(t) & x_{11}(t) \\ x_{23}(t) & x_{21}(t) \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} x_{11}(t) & x_{12}(t) \\ x_{21}(t) & x_{22}(t) \end{array}\right|\right) \end{aligned}(x1×x2)(t)=x1(t)×x2(t)=(|x12(t)x13(t)x22(t)x23(t)|,|x13(t)x11(t)x23(t)x21(t)|,|x11(t)x12(t)x21(t)x22(t)|)
となるので, 命題 1.3.1より,
( x 1 × x 2 ) ( t ) = ( | x 12 ( t ) x 13 ( t ) x 22 ( t ) x 23 ( t ) | + | x 12 ( t ) x 13 ( t ) x 22 ( t ) x 23 ( t ) | , | x 13 ( t ) x 11 ( t ) x 23 ( t ) x 21 ( t ) | + | x 13 ( t ) x 11 ( t ) x 23 ( t ) x 21 ( t ) | | x 11 ( t ) x 12 ( t ) x 21 ( t ) x 22 ( t ) | + | x 11 ( t ) x 12 ( t ) x 21 ( t ) x 22 ( t ) | ) x 1 × x 2 ( t ) = x 12 ( t ) x 13 ( t ) x 22 ( t ) x 23 ( t ) + x 12 ( t ) x 13 ( t ) x 22 ( t ) x 23 ( t ) , x 13 ( t ) x 11 ( t ) x 23 ( t ) x 21 ( t ) + x 13 ( t ) x 11 ( t ) x 23 ( t ) x 21 ( t ) x 11 ( t ) x 12 ( t ) x 21 ( t ) x 22 ( t ) + x 11 ( t ) x 12 ( t ) x 21 ( t ) x 22 ( t ) {:[(x_(1)xxx_(2))^(')(t)],[=(|[x_(12)^(')(t),x_(13)^(')(t)],[x_(22)(t),x_(23)(t)]|+|[x_(12)(t),x_(13)(t)],[x_(22)^(')(t),x_(23)^(')(t)]|,|[x_(13)^(')(t),x_(11)^(')(t)],[x_(23)(t),x_(21)(t)]|+|[x_(13)(t),x_(11)(t)],[x_(23)^(')(t),x_(21)^(')(t)]|:}],[{:|[x_(11)^(')(t),x_(12)^(')(t)],[x_(21)(t),x_(22)(t)]|+|[x_(11)(t),x_(12)(t)],[x_(21)^(')(t),x_(22)^(')(t)]|)]:}\begin{aligned} & \left(\boldsymbol{x}_{1} \times \boldsymbol{x}_{2}\right)^{\prime}(t) \\ & =\left(\left|\begin{array}{cc} x_{12}^{\prime}(t) & x_{13}^{\prime}(t) \\ x_{22}(t) & x_{23}(t) \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} x_{12}(t) & x_{13}(t) \\ x_{22}^{\prime}(t) & x_{23}^{\prime}(t) \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} x_{13}^{\prime}(t) & x_{11}^{\prime}(t) \\ x_{23}(t) & x_{21}(t) \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} x_{13}(t) & x_{11}(t) \\ x_{23}^{\prime}(t) & x_{21}^{\prime}(t) \end{array}\right|\right. \\ & \left.\left|\begin{array}{cc} x_{11}^{\prime}(t) & x_{12}^{\prime}(t) \\ x_{21}(t) & x_{22}(t) \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} x_{11}(t) & x_{12}(t) \\ x_{21}^{\prime}(t) & x_{22}^{\prime}(t) \end{array}\right|\right) \end{aligned}(x1×x2)(t)=(|x12(t)x13(t)x22(t)x23(t)|+|x12(t)x13(t)x22(t)x23(t)|,|x13(t)x11(t)x23(t)x21(t)|+|x13(t)x11(t)x23(t)x21(t)||x11(t)x12(t)x21(t)x22(t)|+|x11(t)x12(t)x21(t)x22(t)|)
= x 1 ( t ) × x 2 ( t ) + x 1 ( t ) × x 2 ( t ) = x 1 ( t ) × x 2 ( t ) + x 1 ( t ) × x 2 ( t ) =x_(1)^(')(t)xxx_(2)(t)+x_(1)(t)xxx_(2)^(')(t)=\boldsymbol{x}_{1}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{x}_{2}(t)+\boldsymbol{x}_{1}(t) \times \boldsymbol{x}_{2}^{\prime}(t)=x1(t)×x2(t)+x1(t)×x2(t)
をえる. このように, n = 3 n = 3 n=3n=3n=3 の場合に, 式 (iv) が示される.
次に, 多変数のベクトル値関数の偏微分可能性を定義する。 D D DDD R m R m R^(m)\mathbb{R}^{m}Rm (単な る m m mmm 個の R R R\mathbb{R}R の直積集合)の領域とし, x x x\boldsymbol{x}x D D DDD 上の n n nnn 次元数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn に値をとる m m mmm 変数ベクトル値関数とする. a = ( a 1 , , a m ) D a = a 1 , , a m D a=(a_(1),dots,a_(m))in D\boldsymbol{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right) \in Da=(a1,,am)D を固定す る。ある b R n b R n b inR^(n)\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{n}bRn に対し, lim ( u 1 , , u m ) a x ( u 1 , , u m ) b = 0 lim u 1 , , u m a x u 1 , , u m b = 0 lim_((u_(1),dots,u_(m))rarr a)||x(u_(1),dots,u_(m))-b||=0\lim _{\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \rightarrow \boldsymbol{a}}\left\|\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)-\boldsymbol{b}\right\|=0lim(u1,,um)ax(u1,,um)b=0, つまり
ε > 0 ; δ > 0 ; [ 0 < ( u 1 , , u m ) a < δ x ( u 1 , , u m ) b < ε ] ε > 0 ; δ > 0 ; 0 < u 1 , , u m a < δ x u 1 , , u m b < ε AA epsi > 0;EE delta > 0;[0 < ||(u_(1),dots,u_(m))-a|| < delta=>||x(u_(1),dots,u_(m))-b|| < epsi]\forall \varepsilon>0 ; \exists \delta>0 ;\left[0<\left\|\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)-\boldsymbol{a}\right\|<\delta \Rightarrow\left\|\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)-\boldsymbol{b}\right\|<\varepsilon\right]ε>0;δ>0;[0<(u1,,um)a<δx(u1,,um)b<ε] が成り立つとき, ( u 1 , , u m ) a u 1 , , u m a (u_(1),dots,u_(m))rarr a\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \rightarrow \boldsymbol{a}(u1,,um)a のとき, x ( u 1 , , u m ) x u 1 , , u m x(u_(1),dots,u_(m))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)x(u1,,um) b b b\boldsymbol{b}b に収束する といい, b b b\boldsymbol{b}b を極限値という. この事実を lim ( u 1 , , u m ) a x ( u 1 , , u m ) = b lim u 1 , , u m a x u 1 , , u m = b lim_((u_(1),dots,u_(m))rarr a)x(u_(1),dots,u_(m))=b\lim _{\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \rightarrow \boldsymbol{a}} \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)=\boldsymbol{b}lim(u1,,um)ax(u1,,um)=b と表 す. 特に, lim ( u 1 , , u m ) a x ( u 1 , , u m ) = x ( a 1 , , a m ) lim u 1 , , u m a x u 1 , , u m = x a 1 , , a m lim_((u_(1),dots,u_(m))rarr a)x(u_(1),dots,u_(m))=x(a_(1),dots,a_(m))\lim _{\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \rightarrow \boldsymbol{a}} \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)=\boldsymbol{x}\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right)lim(u1,,um)ax(u1,,um)=x(a1,,am) が成り立つとき, べク トル値関数 x x x\boldsymbol{x}x a a a\boldsymbol{a}a において連続であるという。 x x x\boldsymbol{x}x D D DDD の各点で連続であると き, x x x\boldsymbol{x}x は連続であるという.
次に, m m mmm 変数ベクトル値関数 x : D R n x : D R n x:D rarrR^(n)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{R}^{n}x:DRn の偏微分可能性を定義する. a = ( a 1 , , a m ) D a = a 1 , , a m D a=(a_(1),dots,a_(m))in D\boldsymbol{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right) \in Da=(a1,,am)D を固定する. 極限
lim u i a i x ( a 1 , , a i 1 , u i , a i + 1 , , a m ) x ( a 1 , , a m ) u i a i lim u i a i x a 1 , , a i 1 , u i , a i + 1 , , a m x a 1 , , a m u i a i lim_(u_(i)rarra_(i))(x(a_(1),dots,a_(i-1),u_(i),a_(i+1),dots,a_(m))-x(a_(1),dots,a_(m)))/(u_(i)-a_(i))\lim _{u_{i} \rightarrow a_{i}} \frac{\boldsymbol{x}\left(a_{1}, \ldots, a_{i-1}, u_{i}, a_{i+1}, \ldots, a_{m}\right)-\boldsymbol{x}\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right)}{u_{i}-a_{i}}limuiaix(a1,,ai1,ui,ai+1,,am)x(a1,,am)uiai
が存在するとき, x x x\boldsymbol{x}x a a a\boldsymbol{a}a において u i u i u_(i)u_{i}ui に関して偏微分可能である( x x xxx is partially differentiable with respect to u i u i u_(i)u_{i}ui at a a aaa ) という. また, この極限ベクトルは x x x\boldsymbol{x}x a a a\boldsymbol{a}a における偏微分係数(partial derivative)とよばれ, x u i ( a ) x u i ( a ) (del x)/(delu_(i))(a)\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}}(\boldsymbol{a})xui(a), または ( x u i ) a x u i a ((del x)/(delu_(i)))_(a)\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}}\right)_{a}(xui)a と表される. x x x\boldsymbol{x}x D D DDD の各点で u i u i u_(i)u_{i}ui に関して偏微分可能であるとき, x x x\boldsymbol{x}x u i u i u_(i)\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}ui に関して偏微分可能である( x x x\boldsymbol{x}x is partially differ-
entiable with respect to u i ) u i {:u_(i))\left.\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}\right)ui) といい, 各 ( u 1 , , u m ) D u 1 , , u m D (u_(1),dots,u_(m))in D\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \in D(u1,,um)D に対し, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の ベクトル x u i ( u 1 , , u m ) x u i u 1 , , u m (del x)/(delu_(i))(u_(1),dots,u_(m))\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)xui(u1,,um) を対応させることにより定義される D D DDD 上の m m mmm 変数 ベクトル値関数を x x x\boldsymbol{x}x u i u i u_(i)u_{i}ui に関する偏導関数(partial derivative)という. x x x\boldsymbol{x}x u i u i u_(i)u_{i}ui に関する偏導関数は x u i x u i (del x)/(delu_(i))\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}}xui と表される.
次に, m m mmm 変数ベクトル値関数 x : D R n x : D R n x:D rarrR^(n)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{R}^{n}x:DRn C r C r C^(r)C^{r}Cr 級性( r 0 r 0 r >= 0)r \geq 0 )r0 を定義す る. x x x\boldsymbol{x}x u 1 , , u m u 1 , , u m u_(1),dots,u_(m)u_{1}, \ldots, u_{m}u1,,um に関して偏微分可能で, その偏導関数 x u i ( i = 1 , , m ) x u i ( i = 1 , , m ) (del x)/(delu_(i))(i=1,dots,m)\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}}(i=1, \ldots, m)xui(i=1,,m) u 1 , , u m u 1 , , u m u_(1),dots,u_(m)u_{1}, \ldots, u_{m}u1,,um に関して偏微分可能であるとき, x x x\boldsymbol{x}x は 2 回偏微分可能である( x x x\boldsymbol{x}x partially differentiable twice) といい, x u i ( i = 1 , , m ) x u i ( i = 1 , , m ) (del x)/(delu_(i))(i=1,dots,m)\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}}(i=1, \ldots, m)xui(i=1,,m) u j u j u_(j)u_{j}uj に関する偏導関数を 2 x u j u i 2 x u j u i (del^(2)x)/(delu_(j)delu_(i))\frac{\partial^{2} \boldsymbol{x}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}2xujui と表し, x x x\boldsymbol{x}x の 2 次偏導関数(the second partial derivative) という. さらに, 2 x u j u i ( 1 i , j m ) 2 x u j u i ( 1 i , j m ) (del^(2)x)/(delu_(j)delu_(i))(1 <= i,j <= m)\frac{\partial^{2} \boldsymbol{x}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}(1 \leq i, j \leq m)2xujui(1i,jm) u 1 , , u m u 1 , , u m u_(1),dots,u_(m)u_{1}, \ldots, u_{m}u1,,um に関して偏微分可能で あるとき, x x x\boldsymbol{x}x は3回偏微分可能である( x x x\boldsymbol{x}x is partially differentiable 3-times) といい, 2 x u j u i 2 x u j u i (del^(2)x)/(delu_(j)delu_(i))\frac{\partial^{2} \boldsymbol{x}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}2xujui u k u k u_(k)u_{k}uk に関する偏導関数を 3 x u k u j u i 3 x u k u j u i (del^(3)x)/(delu_(k)delu_(j)delu_(i))\frac{\partial^{3} \boldsymbol{x}}{\partial u_{k} \partial u_{j} \partial u_{i}}3xukujui と表し, x x x\boldsymbol{x}x の 3 次偏導関数(the third partial derivative)という. 以下, 帰納的に x x x\boldsymbol{x}x l l l\boldsymbol{l}l 回偏微分可能性(partially differentiability l l l\boldsymbol{l}l-times) ( l = 4 , 5 , ) ( l = 4 , 5 , ) (l=4,5,dots)(l=4,5, \ldots)(l=4,5,), および l l l\boldsymbol{l}l 次偏導関数(the l l l\boldsymbol{l}l-th partial derivative) l x u i l u i 1 ( l = 4 , 5 , ) l x u i l u i 1 ( l = 4 , 5 , ) (del^(l)x)/(delu_(i_(l))dots delu_(i_(1)))(l=4,5,dots)\frac{\partial^{l} \boldsymbol{x}}{\partial u_{i_{l}} \ldots \partial u_{i_{1}}}(l=4,5, \ldots)lxuilui1(l=4,5,) を定義 していくことができる. x x x\boldsymbol{x}x r r rrr 回偏微分可能で r r rrr 階導関数 r x u i r u i 1 ( 1 r x u i r u i 1 ( 1 (del^(r)x)/(delu_(i_(r))cdots delu_(i_(1)))(1 <=\frac{\partial^{r} \boldsymbol{x}}{\partial u_{i_{r}} \cdots \partial u_{i_{1}}}(1 \leqrxuirui1(1 i 1 , , i r m ) i 1 , , i r m {:i_(1),dots,i_(r) <= m)\left.i_{1}, \ldots, i_{r} \leq m\right)i1,,irm) が連続であるとき, x x x\boldsymbol{x}x r r r\boldsymbol{r}r 回連続偏微分可能である( x x x\boldsymbol{x}x is continuously partially differentiable r r r\boldsymbol{r}r-times), または, x x x\boldsymbol{x}x C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 級で ある( x x x\boldsymbol{x}x is of class C r C r C^(r))C^{r} )Cr という.
命題 1.3.3 x ( u 1 , , u m ) = ( x 1 ( u 1 , , u m ) , , x n ( u 1 , , u m ) ) x u 1 , , u m = x 1 u 1 , , u m , , x n u 1 , , u m x(u_(1),dots,u_(m))=(x_(1)(u_(1),dots,u_(m)),dots,x_(n)(u_(1),dots,u_(m)))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)=\left(x_{1}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right), \ldots, x_{n}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)\right)x(u1,,um)=(x1(u1,,um),,xn(u1,,um))
( ( u 1 , , u m ) D ) u 1 , , u m D ((u_(1),dots,u_(m))in D)\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \in D\right)((u1,,um)D) とするとき, 次の事実が成り立つ.
(i) x x x\boldsymbol{x}x k k kkk 回偏微分可能であることと各 x i ( u 1 , , u m ) ( i = 1 , , n ) x i u 1 , , u m ( i = 1 , , n ) x_(i)(u_(1),dots,u_(m))(i=1,dots,n)x_{i}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)(i=1, \ldots, n)xi(u1,,um)(i=1,,n) k k kkk 回偏微分可能であることは同値である.
(ii) 次式が成り立つ:
k x u i k u i 1 = ( k x 1 u i k u i 1 , , k x n u i k u i 1 ) k x u i k u i 1 = k x 1 u i k u i 1 , , k x n u i k u i 1 (del^(k)x)/(delu_(i_(k))cdots delu_(i_(1)))=((del^(k)x_(1))/(delu_(i_(k))cdots delu_(i_(1))),dots,(del^(k)x_(n))/(delu_(i_(k))cdots delu_(i_(1))))\frac{\partial^{k} \boldsymbol{x}}{\partial u_{i_{k}} \cdots \partial u_{i_{1}}}=\left(\frac{\partial^{k} x_{1}}{\partial u_{i_{k}} \cdots \partial u_{i_{1}}}, \ldots, \frac{\partial^{k} x_{n}}{\partial u_{i_{k}} \cdots \partial u_{i_{1}}}\right)kxuikui1=(kx1uikui1,,kxnuikui1)
問 1.3.1 0 < θ < π 2 0 < θ < π 2 0 < theta < (pi)/(2)0<\theta<\frac{\pi}{2}0<θ<π2 とする. C C C^(oo)C^{\infty}C 級ベクトル値関数 x θ : ( 0 , π 2 ) R 3 x θ : 0 , π 2 R 3 x_(theta):(0,(pi)/(2))rarrR^(3)\boldsymbol{x}_{\theta}:\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{3}xθ:(0,π2)R3
x θ ( t ) := ( cos t cos θ , cos t sin θ , sin t ) ( 0 < t < π 2 ) x θ ( t ) := ( cos t cos θ , cos t sin θ , sin t ) 0 < t < π 2 x_(theta)(t):=(cos t cos theta,cos t sin theta,sin t)quad(0 < t < (pi)/(2))\boldsymbol{x}_{\theta}(t):=(\cos t \cos \theta, \cos t \sin \theta, \sin t) \quad\left(0<t<\frac{\pi}{2}\right)xθ(t):=(costcosθ,costsinθ,sint)(0<t<π2)
によって定義する.
(i) x θ , x θ x θ , x θ x_(theta),x_(theta)^(')\boldsymbol{x}_{\theta}, \boldsymbol{x}_{\theta}^{\prime}xθ,xθ を図示せよ.
(ii) x θ x θ x_(theta)^(')\boldsymbol{x}_{\theta}^{\prime}xθ を計算せよ.
(iii)(i)で描いた図と (ii) の計算結果が整合していることを確認せよ.
問 1.3.2 C C C^(oo)C^{\infty}C 級ベクトル値関数 x : ( 0 , π 2 ) 2 R 3 x : 0 , π 2 2 R 3 x:(0,(pi)/(2))^(2)rarrR^(3)\boldsymbol{x}:\left(0, \frac{\pi}{2}\right)^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}x:(0,π2)2R3
x ( u 1 , u 2 ) := ( cos u 1 cos u 2 , cos u 1 sin u 2 , sin u 1 ) ( ( u 1 , u 2 ) ( 0 , π 2 ) 2 ) x u 1 , u 2 := cos u 1 cos u 2 , cos u 1 sin u 2 , sin u 1 u 1 , u 2 0 , π 2 2 x(u_(1),u_(2)):=(cos u_(1)cos u_(2),cos u_(1)sin u_(2),sin u_(1))quad((u_(1),u_(2))in(0,(pi)/(2))^(2))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right):=\left(\cos u_{1} \cos u_{2}, \cos u_{1} \sin u_{2}, \sin u_{1}\right) \quad\left(\left(u_{1}, u_{2}\right) \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)^{2}\right)x(u1,u2):=(cosu1cosu2,cosu1sinu2,sinu1)((u1,u2)(0,π2)2)
によって定義する.
(i) x x x\boldsymbol{x}x を図示せよ.
(ii) x u 1 , x u 2 x u 1 , x u 2 (del x)/(delu_(1)),(del x)/(delu_(2))\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{1}}, \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{2}}xu1,xu2 を図示せよ.
(iii) x u 1 , x u 2 x u 1 , x u 2 (del x)/(delu_(1)),(del x)/(delu_(2))\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{1}}, \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{2}}xu1,xu2 を計算せよ.
(iv)(ii)で描いた図と (iii) の計算結果が整合していることを確認せよ.

1.4 スカラー場・ベクトル場の線積分

この節において, まず, n n nnn 次元ユークリッド空間 E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En の領域(または閉領域) D D DDD 上のスカラー場, およびベクトル場を定義し、それらの区分的に滑ら かな曲線に沿う線積分を定義することにする。Dを E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En の領域(=連結開集合),または閉領域(=領域の閉包)とする。 D D DDD の各点 p p ppp に対し,実数(=ス カラー) f p f p f_(p)f_{p}fp を対応させる対応 f f fff D D DDD 上のスカラー場(scalar field)という (明らかに, D D DDD 上のスカラー場は D D DDD 上の関数にすぎない)。た, D D DDD の各点 p p ppp に対し, T p A n T p A n T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}TpAn のベクトル X p X p X_(p)\boldsymbol{X}_{p}Xp を対応させる対応 X X X\boldsymbol{X}X D D DDD 上のベクトル場 (vector field) という. T A n := ⨿ p E n T p A n T A n := ⨿ p E n T p A n TA^(n):=⨿_(p inE^(n))T_(p)A^(n)T \mathbb{A}^{n}:=\underset{p \in \mathbb{E}^{n}}{\amalg} T_{p} \mathbb{A}^{n}TAn:=⨿pEnTpAn とおく. T A n T A n TA^(n)T \mathbb{A}^{n}TAn から E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En への自然な 射影を π π pi\piπ (つまり, π ( T p A n ) = { p } ( p E n ) ) π T p A n = { p } p E n {: pi(T_(p)A^(n))={p}(p inE^(n)))\left.\pi\left(T_{p} \mathbb{A}^{n}\right)=\{p\}\left(p \in \mathbb{E}^{n}\right)\right)π(TpAn)={p}(pEn)) とするとき, π : T A n E n π : T A n E n pi:TA^(n)rarrE^(n)\pi: T \mathbb{A}^{n} \rightarrow \mathbb{E}^{n}π:TAnEn は ベクトルバンドルとよばれる構造をもち, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En の接バンドル(tangent bundle)とよばれる(ベクトルバンドルの定義について,第4章を参照のこと). D D DDD 上のベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X は, D D DDD から T A n T A n TA^(n)T \mathbb{A}^{n}TAn への写像で π X = id D π X = id D pi@X=id_(D)\pi \circ \boldsymbol{X}=\mathrm{id}_{D}πX=idD を満たすも のとして定義することができる。ここで, id D id D id_(D)\operatorname{id}_{D}idD は, D D DDD からそれ自身への恒等
変換を表す。しかしながら, 1.1.1 節で述べたように,各接空間 T p A n T p A n T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}TpAn は(数) ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn と同一視されるので, ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X D D DDD から R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn への写像, つまり, D D DDD 上の R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn に値をとるべクトル値関数とみなされる. それゆえ,通常, ベクトル解析の分野では, D D DDD 上のベクトル場を D D DDD 上の R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn に値をとる ベクトル値関数として取り扱う。本書でも,以下, D D DDD 上のベクトル場をその ように取り扱うことにする。 D D DDD 上のスカラー場は, D D DDD 上の関数として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 であるとき, C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場( C r C r C^(r)C^{r}Cr-scalar field)とよばれ, D D DDD 上のベクトル 場は, D D DDD 上の R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn に値をとるべクトル値関数として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, C r C r C^(r)C^{r}Cr ベ クトル場( C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr-vector field)とよばれる.
次に, ベクトル場, およびスカラー場の線積分を定義しよう. r : E n r : E n r:E^(n)rarr\boldsymbol{r}: \mathbb{E}^{n} \rightarrowr:En R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn を1.1.1 節で述べた 1 対 1 対応, つまり, r ( p ) = o p ( p E n ) r ( p ) = o p p E n r(p)= vec(op)(p inE^(n))\boldsymbol{r}(p)=\overrightarrow{o p}\left(p \in \mathbb{E}^{n}\right)r(p)=op(pEn) によって定義される 1 対 1 対応とする。まず、区分的に滑らかな曲線を定義しよう。 c c ccc : [ a , b ] E n [ a , b ] E n [a,b]rarrE^(n)[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}[a,b]En を連続曲線(=C C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 曲線)とする。 [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] の分割 a = t 0 < t 1 < a = t 0 < t 1 < a=t_(0) < t_(1) <a=t_{0}<t_{1}<a=t0<t1< < t k = b < t k = b cdots < t_(k)=b\cdots<t_{k}=b<tk=b で, c c ccc [ t i 1 , t i ] t i 1 , t i [t_(i-1),t_(i)]\left[t_{i-1}, t_{i}\right][ti1,ti] への制限 c | [ t i 1 , t i ] ( i = 1 , , k 1 ) c t i 1 , t i ( i = 1 , , k 1 ) c|_([t_(i-1),t_(i)])(i=1,dots,k-1)\left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i=1, \ldots, k-1)c|[ti1,ti](i=1,,k1) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級で あるようなものが存在するとき, c c ccc を区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線という. f f fff E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En上の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 スカラー場, X X X\boldsymbol{X}X E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 上の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 ベクトル場とし, c : [ a , b ] D c : [ a , b ] D c:[a,b]rarr Dc:[a, b] \rightarrow Dc:[a,b]D を区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線とする。このとき, c f d s c f d s int_(c)fds\int_{c} f d scfds
c f d s := i = 1 k t i 1 t i f ( c ( t ) ) c ( t ) d t c f d s := i = 1 k t i 1 t i f ( c ( t ) ) c ( t ) d t int_(c)fds:=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))f(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt\int_{c} f d s:=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} f(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d tcfds:=i=1kti1tif(c(t))c(t)dt
によって定義する(図1.4.1 を参照)。この積分量 c f d s c f d s int_(c)fds\int_{c} f d scfds f f f\boldsymbol{f}f c c c\boldsymbol{c}c に沿う線積分 (line integral of f f f\boldsymbol{f}f along c c c\boldsymbol{c}c ) という. ここで, 記法 c f d s c f d s int_(c)fds\int_{c} f d scfds の正当性 を述べておく。 ベクトル解析や曲線論の分野では,通常, a t c ( t ) d t a t c ( t ) d t int_(a)^(t)|| vec(c)^(')(t)||dt\int_{a}^{t}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d tatc(t)dt (こ れは, c | [ 0 , t ] c [ 0 , t ] c|_([0,t])\left.c\right|_{[0, t]}c|[0,t] の長さを表す)は s ( t ) s ( t ) s(t)s(t)s(t) と表され, その微分 d s d s dsd sds c c ccc の線素(line element)とよばれる. d s = d s d t d t = c ( t ) d t d s = d s d t d t = c ( t ) d t ds=(ds)/(dt)dt=|| vec(c)^(')(t)||dtd s=\frac{d s}{d t} d t=\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d tds=dsdtdt=c(t)dt となることから, 記法 c f d s c f d s int_(c)fds\int_{c} f d scfds が正当であることがわかる. また, c X d r c X d r int_(c)X*dr\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}cXdr を,
図 1.4.1 スカラー場の線積分
X c ( t 1 ) c ( t 1 ) > 0 , X c ( t 2 ) c ( t 2 ) = 0 , X c ( t 3 ) c ( t 3 ) < 0 c | [ a , t 2 ] X d r > 0 , c | [ t 2 , b ] X d r < 0 X c t 1 c t 1 > 0 , X c t 2 c t 2 = 0 , X c t 3 c t 3 < 0 c a , t 2 X d r > 0 , c t 2 , b X d r < 0 {:[X_(c(t_(1)))* vec(c)^(')(t_(1)) > 0","quadX_(c(t_(2)))* vec(c)^(')(t_(2))=0","quadX_(c(t_(3)))* vec(c)^(')(t_(3)) < 0],[int_(c|_([a,t_(2)]))X*dr > 0","quadint_(c|_([t_(2),b]))X*dr < 0]:}\begin{gathered} \boldsymbol{X}_{c\left(t_{1}\right)} \cdot \vec{c}^{\prime}\left(t_{1}\right)>0, \quad \boldsymbol{X}_{c\left(t_{2}\right)} \cdot \vec{c}^{\prime}\left(t_{2}\right)=0, \quad \boldsymbol{X}_{c\left(t_{3}\right)} \cdot \vec{c}^{\prime}\left(t_{3}\right)<0 \\ \int_{\left.c\right|_{\left[a, t_{2}\right]}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}>0, \quad \int_{\left.c\right|_{\left[t_{2}, b\right]}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}<0 \end{gathered}Xc(t1)c(t1)>0,Xc(t2)c(t2)=0,Xc(t3)c(t3)<0c|[a,t2]Xdr>0,c|[t2,b]Xdr<0
図 1.4.2 ベクトル場の線積分
c X d r := i = 1 k t i 1 t i X c ( t ) ( r c ) ( t ) d t ( = i = 1 k t i 1 t i X c ( t ) c ( t ) d t ) c X d r := i = 1 k t i 1 t i X c ( t ) ( r c ) ( t ) d t = i = 1 k t i 1 t i X c ( t ) c ( t ) d t int_(c)X*dr:=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))X_(c(t))*(r@c)^(')(t)dt(=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))X_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt)\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}:=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \boldsymbol{X}_{c(t)} \cdot(\boldsymbol{r} \circ c)^{\prime}(t) d t\left(=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \boldsymbol{X}_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t\right)cXdr:=i=1kti1tiXc(t)(rc)(t)dt(=i=1kti1tiXc(t)c(t)dt)
によって定義する(図 1.4 .2 を参照)。この積分量 c X d r c X d r int_(c)X*dr\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}cXdr X X X\boldsymbol{X}X c c c\boldsymbol{c}c に沿う 線積分 (line integral of X X X\boldsymbol{X}X along c c c\boldsymbol{c}c ) という.
区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線 c : [ a , b ] E n c : [ a , b ] E n c:[a,b]rarrE^(n)c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}c:[a,b]En に対し,区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線 c 1 : c 1 : c^(-1):c^{-1}:c1: [ a , b ] E n [ a , b ] E n [a,b]rarrE^(n)[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}[a,b]En
c 1 ( t ) := c ( b ( t a ) ) ( t [ a , b ] ) c 1 ( t ) := c ( b ( t a ) ) ( t [ a , b ] ) c^(-1)(t):=c(b-(t-a))quad(t in[a,b])c^{-1}(t):=c(b-(t-a)) \quad(t \in[a, b])c1(t):=c(b(ta))(t[a,b])
によって定義する. この曲線 c 1 c 1 c^(-1)c^{-1}c1 c c c\boldsymbol{c}c の逆という. また, 2 つの区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr級の曲線 c i : [ a , b ] E n ( i = 1 , 2 ) c i : [ a , b ] E n ( i = 1 , 2 ) c_(i):[a,b]rarrE^(n)(i=1,2)c_{i}:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}(i=1,2)ci:[a,b]En(i=1,2) に対し, 区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線 c 1 c 2 c 1 c 2 c_(1)*c_(2)c_{1} \cdot c_{2}c1c2 : [ a , b ] E n [ a , b ] E n [a,b]rarrE^(n)[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}[a,b]En
c 1 c 2 ( t ) := { c 1 ( 2 t a ) ( a t a + b 2 ) c 2 ( 2 t b ) ( a + b 2 t b ) c 1 c 2 ( t ) := c 1 ( 2 t a )      a t a + b 2 c 2 ( 2 t b )      a + b 2 t b c_(1)*c_(2)(t):={[c_(1)(2t-a),(a <= t <= (a+b)/(2))],[c_(2)(2t-b),((a+b)/(2) <= t <= b)]:}c_{1} \cdot c_{2}(t):= \begin{cases}c_{1}(2 t-a) & \left(a \leq t \leq \frac{a+b}{2}\right) \\ c_{2}(2 t-b) & \left(\frac{a+b}{2} \leq t \leq b\right)\end{cases}c1c2(t):={c1(2ta)(ata+b2)c2(2tb)(a+b2tb)
によって定義する. この曲線 c 1 c 2 c 1 c 2 c_(1)*c_(2)c_{1} \cdot c_{2}c1c2 c 1 c 1 c_(1)\boldsymbol{c}_{\mathbf{1}}c1 c 2 c 2 c_(2)\boldsymbol{c}_{\mathbf{2}}c2 の積という.
命題 1.4.1 c : [ a , b ] E n , c i : [ a , b ] E n ( i = 1 , 2 ) c : [ a , b ] E n , c i : [ a , b ] E n ( i = 1 , 2 ) c:[a,b]rarrE^(n),c_(i):[a,b]rarrE^(n)(i=1,2)c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}, c_{i}:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}(i=1,2)c:[a,b]En,ci:[a,b]En(i=1,2) を区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 の曲線とし, f , X f , X f,Xf, \boldsymbol{X}f,X E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 上の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 スカラー場, C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 ベクトル場とする. このと き, 次式が成り立つ.
(i) c 1 f d s = c f d s , c 1 X d r = c X d r c 1 f d s = c f d s , c 1 X d r = c X d r int_(c^(-1))fds=int_(c)fds,quadint_(c^(-1))X*dr=-int_(c)X*dr\int_{c^{-1}} f d s=\int_{c} f d s, \quad \int_{c^{-1}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=-\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}c1fds=cfds,c1Xdr=cXdr;
(ii) c 1 c 2 f d s = c 1 f d s + c 2 f d s c 1 c 2 f d s = c 1 f d s + c 2 f d s int_(c_(1)*c_(2))fds=int_(c_(1))fds+int_(c_(2))fds\int_{c_{1} \cdot c_{2}} f d s=\int_{c_{1}} f d s+\int_{c_{2}} f d sc1c2fds=c1fds+c2fds,
c 1 c 2 X d r = c 1 X d r + c 2 X d r c 1 c 2 X d r = c 1 X d r + c 2 X d r int_(c_(1)*c_(2))X*dr=int_(c_(1))X*dr+int_(c_(2))X*dr\int_{c_{1} \cdot c_{2}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c_{1}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}+\int_{c_{2}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}c1c2Xdr=c1Xdr+c2Xdr
証明 a = t 0 < t 1 < < t k = b a = t 0 < t 1 < < t k = b a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k)=ba=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}=ba=t0<t1<<tk=b を, c c ccc [ t i 1 , t i ] t i 1 , t i [t_(i-1),t_(i)]\left[t_{i-1}, t_{i}\right][ti1,ti] への制限 c | [ t i 1 , t i ] ( i = c t i 1 , t i ( i = c|_([t_(i-1),t_(i)])(i=\left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i=c|[ti1,ti](i= 1 , , k 1 ) 1 , , k 1 ) 1,dots,k-1)1, \ldots, k-1)1,,k1) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるような [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] の分割とし, u i := b ( t k i a ) u i := b t k i a u_(i):=b-(t_(k-i)-a)u_{i}:=b-\left(t_{k-i}-a\right)ui:=b(tkia) と おく.このとき,
c 1 f d s = i = 1 k u i 1 u i f ( c 1 ( u ) ) ( c 1 ) ( u ) d u c 1 f d s = i = 1 k u i 1 u i f c 1 ( u ) c 1 ( u ) d u {:int_(c^(-1))fds=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i))f(c^(-1)(u))|| vec((c^(-1)))^(')(u)||du:}\begin{aligned} & \int_{c^{-1}} f d s=\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} f\left(c^{-1}(u)\right)\left\|{\overrightarrow{\left(c^{-1}\right)}}^{\prime}(u)\right\| d u \end{aligned}c1fds=i=1kui1uif(c1(u))(c1)(u)du
= i = 1 k t k i t k i + 1 f ( c ( t ) ) c ( t ) ( 1 ) d t = i = 1 k t k i t k i + 1 f ( c ( t ) ) c ( t ) d t = c f d s = i = 1 k t k i t k i + 1 f ( c ( t ) ) c ( t ) ( 1 ) d t = i = 1 k t k i t k i + 1 f ( c ( t ) ) c ( t ) d t = c f d s {:[=-sum_(i=1)^(k)int_(t_(k-i))^(t_(k-i+1))f(c(t))||- vec(c)^(')(t)||(-1)dt],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(k-i))^(t_(k-i+1))f(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt=int_(c)fds]:}\begin{aligned} & =-\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{k-i}}^{t_{k-i+1}} f(c(t))\left\|-\vec{c}^{\prime}(t)\right\|(-1) d t \\ & =\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{k-i}}^{t_{k-i+1}} f(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{c} f d s \end{aligned}=i=1ktkitki+1f(c(t))c(t)(1)dt=i=1ktkitki+1f(c(t))c(t)dt=cfds
となり,(i)の第 1 式が示される. また,
c 1 X d r = i = 1 k u i 1 u i X c 1 ( u ) ( c 1 ) ( u ) d u = i = 1 k t k i + 1 t k i X c 1 ( b ( t a ) ) ( ( c 1 ) t k i X c ( t ) ( c ( t ) ) ( 1 ) d t = i = 1 k t k i + 1 t k i + 1 X c ( t ) c ( t ) d t = c X d r = i = 1 t t k i then ( 1 ) d t c 1 X d r = i = 1 k u i 1 u i X c 1 ( u ) c 1 ( u ) d u = i = 1 k t k i + 1 t k i X c 1 ( b ( t a ) ) c 1 t k i X c ( t ) c ( t ) ( 1 ) d t = i = 1 k t k i + 1 t k i + 1 X c ( t ) c ( t ) d t = c X d r = i = 1 t t k i then  ( 1 ) d t {:[int_(c^(-1))X*dr=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i)) vec(X)_(c^(-1)(u))* vec((c^(-1)))^(')(u)du],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(k-i+1))^(t_(k-i)) vec(X)_(c^(-1)(b-(t-a)))*( vec((c^(-1))^('))^(t_(k-i)) vec(X)_(c(t))*(- vec(c)^(')(t))(-1)dt:}],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(k-i+1))^(t_(k-i+1)) vec(X)_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt=-int_(c)X*dr],[=-sum_(i=1)^(t_(t_(k-i)))int_("then ")(-1)dt],[]:}\begin{aligned} & \int_{c^{-1}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} \overrightarrow{\boldsymbol{X}}_{c^{-1}(u)} \cdot{\overrightarrow{\left(c^{-1}\right)}}^{\prime}(u) d u \\ &=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{k-i+1}}^{t_{k-i}} \overrightarrow{\boldsymbol{X}}_{c^{-1}(b-(t-a))} \cdot\left({\overrightarrow{\left(c^{-1}\right)^{\prime}}}^{t_{k-i}} \overrightarrow{\boldsymbol{X}}_{c(t)} \cdot\left(-\vec{c}^{\prime}(t)\right)(-1) d t\right. \\ &=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{k-i+1}}^{t_{k-i+1}} \overrightarrow{\boldsymbol{X}}_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t=-\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} \\ &=-\sum_{i=1}^{t_{t_{k-i}}} \int_{\text {then }}(-1) d t \\ & \end{aligned}c1Xdr=i=1kui1uiXc1(u)(c1)(u)du=i=1ktki+1tkiXc1(b(ta))((c1)tkiXc(t)(c(t))(1)dt=i=1ktki+1tki+1Xc(t)c(t)dt=cXdr=i=1ttkithen (1)dt
となり, (i) の第 2 式が示される.
a = t 0 i < t 1 i < < t k i i = b ( i = 1 , 2 ) , c i [ t j 1 i , t j i ] への制限 a = t 0 i < t 1 i < < t k i i = b ( i = 1 , 2 ) , c i  の  t j 1 i , t j i  への制限  a=t_(0)^(i) < t_(1)^(i) < cdots < t_(k_(i))^(i)=b(i=1,2)を,c_(i)" の "[t_(j-1)^(i),t_(j)^(i)]" への制限 "a=t_{0}^{i}<t_{1}^{i}<\cdots<t_{k_{i}}^{i}=b(i=1,2) を, c_{i} \text { の }\left[t_{j-1}^{i}, t_{j}^{i}\right] \text { への制限 }a=t0i<t1i<<tkii=b(i=1,2),ci の [tj1i,tji] への制限 
c i | [ t j 1 i , t j i ] ( j = 1 , , k i ) c i t j 1 i , t j i j = 1 , , k i c_(i)|_([t_(j-1)^(i),t_(j)^(i)])(j=1,dots,k_(i))\left.c_{i}\right|_{\left[t_{j-1}^{i}, t_{j}^{i}\right]}\left(j=1, \ldots, k_{i}\right)ci|[tj1i,tji](j=1,,ki) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるような [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] の分割とし、 u j 1 := t j 1 + a 2 , u j 2 := t j 2 + b 2 u j 1 := t j 1 + a 2 , u j 2 := t j 2 + b 2 u_(j)^(1):=(t_(j)^(1)+a)/(2),u_(j)^(2):=(t_(j)^(2)+b)/(2)u_{j}^{1}:=\frac{t_{j}^{1}+a}{2}, u_{j}^{2}:=\frac{t_{j}^{2}+b}{2}uj1:=tj1+a2,uj2:=tj2+b2 とおく.このとき,
c 1 c 2 f d s = j = 1 k 1 u j 1 1 u j 1 f ( ( c 1 c 2 ) ( u ) ) ( c 1 c 2 ) ( u ) d u + j = 1 k 2 u j 1 2 u j 2 f ( ( c 1 c 2 ) ( u ) ) ( c 1 c 2 ) ( u ) d u = j = 1 k 1 u j 1 1 u j 1 f ( c 1 ( 2 u a ) ) 2 c 1 ( 2 u a ) d u + j = 1 k 2 u j 1 2 u j 2 f ( c 2 ( 2 u b ) ) 2 c 2 ( 2 u b ) d u = j = 1 k 1 t j 1 1 t j 1 f ( c 1 ( t ) ) 2 c 1 ( t ) 1 2 d t + j = 1 k 2 t j 1 2 t j 2 f ( c 2 ( t ) ) 2 c 2 ( t ) 1 2 d t = j = 1 k 1 t j 1 1 t j 1 f ( c 1 ( t ) ) c 1 ( t ) d t + j = 1 k 2 t j 1 2 t j 2 f ( c 2 ( t ) ) c 2 ( t ) d t = c 1 f d s + c 2 f d s c 1 c 2 f d s = j = 1 k 1 u j 1 1 u j 1 f c 1 c 2 ( u ) c 1 c 2 ( u ) d u + j = 1 k 2 u j 1 2 u j 2 f c 1 c 2 ( u ) c 1 c 2 ( u ) d u = j = 1 k 1 u j 1 1 u j 1 f c 1 ( 2 u a ) 2 c 1 ( 2 u a ) d u + j = 1 k 2 u j 1 2 u j 2 f c 2 ( 2 u b ) 2 c 2 ( 2 u b ) d u = j = 1 k 1 t j 1 1 t j 1 f c 1 ( t ) 2 c 1 ( t ) 1 2 d t + j = 1 k 2 t j 1 2 t j 2 f c 2 ( t ) 2 c 2 ( t ) 1 2 d t = j = 1 k 1 t j 1 1 t j 1 f c 1 ( t ) c 1 ( t ) d t + j = 1 k 2 t j 1 2 t j 2 f c 2 ( t ) c 2 ( t ) d t = c 1 f d s + c 2 f d s {:[int_(c_(1)*c_(2))fds=sum_(j=1)^(k_(1))int_(u_(j-1)^(1))^(u_(j)^(1))f((c_(1)*c_(2))(u))|| vec((c_(1)*c_(2))^('))(u)||du],[quad+sum_(j=1)^(k_(2))int_(u_(j-1)^(2))^(u_(j)^(2))f((c_(1)*c_(2))(u))|| vec((c_(1)*c_(2))^('))(u)||du],[=sum_(j=1)^(k_(1))int_(u_(j-1)^(1))^(u_(j)^(1))f(c_(1)(2u-a))||2 vec(c_(1))^(')(2u-a)||du],[quad+sum_(j=1)^(k_(2))int_(u_(j-1)^(2))^(u_(j)^(2))f(c_(2)(2u-b))||2 vec(c_(2))^(')(2u-b)||du],[=sum_(j=1)^(k_(1))int_(t_(j-1)^(1))^(t_(j)^(1))f(c_(1)(t))||2 vec(c_(1))^(')(t)||(1)/(2)dt+sum_(j=1)^(k_(2))int_(t_(j-1)^(2))^(t_(j)^(2))f(c_(2)(t))||2 vec(c_(2))^(')(t)||(1)/(2)dt],[=sum_(j=1)^(k_(1))int_(t_(j-1)^(1))^(t_(j)^(1))f(c_(1)(t))|| vec(c_(1))^(')(t)||dt+sum_(j=1)^(k_(2))int_(t_(j-1)^(2))^(t_(j)^(2))f(c_(2)(t))|| vec(c_(2))^(')(t)||dt],[=int_(c_(1))fds+int_(c_(2))fds]:}\begin{aligned} & \int_{c_{1} \cdot c_{2}} f d s=\sum_{j=1}^{k_{1}} \int_{u_{j-1}^{1}}^{u_{j}^{1}} f\left(\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)(u)\right)\left\|\overrightarrow{\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)^{\prime}}(u)\right\| d u \\ & \quad+\sum_{j=1}^{k_{2}} \int_{u_{j-1}^{2}}^{u_{j}^{2}} f\left(\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)(u)\right)\left\|\overrightarrow{\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)^{\prime}}(u)\right\| d u \\ & =\sum_{j=1}^{k_{1}} \int_{u_{j-1}^{1}}^{u_{j}^{1}} f\left(c_{1}(2 u-a)\right)\left\|2{\overrightarrow{c_{1}}}^{\prime}(2 u-a)\right\| d u \\ & \quad+\sum_{j=1}^{k_{2}} \int_{u_{j-1}^{2}}^{u_{j}^{2}} f\left(c_{2}(2 u-b)\right)\left\|2{\overrightarrow{c_{2}}}^{\prime}(2 u-b)\right\| d u \\ & =\sum_{j=1}^{k_{1}} \int_{t_{j-1}^{1}}^{t_{j}^{1}} f\left(c_{1}(t)\right)\left\|2{\overrightarrow{c_{1}}}^{\prime}(t)\right\| \frac{1}{2} d t+\sum_{j=1}^{k_{2}} \int_{t_{j-1}^{2}}^{t_{j}^{2}} f\left(c_{2}(t)\right)\left\|2{\overrightarrow{c_{2}}}^{\prime}(t)\right\| \frac{1}{2} d t \\ & =\sum_{j=1}^{k_{1}} \int_{t_{j-1}^{1}}^{t_{j}^{1}} f\left(c_{1}(t)\right)\left\|{\overrightarrow{c_{1}}}^{\prime}(t)\right\| d t+\sum_{j=1}^{k_{2}} \int_{t_{j-1}^{2}}^{t_{j}^{2}} f\left(c_{2}(t)\right)\left\|{\overrightarrow{c_{2}}}^{\prime}(t)\right\| d t \\ & =\int_{c_{1}} f d s+\int_{c_{2}} f d s \end{aligned}c1c2fds=j=1k1uj11uj1f((c1c2)(u))(c1c2)(u)du+j=1k2uj12uj2f((c1c2)(u))(c1c2)(u)du=j=1k1uj11uj1f(c1(2ua))2c1(2ua)du+j=1k2uj12uj2f(c2(2ub))2c2(2ub)du=j=1k1tj11tj1f(c1(t))2c1(t)12dt+j=1k2tj12tj2f(c2(t))2c2(t)12dt=j=1k1tj11tj1f(c1(t))c1(t)dt+j=1k2tj12tj2f(c2(t))c2(t)dt=c1fds+c2fds
となり, (ii)の第 1 式が示される. (ii) の第 2 式も同様に示される.
命題 1.4.2 c : [ a , b ] E n c : [ a , b ] E n c:[a,b]rarrE^(n)c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}c:[a,b]En を区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線とし, f 1 , f 2 f 1 , f 2 f_(1),f_(2)f_{1}, f_{2}f1,f2 E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En
C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 スカラー場, X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 上の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 ベクトル場とし, α , β α , β alpha,beta\alpha, \betaα,β を定数とする. このとき,次式が成り立つ:
c ( α f 1 + β f 2 ) d s = α c f 1 d s + β c f 2 d s c ( α X + β Y ) d r = α c X d r + β c Y d r c α f 1 + β f 2 d s = α c f 1 d s + β c f 2 d s c ( α X + β Y ) d r = α c X d r + β c Y d r {:[int_(c)(alphaf_(1)+betaf_(2))ds=alphaint_(c)f_(1)ds+betaint_(c)f_(2)ds],[int_(c)(alpha X+beta Y)*dr=alphaint_(c)X*dr+betaint_(c)Y*dr]:}\begin{aligned} & \int_{c}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right) d s=\alpha \int_{c} f_{1} d s+\beta \int_{c} f_{2} d s \\ & \int_{c}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y}) \cdot d \boldsymbol{r}=\alpha \int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}+\beta \int_{c} \boldsymbol{Y} \cdot d \boldsymbol{r} \end{aligned}c(αf1+βf2)ds=αcf1ds+βcf2dsc(αX+βY)dr=αcXdr+βcYdr
証明 a = t 0 < t 1 < < t k = b a = t 0 < t 1 < < t k = b a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k)=ba=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}=ba=t0<t1<<tk=b を, c c ccc [ t i 1 , t i ] t i 1 , t i [t_(i-1),t_(i)]\left[t_{i-1}, t_{i}\right][ti1,ti] への制限 c | [ t i 1 , t i ] ( i = c t i 1 , t i ( i = c|_([t_(i-1),t_(i)])(i=\left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i=c|[ti1,ti](i= 1 , , k 1 ) 1 , , k 1 ) 1,dots,k-1)1, \ldots, k-1)1,,k1) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるような [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] の分割とする. このとき,主張にお ける 2 式が次のように示される:
c ( α f 1 + β f 2 ) d s = i = 1 k t i 1 t i ( α f 1 + β f 2 ) ( c ( t ) ) c ( t ) d t = α i = 1 k t i 1 t i f 1 ( c ( t ) ) c ( t ) d t + β i = 1 k t i 1 t i f 2 ( c ( t ) ) c ( t ) d t = α c f 1 d s + β c f 2 d s c ( α X + β Y ) d r = i = 1 k t i 1 t i ( α X + β Y ) c ( t ) c ( t ) d t = i = 1 k t i 1 t i ( α X c ( t ) + β Y c ( t ) ) c ( t ) d t = α i = 1 k t i 1 t i X c ( t ) c ( t ) d t + β i = 1 k t i 1 t i Y c ( t ) c ( t ) d t = α c X d r + β c Y d r c α f 1 + β f 2 d s = i = 1 k t i 1 t i α f 1 + β f 2 ( c ( t ) ) c ( t ) d t = α i = 1 k t i 1 t i f 1 ( c ( t ) ) c ( t ) d t + β i = 1 k t i 1 t i f 2 ( c ( t ) ) c ( t ) d t = α c f 1 d s + β c f 2 d s c ( α X + β Y ) d r = i = 1 k t i 1 t i ( α X + β Y ) c ( t ) c ( t ) d t = i = 1 k t i 1 t i α X c ( t ) + β Y c ( t ) c ( t ) d t = α i = 1 k t i 1 t i X c ( t ) c ( t ) d t + β i = 1 k t i 1 t i Y c ( t ) c ( t ) d t = α c X d r + β c Y d r {:[int_(c)(alphaf_(1)+betaf_(2))ds=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))(alphaf_(1)+betaf_(2))(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt],[=alphasum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))f_(1)(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt+betasum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))f_(2)(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt],[=alphaint_(c)f_(1)ds+betaint_(c)f_(2)ds],[int_(c)(alpha X+beta Y)*dr=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))(alpha X+beta Y)_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))(alphaX_(c(t))+betaY_(c(t)))* vec(c)^(')(t)dt],[=alphasum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))X_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt+betasum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))Y_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt],[=alphaint_(c)X*dr+betaint_(c)Y*dr]:}\begin{aligned} & \int_{c}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right) d s=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right)(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t \\ & =\alpha \sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} f_{1}(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t+\beta \sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} f_{2}(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t \\ & =\alpha \int_{c} f_{1} d s+\beta \int_{c} f_{2} d s \\ & \int_{c}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y}) \cdot d \boldsymbol{r}=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y})_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\ & =\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}}\left(\alpha \boldsymbol{X}_{c(t)}+\beta \boldsymbol{Y}_{c(t)}\right) \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\ & =\alpha \sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \boldsymbol{X}_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t+\beta \sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \boldsymbol{Y}_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\ & =\alpha \int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}+\beta \int_{c} \boldsymbol{Y} \cdot d \boldsymbol{r} \end{aligned}c(αf1+βf2)ds=i=1kti1ti(αf1+βf2)(c(t))c(t)dt=αi=1kti1tif1(c(t))c(t)dt+βi=1kti1tif2(c(t))c(t)dt=αcf1ds+βcf2dsc(αX+βY)dr=i=1kti1ti(αX+βY)c(t)c(t)dt=i=1kti1ti(αXc(t)+βYc(t))c(t)dt=αi=1kti1tiXc(t)c(t)dt+βi=1kti1tiYc(t)c(t)dt=αcXdr+βcYdr
命題 1.4.3 c : [ a , b ] E n c : [ a , b ] E n c:[a,b]rarrE^(n)c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}c:[a,b]En を区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線とし, φ : [ α , β ] [ a , b ] φ : [ α , β ] [ a , b ] varphi:[alpha,beta]rarr[a,b]\varphi:[\alpha, \beta] \rightarrow[a, b]φ:[α,β][a,b] C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の単調増加関数で φ ( α ) = a , φ ( β ) = b , φ > 0 φ ( α ) = a , φ ( β ) = b , φ > 0 varphi(alpha)=a,varphi(beta)=b,varphi^(') > 0\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b, \varphi^{\prime}>0φ(α)=a,φ(β)=b,φ>0 となるようなものとす る. このとき, c φ c φ c@varphic \circ \varphicφ も区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線であり, C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 スカラー場 f f fff C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し,
c φ f d s = c f d s , c φ X d r = c X d r c φ f d s = c f d s , c φ X d r = c X d r int_(c@varphi)fds=int_(c)fds,quadint_(c@varphi)X*dr=int_(c)X*dr\int_{c \circ \varphi} f d s=\int_{c} f d s, \quad \int_{c \circ \varphi} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}cφfds=cfds,cφXdr=cXdr
が成り立つ.
証明 a = t 0 < t 1 < < t k = b a = t 0 < t 1 < < t k = b a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k)=ba=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}=ba=t0<t1<<tk=b を, c c ccc [ t i 1 , t i ] t i 1 , t i [t_(i-1),t_(i)]\left[t_{i-1}, t_{i}\right][ti1,ti] への制限 c | [ t i 1 , t i ] ( i = c t i 1 , t i ( i = c|_([t_(i-1),t_(i)])(i=\left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i=c|[ti1,ti](i= 1 , , k 1 ) 1 , , k 1 ) 1,dots,k-1)1, \ldots, k-1)1,,k1) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるような [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] の分割とし, u i := φ 1 ( t i ) u i := φ 1 t i u_(i):=varphi^(-1)(t_(i))u_{i}:=\varphi^{-1}\left(t_{i}\right)ui:=φ1(ti) とおく. また, u = φ 1 ( t ) u = φ 1 ( t ) u=varphi^(-1)(t)u=\varphi^{-1}(t)u=φ1(t) とする。このとき, 主張における 2 式が次のように示され る:
c φ f d s = i = 1 k u i 1 u i f ( ( c φ ) ( u ) ) ( c φ ) ( u ) d u = i = 1 k u i 1 u i f ( ( c φ ) ( u ) ) d t d u c ( φ ( u ) ) d u = i = 1 k t i 1 t i f ( c ( t ) ) c ( t ) d t = c f d s c φ X d r = i = 1 k u i 1 u i X ( c φ ) ( u ) ( c φ ) ( u ) d u = i = 1 k u i 1 u i X ( c φ ) ( u ) ( d t d u c ( φ ( u ) ) ) d u = i = 1 k t i 1 t i X c ( t ) c ( t ) d t = c X d r c φ f d s = i = 1 k u i 1 u i f ( ( c φ ) ( u ) ) ( c φ ) ( u ) d u = i = 1 k u i 1 u i f ( ( c φ ) ( u ) ) d t d u c ( φ ( u ) ) d u = i = 1 k t i 1 t i f ( c ( t ) ) c ( t ) d t = c f d s c φ X d r = i = 1 k u i 1 u i X ( c φ ) ( u ) ( c φ ) ( u ) d u = i = 1 k u i 1 u i X ( c φ ) ( u ) d t d u c ( φ ( u ) ) d u = i = 1 k t i 1 t i X c ( t ) c ( t ) d t = c X d r {:[int_(c@varphi)fds=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i))f((c@varphi)(u))|| vec((c@varphi)^('))(u)||du],[=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i))f((c@varphi)(u))(dt)/(du)|| vec(c)^(')(varphi(u))||du],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))f(c(t))|| vec(c)^(')(t)||dt=int_(c)fds],[int_(c@varphi)X*dr=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i))X_((c@varphi)(u))* vec((c@varphi)^('))(u)du],[=sum_(i=1)^(k)int_(u_(i-1))^(u_(i))X_((c@varphi)(u))*((dt)/(du) vec(c)^(')(varphi(u)))du],[=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))X_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt=int_(c)X*dr]:}\begin{aligned} \int_{c \circ \varphi} f d s & =\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} f((c \circ \varphi)(u))\left\|\overrightarrow{(c \circ \varphi)^{\prime}}(u)\right\| d u \\ & =\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} f((c \circ \varphi)(u)) \frac{d t}{d u}\left\|\vec{c}^{\prime}(\varphi(u))\right\| d u \\ & =\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} f(c(t))\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{c} f d s \\ \int_{c \circ \varphi} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} & =\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} \boldsymbol{X}_{(c \circ \varphi)(u)} \cdot \overrightarrow{(c \circ \varphi)^{\prime}}(u) d u \\ & =\sum_{i=1}^{k} \int_{u_{i-1}}^{u_{i}} \boldsymbol{X}_{(c \circ \varphi)(u)} \cdot\left(\frac{d t}{d u} \vec{c}^{\prime}(\varphi(u))\right) d u \\ & =\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \boldsymbol{X}_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} \end{aligned}cφfds=i=1kui1uif((cφ)(u))(cφ)(u)du=i=1kui1uif((cφ)(u))dtduc(φ(u))du=i=1kti1tif(c(t))c(t)dt=cfdscφXdr=i=1kui1uiX(cφ)(u)(cφ)(u)du=i=1kui1uiX(cφ)(u)(dtduc(φ(u)))du=i=1kti1tiXc(t)c(t)dt=cXdr
問 1.4.1 E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 上のスカラー場 f f fff
f ( p 1 , p 2 ) := p 1 p 2 ( ( p 1 , p 2 ) E 2 ) f p 1 , p 2 := p 1 p 2 p 1 , p 2 E 2 f(p_(1),p_(2)):=p_(1)p_(2)quad((p_(1),p_(2))inE^(2))f\left(p_{1}, p_{2}\right):=p_{1} p_{2} \quad\left(\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{E}^{2}\right)f(p1,p2):=p1p2((p1,p2)E2)
と定義し, C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c i : [ π , π ] E 2 ( i = 1 , 2 ) c i : [ π , π ] E 2 ( i = 1 , 2 ) c_(i):[-pi,pi]rarrE^(2)(i=1,2)c_{i}:[-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{E}^{2}(i=1,2)ci:[π,π]E2(i=1,2) を各々, c 1 ( t ) := ( t , t 2 ) , c 2 ( t ) := c 1 ( t ) := t , t 2 , c 2 ( t ) := c_(1)(t):=(t,t^(2)),c_(2)(t):=c_{1}(t):=\left(t, t^{2}\right), c_{2}(t):=c1(t):=(t,t2),c2(t):= ( cos t , sin t ) ( cos t , sin t ) (cos t,sin t)(\cos t, \sin t)(cost,sint) と定義する. 次の各問いに答えよ.
(i) c i f d s ( i = 1 , 2 ) c i f d s ( i = 1 , 2 ) int_(c_(i))fds(i=1,2)\int_{c_{i}} f d s(i=1,2)cifds(i=1,2) を計算せよ.
(ii) スカラー場 f f fff c 1 , c 2 c 1 , c 2 c_(1),c_(2)c_{1}, c_{2}c1,c2 に沿う振る舞いを分析することにより, (i) の計算結果が予想されることを説明せよ.
問 1.4.2 E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 上のベクトル場 X θ ( π < θ < π ) X θ ( π < θ < π ) X_(theta)(-pi < theta < pi)\boldsymbol{X}_{\theta}(-\pi<\theta<\pi)Xθ(π<θ<π)
( X θ ) ( p 1 , p 2 ) := ( p 1 cos θ p 2 sin θ , p 1 sin θ + p 2 cos θ ) ( ( p 1 , p 2 ) E 2 ) X θ p 1 , p 2 := p 1 cos θ p 2 sin θ , p 1 sin θ + p 2 cos θ p 1 , p 2 E 2 (X_(theta))_((p_(1),p_(2))):=(p_(1)cos theta-p_(2)sin theta,p_(1)sin theta+p_(2)cos theta)quad((p_(1),p_(2))inE^(2))\left(\boldsymbol{X}_{\theta}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}:=\left(p_{1} \cos \theta-p_{2} \sin \theta, p_{1} \sin \theta+p_{2} \cos \theta\right) \quad\left(\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{E}^{2}\right)(Xθ)(p1,p2):=(p1cosθp2sinθ,p1sinθ+p2cosθ)((p1,p2)E2)
と定義し, C C C^(oo)C^{\infty}C 閉曲線 c : [ 0 , 2 π ] E 2 c : [ 0 , 2 π ] E 2 c:[0,2pi]rarrE^(2)c:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{E}^{2}c:[0,2π]E2
c ( t ) := ( cos t , sin t ) ( 0 t 2 π ) c ( t ) := ( cos t , sin t ) ( 0 t 2 π ) c(t):=(cos t,sin t)quad(0 <= t <= 2pi)c(t):=(\cos t, \sin t) \quad(0 \leq t \leq 2 \pi)c(t):=(cost,sint)(0t2π)
と定義する.次の各問いに答えよ.
(i) θ = 0 , π 4 , 3 π 4 , π 4 θ = 0 , π 4 , 3 π 4 , π 4 theta=0,(pi)/(4),(3pi)/(4),-(pi)/(4)\theta=0, \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4},-\frac{\pi}{4}θ=0,π4,3π4,π4 とする。 X θ X θ X_(theta)\boldsymbol{X}_{\theta}Xθ を図示することにより, c X θ d r c X θ d r int_(c)X_(theta)*dr\int_{c} \boldsymbol{X}_{\theta} \cdot d \boldsymbol{r}cXθdr の正負 (または0)を判定せよ.
(ii) θ = 0 , π 4 , 3 π 4 , π 4 θ = 0 , π 4 , 3 π 4 , π 4 theta=0,(pi)/(4),(3pi)/(4),-(pi)/(4)\theta=0, \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4},-\frac{\pi}{4}θ=0,π4,3π4,π4 とする. c X θ d r c X θ d r int_(c)X_(theta)*dr\int_{c} \boldsymbol{X}_{\theta} \cdot d \boldsymbol{r}cXθdr を計算せよ.

1.5 勾配ベクトル場・回転・発散

この節において, n n nnn 次元ユークリッド空間 E n = ( A n , g E ) E n = A n , g E E^(n)=(A^(n),g_(E))\mathbb{E}^{n}=\left(\mathbb{A}^{n}, g_{\mathbb{E}}\right)En=(An,gE) の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 ( r 1 ) ( r 1 ) (r >= 1)(r \geq 1)(r1) の等位集合と勾配ベクトル場, および C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 ( r ( r (r >=(r \geq(r 1)の回転,発散を定義し,それらの関係について述べることにする。 f f fff D D DDD上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 ( r 1 ) ( r 1 ) (r >= 1)(r \geq 1)(r1) とする。 f f fff の値域の実数 b b bbb に対し, f 1 ( b ) f 1 ( b ) f^(-1)(b)f^{-1}(b)f1(b) f f fff b b bbb に対する等位集合(level set)とよばれる。 D D DDD 上のベクトル場 grad f grad f grad f\operatorname{grad} fgradf
( grad f ) p := ( ( f x 1 ) p , , ( f x n ) p ) ( p D ) ( grad f ) p := f x 1 p , , f x n p ( p D ) (grad f)_(p):=(((del f)/(delx_(1)))_(p),dots,((del f)/(delx_(n)))_(p))quad(p in D)(\operatorname{grad} f)_{p}:=\left(\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right) \quad(p \in D)(gradf)p:=((fx1)p,,(fxn)p)(pD)
によって定義する。明らかに, grad f grad f grad f\operatorname{grad} fgradf C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 ベクトル場である. このベク トル場 grad f grad f grad f\operatorname{grad} fgradf f f fff の勾配ベクトル場(gradient vector field)という(図 1.5.1, 1.5.2 を参照).
注意 ベクトル解析では, 偏微分作用素を成分にもつ形式的な行ベクトル ( x 1 , , x n ) x 1 , , x n ((del)/(delx_(1)),dots,(del)/(delx_(n)))\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)(x1,,xn) grad\nabla と表され, それゆえ, grad f grad f grad f\operatorname{grad} fgradf は, 形式的に f f grad f\nabla ff と表される.勾配ベクトル場について, 次の関係式が成り立つ.
命題 1.5.1 f 1 , f 2 f 1 , f 2 f_(1),f_(2)f_{1}, f_{2}f1,f2 E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 ( r 1 ) ( r 1 ) (r >= 1)(r \geq 1)(r1) とし, α , β α , β alpha,beta\alpha, \betaα,β を定数とする. このとき, 次の関係式が成り立つ:
(i) grad ( α f 1 + β f 2 ) = α grad f 1 + β grad f 2 grad α f 1 + β f 2 = α grad f 1 + β grad f 2 grad(alphaf_(1)+betaf_(2))=alpha gradf_(1)+beta gradf_(2)\operatorname{grad}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right)=\alpha \operatorname{grad} f_{1}+\beta \operatorname{grad} f_{2}grad(αf1+βf2)=αgradf1+βgradf2;
(ii) grad ( f 1 f 2 ) = f 1 grad f 2 + f 2 grad f 1 grad f 1 f 2 = f 1 grad f 2 + f 2 grad f 1 grad(f_(1)f_(2))=f_(1)gradf_(2)+f_(2)gradf_(1)\operatorname{grad}\left(f_{1} f_{2}\right)=f_{1} \operatorname{grad} f_{2}+f_{2} \operatorname{grad} f_{1}grad(f1f2)=f1gradf2+f2gradf1.
証明 勾配ベクトル場の定義より, これらの関係式は次のように示される:
f : E 2 R def f ( p ) := p 1 2 + p 2 2 + 1 ( p = ( p 1 , p 2 ) E 2 ) f : E 2 R def f ( p ) := p 1 2 + p 2 2 + 1 p = p 1 , p 2 E 2 f:E^(2)rarrRLongleftrightarrow _(def)f(p):=p_(1)^(2)+p_(2)^(2)+1quad(p=(p_(1),p_(2))inE^(2))f: \mathbb{E}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \underset{\operatorname{def}}{\Longleftrightarrow} f(p):=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+1 \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{E}^{2}\right)f:E2Rdeff(p):=p12+p22+1(p=(p1,p2)E2)
図 1.5.1 E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 上のスカラー場の等位集合と勾配ベクトル場
f : E 3 R def f ( p ) := p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 + 1 ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) E 3 ) f : E 3 R def f ( p ) := p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 + 1 p = p 1 , p 2 , p 3 E 3 f:E^(3)rarrRLongleftrightarrow_(def)f(p):=p_(1)^(2)+p_(2)^(2)+p_(3)^(2)+1quad(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inE^(3))f: \mathbb{E}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} f(p):=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+1 \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in \mathbb{E}^{3}\right)f:E3Rdeff(p):=p12+p22+p32+1(p=(p1,p2,p3)E3)
図 1.5.2 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 上のスカラー場の等位集合と勾配ベクトル場
grad ( α f 1 + β f 2 ) = ( ( α f 1 + β f 2 ) x 1 , , ( α f 1 + β f 2 ) x n ) = ( α f 1 x 1 + β f 2 x 1 , , α f 1 x n + β f 2 x n ) = α ( f 1 x 1 , , f 1 x n ) + β ( f 2 x 1 , , f 2 x n ) = α grad f 1 + β grad f 2 grad α f 1 + β f 2 = α f 1 + β f 2 x 1 , , α f 1 + β f 2 x n = α f 1 x 1 + β f 2 x 1 , , α f 1 x n + β f 2 x n = α f 1 x 1 , , f 1 x n + β f 2 x 1 , , f 2 x n = α grad f 1 + β grad f 2 {:[grad(alphaf_(1)+betaf_(2))=((del(alphaf_(1)+betaf_(2)))/(delx_(1)),dots,(del(alphaf_(1)+betaf_(2)))/(delx_(n)))],[=(alpha(delf_(1))/(delx_(1))+beta(delf_(2))/(delx_(1)),dots,alpha(delf_(1))/(delx_(n))+beta(delf_(2))/(delx_(n)))],[=alpha((delf_(1))/(delx_(1)),dots,(delf_(1))/(delx_(n)))+beta((delf_(2))/(delx_(1)),dots,(delf_(2))/(delx_(n)))],[=alpha gradf_(1)+beta gradf_(2)]:}\begin{aligned} \operatorname{grad}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right) & =\left(\frac{\partial\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right)}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right)}{\partial x_{n}}\right) \\ & =\left(\alpha \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}+\beta \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}, \ldots, \alpha \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}+\beta \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}\right) \\ & =\alpha\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\right)+\beta\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}\right) \\ & =\alpha \operatorname{grad} f_{1}+\beta \operatorname{grad} f_{2} \end{aligned}grad(αf1+βf2)=((αf1+βf2)x1,,(αf1+βf2)xn)=(αf1x1+βf2x1,,αf1xn+βf2xn)=α(f1x1,,f1xn)+β(f2x1,,f2xn)=αgradf1+βgradf2
grad ( f 1 f 2 ) = ( ( f 1 f 2 ) x 1 , , ( f 1 f 2 ) x n ) = ( f 1 f 2 x 1 + f 2 f 1 x 1 , , f 1 f 2 x n + f 2 f 1 x n ) = f 1 ( f 2 x 1 , , f 2 x n ) + f 2 ( f 1 x 1 , , f 1 x n ) = f 1 grad f 2 + f 2 grad f 1 grad f 1 f 2 = f 1 f 2 x 1 , , f 1 f 2 x n = f 1 f 2 x 1 + f 2 f 1 x 1 , , f 1 f 2 x n + f 2 f 1 x n = f 1 f 2 x 1 , , f 2 x n + f 2 f 1 x 1 , , f 1 x n = f 1 grad f 2 + f 2 grad f 1 {:[grad(f_(1)f_(2))=((del(f_(1)f_(2)))/(delx_(1)),dots,(del(f_(1)f_(2)))/(delx_(n)))],[=(f_(1)(delf_(2))/(delx_(1))+f_(2)(delf_(1))/(delx_(1)),dots,f_(1)(delf_(2))/(delx_(n))+f_(2)(delf_(1))/(delx_(n)))],[=f_(1)((delf_(2))/(delx_(1)),dots,(delf_(2))/(delx_(n)))+f_(2)((delf_(1))/(delx_(1)),dots,(delf_(1))/(delx_(n)))],[=f_(1)gradf_(2)+f_(2)gradf_(1)]:}\begin{aligned} \operatorname{grad}\left(f_{1} f_{2}\right) & =\left(\frac{\partial\left(f_{1} f_{2}\right)}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial\left(f_{1} f_{2}\right)}{\partial x_{n}}\right) \\ & =\left(f_{1} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}+f_{2} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}, \ldots, f_{1} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}+f_{2} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\right) \\ & =f_{1}\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}\right)+f_{2}\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\right) \\ & =f_{1} \operatorname{grad} f_{2}+f_{2} \operatorname{grad} f_{1} \end{aligned}grad(f1f2)=((f1f2)x1,,(f1f2)xn)=(f1f2x1+f2f1x1,,f1f2xn+f2f1xn)=f1(f2x1,,f2xn)+f2(f1x1,,f1xn)=f1gradf2+f2gradf1
( grad f ) p 0 ( grad f ) p 0 (grad f)_(p)!=0(\operatorname{grad} f)_{p} \neq \mathbf{0}(gradf)p0 となる点 p p ppp f f fff の正則点(regular point)といい, ( grad f ) p = 0 ( grad f ) p = 0 (grad f)_(p)=0(\operatorname{grad} f)_{p}=\mathbf{0}(gradf)p=0 となる点 p p ppp f f fff の臨界点(critical point)という. f 1 ( b ) f 1 ( b ) f^(-1)(b)f^{-1}(b)f1(b) 上 の各点が f f fff の正則点であるとき, b b bbb f f fff の正則値(regular value)といい, f 1 ( b ) f 1 ( b ) f^(-1)(b)f^{-1}(b)f1(b) f f fff の臨界点を含むとき, b b bbb f f fff の臨界値(critical value)という. b b bbb f f fff の正則值であるとき, 等位集合 f 1 ( b ) f 1 ( b ) f^(-1)(b)f^{-1}(b)f1(b) は, 超曲面とよばれる ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 次元図形になるので, f f fff b b bbb に対する等高超曲面(level hypersurface)とよ ばれる。
命題 1.5.2 等位集合 f 1 ( b ) f 1 ( b ) f^(-1)(b)f^{-1}(b)f1(b) 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線 c : I f 1 ( b ) ( r 1 ) c : I f 1 ( b ) ( r 1 ) c:I rarrf^(-1)(b)(r >= 1)c: I \rightarrow f^{-1}(b)(r \geq 1)c:If1(b)(r1) に対し, ( grad f ) c ( t ) c ( t ) = 0 ( t I ) ( grad f ) c ( t ) c ( t ) = 0 ( t I ) (grad f)_(c(t))* vec(c)^(')(t)=0(t in I)(\operatorname{grad} f)_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t)=0(t \in I)(gradf)c(t)c(t)=0(tI) が成り立つ.
証明 c ( t ) = ( c 1 ( t ) , , c n ( t ) ) c ( t ) = c 1 ( t ) , , c n ( t ) c(t)=(c_(1)(t),dots,c_(n)(t))c(t)=\left(c_{1}(t), \ldots, c_{n}(t)\right)c(t)=(c1(t),,cn(t)) とする. このとき, f ( c ( t ) ) = b f ( c ( t ) ) = b f(c(t))=bf(c(t))=bf(c(t))=b より,
d d t ( f c ) ( t ) = d b d t = 0 d d t ( f c ) ( t ) = d b d t = 0 (d)/(dt)(f@c)(t)=(db)/(dt)=0\frac{d}{d t}(f \circ c)(t)=\frac{d b}{d t}=0ddt(fc)(t)=dbdt=0
が示され, 一方, 合成関数の偏微分法(連鎖律)より,
d d t ( f c ) ( t ) = d d t f ( c 1 ( t ) , , c n ( t ) ) = i = 1 n ( f x i ) c ( t ) d c i d t (1.5.1) = ( ( f x 1 ) c ( t ) , , ( f x n ) c ( t ) ) ( d c 1 d t , , d c n d t ) = ( grad f ) c ( t ) c ( t ) d d t ( f c ) ( t ) = d d t f c 1 ( t ) , , c n ( t ) = i = 1 n f x i c ( t ) d c i d t (1.5.1) = f x 1 c ( t ) , , f x n c ( t ) d c 1 d t , , d c n d t = ( grad f ) c ( t ) c ( t ) {:[(d)/(dt)(f@c)(t)=(d)/(dt)f(c_(1)(t),dots,c_(n)(t))=sum_(i=1)^(n)((del f)/(delx_(i)))_(c(t))(dc_(i))/(dt)],[(1.5.1)=(((del f)/(delx_(1)))_(c(t)),dots,((del f)/(delx_(n)))_(c(t)))*((dc_(1))/(dt),dots,(dc_(n))/(dt))],[=(grad f)_(c(t))* vec(c)^(')(t)]:}\begin{align*} & \frac{d}{d t}(f \circ c)(t)=\frac{d}{d t} f\left(c_{1}(t), \ldots, c_{n}(t)\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right)_{c(t)} \frac{d c_{i}}{d t} \\ &=\left(\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right)_{c(t)}, \ldots,\left(\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right)_{c(t)}\right) \cdot\left(\frac{d c_{1}}{d t}, \ldots, \frac{d c_{n}}{d t}\right) \tag{1.5.1}\\ &=(\operatorname{grad} f)_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) \end{align*}ddt(fc)(t)=ddtf(c1(t),,cn(t))=i=1n(fxi)c(t)dcidt(1.5.1)=((fx1)c(t),,(fxn)c(t))(dc1dt,,dcndt)=(gradf)c(t)c(t)
が示される。それゆえ、 ( grad f ) c ( t ) c ( t ) = 0 ( grad f ) c ( t ) c ( t ) = 0 (grad f)_(c(t))* vec(c)^(')(t)=0(\operatorname{grad} f)_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t)=0(gradf)c(t)c(t)=0 が導かれる.
注意 命題 1.5.2 の事実から, b b bbb f f fff の正則値の場合, ( grad f ) c ( t ) ( grad f ) c ( t ) (grad f)_(c(t))(\operatorname{grad} f)_{c(t)}(gradf)c(t) が等高超曲面 f 1 ( b ) f 1 ( b ) f^(-1)(b)f^{-1}(b)f1(b) の法線ベクトルであることがわかる.
勾配ベクトル場の曲線に沿う線積分について, 次の事実が成り立つ.
命題 1.5.3 f f fff D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場とし, c : [ a , b ] D c : [ a , b ] D c:[a,b]rarr Dc:[a, b] \rightarrow Dc:[a,b]D を区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr級の曲線する。このとき,
c grad f d r = f ( c ( b ) ) f ( c ( a ) ) c grad f d r = f ( c ( b ) ) f ( c ( a ) ) int_(c)grad f*dr=f(c(b))-f(c(a))\int_{c} \operatorname{grad} f \cdot d \boldsymbol{r}=f(c(b))-f(c(a))cgradfdr=f(c(b))f(c(a))
が成り立つ.
証明 c ( t ) = ( c 1 ( t ) , , c n ( t ) ) ( t [ a , b ] ) c ( t ) = c 1 ( t ) , , c n ( t ) ( t [ a , b ] ) c(t)=(c_(1)(t),dots,c_(n)(t))(t in[a,b])c(t)=\left(c_{1}(t), \ldots, c_{n}(t)\right)(t \in[a, b])c(t)=(c1(t),,cn(t))(t[a,b]) とする. a = t 0 < t 1 < < a = t 0 < t 1 < < a=t_(0) < t_(1) < cdots <a=t_{0}<t_{1}<\cdots<a=t0<t1<< t k = b t k = b t_(k)=bt_{k}=btk=b を, c c ccc [ t i 1 , t i ] t i 1 , t i [t_(i-1),t_(i)]\left[t_{i-1}, t_{i}\right][ti1,ti] への制限 c [ t i 1 , t i ] ( i = 1 , , k 1 ) c t i 1 , t i ( i = 1 , , k 1 ) c∣[t_(i-1),t_(i)](i=1,dots,k-1)c \mid\left[t_{i-1}, t_{i}\right](i=1, \ldots, k-1)c[ti1,ti](i=1,,k1) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であ るような [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] の分割とする。このとき, 合成関数の微分法(連鎖律)を用い て,
c grad f d r = i = 1 n t i 1 t i ( grad f ) c ( t ) c ( t ) d t = i = 1 n t i 1 t i j = 1 n ( f x j ) c ( t ) c j ( t ) d t = i = 1 n t i 1 t i d f ( c ( t ) ) d t d t = i = 1 n ( f ( c ( t i ) ) f ( c ( t i 1 ) ) ) = f ( c ( b ) ) f ( c ( a ) ) c grad f d r = i = 1 n t i 1 t i ( grad f ) c ( t ) c ( t ) d t = i = 1 n t i 1 t i j = 1 n f x j c ( t ) c j ( t ) d t = i = 1 n t i 1 t i d f ( c ( t ) ) d t d t = i = 1 n f c t i f c t i 1 = f ( c ( b ) ) f ( c ( a ) ) {:[int_(c)grad f*dr=sum_(i=1)^(n)int_(t_(i-1))^(t_(i))(grad f)_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt],[=sum_(i=1)^(n)int_(t_(i-1))^(t_(i))sum_(j=1)^(n)((del f)/(delx_(j)))_(c(t))c_(j)^(')(t)dt=sum_(i=1)^(n)int_(t_(i-1))^(t_(i))(df(c(t)))/(dt)dt],[=sum_(i=1)^(n)(f(c(t_(i)))-f(c(t_(i-1))))=f(c(b))-f(c(a))]:}\begin{aligned} \int_{c} \operatorname{grad} f \cdot d \boldsymbol{r} & =\sum_{i=1}^{n} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}}(\operatorname{grad} f)_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\ & =\sum_{i=1}^{n} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\right)_{c(t)} c_{j}^{\prime}(t) d t=\sum_{i=1}^{n} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \frac{d f(c(t))}{d t} d t \\ & =\sum_{i=1}^{n}\left(f\left(c\left(t_{i}\right)\right)-f\left(c\left(t_{i-1}\right)\right)\right)=f(c(b))-f(c(a)) \end{aligned}cgradfdr=i=1nti1ti(gradf)c(t)c(t)dt=i=1nti1tij=1n(fxj)c(t)cj(t)dt=i=1nti1tidf(c(t))dtdt=i=1n(f(c(ti))f(c(ti1)))=f(c(b))f(c(a))
が示される.
f f fff E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場とする. v ( = c ( t 0 ) ) T p A n v = c t 0 T p A n v(=c^(')(t_(0)))inT_(p)A^(n)\boldsymbol{v}\left(=c^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) \in T_{p} \mathbb{A}^{n}v(=c(t0))TpAn に対し, v ( f ) v ( f ) v(f)\boldsymbol{v}(f)v(f)
v ( f ) := d f ( c ( t ) ) d t | t = t 0 v ( f ) := d f ( c ( t ) ) d t t = t 0 v(f):=(df(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))\boldsymbol{v}(f):=\left.\frac{d f(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}}v(f):=df(c(t))dt|t=t0
によって定義する. v ( f ) v ( f ) v(f)\boldsymbol{v}(f)v(f) が well-defined であることを示そう。そのためには, v = c ( t 0 ) = c ¯ ( t ¯ 0 ) v = c t 0 = c ¯ t ¯ 0 v=c^(')(t_(0))= bar(c)^(')( bar(t)_(0))\boldsymbol{v}=c^{\prime}\left(t_{0}\right)=\bar{c}^{\prime}\left(\bar{t}_{0}\right)v=c(t0)=c¯(t¯0) として,
d f ( c ( t ) ) d t | t = t 0 = d f ( c ¯ ( t ) ) d t | t = t ¯ 0 d f ( c ( t ) ) d t t = t 0 = d f ( c ¯ ( t ) ) d t t = t ¯ 0 (df(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))=(df(( bar(c))(t)))/(dt)|_(t= bar(t)_(0))\left.\frac{d f(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}}=\left.\frac{d f(\bar{c}(t))}{d t}\right|_{t=\bar{t}_{0}}df(c(t))dt|t=t0=df(c¯(t))dt|t=t¯0
を示せばよい. c ( t ) = ( c 1 ( t ) , , c n ( t ) ) c ( t ) = c 1 ( t ) , , c n ( t ) c(t)=(c_(1)(t),dots,c_(n)(t))c(t)=\left(c_{1}(t), \ldots, c_{n}(t)\right)c(t)=(c1(t),,cn(t)) とする. このとき, 合成関数の偏微分法(連鎖律)を用いて,
d f ( c ( t ) ) d t | t = t 0 = i = 1 n ( f x i ) c ( t 0 ) d c i d t | t = t 0 = i = 1 n ( f x i ) c ¯ ( t 0 ) d c ¯ i d t | t = t ¯ 0 = d f ( c ¯ ( t ) ) d t | t = t ¯ 0 d f ( c ( t ) ) d t t = t 0 = i = 1 n f x i c t 0 d c i d t t = t 0 = i = 1 n f x i c ¯ t 0 d c ¯ i d t t = t ¯ 0 = d f ( c ¯ ( t ) ) d t t = t ¯ 0 {:[(df(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))=sum_(i=1)^(n)((del f)/(delx_(i)))_(c(t_(0)))(dc_(i))/(dt)|_(t=t_(0))],[=sum_(i=1)^(n)((del f)/(delx_(i)))_( bar(c)(t_(0)))(d bar(c)_(i))/(dt)|_(t= bar(t)_(0))=(df(( bar(c))(t)))/(dt)|_(t= bar(t)_(0))]:}\begin{aligned} \left.\frac{d f(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}} & =\left.\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)} \frac{d c_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}} \\ & =\left.\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right)_{\bar{c}\left(t_{0}\right)} \frac{d \bar{c}_{i}}{d t}\right|_{t=\bar{t}_{0}}=\left.\frac{d f(\bar{c}(t))}{d t}\right|_{t=\bar{t}_{0}} \end{aligned}df(c(t))dt|t=t0=i=1n(fxi)c(t0)dcidt|t=t0=i=1n(fxi)c¯(t0)dc¯idt|t=t¯0=df(c¯(t))dt|t=t¯0
が示され,それゆえ, v ( f ) v ( f ) v(f)\boldsymbol{v}(f)v(f) がwell-defined であることがわかる. v ( f ) v ( f ) v(f)\boldsymbol{v}(f)v(f) f f f\boldsymbol{f}f v v vvv に関する方向微分係数という。上式より, 次が導かれる.
命題 1.5.4 f f fff D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場とし, v ( = c ( t 0 ) ) T p A n v = c t 0 T p A n v(=c^(')(t_(0)))inT_(p)A^(n)\boldsymbol{v}\left(=c^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) \in T_{p} \mathbb{A}^{n}v(=c(t0))TpAn とする. このとき,
v ( f ) = ( grad f ) c ( t 0 ) c ( t 0 ) v ( f ) = ( grad f ) c t 0 c t 0 v(f)=(grad f)_(c(t_(0)))* vec(c)^(')(t_(0))\boldsymbol{v}(f)=(\operatorname{grad} f)_{c\left(t_{0}\right)} \cdot \vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right)v(f)=(gradf)c(t0)c(t0)
が成り立つ.
問 1.5.1 E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 上の次の C C C^(oo)C^{\infty}C スカラー場 f f fff の勾配ベクトル場 grad f grad f grad f\operatorname{grad} fgradf を計算し, f f fff の 臨界点を求めよ、 また, grad f grad f grad f\operatorname{grad} fgradf, および f f fff の等位集合族を図示せよ.
(i) f ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 2 x 1 + x 2 2 4 x 2 + 6 f x 1 , x 2 = x 1 2 2 x 1 + x 2 2 4 x 2 + 6 quad f(x_(1),x_(2))=x_(1)^(2)-2x_(1)+x_(2)^(2)-4x_(2)+6\quad f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}-2 x_{1}+x_{2}^{2}-4 x_{2}+6f(x1,x2)=x122x1+x224x2+6
(ii) f ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + 2 x 1 + x 2 2 2 x 2 + 3 f x 1 , x 2 = x 1 2 + 2 x 1 + x 2 2 2 x 2 + 3 f(x_(1),x_(2))=-x_(1)^(2)+2x_(1)+x_(2)^(2)-2x_(2)+3f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-x_{1}^{2}+2 x_{1}+x_{2}^{2}-2 x_{2}+3f(x1,x2)=x12+2x1+x222x2+3
次に, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 ( r 1 ) ( r 1 ) (r >= 1)(r \geq 1)(r1) の回転を定義し, その性質 について述べる。 X X X\boldsymbol{X}X E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 ( r 1 ) ( r 1 ) (r >= 1)(r \geq 1)(r1) とし, X = X = X=\boldsymbol{X}=X= ( X 1 , X 2 , X 3 ) X 1 , X 2 , X 3 (X_(1),X_(2),X_(3))\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)(X1,X2,X3) とする. D D DDD 上のスカラー場 rot X rot X rot X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}rotX
( rot X ) p := ( ( X 3 x 2 ) p ( X 2 x 3 ) p , ( X 1 x 3 ) p ( X 3 x 1 ) p ( X 2 x 1 ) p ( X 1 x 2 ) p ) ( p E 3 ) ( rot X ) p := X 3 x 2 p X 2 x 3 p , X 1 x 3 p X 3 x 1 p X 2 x 1 p X 1 x 2 p p E 3 {:[(rot X)_(p):=(((delX_(3))/(delx_(2)))_(p)-:}((delX_(2))/(delx_(3)))_(p)","((delX_(1))/(delx_(3)))_(p)-((delX_(3))/(delx_(1)))_(p)],[{:((delX_(2))/(delx_(1)))_(p)-((delX_(1))/(delx_(2)))_(p))quad(p inE^(3))]:}\begin{aligned} (\operatorname{rot} \boldsymbol{X})_{p}:=\left(\left(\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{2}}\right)_{p}-\right. & \left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}\right)_{p},\left(\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}}\right)_{p}-\left(\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{1}}\right)_{p} \\ & \left.\left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}\right)_{p}-\left(\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right)_{p}\right) \quad\left(p \in \mathbb{E}^{3}\right) \end{aligned}(rotX)p:=((X3x2)p(X2x3)p,(X1x3)p(X3x1)p(X2x1)p(X1x2)p)(pE3)
によって定義する. 明らかに, rot X rot X rot X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}rotX C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 ベクトル場である. このベク トル場 rot X rot X rot X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}rotX X X X\boldsymbol{X}X の回転(rotation)という(図1.5.3を参照). rot X rot X rot X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}rotX は,前述の形式的行ベクトル = ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 , x 2 , x 3 grad=((del)/(delx_(1)),(del)/(delx_(2)),(del)/(delx_(3)))\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \frac{\partial}{\partial x_{3}}\right)=(x1,x2,x3) を用いて, rot X = × X rot X = × X rot X=grad xx X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}=\nabla \times \boldsymbol{X}rotX=×X と 形式的に表される。それゆえ, ベクトル解析では, rot X rot X rot X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}rotX × X × X grad xx X\nabla \times \boldsymbol{X}×X と表すこ とが多い.
図 1.5.3 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 上のベクトル場の回転
特に, X = ( X 1 , X 2 , 0 ) X = X 1 , X 2 , 0 X=(X_(1),X_(2),0)\boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, 0\right)X=(X1,X2,0) かつ X 1 x 3 = X 2 x 3 = 0 X 1 x 3 = X 2 x 3 = 0 (delX_(1))/(delx_(3))=(delX_(2))/(delx_(3))=0\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}}=\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}=0X1x3=X2x3=0 のとき,
rot X = ( 0 , 0 , X 2 x 1 X 1 x 2 ) rot X = 0 , 0 , X 2 x 1 X 1 x 2 rot X=(0,0,(delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2)))\operatorname{rot} \boldsymbol{X}=\left(0,0, \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right)rotX=(0,0,X2x1X1x2)
となる. この事実から, E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 の領域 D D D^(')D^{\prime}D 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 Y = ( Y 1 , Y 2 ) ( r Y = Y 1 , Y 2 ( r Y=(Y_(1),Y_(2))(r >=\boldsymbol{Y}=\left(Y_{1}, Y_{2}\right)(r \geqY=(Y1,Y2)(r 1) の回転 rot Y Y Y\boldsymbol{Y}Y は,
( rot Y ) p := ( Y 2 x 1 ) p ( Y 1 x 2 ) p ( p D ) ( rot Y ) p := Y 2 x 1 p Y 1 x 2 p p D (rot Y)_(p):=((delY_(2))/(delx_(1)))_(p)-((delY_(1))/(delx_(2)))_(p)quad(p inD^('))(\operatorname{rot} \boldsymbol{Y})_{p}:=\left(\frac{\partial Y_{2}}{\partial x_{1}}\right)_{p}-\left(\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}}\right)_{p} \quad\left(p \in D^{\prime}\right)(rotY)p:=(Y2x1)p(Y1x2)p(pD)
によって定義される.
注意 n 4 n 4 n >= 4n \geq 4n4 の場合, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 上の ( n 2 ) ( n 2 ) (n-2)(n-2)(n2) 本の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 X 1 , , X n 2 X 1 , , X n 2 X_(1),dots,X_(n-2)\boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{n-2}X1,,Xn2 に対 し, 形式的外積 × X 1 × × X n 2 × X 1 × × X n 2 grad xxX_(1)xx cdots xxX_(n-2)\nabla \times \boldsymbol{X}_{1} \times \cdots \times \boldsymbol{X}_{n-2}×X1××Xn2 が何を意味するかを考えてみることは興味深いのではないか.
E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場の回転の性質を述べることにする.
命題 1.5.5 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 f f fff に 対し, 次の関係式が成り立つ:
(i) rot ( α X + β Y ) = α rot X + β rot Y ( α , β R ) rot ( α X + β Y ) = α rot X + β rot Y ( α , β R ) rot(alpha X+beta Y)=alpha rot X+beta rot Y quad(alpha,beta inR)\operatorname{rot}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y})=\alpha \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+\beta \operatorname{rot} \boldsymbol{Y} \quad(\alpha, \beta \in \mathbb{R})rot(αX+βY)=αrotX+βrotY(α,βR);
(ii) rot ( f X ) = f rot X + grad f × X rot ( f X ) = f rot X + grad f × X rot(fX)=f rot X+grad f xx X\operatorname{rot}(f \boldsymbol{X})=f \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+\operatorname{grad} f \times \boldsymbol{X}rot(fX)=frotX+gradf×X.
証明 式(i)は,回転の定義より直接示される。式(ii)を示そう. X = X = X=\boldsymbol{X}=X= ( X 1 , X 2 , X 3 ) X 1 , X 2 , X 3 (X_(1),X_(2),X_(3))\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)(X1,X2,X3) とする. このとき, f X = ( f X 1 , f X 2 , f X 3 ) f X = f X 1 , f X 2 , f X 3 fX=(fX_(1),fX_(2),fX_(3))f \boldsymbol{X}=\left(f X_{1}, f X_{2}, f X_{3}\right)fX=(fX1,fX2,fX3) となるので,
rot ( f X ) = ( ( f X 3 ) x 2 ( f X 2 ) x 3 , ( f X 1 ) x 3 ( f X 3 ) x 1 , ( f X 2 ) x 1 ( f X 1 ) x 2 ) = ( f ( X 3 x 2 X 2 x 3 ) + f x 2 X 3 f x 3 X 2 f ( X 1 x 3 X 3 x 1 ) + f x 3 X 1 f x 1 X 3 f ( X 2 x 1 X 1 x 2 ) + f x 1 X 2 f x 2 X 1 ) = f rot X + grad f × X rot ( f X ) = f X 3 x 2 f X 2 x 3 , f X 1 x 3 f X 3 x 1 , f X 2 x 1 f X 1 x 2 = f X 3 x 2 X 2 x 3 + f x 2 X 3 f x 3 X 2 f X 1 x 3 X 3 x 1 + f x 3 X 1 f x 1 X 3 f X 2 x 1 X 1 x 2 + f x 1 X 2 f x 2 X 1 = f rot X + grad f × X {:[rot(fX)=((del(fX_(3)))/(delx_(2))-(del(fX_(2)))/(delx_(3)),(del(fX_(1)))/(delx_(3))-(del(fX_(3)))/(delx_(1)),(del(fX_(2)))/(delx_(1))-(del(fX_(1)))/(delx_(2)))],[=(f((delX_(3))/(delx_(2))-(delX_(2))/(delx_(3)))+(del f)/(delx_(2))X_(3)-(del f)/(delx_(3))X_(2):}],[quad f((delX_(1))/(delx_(3))-(delX_(3))/(delx_(1)))+(del f)/(delx_(3))X_(1)-(del f)/(delx_(1))X_(3)],[{: quad f((delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2)))+(del f)/(delx_(1))X_(2)-(del f)/(delx_(2))X_(1))],[=f rot X+grad f xx X]:}\begin{aligned} \operatorname{rot}(f \boldsymbol{X})= & \left(\frac{\partial\left(f X_{3}\right)}{\partial x_{2}}-\frac{\partial\left(f X_{2}\right)}{\partial x_{3}}, \frac{\partial\left(f X_{1}\right)}{\partial x_{3}}-\frac{\partial\left(f X_{3}\right)}{\partial x_{1}}, \frac{\partial\left(f X_{2}\right)}{\partial x_{1}}-\frac{\partial\left(f X_{1}\right)}{\partial x_{2}}\right) \\ = & \left(f\left(\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}\right)+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} X_{3}-\frac{\partial f}{\partial x_{3}} X_{2}\right. \\ & \quad f\left(\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{1}}\right)+\frac{\partial f}{\partial x_{3}} X_{1}-\frac{\partial f}{\partial x_{1}} X_{3} \\ & \left.\quad f\left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right)+\frac{\partial f}{\partial x_{1}} X_{2}-\frac{\partial f}{\partial x_{2}} X_{1}\right) \\ = & f \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+\operatorname{grad} f \times \boldsymbol{X} \end{aligned}rot(fX)=((fX3)x2(fX2)x3,(fX1)x3(fX3)x1,(fX2)x1(fX1)x2)=(f(X3x2X2x3)+fx2X3fx3X2f(X1x3X3x1)+fx3X1fx1X3f(X2x1X1x2)+fx1X2fx2X1)=frotX+gradf×X
をえる.
E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 ( r 2 ) ( r 2 ) (r >= 2)(r \geq 2)(r2) の勾配ベクトル場の回転に関して,次の事実が成り立つ.
命題 1.5.6 r 2 r 2 quad r >= 2\quad r \geq 2r2 とする. 任意の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 f f fff に対し, rot ( grad f ) = rot ( grad f ) = rot(grad f)=\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)=rot(gradf)= 0 が成り立つ.
証明 この関係式は, 次のように示される:
rot ( grad f ) = rot ( f x 1 , f x 2 , f x 3 ) = ( x 2 ( f x 3 ) x 3 ( f x 2 ) , x 3 ( f x 1 ) x 1 ( f x 3 ) x 1 ( f x 2 ) x 2 ( f x 1 ) ) = 0 rot ( grad f ) = rot f x 1 , f x 2 , f x 3 = x 2 f x 3 x 3 f x 2 , x 3 f x 1 x 1 f x 3 x 1 f x 2 x 2 f x 1 = 0 {:[rot(grad f)=rot((del f)/(delx_(1)),(del f)/(delx_(2)),(del f)/(delx_(3)))],[=((del)/(delx_(2))((del f)/(delx_(3)))-(del)/(delx_(3))((del f)/(delx_(2))),(del)/(delx_(3))((del f)/(delx_(1)))-(del)/(delx_(1))((del f)/(delx_(3))):}],[{:(del)/(delx_(1))((del f)/(delx_(2)))-(del)/(delx_(2))((del f)/(delx_(1))))],[=0]:}\begin{aligned} & \operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)=\operatorname{rot}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}, \frac{\partial f}{\partial x_{3}}\right) \\ = & \left(\frac{\partial}{\partial x_{2}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{3}}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{3}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{2}}\right), \frac{\partial}{\partial x_{3}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{3}}\right)\right. \\ & \left.\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{2}}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{2}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right)\right) \\ = & \mathbf{0} \end{aligned}rot(gradf)=rot(fx1,fx2,fx3)=(x2(fx3)x3(fx2),x3(fx1)x1(fx3)x1(fx2)x2(fx1))=0
注意 命題1.5.6によれば, rot X rot X rot X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}rotX は, X X X\boldsymbol{X}X がある C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 f ( r 2 ) f ( r 2 ) f(r >= 2)f(r \geq 2)f(r2) を用 いて X = grad f X = grad f X=grad f\boldsymbol{X}=\operatorname{grad} fX=gradf と表されることに対する障害を表す量であることがわかる.
簡便のため, E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 の領域 D D DDD 上のベクトル場 X = ( X 1 , X 2 ) , Y = ( Y 1 , Y 2 ) X = X 1 , X 2 , Y = Y 1 , Y 2 X=(X_(1),X_(2)),Y=(Y_(1),Y_(2))\boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}\right), \boldsymbol{Y}=\left(Y_{1}, Y_{2}\right)X=(X1,X2),Y=(Y1,Y2) に 対し, D D DDD 上のスカラー場 [ X , Y ] [ X , Y ] [X,Y][\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}][X,Y]
[ X , Y ] := | X 1 Y 1 X 2 Y 2 | [ X , Y ] := X 1      Y 1 X 2      Y 2 [X,Y]:=|[X_(1),Y_(1)],[X_(2),Y_(2)]|[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}]:=\left|\begin{array}{ll} X_{1} & Y_{1} \\ X_{2} & Y_{2} \end{array}\right|[X,Y]:=|X1Y1X2Y2|
によって定義しておく. このとき, rot X rot X rot X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}rotX は, 形式的に [ , X ] [ , X ] [grad,X][\nabla, \boldsymbol{X}][,X] と表される.
E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場の回転の性質を述べることにする.
命題 1.5.7 E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 f f fff に 対し, 次の関係式が成り立つ.
(i) rot ( α X + β Y ) = α rot X + β rot Y ( α , β R ) rot ( α X + β Y ) = α rot X + β rot Y ( α , β R ) rot(alpha X+beta Y)=alpha rot X+beta rot Y quad(alpha,beta inR)\operatorname{rot}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y})=\alpha \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+\beta \operatorname{rot} \boldsymbol{Y} \quad(\alpha, \beta \in \mathbb{R})rot(αX+βY)=αrotX+βrotY(α,βR);
(ii) rot ( f X ) = f rot X + [ grad f , X ] rot ( f X ) = f rot X + [ grad f , X ] rot(fX)=f rot X+[grad f,X]\operatorname{rot}(f \boldsymbol{X})=f \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+[\operatorname{grad} f, \boldsymbol{X}]rot(fX)=frotX+[gradf,X].
証明 式 (i) は, 回転の定義より直接示される。式 (ii)を示そう. X = X = X=\boldsymbol{X}=X= ( X 1 , X 2 ) X 1 , X 2 (X_(1),X_(2))\left(X_{1}, X_{2}\right)(X1,X2) とする. このとき, f X = ( f X 1 , f X 2 ) f X = f X 1 , f X 2 fX=(fX_(1),fX_(2))f \boldsymbol{X}=\left(f X_{1}, f X_{2}\right)fX=(fX1,fX2) となるので,
rot ( f X ) = ( f X 2 ) x 1 ( f X 1 ) x 2 = ( f x 1 X 2 + f X 2 x 1 ) ( f x 2 X 1 + f X 1 x 2 ) = f ( X 2 x 1 X 1 x 2 ) + ( f x 1 X 2 f x 2 X 1 ) = f rot X + [ grad f , X ] rot ( f X ) = f X 2 x 1 f X 1 x 2 = f x 1 X 2 + f X 2 x 1 f x 2 X 1 + f X 1 x 2 = f X 2 x 1 X 1 x 2 + f x 1 X 2 f x 2 X 1 = f rot X + [ grad f , X ] {:[rot(fX)=(del(fX_(2)))/(delx_(1))-(del(fX_(1)))/(delx_(2))],[=((del f)/(delx_(1))X_(2)+f((delX_(2))/(delx_(1))))-((del f)/(delx_(2))X_(1)+f((delX_(1))/(delx_(2))))],[=f((delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2)))+((del f)/(delx_(1))X_(2)-(del f)/(delx_(2))X_(1))],[=f rot X+[grad f","X]]:}\begin{aligned} \operatorname{rot}(f \boldsymbol{X}) & =\frac{\partial\left(f X_{2}\right)}{\partial x_{1}}-\frac{\partial\left(f X_{1}\right)}{\partial x_{2}} \\ & =\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}} X_{2}+f \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}\right)-\left(\frac{\partial f}{\partial x_{2}} X_{1}+f \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right) \\ & =f\left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}} X_{2}-\frac{\partial f}{\partial x_{2}} X_{1}\right) \\ & =f \operatorname{rot} \boldsymbol{X}+[\operatorname{grad} f, \boldsymbol{X}] \end{aligned}rot(fX)=(fX2)x1(fX1)x2=(fx1X2+fX2x1)(fx2X1+fX1x2)=f(X2x1X1x2)+(fx1X2fx2X1)=frotX+[gradf,X]
をえる。
E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 ( r 2 ) ( r 2 ) (r >= 2)(r \geq 2)(r2) の勾配ベクトル場の回転に関して も, 次の事実が成り立つ.
命題 1.5.8 r 2 r 2 quad r >= 2\quad r \geq 2r2 とする。任意の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 f f fff に対し, rot ( grad f ) = rot ( grad f ) = rot(grad f)=\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)=rot(gradf)= 0 が成り立つ.
次に, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場の発散を定義しよう. X = X = X=\boldsymbol{X}=X= ( X 1 , , X n ) X 1 , , X n (X_(1),dots,X_(n))\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)(X1,,Xn) E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場とする。 D D DDD 上の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 スカ ラー場 div X div X div X\operatorname{div} \boldsymbol{X}divX
図 1.5.4 E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 上のベクトル場の発散
( div X ) p := i = 1 n ( X i x i ) p ( p D ) ( div X ) p := i = 1 n X i x i p ( p D ) (div X)_(p):=sum_(i=1)^(n)((delX_(i))/(delx_(i)))_(p)quad(p in D)(\operatorname{div} \boldsymbol{X})_{p}:=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}}\right)_{p} \quad(p \in D)(divX)p:=i=1n(Xixi)p(pD)
によって定義する. この C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 スカラー場 div X div X div X\operatorname{div} \boldsymbol{X}divX X X X\boldsymbol{X}X の発散(divergence) という(図 1.5.4を参照)。 div X div X div X\operatorname{div} \boldsymbol{X}divX は, 形式的行ベクトル grad\nabla を用いて, 形式的 に X X grad*X\nabla \cdot \boldsymbol{X}X と表される。それゆえ, ベクトル解析では, X X X\boldsymbol{X}X の発散を X X grad*X\nabla \cdot \boldsymbol{X}X と表 すことが多い.
命題 1.5.9 E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 f f fff, および C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y に対し, 次の関係式が成り立つ.
(i) div ( α X + β Y ) = α div X + β div Y ( α , β R ) div ( α X + β Y ) = α div X + β div Y ( α , β R ) div(alpha X+beta Y)=alpha div X+beta div Y quad(alpha,beta inR)\operatorname{div}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y})=\alpha \operatorname{div} \boldsymbol{X}+\beta \operatorname{div} \boldsymbol{Y} \quad(\alpha, \beta \in \mathbb{R})div(αX+βY)=αdivX+βdivY(α,βR);
(ii) div ( f X ) = f div X + grad f X div ( f X ) = f div X + grad f X div(fX)=f div X+grad f*X\operatorname{div}(f \boldsymbol{X})=f \operatorname{div} \boldsymbol{X}+\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{X}div(fX)=fdivX+gradfX.
証明 両式とも, 発散の定義より直接示される.
命題 1.5.10 r 2 r 2 r >= 2r \geq 2r2 とする. E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 の領域 D D DDD 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し, div ( rot X ) = 0 div ( rot X ) = 0 div(rot X)=0\operatorname{div}(\operatorname{rot} \boldsymbol{X})=0div(rotX)=0 が成り立つ.
証明この関係式は, 左辺を回転と発散の定義に基づいて表示し, 偏微分の 順序交換可能性を用いることにより示される。
このように, div X div X div X\operatorname{div} \boldsymbol{X}divX は, X X X\boldsymbol{X}X がある C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 ( r 2 ) ( r 2 ) (r >= 2)(r \geq 2)(r2) の回転として表 されることに対する障害を表す量であることがわかる.
問 1.5.2 次の E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 上の C C C^(oo)C^{\infty}C ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し, rot X , div X rot X , div X rot X,div X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}, \operatorname{div} \boldsymbol{X}rotX,divX を求めよ. また X X X\boldsymbol{X}X rot X rot X rot X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}rotX を図示し, rot X rot X rot X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}rotX がどのようなものであるか分析せよ.
(i) X p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) E 3 ) X p = p 1 , p 2 , p 3 p = p 1 , p 2 , p 3 E 3 quadX_(p)=(p_(1),p_(2),p_(3))quad(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inE^(3))\quad \boldsymbol{X}_{p}=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in \mathbb{E}^{3}\right)Xp=(p1,p2,p3)(p=(p1,p2,p3)E3)
(ii) X p = ( p 2 , p 1 , 1 ) ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) E 3 ) X p = p 2 , p 1 , 1 p = p 1 , p 2 , p 3 E 3 quadX_(p)=(-p_(2),p_(1),1)quad(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inE^(3))\quad \boldsymbol{X}_{p}=\left(-p_{2}, p_{1}, 1\right) \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in \mathbb{E}^{3}\right)Xp=(p2,p1,1)(p=(p1,p2,p3)E3)
問 1.5.3 次の E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 上の C C C^(oo)C^{\infty}C ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し, rot X rot X rot X\operatorname{rot} \boldsymbol{X}rotX を求めよ.
(i) X p = ( p 1 , p 2 ) ( p = ( p 1 , p 2 ) E 2 ) X p = p 1 , p 2 p = p 1 , p 2 E 2 quadX_(p)=(p_(1),p_(2))quad(p=(p_(1),p_(2))inE^(2))\quad \boldsymbol{X}_{p}=\left(p_{1}, p_{2}\right) \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{E}^{2}\right)Xp=(p1,p2)(p=(p1,p2)E2)
(ii) X p = ( p 2 , p 1 ) ( p = ( p 1 , p 2 ) E 2 ) X p = p 2 , p 1 p = p 1 , p 2 E 2 quadX_(p)=(-p_(2),p_(1))quad(p=(p_(1),p_(2))inE^(2))\quad \boldsymbol{X}_{p}=\left(-p_{2}, p_{1}\right) \quad\left(p=\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{E}^{2}\right)Xp=(p2,p1)(p=(p1,p2)E2)

1.6 長さ汎関数とエネルギー汎関数の変分公式

この節では, r 3 r 3 r >= 3r \geq 3r3 とする. この節において, n n nnn 次元ユークリッド空間 E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線の長さとエネルギーを定義し, C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線全体のなす空間上で定義 される長さ汎関数とエネルギー汎関数の第 1 変分公式, および第 2 変分公式 を導出することにする。 c : [ a , b ] E n c : [ a , b ] E n c:[a,b]rarrE^(n)c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}c:[a,b]En C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線とする。 L ( c ) L ( c ) L(c)L(c)L(c), および E ( c ) E ( c ) E(c)E(c)E(c) を次式によって定義する:
L ( c ) := a b c ( t ) d t , E ( c ) := a b c ( t ) 2 d t L ( c ) := a b c ( t ) d t , E ( c ) := a b c ( t ) 2 d t L(c):=int_(a)^(b)|| vec(c)^(')(t)||dt,quad E(c):=int_(a)^(b)|| vec(c)^(')(t)||^(2)dtL(c):=\int_{a}^{b}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t, \quad E(c):=\int_{a}^{b}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\|^{2} d tL(c):=abc(t)dt,E(c):=abc(t)2dt
L ( c ) L ( c ) L(c)L(c)L(c) c c ccc の長さ(length)とよばれ, E ( c ) E ( c ) E(c)E(c)E(c) c c ccc のエネルギー(energy)と よばれる。 [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] を定義域とする E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 内の C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線全体からなる集合を C r ( [ a , b ] , E n ) C r [ a , b ] , E n C^(r)([a,b],E^(n))C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right)Cr([a,b],En) と表す. 各 c C r ( [ a , b ] , E n ) c C r [ a , b ] , E n c inC^(r)([a,b],E^(n))c \in C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right)cCr([a,b],En) に対し, L ( c ) L ( c ) L(c)L(c)L(c) を対応させることに より定義される C r ( [ a , b ] , E n ) C r [ a , b ] , E n C^(r)([a,b],E^(n))C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right)Cr([a,b],En) 上の関数を L L L\mathcal{L}L と表し, 各 c C r ( [ a , b ] , E n ) c C r [ a , b ] , E n c inC^(r)([a,b],E^(n))c \in C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right)cCr([a,b],En) に対 し, E ( c ) E ( c ) E(c)E(c)E(c) を対応させることにより定義される C r ( [ a , b ] , E n ) C r [ a , b ] , E n C^(r)([a,b],E^(n))C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right)Cr([a,b],En) 上の関数を E E E\mathcal{E}E と 表す. L , E L , E L,E\mathcal{L}, \mathcal{E}L,E は各々, 長さ汎関数(length functional) エネルギー汎関数 (energy functional) とよばれる.
次に, C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線の C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形という概念を定義する. c C r ( [ a , b ] , E n ) c C r [ a , b ] , E n c inC^(r)([a,b],E^(n))c \in C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right)cCr([a,b],En) とする. とを十分小さな正の数とし, δ δ delta\deltaδ [ a , b ] × ( ε , ε ) [ a , b ] × ( ε , ε ) [a,b]xx(-epsi,epsi)[a, b] \times(-\varepsilon, \varepsilon)[a,b]×(ε,ε) から E n C r E n C r E^(n)へのC^(r)\mathbb{E}^{n} へ の C^{r}EnCr 写像, つま り,
δ ( t , u ) = o δ ( t , u ) ( ( t , u ) [ a , b ] × ( ε , ε ) ) δ ( t , u ) = o δ ( t , u ) ( ( t , u ) [ a , b ] × ( ε , ε ) ) vec(delta)(t,u)= vec(o delta(t,u))quad((t,u)in[a,b]xx(-epsi,epsi))\vec{\delta}(t, u)=\overrightarrow{o \delta(t, u)} \quad((t, u) \in[a, b] \times(-\varepsilon, \varepsilon))δ(t,u)=oδ(t,u)((t,u)[a,b]×(ε,ε))
によって定義される [ a , b ] × ( ε , ε ) [ a , b ] × ( ε , ε ) [a,b]xx(-epsi,epsi)[a, b] \times(-\varepsilon, \varepsilon)[a,b]×(ε,ε) 上のベクトル値関数 δ δ vec(delta)\vec{\delta}δ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるよ うなものとする. δ ( t , 0 ) = c ( t ) ( t [ a , b ] ) δ ( t , 0 ) = c ( t ) ( t [ a , b ] ) delta(t,0)=c(t)(t in[a,b])\delta(t, 0)=c(t)(t \in[a, b])δ(t,0)=c(t)(t[a,b]) が成り立つとき, δ δ delta\deltaδ c c ccc C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 変形 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-deformation) という. c c ccc C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形 δ δ delta\deltaδ に対し,
図 1.6.1 C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形と変分ベクトル場
V ( t ) := ( δ u ) ( t , 0 ) ( t [ a , b ] ) V ( t ) := δ u ( t , 0 ) ( t [ a , b ] ) V(t):=((del( vec(delta)))/(del u))_((t,0))quad(t in[a,b])V(t):=\left(\frac{\partial \vec{\delta}}{\partial u}\right)_{(t, 0)} \quad(t \in[a, b])V(t):=(δu)(t,0)(t[a,b])
で定義される [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] 上のベクトル値関数 V V VVV C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形 δ δ delta\deltaδ の変分ベクトル場 (variational vector field) という(図 1.6.1 を参照). 特に, δ ( a , u ) = c ( a ) δ ( a , u ) = c ( a ) delta(a,u)=c(a)\delta(a, u)=c(a)δ(a,u)=c(a), δ ( b , u ) = c ( b ) ( u ( ε , ε ) ) δ ( b , u ) = c ( b ) ( u ( ε , ε ) ) delta(b,u)=c(b)(u in(-epsi,epsi))\delta(b, u)=c(b)(u \in(-\varepsilon, \varepsilon))δ(b,u)=c(b)(u(ε,ε)) のとき, δ δ delta\deltaδ を両端固定の C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形(both ends fixed C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr-deformation) という. また, V ( t ) c ( t ) = 0 ( t [ a , b ] ) V ( t ) c ( t ) = 0 ( t [ a , b ] ) V(t)* vec(c)^(')(t)=0(t in[a,b])V(t) \cdot \vec{c}^{\prime}(t)=0(t \in[a, b])V(t)c(t)=0(t[a,b]) が成 り立つとき, δ δ delta\deltaδ c c ccc C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 法変形( C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr-normal deformation)という. 各 u ( ε , ε ) u ( ε , ε ) u in(-epsi,epsi)u \in(-\varepsilon, \varepsilon)u(ε,ε) に対し, C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線 c u : [ a , b ] E n c u : [ a , b ] E n c_(u):[a,b]rarrE^(n)c_{u}:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}cu:[a,b]En c u ( t ) := δ ( t , u ) ( t [ a , b ] ) c u ( t ) := δ ( t , u ) ( t [ a , b ] ) c_(u)(t):=delta(t,u)(t in[a,b])c_{u}(t):=\delta(t, u)(t \in[a, b])cu(t):=δ(t,u)(t[a,b]) に よって定義する.
L L L\mathcal{L}L に対し, 次の第 1 変分公式(the first variational formula)とよばれ る公式が成り立つ.
定理 1.6.1(L の第 1 変分公式) c c ccc が定速である, つまり, ある定数 l l lll に対 し c ( t ) = l ( t [ a , b ] ) c ( t ) = l ( t [ a , b ] ) || vec(c)^(')(t)||=l(t in[a,b])\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\|=l(t \in[a, b])c(t)=l(t[a,b]) が成り立つとする. このとき, c c ccc C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形 δ δ delta\deltaδ に対 し,次の積分公式が成り立つ:
d d u | u = 0 L ( c u ) = 1 l ( V ( b ) c ( b ) V ( a ) c ( a ) a b c ( t ) V ( t ) d t ) d d u u = 0 L c u = 1 l V ( b ) c ( b ) V ( a ) c ( a ) a b c ( t ) V ( t ) d t (d)/(du)|_(u=0)L(c_(u))=(1)/(l)(V(b)* vec(c)^(')(b)-V(a)* vec(c)^(')(a)-int_(a)^(b) vec(c)^('')(t)*V(t)dt)\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=\frac{1}{l}\left(V(b) \cdot \vec{c}^{\prime}(b)-V(a) \cdot \vec{c}^{\prime}(a)-\int_{a}^{b} \vec{c}^{\prime \prime}(t) \cdot V(t) d t\right)ddu|u=0L(cu)=1l(V(b)c(b)V(a)c(a)abc(t)V(t)dt)
証明この変分公式は次のように微分と積分の順序交換を用いて示される:
d d u | u = 0 L ( c u ) = d d u | u = 0 a b c u ( t ) c u ( t ) d t = a b 1 2 c ( t ) × d d u | u = 0 ( c u ( t ) c u ( t ) ) d t = 1 l a b ( 2 δ u t ) ( t , 0 ) c ( t ) d t = 1 l a b ( 2 δ t u ) ( t , 0 ) c ( t ) d t = 1 l a b ( d d t ( V ( t ) c ( t ) ) V ( t ) c ( t ) ) d t = 1 l ( V ( b ) c ( b ) V ( a ) c ( a ) a b c ( t ) V ( t ) d t ) d d u u = 0 L c u = d d u u = 0 a b c u ( t ) c u ( t ) d t = a b 1 2 c ( t ) × d d u u = 0 c u ( t ) c u ( t ) d t = 1 l a b 2 δ u t ( t , 0 ) c ( t ) d t = 1 l a b 2 δ t u ( t , 0 ) c ( t ) d t = 1 l a b d d t V ( t ) c ( t ) V ( t ) c ( t ) d t = 1 l V ( b ) c ( b ) V ( a ) c ( a ) a b c ( t ) V ( t ) d t {:[(d)/(du)|_(u=0)L(c_(u))=(d)/(du)|_(u=0)int_(a)^(b)sqrt( vec(c)_(u)^(')(t)* vec(c)_(u)^(')(t))dt],[=int_(a)^(b)(1)/(2|| vec(c)^(')(t)||)xx(d)/(du)|_(u=0)( vec(c)_(u)^(')(t)* vec(c)_(u)^(')(t))dt],[=(1)/(l)int_(a)^(b)((del^(2)( vec(delta)))/(del u del t))_((t,0))* vec(c)^(')(t)dt=(1)/(l)int_(a)^(b)((del^(2)( vec(delta)))/(del t del u))_((t,0))* vec(c)^(')(t)dt],[=(1)/(l)int_(a)^(b)((d)/(dt)(V(t)* vec(c)^(')(t))-V(t)* vec(c)^('')(t))dt],[=(1)/(l)(V(b)* vec(c)^(')(b)-V(a)* vec(c)^(')(a)-int_(a)^(b) vec(c)^('')(t)*V(t)dt)]:}\begin{aligned} \left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} & \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \int_{a}^{b} \sqrt{\vec{c}_{u}^{\prime}(t) \cdot \vec{c}_{u}^{\prime}(t)} d t \\ & =\int_{a}^{b} \frac{1}{2\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\|} \times\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0}\left(\vec{c}_{u}^{\prime}(t) \cdot \vec{c}_{u}^{\prime}(t)\right) d t \\ & =\frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial u \partial t}\right)_{(t, 0)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t=\frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial t \partial u}\right)_{(t, 0)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\ = & \frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left(\frac{d}{d t}\left(V(t) \cdot \vec{c}^{\prime}(t)\right)-V(t) \cdot \vec{c}^{\prime \prime}(t)\right) d t \\ = & \frac{1}{l}\left(V(b) \cdot \vec{c}^{\prime}(b)-V(a) \cdot \vec{c}^{\prime}(a)-\int_{a}^{b} \vec{c}^{\prime \prime}(t) \cdot V(t) d t\right) \end{aligned}ddu|u=0L(cu)=ddu|u=0abcu(t)cu(t)dt=ab12c(t)×ddu|u=0(cu(t)cu(t))dt=1lab(2δut)(t,0)c(t)dt=1lab(2δtu)(t,0)c(t)dt=1lab(ddt(V(t)c(t))V(t)c(t))dt=1l(V(b)c(b)V(a)c(a)abc(t)V(t)dt)
同様に, E E E\mathcal{E}E に対し, 次の第 1 変分公式が成り立つ.
定理 1.6.2(Eの第 1 変分公式) δ δ delta\deltaδ c C r c C r cC^(r)c C^{r}cCr 変形とする。このとき,次の 積分公式が成り立つ:
d d u | u = 0 E ( c u ) = 2 ( V ( b ) c ( b ) V ( a ) c ( a ) a b c ( t ) V ( t ) d t ) d d u u = 0 E c u = 2 V ( b ) c ( b ) V ( a ) c ( a ) a b c ( t ) V ( t ) d t (d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=2(V(b)* vec(c)^(')(b)-V(a)* vec(c)^(')(a)-int_(a)^(b) vec(c)^('')(t)*V(t)dt)\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=2\left(V(b) \cdot \vec{c}^{\prime}(b)-V(a) \cdot \vec{c}^{\prime}(a)-\int_{a}^{b} \vec{c}^{\prime \prime}(t) \cdot V(t) d t\right)ddu|u=0E(cu)=2(V(b)c(b)V(a)c(a)abc(t)V(t)dt)
証明この変分公式は次のように微分と積分の順序交換を用いて示され る:
d d u | u = 0 E ( c u ) = d d u | u = 0 a b c u ( t ) c u ( t ) d t = a b d d u | u = 0 ( c u ( t ) c u ( t ) ) d t = 2 a b ( 2 δ u t ) ( t , 0 ) c ( t ) d t = 2 a b ( 2 δ t u ) ( t , 0 ) c ( t ) d t = 2 a b ( d d t ( V ( t ) c ( t ) ) V ( t ) c ( t ) ) d t = 2 ( V ( b ) c ( b ) V ( a ) c ( a ) a b c ( t ) V ( t ) d t ) d d u u = 0 E c u = d d u u = 0 a b c u ( t ) c u ( t ) d t = a b d d u u = 0 c u ( t ) c u ( t ) d t = 2 a b 2 δ u t ( t , 0 ) c ( t ) d t = 2 a b 2 δ t u ( t , 0 ) c ( t ) d t = 2 a b d d t V ( t ) c ( t ) V ( t ) c ( t ) d t = 2 V ( b ) c ( b ) V ( a ) c ( a ) a b c ( t ) V ( t ) d t {:[(d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=(d)/(du)|_(u=0)int_(a)^(b) vec(c)_(u)^(')(t)* vec(c)_(u)^(')(t)dt=int_(a)^(b)(d)/(du)|_(u=0)( vec(c)_(u)^(')(t)* vec(c)_(u)^(')(t))dt],[=2int_(a)^(b)((del^(2)( vec(delta)))/(del u del t))_((t,0))* vec(c)^(')(t)dt=2int_(a)^(b)((del^(2)( vec(delta)))/(del t del u))_((t,0))* vec(c)^(')(t)dt],[=2int_(a)^(b)((d)/(dt)(V(t)* vec(c)^(')(t))-V(t)* vec(c)^('')(t))dt],[=2(V(b)* vec(c)^(')(b)-V(a)* vec(c)^(')(a)-int_(a)^(b) vec(c)^('')(t)*V(t)dt)]:}\begin{aligned} \left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right) & =\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \int_{a}^{b} \vec{c}_{u}^{\prime}(t) \cdot \vec{c}_{u}^{\prime}(t) d t=\left.\int_{a}^{b} \frac{d}{d u}\right|_{u=0}\left(\vec{c}_{u}^{\prime}(t) \cdot \vec{c}_{u}^{\prime}(t)\right) d t \\ & =2 \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial u \partial t}\right)_{(t, 0)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t=2 \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial t \partial u}\right)_{(t, 0)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t \\ & =2 \int_{a}^{b}\left(\frac{d}{d t}\left(V(t) \cdot \vec{c}^{\prime}(t)\right)-V(t) \cdot \vec{c}^{\prime \prime}(t)\right) d t \\ & =2\left(V(b) \cdot \vec{c}^{\prime}(b)-V(a) \cdot \vec{c}^{\prime}(a)-\int_{a}^{b} \vec{c}^{\prime \prime}(t) \cdot V(t) d t\right) \end{aligned}ddu|u=0E(cu)=ddu|u=0abcu(t)cu(t)dt=abddu|u=0(cu(t)cu(t))dt=2ab(2δut)(t,0)c(t)dt=2ab(2δtu)(t,0)c(t)dt=2ab(ddt(V(t)c(t))V(t)c(t))dt=2(V(b)c(b)V(a)c(a)abc(t)V(t)dt)
c ( t ) = 0 ( t [ a , b ] ) c ( t ) = 0 ( t [ a , b ] ) vec(c)^('')(t)=0(t in[a,b])\vec{c}^{\prime \prime}(t)=\mathbf{0}(t \in[a, b])c(t)=0(t[a,b]) が成り立つとき, c c ccc E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 上の測地線(geodesic) という. c c ccc E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 内を動く物体の運動とみたとき, c ( t ) c ( t ) vec(c)^('')(t)\vec{c}^{\prime \prime}(t)c(t) はその物体の加速度
ベクトルとみなされるので, c ( t ) = 0 ( t [ a , b ] ) c ( t ) = 0 ( t [ a , b ] ) vec(c)^('')(t)=0(t in[a,b])\vec{c}^{\prime \prime}(t)=\mathbf{0}(t \in[a, b])c(t)=0(t[a,b]) という条件は, c c ccc E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 内 を等速度運動することを意味する。このように, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 上の測地線とは, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 内 を等速度運動する物体の軌道と解釈することができる.
定理 1.6.1 と定理 1.6.2 から, 次の事実が導かれる。
系 1.6.3 c C r ( [ a , b ] , E n ) c C r [ a , b ] , E n quad c inC^(r)([a,b],E^(n))\quad c \in C^{r}\left([a, b], \mathbb{E}^{n}\right)cCr([a,b],En) とする. このとき, 次の 2 つの主張は同値であ る:
(i) c c ccc の任意の両端固定の C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形 δ δ delta\deltaδ に対し, d d u | u = 0 E ( c u ) = 0 d d u u = 0 E c u = 0 (d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=0\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=0ddu|u=0E(cu)=0 が成り立 כ;
(ii) c c ccc は測地線である.
さらに, c c ccc が定速の場合, これらの主張は次の主張と同値である:
(iii) c c ccc の任意の C r C r C^(r)C^{r}Cr 法変形 δ δ delta\deltaδ に対し, d d u | u = 0 E ( c u ) = 0 d d u u = 0 E c u = 0 (d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=0\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=0ddu|u=0E(cu)=0 が成り立つ;
(iv) c c ccc の任意の両端固定の C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形 δ δ delta\deltaδ に対し, d d u | u = 0 L ( c u ) = 0 d d u u = 0 L c u = 0 (d)/(du)|_(u=0)L(c_(u))=0\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=0ddu|u=0L(cu)=0 が成り立 ? ;
(v) c c ccc の任意の C r C r C^(r)C^{r}Cr 法変形 δ δ delta\deltaδ に対し, d d u | u = 0 L ( c u ) = 0 d d u u = 0 L c u = 0 (d)/(du)|_(u=0)L(c_(u))=0\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=0ddu|u=0L(cu)=0 が成り立つ.
証明 ( ii ) ( i ) ( ii ) ( i ) quad(ii)=>(i)\quad(\mathrm{ii}) \Rightarrow(\mathrm{i})(ii)(i) は, 定理 1.6.2における変分公式から直接導かれる。逆を示 そう。(i)が成り立つとする。 ρ ρ rho\rhoρ ρ ( a ) = ρ ( b ) = 0 , ρ ( t ) > 0 ( a < t < b ) ρ ( a ) = ρ ( b ) = 0 , ρ ( t ) > 0 ( a < t < b ) rho(a)=rho(b)=0,rho(t) > 0(a < t < b)\rho(a)=\rho(b)=0, \rho(t)>0(a<t<b)ρ(a)=ρ(b)=0,ρ(t)>0(a<t<b) を満 たす [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数とし, C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像 δ : [ a , b ] × ( ε , ε ) E n δ : [ a , b ] × ( ε , ε ) E n delta:[a,b]xx(-epsi,epsi)rarrE^(n)\delta:[a, b] \times(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow \mathbb{E}^{n}δ:[a,b]×(ε,ε)En
δ ( t , u ) := c ( t ) + u ρ ( t ) c ( t ) ( t [ a , b ] × ( ε , ε ) ) δ ( t , u ) := c ( t ) + u ρ ( t ) c ( t ) ( t [ a , b ] × ( ε , ε ) ) vec(delta)(t,u):= vec(c)(t)+u rho(t) vec(c)^('')(t)quad(t in[a,b]xx(-epsi,epsi))\vec{\delta}(t, u):=\vec{c}(t)+u \rho(t) \vec{c}^{\prime \prime}(t) \quad(t \in[a, b] \times(-\varepsilon, \varepsilon))δ(t,u):=c(t)+uρ(t)c(t)(t[a,b]×(ε,ε))
によって定義する.明らかに, δ δ delta\deltaδ c c ccc の両端固定の C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形になる. それゆえ, (i)を仮定しているので, d d u | u = 0 E ( c u ) = 0 ( c u ( t ) := δ ( t , u ) ) d d u u = 0 E c u = 0 c u ( t ) := δ ( t , u ) (d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=0(c_(u)(t):=delta(t,u))\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=0\left(c_{u}(t):=\delta(t, u)\right)ddu|u=0E(cu)=0(cu(t):=δ(t,u)) となる. 一方, δ δ delta\deltaδ の変分ベクトル場 V ( t ) V ( t ) V(t)\boldsymbol{V}(t)V(t) V ( t ) = ρ ( t ) c ( t ) V ( t ) = ρ ( t ) c ( t ) V(t)=rho(t) vec(c)^('')(t)\boldsymbol{V}(t)=\rho(t) \vec{c}^{\prime \prime}(t)V(t)=ρ(t)c(t) によて与えられることに注意して, 定理 1.6.2における変分公式を用いることにより,
d d u | u = 0 E ( c u ) = 2 a b ρ ( t ) c ( t ) 2 d t d d u u = 0 E c u = 2 a b ρ ( t ) c ( t ) 2 d t (d)/(du)|_(u=0)E(c_(u))=-2int_(a)^(b)rho(t)|| vec(c)^('')(t)||^(2)dt\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=-2 \int_{a}^{b} \rho(t)\left\|\vec{c}^{\prime \prime}(t)\right\|^{2} d tddu|u=0E(cu)=2abρ(t)c(t)2dt
が示され, それゆえ,
a b ρ ( t ) c ( t ) 2 d t = 0 a b ρ ( t ) c ( t ) 2 d t = 0 int_(a)^(b)rho(t)|| vec(c)^('')(t)||^(2)dt=0\int_{a}^{b} \rho(t)\left\|\vec{c}^{\prime \prime}(t)\right\|^{2} d t=0abρ(t)c(t)2dt=0
をえる。したがって, ρ ρ rho\rhoρ の任意性から c ( t ) = 0 ( t [ a , b ] ) c ( t ) = 0 ( t [ a , b ] ) vec(c)^('')(t)=0(t in[a,b])\vec{c}^{\prime \prime}(t)=\mathbf{0}(t \in[a, b])c(t)=0(t[a,b]), つまり, c c ccc が測地線であることが示され, (ii)が導かれる.
後半部を示そう. c c ccc が定速であるとする。この場合, (ii)が成り立つならば, (iii), (iv), (v) が成り立つことは, 定理1.6.1, 1.6.2における変分公式から直接導かれる。逆は, c c ccc が定速であることから, 上述の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数 ρ ρ rho\rhoρ を用いた C r C r C^(r)C^{r}Cr変形 δ δ delta\deltaδ c c ccc の両端固定の C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形であると同時に C r C r C^(r)C^{r}Cr 法変形でもあることに注意して, 上述と同様の議論を行うことにより示される.
L , E L , E L,E\mathcal{L}, \mathcal{E}L,E に対し, 次の第 2 変分公式(the second variational formula)と よばれる公式が成り立つ.

C r C r C^(r)C^{r}Cr 法変形とする。このとき,次の積分公式が成り立つ:
d 2 d u 2 | u = 0 L ( c u ) = 1 l a b V ( t ) V ( t ) d t d 2 d u 2 | u = 0 E ( c u ) = 2 a b V ( t ) V ( t ) d t d 2 d u 2 u = 0 L c u = 1 l a b V ( t ) V ( t ) d t d 2 d u 2 u = 0 E c u = 2 a b V ( t ) V ( t ) d t {:[(d^(2))/(du^(2))|_(u=0)L(c_(u))=-(1)/(l)int_(a)^(b)V^('')(t)*V(t)dt],[(d^(2))/(du^(2))|_(u=0)E(c_(u))=-2int_(a)^(b)V^('')(t)*V(t)dt]:}\begin{aligned} \left.\frac{d^{2}}{d u^{2}}\right|_{u=0} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=-\frac{1}{l} \int_{a}^{b} \boldsymbol{V}^{\prime \prime}(t) \cdot \boldsymbol{V}(t) d t \\ \left.\frac{d^{2}}{d u^{2}}\right|_{u=0} \mathcal{E}\left(c_{u}\right)=-2 \int_{a}^{b} \boldsymbol{V}^{\prime \prime}(t) \cdot \boldsymbol{V}(t) d t \end{aligned}d2du2|u=0L(cu)=1labV(t)V(t)dtd2du2|u=0E(cu)=2abV(t)V(t)dt
証明 l := c ( t ) l := c ( t ) l:=|| vec(c)^(')(t)||l:=\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\|l:=c(t) とおく. δ δ delta\deltaδ は両端固定の C r C r C^(r)C^{r}Cr 法変形なので, 定理 1.6.1 の証明によれば,
d d u L ( c u ) = a b 1 c u ( t ) ( 2 δ t u δ t ) d t d d u L c u = a b 1 c u ( t ) 2 δ t u δ t d t (d)/(du)L(c_(u))=int_(a)^(b)(1)/(|| vec(c)_(u)^(')(t)||)*((del^(2)( vec(delta)))/(del t del u)*(del( vec(delta)))/(del t))dt\frac{d}{d u} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)=\int_{a}^{b} \frac{1}{\left\|\vec{c}_{u}^{\prime}(t)\right\|} \cdot\left(\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial t \partial u} \cdot \frac{\partial \vec{\delta}}{\partial t}\right) d tdduL(cu)=ab1cu(t)(2δtuδt)dt
が成り立つ. これに基点付き微分作用素 d d u | u = 0 d d u u = 0 (d)/(du)|_(u=0)\left.\frac{d}{d u}\right|_{u=0}ddu|u=0 を作用させて, c c ccc が測地線で あることと δ δ delta\deltaδ が両端固定の法変形であることに注意すると,
d 2 d u 2 | u = 0 L ( c u ) = 1 l 3 a b ( V ( t ) c ( t ) ) 2 d t + 1 l [ 2 δ u 2 | u = 0 c ( t ) ] a b + 1 l a b V ( t ) 2 d t d 2 d u 2 u = 0 L c u = 1 l 3 a b V ( t ) c ( t ) 2 d t + 1 l 2 δ u 2 u = 0 c ( t ) a b + 1 l a b V ( t ) 2 d t {:[(d^(2))/(du^(2))|_(u=0)L(c_(u))=-(1)/(l^(3))int_(a)^(b)(V^(')(t)*c^(')(t))^(2)dt+(1)/(l)[(del^(2)( vec(delta)))/(delu^(2))|_(u=0)* vec(c)^(')(t)]_(a)^(b)],[+(1)/(l)int_(a)^(b)||V^(')(t)||^(2)dt]:}\begin{aligned} \left.\frac{d^{2}}{d u^{2}}\right|_{u=0} \mathcal{L}\left(c_{u}\right)= & -\frac{1}{l^{3}} \int_{a}^{b}\left(\boldsymbol{V}^{\prime}(t) \cdot c^{\prime}(t)\right)^{2} d t+\frac{1}{l}\left[\left.\frac{\partial^{2} \vec{\delta}}{\partial u^{2}}\right|_{u=0} \cdot \vec{c}^{\prime}(t)\right]_{a}^{b} \\ & +\frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left\|\boldsymbol{V}^{\prime}(t)\right\|^{2} d t \end{aligned}d2du2|u=0L(cu)=1l3ab(V(t)c(t))2dt+1l[2δu2|u=0c(t)]ab+1labV(t)2dt
= 1 l a b V ( t ) 2 d t = 1 l a b ( t ( V ( t ) V ( t ) ) V ( t ) V ( t ) ) d t = 1 l a b V ( t ) V ( t ) d t = 1 l a b V ( t ) 2 d t = 1 l a b t V ( t ) V ( t ) V ( t ) V ( t ) d t = 1 l a b V ( t ) V ( t ) d t {:[=(1)/(l)int_(a)^(b)||V^(')(t)||^(2)dt],[=(1)/(l)int_(a)^(b)((del)/(del t)(V(t)*V^(')(t))-V^('')(t)*V(t))dt],[=-(1)/(l)int_(a)^(b)V^('')(t)*V(t)dt]:}\begin{aligned} & =\frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left\|\boldsymbol{V}^{\prime}(t)\right\|^{2} d t \\ & =\frac{1}{l} \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial}{\partial t}\left(\boldsymbol{V}(t) \cdot \boldsymbol{V}^{\prime}(t)\right)-\boldsymbol{V}^{\prime \prime}(t) \cdot \boldsymbol{V}(t)\right) d t \\ & =-\frac{1}{l} \int_{a}^{b} \boldsymbol{V}^{\prime \prime}(t) \cdot \boldsymbol{V}(t) d t \end{aligned}=1labV(t)2dt=1lab(t(V(t)V(t))V(t)V(t))dt=1labV(t)V(t)dt
をえる。このように, L L L\mathcal{L}L に対する第 2 変分公式が示される. E E E\mathcal{E}E に対する第 2 変分公式も定理 1.6.2 の証明を用いて, 同様の計算を行うことにより示される.

1.7 ユークリッド空間内の曲線の曲率・フルネ枠

この節では, r n + 1 r n + 1 r >= n+1r \geq n+1rn+1 とする. この節において, n n nnn 次元ユークリッド空間 E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 内の正則曲線の曲率・フルネ枠について述べることにする。 c : [ a , b ] E n c : [ a , b ] E n c:[a,b]rarrE^(n)c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}c:[a,b]En C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線とする. t 0 [ a , b ] t 0 [ a , b ] t_(0)in[a,b]t_{0} \in[a, b]t0[a,b] に対し, c ( t 0 ) c t 0 vec(c)^(')(t_(0))\vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right)c(t0) c c ccc t 0 t 0 t_(0)t_{0}t0 における速度ベクトル (velocity vector), または接ベクトルという.
注意 1.2 節で述べたように, 数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En の点 c ( t 0 ) c t 0 c(t_(0))c\left(t_{0}\right)c(t0) における接空間 T c ( t 0 ) A n T c t 0 A n T_(c(t_(0)))A^(n)T_{c\left(t_{0}\right)} \mathbb{A}^{n}Tc(t0)An と同一視されるので, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のベクトル c ( t 0 ) c t 0 vec(c)^(')(t_(0))\vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right)c(t0) は, T c ( t 0 ) A n T c t 0 A n T_(c(t_(0)))A^(n)T_{c\left(t_{0}\right)} \mathbb{A}^{n}Tc(t0)An のベクトル c ( t 0 ) c t 0 c^(')(t_(0))c^{\prime}\left(t_{0}\right)c(t0) と同一視される. 厳密には, c ( t 0 ) c t 0 vec(c)^(')(t_(0))\vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right)c(t0) よりも c ( t 0 ) c t 0 c^(')(t_(0))c^{\prime}\left(t_{0}\right)c(t0) c c ccc t 0 t 0 t_(0)t_{0}t0 における速度べ クトルとよぶべきである(図 1.7 .1 を参照).
c ( t ) 0 ( t [ a , b ] ) c ( t ) 0 ( t [ a , b ] ) vec(c)^(')(t)!=0(t in[a,b])\vec{c}^{\prime}(t) \neq \mathbf{0}(t \in[a, b])c(t)0(t[a,b]) のとき, c c ccc C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-regular curve) とい
E n , R n , T c ( t 0 ) A n E n , R n , T c t 0 A n E^(n),R^(n),T_(c(t_(0)))A^(n)\mathbb{E}^{n}, \mathbb{R}^{n}, T_{c\left(t_{0}\right)} \mathbb{A}^{n}En,Rn,Tc(t0)An を重ねた図
図 1.7.1曲線の速度ベクトル
う. C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線 c : [ a , b ] E n c : [ a , b ] E n c:[a,b]rarrE^(n)c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}c:[a,b]En に対し, [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] 上の関数 φ φ varphi\varphiφ
φ ( t ) := a t c ( t ) d t ( t [ a , b ] ) φ ( t ) := a t c ( t ) d t ( t [ a , b ] ) varphi(t):=int_(a)^(t)|| vec(c)^(')(t)||dt quad(t in[a,b])\varphi(t):=\int_{a}^{t}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t \quad(t \in[a, b])φ(t):=atc(t)dt(t[a,b])
によって定義し, s = φ ( t ) s = φ ( t ) s=varphi(t)s=\varphi(t)s=φ(t) とおく. このとき, c ( t ) > 0 ( t [ a , b ] ) c ( t ) > 0 ( t [ a , b ] ) || vec(c)^(')(t)|| > 0(t in[a,b])\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\|>0(t \in[a, b])c(t)>0(t[a,b]) なの で, φ φ varphi\varphiφ は単調堌加である. α := φ ( a ) , β := φ ( b ) α := φ ( a ) , β := φ ( b ) alpha:=varphi(a),beta:=varphi(b)\alpha:=\varphi(a), \beta:=\varphi(b)α:=φ(a),β:=φ(b) とおく. c ^ : [ α , β ] E n c ^ : [ α , β ] E n widehat(c):[alpha,beta]rarrE^(n)\widehat{c}:[\alpha, \beta] \rightarrow \mathbb{E}^{n}c^:[α,β]En c ^ := c φ 1 c ^ := c φ 1 widehat(c):=c@varphi^(-1)\widehat{c}:=c \circ \varphi^{-1}c^:=cφ1 と定義する。明らかに, φ φ varphi\varphiφ C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像(つまり, φ , φ 1 φ , φ 1 varphi,varphi^(-1)\varphi, \varphi^{-1}φ,φ1 共に C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像)になるので, c ^ C r c ^ C r hat(c)もC^(r)\hat{c} も C^{r}c^Cr 正則曲線になる.
c ^ c ^ widehat(c)\widehat{c}c^ について,次の事実が成り立つ.
命題 1.7.1 (i) c ( s ) = 1 c ( s ) = 1 || vec(c)^(')(s)||=1\left\|\vec{c}^{\prime}(s)\right\|=1c(s)=1 である.
(ii) 各 s [ 0 , L ( c ) ] s [ 0 , L ( c ) ] s in[0,L(c)]s \in[0, L(c)]s[0,L(c)] に対し, L ( c ^ | [ 0 , s ] ) = s L c ^ [ 0 , s ] = s L(( widehat(c))|_([0,s]))=sL\left(\left.\widehat{c}\right|_{[0, s]}\right)=sL(c^|[0,s])=s が成り立つ.
証明
c ( s ) = d ( c φ 1 ) d s = d c d t | t = φ 1 ( s ) d t d s = c ( φ 1 ( s ) ) 1 d s d t = c ( φ 1 ( s ) ) 1 φ ( φ 1 ( s ) ) = 1 c ( φ 1 ( s ) ) c ( φ 1 ( s ) ) c ( s ) = d ( c φ 1 d s = d c d t t = φ 1 ( s ) d t d s = c φ 1 ( s ) 1 d s d t = c φ 1 ( s ) 1 φ φ 1 ( s ) = 1 c φ 1 ( s ) c φ 1 ( s ) {:[ vec(c)^(')(s)=(d vec(()c@varphi^(-1)))/(ds)=(d( vec(c)))/(dt)|_(t=varphi^(-1)(s))(dt)/(ds)= vec(c)^(')(varphi^(-1)(s))(1)/((ds)/(dt))],[= vec(c)^(')(varphi^(-1)(s))(1)/(varphi^(')(varphi^(-1)(s)))=(1)/(|| vec(c)^(')(varphi^(-1)(s))||) vec(c)^(')(varphi^(-1)(s))]:}\begin{aligned} \vec{c}^{\prime}(s) & =\frac{\left.d \overrightarrow{(} c \circ \varphi^{-1}\right)}{d s}=\left.\frac{d \vec{c}}{d t}\right|_{t=\varphi^{-1}(s)} \frac{d t}{d s}=\vec{c}^{\prime}\left(\varphi^{-1}(s)\right) \frac{1}{\frac{d s}{d t}} \\ & =\vec{c}^{\prime}\left(\varphi^{-1}(s)\right) \frac{1}{\varphi^{\prime}\left(\varphi^{-1}(s)\right)}=\frac{1}{\left\|\vec{c}^{\prime}\left(\varphi^{-1}(s)\right)\right\|} \vec{c}^{\prime}\left(\varphi^{-1}(s)\right) \end{aligned}c(s)=d(cφ1)ds=dcdt|t=φ1(s)dtds=c(φ1(s))1dsdt=c(φ1(s))1φ(φ1(s))=1c(φ1(s))c(φ1(s))
となるので, c ( s ) = 1 c ( s ) = 1 || vec(c)^(')(s)||=1\left\|\vec{c}^{\prime}(s)\right\|=1c(s)=1 をえる. さらに, この事実から,
L ( c ^ | [ 0 , s ] ) = 0 s c ( s ) d s = 0 s 1 d s = s L c ^ [ 0 , s ] = 0 s c ( s ) d s = 0 s 1 d s = s L(( widehat(c))|_([0,s]))=int_(0)^(s)|| vec(c)^(')(s)||ds=int_(0)^(s)1ds=sL\left(\left.\widehat{c}\right|_{[0, s]}\right)=\int_{0}^{s}\left\|\vec{c}^{\prime}(s)\right\| d s=\int_{0}^{s} 1 d s=sL(c^|[0,s])=0sc(s)ds=0s1ds=s
が導かれる。
命題 1.7.1の(ii)の事実により, このような曲線 c ^ c ^ widehat(c)\widehat{c}c^ c c c\boldsymbol{c}c を弧長によってパラ メーター付けし直した曲線という。一般に, C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線 c : [ 0 , l ] E n c : [ 0 , l ] E n c:[0,l]rarrE^(n)c:[0, l] \rightarrow \mathbb{E}^{n}c:[0,l]En L ( c | [ 0 , s ] ) = s ( s [ 0 , l ] ) L c [ 0 , s ] = s ( s [ 0 , l ] ) L(c|_([0,s]))=s(AA s in[0,l])L\left(\left.c\right|_{[0, s]}\right)=s(\forall s \in[0, l])L(c|[0,s])=s(s[0,l]) を満たすようなものを弧長によってパラメーター 付けされた C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 曲線という。ここで, L ( c | [ 0 , s ] ) = s ( s [ 0 , l ] ) L c [ 0 , s ] = s ( s [ 0 , l ] ) L(c|_([0,s]))=s(AA s in[0,l])L\left(\left.c\right|_{[0, s]}\right)=s(\forall s \in[0, l])L(c|[0,s])=s(s[0,l]) が成り立つこ とと, c ( s ) = 1 ( s [ 0 , l ] ) c ( s ) = 1 ( s [ 0 , l ] ) || vec(c)^(')(s)||=1(AA s in[0,l])\left\|\vec{c}^{\prime}(s)\right\|=1(\forall s \in[0, l])c(s)=1(s[0,l]) が成り立つことは同値であることを注意して おく.
問 1.7.1 E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線
c ( t ) = ( a cos t , a sin t ) ( 0 t 2 π ) c ( t ) = ( a cos t , a sin t ) ( 0 t 2 π ) c(t)=(a cos t,a sin t)quad(0 <= t <= 2pi)c(t)=(a \cos t, a \sin t) \quad(0 \leq t \leq 2 \pi)c(t)=(acost,asint)(0t2π)
a a aaa :正の定数)を弧長によってパラメーター付けせよ.
κ 1 ( s 0 ) : κ 1 s 0 : kappa_(1)(s_(0)):\kappa_{1}\left(s_{0}\right):κ1(s0):
κ 1 ( s 0 ) : κ 1 s 0 : kappa_(1)(s_(0)):\kappa_{1}\left(s_{0}\right):κ1(s0):
図 1.7.2曲線の第 1 曲率
問 1.7.2 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線
c ( t ) = ( a cos t , a sin t , b t ) ( 0 t 2 π ) c ( t ) = ( a cos t , a sin t , b t ) ( 0 t 2 π ) c(t)=(a cos t,a sin t,bt)quad(0 <= t <= 2pi)c(t)=(a \cos t, a \sin t, b t) \quad(0 \leq t \leq 2 \pi)c(t)=(acost,asint,bt)(0t2π)
( a , b : ( a , b : (a,b:(a, b:(a,b: 正の定数 ) ) ))) を弧長によってパラメーター付けせよ.
c : [ 0 , l ] E n ( n 2 ) c : [ 0 , l ] E n ( n 2 ) c:[0,l]rarrE^(n)(n >= 2)c:[0, l] \rightarrow \mathbb{E}^{n}(n \geq 2)c:[0,l]En(n2) を弧長でパラメーター付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線とする. c c ccc s 0 s 0 s_(0)s_{0}s0 における接ベクトル c ( s 0 ) c s 0 vec(c)^(')(s_(0))\vec{c}^{\prime}\left(s_{0}\right)c(s0) は長さが 1 なので, c c ccc s 0 s 0 s_(0)s_{0}s0 における単位接ベクトル(unit tangent vector)とよばれる。以下, これを t ( s 0 ) t s 0 t(s_(0))\boldsymbol{t}\left(s_{0}\right)t(s0) と表 す. また, 各 s [ 0 , l ] s [ 0 , l ] s in[0,l]s \in[0, l]s[0,l] に対し, t ( s ) t ( s ) t(s)\boldsymbol{t}(s)t(s) を対応させることにより定義されるベク トル値関数 t t t\boldsymbol{t}t を, c c ccc の単位接ベクトル場(unit tangent vector field)と いう. ベクトル値関数 t t t\boldsymbol{t}t の微分 t ( s ) t ( s ) t^(')(s)\boldsymbol{t}^{\prime}(s)t(s) のノルム t ( s ) t ( s ) ||t^(')(s)||\left\|\boldsymbol{t}^{\prime}(s)\right\|t(s) κ 1 ( s ) κ 1 ( s ) kappa_(1)(s)\kappa_{1}(s)κ1(s) と表す. κ 1 κ 1 kappa_(1)\kappa_{1}κ1 [ 0 , l ] R [ 0 , l ] R [0,l]rarrR[0, l] \rightarrow \mathbb{R}[0,l]R c c ccc の第 1 1 1\mathbf{1}1 曲率(the first curvature)という(図 1.7 .2 を参照). κ 1 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) κ 1 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) kappa_(1)(s)!=0quad(s in[0,l])\kappa_{1}(s) \neq 0 \quad(s \in[0, l])κ1(s)0(s[0,l]) と仮定する. n 1 ( s ) := 1 κ 1 ( s ) t ( s ) n 1 ( s ) := 1 κ 1 ( s ) t ( s ) n_(1)(s):=(1)/(kappa_(1)(s))*t^(')(s)\boldsymbol{n}_{1}(s):=\frac{1}{\kappa_{1}(s)} \cdot \boldsymbol{t}^{\prime}(s)n1(s):=1κ1(s)t(s) とおく. n 1 : [ 0 , l ] n 1 : [ 0 , l ] n_(1):[0,l]rarr\boldsymbol{n}_{1}:[0, l] \rightarrown1:[0,l] R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn c c ccc の第 1 法線ベクトル場(the first normal vector field)という.明らかに,
(1.7.1) t ( s ) = κ 1 ( s ) n 1 ( s ) (1.7.1) t ( s ) = κ 1 ( s ) n 1 ( s ) {:(1.7.1)t^(')(s)=kappa_(1)(s)n_(1)(s):}\begin{equation*} \boldsymbol{t}^{\prime}(s)=\kappa_{1}(s) \boldsymbol{n}_{1}(s) \tag{1.7.1} \end{equation*}(1.7.1)t(s)=κ1(s)n1(s)
が成り立つ. 容易に, t ( s ) n 1 ( s ) = 0 t ( s ) n 1 ( s ) = 0 t(s)*n_(1)(s)=0\boldsymbol{t}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{1}(s)=0t(s)n1(s)=0 が示される. R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の 2 次元部分ベクトル 空間
O 1 ( s ) := Span { t ( s ) , n 1 ( s ) } O 1 ( s ) := Span t ( s ) , n 1 ( s ) O_(1)(s):=Span{t(s),n_(1)(s)}\mathcal{O}_{1}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s)\right\}O1(s):=Span{t(s),n1(s)}
c c ccc s s sss における第 1 接触空間(the first osculating space)という. べ
クトル値関数 s n 1 ( s ) s n 1 ( s ) s|->n_(1)(s)s \mapsto \boldsymbol{n}_{1}(s)sn1(s) の微分 n 1 ( s ) n 1 ( s ) n_(1)^(')(s)\boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s)n1(s)
n 1 ( s ) = α ( s ) t ( s ) + β ( s ) n 1 ( s ) + w 2 ( s ) ( α ( s ) , β ( s ) R , w 2 ( s ) O 1 ( s ) ) n 1 ( s ) = α ( s ) t ( s ) + β ( s ) n 1 ( s ) + w 2 ( s ) α ( s ) , β ( s ) R , w 2 ( s ) O 1 ( s ) n_(1)^(')(s)=alpha(s)t(s)+beta(s)n_(1)(s)+w_(2)(s)quad(alpha(s),beta(s)inR,w_(2)(s)inO_(1)(s)^(_|_))\boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s)=\alpha(s) \boldsymbol{t}(s)+\beta(s) \boldsymbol{n}_{1}(s)+\boldsymbol{w}_{2}(s) \quad\left(\alpha(s), \beta(s) \in \mathbb{R}, \boldsymbol{w}_{2}(s) \in \mathcal{O}_{1}(s)^{\perp}\right)n1(s)=α(s)t(s)+β(s)n1(s)+w2(s)(α(s),β(s)R,w2(s)O1(s))
という形に分解する. ここで, O 1 ( s ) O 1 ( s ) O_(1)(s)^(_|_)\mathcal{O}_{1}(s)^{\perp}O1(s) O 1 ( s ) O 1 ( s ) O_(1)(s)\mathcal{O}_{1}(s)O1(s) の直交補空間を表す. α ( s ) α ( s ) alpha(s)\alpha(s)α(s), β ( s ) β ( s ) beta(s)\beta(s)β(s) を求めると,
α ( s ) = n 1 ( s ) t ( s ) = n 1 ( s ) t ( s ) = κ 1 ( s ) β ( s ) = n 1 ( s ) n 1 ( s ) = 0 α ( s ) = n 1 ( s ) t ( s ) = n 1 ( s ) t ( s ) = κ 1 ( s ) β ( s ) = n 1 ( s ) n 1 ( s ) = 0 {:[alpha(s)=n_(1)^(')(s)*t(s)=-n_(1)(s)*t^(')(s)=-kappa_(1)(s)],[beta(s)=n_(1)^(')(s)*n_(1)(s)=0]:}\begin{aligned} & \alpha(s)=\boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{t}(s)=-\boldsymbol{n}_{1}(s) \cdot \boldsymbol{t}^{\prime}(s)=-\kappa_{1}(s) \\ & \beta(s)=\boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{1}(s)=0 \end{aligned}α(s)=n1(s)t(s)=n1(s)t(s)=κ1(s)β(s)=n1(s)n1(s)=0
となる. κ 2 ( s ) := w 2 ( s ) κ 2 ( s ) := w 2 ( s ) kappa_(2)(s):=||w_(2)(s)||\kappa_{2}(s):=\left\|\boldsymbol{w}_{2}(s)\right\|κ2(s):=w2(s) とおく. κ 2 : [ 0 , l ] R κ 2 : [ 0 , l ] R kappa_(2):[0,l]rarrR\kappa_{2}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}κ2:[0,l]R c c ccc 2 2 2\mathbf{2}2 曲率(the second curvature) という. κ 2 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) κ 2 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) kappa_(2)(s)!=0(s in[0,l])\kappa_{2}(s) \neq 0(s \in[0, l])κ2(s)0(s[0,l]) と仮定する. n 2 ( s ) := n 2 ( s ) := n_(2)(s):=\boldsymbol{n}_{2}(s):=n2(s):= 1 κ 2 ( s ) w 2 ( s ) 1 κ 2 ( s ) w 2 ( s ) (1)/(kappa_(2)(s))*w_(2)(s)\frac{1}{\kappa_{2}(s)} \cdot \boldsymbol{w}_{2}(s)1κ2(s)w2(s) とおく. n 2 : [ 0 , l ] R n n 2 : [ 0 , l ] R n n_(2):[0,l]rarrR^(n)\boldsymbol{n}_{2}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}^{n}n2:[0,l]Rn を, c c ccc の第 2 2 2\mathbf{2}2 法線ベクトル場(the second normal vector field) という. このとき, 上述の事実より, n 1 ( s ) n 1 ( s ) n_(1)^(')(s)\boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s)n1(s) は 次のように表される:
(1.7.2) n 1 ( s ) = κ 1 ( s ) t ( s ) + κ 2 ( s ) n 2 ( s ) (1.7.2) n 1 ( s ) = κ 1 ( s ) t ( s ) + κ 2 ( s ) n 2 ( s ) {:(1.7.2)n_(1)^(')(s)=-kappa_(1)(s)t(s)+kappa_(2)(s)n_(2)(s):}\begin{equation*} \boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s)=-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}(s)+\kappa_{2}(s) \boldsymbol{n}_{2}(s) \tag{1.7.2} \end{equation*}(1.7.2)n1(s)=κ1(s)t(s)+κ2(s)n2(s)
R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の 3 次元部分ベクトル空間
O 2 ( s ) := Span { t ( s ) , n 1 ( s ) , n 2 ( s ) } O 2 ( s ) := Span t ( s ) , n 1 ( s ) , n 2 ( s ) O_(2)(s):=Span{t(s),n_(1)(s),n_(2)(s)}\mathcal{O}_{2}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s), \boldsymbol{n}_{2}(s)\right\}O2(s):=Span{t(s),n1(s),n2(s)}
c c ccc s s sss における第 2 2 2\mathbf{2}2 接触空間(the second osculating space)という. ベクトル値関数 s n 2 ( s ) s n 2 ( s ) s|->n_(2)(s)s \mapsto \boldsymbol{n}_{2}(s)sn2(s) の微分 n 2 ( s ) n 2 ( s ) n_(2)^(')(s)\boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s)n2(s)
n 2 ( s ) = α ^ ( s ) t ( s ) + β ^ 1 ( s ) n 1 ( s ) + β ^ 2 ( s ) n 2 ( s ) + w 3 ( s ) ( α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) R , w 3 ( s ) O 2 ( s ) ) n 2 ( s ) = α ^ ( s ) t ( s ) + β ^ 1 ( s ) n 1 ( s ) + β ^ 2 ( s ) n 2 ( s ) + w 3 ( s ) α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) R , w 3 ( s ) O 2 ( s ) {:[n_(2)^(')(s)= hat(alpha)(s)t(s)+ hat(beta)_(1)(s)n_(1)(s)+ hat(beta)_(2)(s)n_(2)(s)+w_(3)(s)],[(( hat(alpha))(s), hat(beta)_(1)(s), hat(beta)_(2)(s)inR,w_(3)(s)inO_(2)(s)^(_|_))]:}\begin{array}{r} \boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s)=\hat{\alpha}(s) \boldsymbol{t}(s)+\hat{\beta}_{1}(s) \boldsymbol{n}_{1}(s)+\hat{\beta}_{2}(s) \boldsymbol{n}_{2}(s)+\boldsymbol{w}_{3}(s) \\ \left(\hat{\alpha}(s), \hat{\beta}_{1}(s), \hat{\beta}_{2}(s) \in \mathbb{R}, \boldsymbol{w}_{3}(s) \in \mathcal{O}_{2}(s)^{\perp}\right) \end{array}n2(s)=α^(s)t(s)+β^1(s)n1(s)+β^2(s)n2(s)+w3(s)(α^(s),β^1(s),β^2(s)R,w3(s)O2(s))
という形に分解する。 α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) hat(alpha)(s), hat(beta)_(1)(s), hat(beta)_(2)(s)\hat{\alpha}(s), \hat{\beta}_{1}(s), \hat{\beta}_{2}(s)α^(s),β^1(s),β^2(s) を求めると,
α ^ ( s ) = n 2 ( s ) t ( s ) = n 2 ( s ) t ( s ) = κ 1 ( s ) ( n 2 ( s ) n 1 ( s ) ) = 0 β ^ 1 ( s ) = n 2 ( s ) n 1 ( s ) = n 2 ( s ) n 1 ( s ) = n 2 ( s ) ( κ 1 ( s ) t ( s ) + κ 2 ( s ) n 2 ( s ) ) = κ 2 ( s ) β ^ 2 ( s ) = n 2 ( s ) n 2 ( s ) = 0 α ^ ( s ) = n 2 ( s ) t ( s ) = n 2 ( s ) t ( s ) = κ 1 ( s ) n 2 ( s ) n 1 ( s ) = 0 β ^ 1 ( s ) = n 2 ( s ) n 1 ( s ) = n 2 ( s ) n 1 ( s ) = n 2 ( s ) κ 1 ( s ) t ( s ) + κ 2 ( s ) n 2 ( s ) = κ 2 ( s ) β ^ 2 ( s ) = n 2 ( s ) n 2 ( s ) = 0 {:[ hat(alpha)(s)=n_(2)^(')(s)*t(s)=-n_(2)(s)*t^(')(s)=-kappa_(1)(s)(n_(2)(s)*n_(1)(s))=0],[ hat(beta)_(1)(s)=n_(2)^(')(s)*n_(1)(s)=-n_(2)(s)*n_(1)^(')(s)],[=-n_(2)(s)*(-kappa_(1)(s)t(s)+kappa_(2)(s)n_(2)(s))=-kappa_(2)(s)],[ hat(beta)_(2)(s)=n_(2)^(')(s)*n_(2)(s)=0]:}\begin{aligned} \hat{\alpha}(s) & =\boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{t}(s)=-\boldsymbol{n}_{2}(s) \cdot \boldsymbol{t}^{\prime}(s)=-\kappa_{1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{2}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{1}(s)\right)=0 \\ \hat{\beta}_{1}(s) & =\boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{1}(s)=-\boldsymbol{n}_{2}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s) \\ & =-\boldsymbol{n}_{2}(s) \cdot\left(-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}(s)+\kappa_{2}(s) \boldsymbol{n}_{2}(s)\right)=-\kappa_{2}(s) \\ \hat{\beta}_{2}(s) & =\boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{n}_{2}(s)=0 \end{aligned}α^(s)=n2(s)t(s)=n2(s)t(s)=κ1(s)(n2(s)n1(s))=0β^1(s)=n2(s)n1(s)=n2(s)n1(s)=n2(s)(κ1(s)t(s)+κ2(s)n2(s))=κ2(s)β^2(s)=n2(s)n2(s)=0
となる. κ 3 ( s ) := w 3 ( s ) κ 3 ( s ) := w 3 ( s ) kappa_(3)(s):=||w_(3)(s)||\kappa_{3}(s):=\left\|\boldsymbol{w}_{3}(s)\right\|κ3(s):=w3(s) とおく. κ 3 : [ 0 , l ] R κ 3 : [ 0 , l ] R kappa_(3):[0,l]rarrR\kappa_{3}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}κ3:[0,l]R c c ccc の第 3 3 3\mathbf{3}3 曲率(the
third curvature) という. κ 3 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) κ 3 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) kappa_(3)(s)!=0(s in[0,l])\kappa_{3}(s) \neq 0(s \in[0, l])κ3(s)0(s[0,l]) と仮定する。 n 3 ( s ) := n 3 ( s ) := n_(3)(s):=\boldsymbol{n}_{3}(s):=n3(s):= 1 κ 3 ( s ) w 3 ( s ) 1 κ 3 ( s ) w 3 ( s ) (1)/(kappa_(3)(s))*w_(3)(s)\frac{1}{\kappa_{3}(s)} \cdot \boldsymbol{w}_{3}(s)1κ3(s)w3(s) とおく. n 3 : [ 0 , l ] R n n 3 : [ 0 , l ] R n n_(3):[0,l]rarrR^(n)\boldsymbol{n}_{3}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}^{n}n3:[0,l]Rn を, c c ccc の第 3 3 3\mathbf{3}3 法線ベクトル場(the third normal vector field) という. このとき, 上述の事実より, n 2 ( s ) n 2 ( s ) n_(2)^(')(s)\boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s)n2(s) は次のように表される:
(1.7.3) n 2 ( s ) = κ 2 ( s ) n 1 ( s ) + κ 3 ( s ) n 3 ( s ) (1.7.3) n 2 ( s ) = κ 2 ( s ) n 1 ( s ) + κ 3 ( s ) n 3 ( s ) {:(1.7.3)n_(2)^(')(s)=-kappa_(2)(s)n_(1)(s)+kappa_(3)(s)n_(3)(s):}\begin{equation*} \boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s)=-\kappa_{2}(s) \boldsymbol{n}_{1}(s)+\kappa_{3}(s) \boldsymbol{n}_{3}(s) \tag{1.7.3} \end{equation*}(1.7.3)n2(s)=κ2(s)n1(s)+κ3(s)n3(s)
R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の 4 次元部分ベクトル空間
O 3 ( s ) := Span { t ( s ) , n 1 ( s ) , n 2 ( s ) , n 3 ( s ) } O 3 ( s ) := Span t ( s ) , n 1 ( s ) , n 2 ( s ) , n 3 ( s ) O_(3)(s):=Span{t(s),n_(1)(s),n_(2)(s),n_(3)(s)}\mathcal{O}_{3}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s), \boldsymbol{n}_{2}(s), \boldsymbol{n}_{3}(s)\right\}O3(s):=Span{t(s),n1(s),n2(s),n3(s)}
c c ccc の第 3 接触空間(the third osculating space)という。以下, 同様な プロセスを繰り返すことにより, 順次, κ 4 ( s ) , κ 5 ( s ) , , n 4 ( s ) , n 5 ( s ) , κ 4 ( s ) , κ 5 ( s ) , , n 4 ( s ) , n 5 ( s ) , kappa_(4)(s),kappa_(5)(s),dots,n_(4)(s),n_(5)(s),dots\kappa_{4}(s), \kappa_{5}(s), \ldots, \boldsymbol{n}_{4}(s), \boldsymbol{n}_{5}(s), \ldotsκ4(s),κ5(s),,n4(s),n5(s),, および O 4 ( s ) , O 5 ( s ) , O 4 ( s ) , O 5 ( s ) , O_(4)(s),O_(5)(s),dots\mathcal{O}_{4}(s), \mathcal{O}_{5}(s), \ldotsO4(s),O5(s), が定義され,
(1.7.4) n i ( s ) = κ i ( s ) n i 1 ( s ) + κ i + 1 ( s ) n i + 1 ( s ) ( i = 3 , 4 , ) (1.7.4) n i ( s ) = κ i ( s ) n i 1 ( s ) + κ i + 1 ( s ) n i + 1 ( s ) ( i = 3 , 4 , ) {:(1.7.4)n_(i)^(')(s)=-kappa_(i)(s)n_(i-1)(s)+kappa_(i+1)(s)n_(i+1)(s)quad(i=3","4","dots):}\begin{equation*} \boldsymbol{n}_{i}^{\prime}(s)=-\kappa_{i}(s) \boldsymbol{n}_{i-1}(s)+\kappa_{i+1}(s) \boldsymbol{n}_{i+1}(s) \quad(i=3,4, \ldots) \tag{1.7.4} \end{equation*}(1.7.4)ni(s)=κi(s)ni1(s)+κi+1(s)ni+1(s)(i=3,4,)
が示される. κ i ( i = 4 , 5 , ) κ i ( i = 4 , 5 , ) kappa_(i)(i=4,5,dots)\kappa_{i}(i=4,5, \ldots)κi(i=4,5,) c c ccc の第 i i i\boldsymbol{i}i 曲率( i i i\boldsymbol{i}i-th curvature)といい, n i ( i = 4 , 5 , ) n i ( i = 4 , 5 , ) n_(i)(i=4,5,dots)\boldsymbol{n}_{i}(i=4,5, \ldots)ni(i=4,5,) を第 i i i\boldsymbol{i}i 法線ベクトル場(隹-th normal vector field)とい う. また,
O i ( s ) := Span { t ( s ) , n 1 ( s ) , , n i ( s ) } ( i = 4 , 5 , ) O i ( s ) := Span t ( s ) , n 1 ( s ) , , n i ( s ) ( i = 4 , 5 , ) O_(i)(s):=Span{t(s),n_(1)(s),dots,n_(i)(s)}quad(i=4,5,dots)\mathcal{O}_{i}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s), \ldots, \boldsymbol{n}_{i}(s)\right\} \quad(i=4,5, \ldots)Oi(s):=Span{t(s),n1(s),,ni(s)}(i=4,5,)
c c ccc の第 i i i\boldsymbol{i}i 接触空間(the i i i\boldsymbol{i}i-th osculating space)という.
κ i ( s ) , n i ( s ) ( i = 1 , , n 2 ) κ i ( s ) , n i ( s ) ( i = 1 , , n 2 ) kappa_(i)(s),n_(i)(s)(i=1,dots,n-2)\kappa_{i}(s), \boldsymbol{n}_{i}(s)(i=1, \ldots, n-2)κi(s),ni(s)(i=1,,n2) が定義される場合を考える. このとき, べ クトル値関数 s n n 2 ( s ) s n n 2 ( s ) s|->n_(n-2)(s)s \mapsto \boldsymbol{n}_{n-2}(s)snn2(s) の微分 n n 2 ( s ) n n 2 ( s ) n_(n-2)^(')(s)\boldsymbol{n}_{n-2}^{\prime}(s)nn2(s)
n n 2 ( s ) = κ n 2 ( s ) n n 3 ( s ) + w n 1 ( s ) ( w n 1 ( s ) O n 2 ( s ) ) n n 2 ( s ) = κ n 2 ( s ) n n 3 ( s ) + w n 1 ( s ) w n 1 ( s ) O n 2 ( s ) n_(n-2)^(')(s)=-kappa_(n-2)(s)n_(n-3)(s)+w_(n-1)(s)quad(w_(n-1)(s)inO_(n-2)(s)^(_|_))\boldsymbol{n}_{n-2}^{\prime}(s)=-\kappa_{n-2}(s) \boldsymbol{n}_{n-3}(s)+\boldsymbol{w}_{n-1}(s) \quad\left(\boldsymbol{w}_{n-1}(s) \in \mathcal{O}_{n-2}(s)^{\perp}\right)nn2(s)=κn2(s)nn3(s)+wn1(s)(wn1(s)On2(s))
という形に分解される. さらに, w n 1 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) w n 1 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) w_(n-1)(s)!=0(s in[0,l])\boldsymbol{w}_{n-1}(s) \neq \mathbf{0}(s \in[0, l])wn1(s)0(s[0,l]) の場合を考える.
ε ε epsi\varepsilonε
(1.7.5) ε := { 1 ( | t ( s ) , n 1 ( s ) , , n n 2 ( s ) , w n 1 | > 0 のとき) 1 ( | t ( s ) , n 1 ( s ) , , n n 2 ( s ) , w n 1 | < 0 のとき) (1.7.5) ε := 1 t ( s ) , n 1 ( s ) , , n n 2 ( s ) , w n 1 > 0  のとき)  1 t ( s ) , n 1 ( s ) , , n n 2 ( s ) , w n 1 < 0  のとき)  {:(1.7.5)epsi:={[1,(|t(s),n_(1)(s),dots,n_(n-2)(s),w_(n-1)| > 0:}" のとき) "],[-1,(|t(s),n_(1)(s),dots,n_(n-2)(s),w_(n-1)| < 0:}" のとき) "]:}:}\varepsilon:= \begin{cases}1 & \left(\left|\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s), \ldots, \boldsymbol{n}_{n-2}(s), \boldsymbol{w}_{n-1}\right|>0\right. \text { のとき) } \tag{1.7.5}\\ -1 & \left(\left|\boldsymbol{t}(s), \boldsymbol{n}_{1}(s), \ldots, \boldsymbol{n}_{n-2}(s), \boldsymbol{w}_{n-1}\right|<0\right. \text { のとき) }\end{cases}(1.7.5)ε:={1(|t(s),n1(s),,nn2(s),wn1|>0 のとき) 1(|t(s),n1(s),,nn2(s),wn1|<0 のとき) 
と定義し, κ n 1 ( s ) , n n 1 ( s ) κ n 1 ( s ) , n n 1 ( s ) kappa_(n-1)(s),n_(n-1)(s)\kappa_{n-1}(s), \boldsymbol{n}_{n-1}(s)κn1(s),nn1(s) を各々,
κ n 1 ( s ) := ε w n 1 ( s ) (1.7.6) n n 1 ( s ) := ε 1 w n 1 ( s ) w n 1 ( s ) κ n 1 ( s ) := ε w n 1 ( s ) (1.7.6) n n 1 ( s ) := ε 1 w n 1 ( s ) w n 1 ( s ) {:[kappa_(n-1)(s):=epsi||w_(n-1)(s)||],[(1.7.6)n_(n-1)(s):=epsi(1)/(||w_(n-1)(s)||)w_(n-1)(s)]:}\begin{align*} & \kappa_{n-1}(s):=\varepsilon\left\|\boldsymbol{w}_{n-1}(s)\right\| \\ & \boldsymbol{n}_{n-1}(s):=\varepsilon \frac{1}{\left\|\boldsymbol{w}_{n-1}(s)\right\|} \boldsymbol{w}_{n-1}(s) \tag{1.7.6} \end{align*}κn1(s):=εwn1(s)(1.7.6)nn1(s):=ε1wn1(s)wn1(s)
によって定義する。 κ n 1 : [ 0 , l ] R κ n 1 : [ 0 , l ] R kappa_(n-1):[0,l]rarrR\kappa_{n-1}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}κn1:[0,l]R c c ccc ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(\boldsymbol{n}-\mathbf{1})(n1) 曲率(the ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(\boldsymbol{n}-\mathbf{1})(n1) -th curvature) といい, n n 1 : [ 0 , l ] R n n n 1 : [ 0 , l ] R n n_(n-1):[0,l]rarrR^(n)\boldsymbol{n}_{n-1}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}^{n}nn1:[0,l]Rn c c ccc ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(\boldsymbol{n}-1)(n1) 法線ベク トル場(the ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(\boldsymbol{n}-1)(n1)-th normal vector field)という。 κ 1 , , κ n 2 κ 1 , , κ n 2 kappa_(1),dots,kappa_(n-2)\kappa_{1}, \ldots, \kappa_{n-2}κ1,,κn2 は正値であるが, κ n 1 κ n 1 kappa_(n-1)\kappa_{n-1}κn1 は正値であるとは限らないことに注意する。このような曲線 c c ccc を至る所位数 n n n\boldsymbol{n}n C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{r}}Cr 正則曲線( C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr-regular curve of order n n n\boldsymbol{n}n everywhere)という。上述の定義より, 次の関係式が成り立つ:
(1.7.7) { t ( s ) = κ 1 ( s ) n 1 ( s ) n 1 ( s ) = κ 1 ( s ) t ( s ) + κ 2 ( s ) n 2 ( s ) n 2 ( s ) = κ 2 ( s ) n 1 ( s ) + κ 3 ( s ) n 3 ( s ) n n 2 ( s ) = κ n 2 ( s ) n n 3 ( s ) + κ n 1 ( s ) n n 1 ( s ) n n 1 ( s ) = κ n 1 ( s ) n n 2 ( s ) (1.7.7) t ( s ) = κ 1 ( s ) n 1 ( s ) n 1 ( s ) = κ 1 ( s ) t ( s ) + κ 2 ( s ) n 2 ( s ) n 2 ( s ) = κ 2 ( s ) n 1 ( s ) + κ 3 ( s ) n 3 ( s ) n n 2 ( s ) = κ n 2 ( s ) n n 3 ( s ) + κ n 1 ( s ) n n 1 ( s ) n n 1 ( s ) = κ n 1 ( s ) n n 2 ( s ) {:(1.7.7){[t^(')(s)=kappa_(1)(s)n_(1)(s)],[n_(1)^(')(s)=-kappa_(1)(s)t(s)+kappa_(2)(s)n_(2)(s)],[n_(2)^(')(s)=-kappa_(2)(s)n_(1)(s)+kappa_(3)(s)n_(3)(s)],[vdots],[n_(n-2)^(')(s)=-kappa_(n-2)(s)n_(n-3)(s)+kappa_(n-1)(s)n_(n-1)(s)],[n_(n-1)^(')(s)=-kappa_(n-1)(s)n_(n-2)(s)]:}:}\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{t}^{\prime}(s)=\kappa_{1}(s) \boldsymbol{n}_{1}(s) \tag{1.7.7}\\ \boldsymbol{n}_{1}^{\prime}(s)=-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}(s)+\kappa_{2}(s) \boldsymbol{n}_{2}(s) \\ \boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(s)=-\kappa_{2}(s) \boldsymbol{n}_{1}(s)+\kappa_{3}(s) \boldsymbol{n}_{3}(s) \\ \vdots \\ \boldsymbol{n}_{n-2}^{\prime}(s)=-\kappa_{n-2}(s) \boldsymbol{n}_{n-3}(s)+\kappa_{n-1}(s) \boldsymbol{n}_{n-1}(s) \\ \boldsymbol{n}_{n-1}^{\prime}(s)=-\kappa_{n-1}(s) \boldsymbol{n}_{n-2}(s) \end{array}\right.(1.7.7){t(s)=κ1(s)n1(s)n1(s)=κ1(s)t(s)+κ2(s)n2(s)n2(s)=κ2(s)n1(s)+κ3(s)n3(s)nn2(s)=κn2(s)nn3(s)+κn1(s)nn1(s)nn1(s)=κn1(s)nn2(s)
この関係式を c c ccc のフルネの公式(Frenêt formula)といい, ( t , n 1 , , n n 1 ) t , n 1 , , n n 1 (t,n_(1),dots,n_(n-1))\left(\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}_{1}, \ldots, \boldsymbol{n}_{n-1}\right)(t,n1,,nn1) c c ccc のフルネ枠(Frenêt frame)という。特に, κ 1 , , κ n 1 κ 1 , , κ n 1 kappa_(1),dots,kappa_(n-1)\kappa_{1}, \ldots, \kappa_{n-1}κ1,,κn1 が定数である とき, c c ccc を位数 ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) の常螺旋(helix of order ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1))(n-1) )(n1) という.
注意 特に, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の至る所位数 3 の弧長でパラメーター付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線 c c ccc に 対しては, 第 1 曲率 κ 1 κ 1 kappa_(1)\kappa_{1}κ1 と第 2 曲率 κ 2 κ 2 kappa_(2)\kappa_{2}κ2 が定義されるが, 通常, κ 2 κ 2 kappa_(2)\kappa_{2}κ2 c c ccc の捩率 (torsion)とよばれ, τ τ tau\tauτ で表される.
最後に, 一般パラメーターでパラメーター付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線の第 i i iii 曲率, 第 i i iii 法線ベクトル場を定義しておく. c : [ a , b ] E n c : [ a , b ] E n c:[a,b]rarrE^(n)c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}c:[a,b]En C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線と し, c c ccc を弧長でパラメーター付けし直した曲線を c ^ : [ 0 , l ] E n c ^ : [ 0 , l ] E n hat(c):[0,l]rarrE^(n)\hat{c}:[0, l] \rightarrow \mathbb{E}^{n}c^:[0,l]En, つまり c ^ := c ^ := hat(c):=\hat{c}:=c^:= c φ 1 ( φ ( t ) := a t c ( t ) d t ) c φ 1 φ ( t ) := a t c ( t ) d t c@varphi^(-1)(varphi(t):=int_(a)^(t)|| vec(c)^(')(t)||dt)c \circ \varphi^{-1}\left(\varphi(t):=\int_{a}^{t}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t\right)cφ1(φ(t):=atc(t)dt) とする. c ^ c ^ hat(c)\hat{c}c^ の第 i i iii 曲率, 第 i i iii 法線ベクトル場を κ ^ i , n ^ i κ ^ i , n ^ i hat(kappa)_(i), hat(n)_(i)\hat{\kappa}_{i}, \hat{\boldsymbol{n}}_{i}κ^i,n^i とするとき, κ ^ i φ ( : [ a , b ] R ) , n ^ i φ ( : [ a , b ] T S ) κ ^ i φ ( : [ a , b ] R ) , n ^ i φ ( : [ a , b ] T S ) hat(kappa)_(i)@varphi(:[a,b]rarrR), hat(n)_(i)@varphi(:[a,b]rarr TS)\hat{\kappa}_{i} \circ \varphi(:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}), \hat{\boldsymbol{n}}_{i} \circ \varphi(:[a, b] \rightarrow T S)κ^iφ(:[a,b]R),n^iφ(:[a,b]TS) c c ccc の第 i i iii 曲率, 第 i i iii 法線ベクトル場という。

1.8 グリーンの定理

この節において、 E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 の領域上で定義されたべクトル場に対する積分公式の 一つである,グリーンの定理を紹介する。この定理は, 第 3 章で述べる n n nnn 次元多様体上の ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 次微分形式に対するストークスの定理(定理 3.10 .1 を参照)の最も基本的な形の主張であることを注意しておく. c : [ a , b ] E 2 c : [ a , b ] E 2 c:[a,b]rarrE^(2)c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{2}c:[a,b]E2 C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 曲線とする. [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] の分割 a = t 0 < t 1 < < t k = b a = t 0 < t 1 < < t k = b a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k)=ba=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}=ba=t0<t1<<tk=b で, c c ccc [ t i 1 , t i ] t i 1 , t i [t_(i-1),t_(i)]∼\left[t_{i-1}, t_{i}\right] \sim[ti1,ti] の制限 c | [ t i 1 , t i ] ( i = 1 , , k 1 ) c t i 1 , t i ( i = 1 , , k 1 ) c|_([t_(i-1),t_(i)])(i=1,dots,k-1)\left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i=1, \ldots, k-1)c|[ti1,ti](i=1,,k1) C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線であるようなものが存在す るとき, c c ccc を区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則な曲線(piecewise C r C r C^(r)C^{r}Cr-regular curve)と いう. さらに, c | [ a , b ) c [ a , b ) c|_([a,b))\left.c\right|_{[a, b)}c|[a,b) が単射であり, c ( a ) = c ( b ) c ( a ) = c ( b ) c(a)=c(b)c(a)=c(b)c(a)=c(b) であるとき, c c ccc を区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則な単純閉曲線(piecewise C r C r C^(r)C^{r}Cr-regular simple closed curve)と いう。区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則な単純閉曲線で囲まれた有界閉領域を,区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr級の境界をもつ有界閉領域(closed bounded domain with piecewise C r C r C^(r)C^{r}Cr-boundary) という.
定理 1.8.1(グリーンの定理) D D DDD E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域とし, その境界 D D del D\partial DD が区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則な単純閉曲線 c : [ a , b ] E 2 c : [ a , b ] E 2 c:[a,b]rarrE^(2)c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{2}c:[a,b]E2 に よって与えられているとする. a = t 0 < t 1 < < t k 1 < t k = b a = t 0 < t 1 < < t k 1 < t k = b a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k-1) < t_(k)=ba=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k-1}<t_{k}=ba=t0<t1<<tk1<tk=b c | [ t i 1 , t i ] c t i 1 , t i c|_([t_(i-1),t_(i)])\left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}c|[ti1,ti] ( i = 1 , , k ) ( i = 1 , , k ) (i=1,dots,k)(i=1, \ldots, k)(i=1,,k) C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線であるような [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] の分割とする. このとき, D D DDD を含む領域上で定義された C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し, 次の関係式が成り立 つ :
D rot X d x 1 d x 2 = c X d r D rot X d x 1 d x 2 = c X d r ∬_(D)rot Xdx_(1)dx_(2)=int_(c)X*dr\iint_{D} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}DrotXdx1dx2=cXdr
証明 有限個の長方形閉領域 { E k j } j = 1 m k ( E k j = [ a k j , b k j ] × [ a ¯ k j , b ¯ k j ] ) E k j j = 1 m k E k j = a k j , b k j × a ¯ k j , b ¯ k j {E_(k)^(j)}_(j=1)^(m_(k))(E_(k)^(j)=[a_(k)^(j),b_(k)^(j)]xx[ bar(a)_(k)^(j), bar(b)_(k)^(j)])\left\{E_{k}^{j}\right\}_{j=1}^{m_{k}}\left(E_{k}^{j}=\left[a_{k}^{j}, b_{k}^{j}\right] \times\left[\bar{a}_{k}^{j}, \bar{b}_{k}^{j}\right]\right){Ekj}j=1mk(Ekj=[akj,bkj]×[a¯kj,b¯kj]) の和に分割 されるような(Dに含まれる)区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ有界閉領域 D k D k D_(k)D_{k}Dk の増加列 { D k } k = 1 D k k = 1 {D_(k)}_(k=1)^(oo)\left\{D_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}{Dk}k=1 で, その境界の列 { D k } k = 1 D k k = 1 {delD_(k)}_(k=1)^(oo)\left\{\partial D_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}{Dk}k=1 が,次の意味で D D del D\partial DD に収束す るようなものをとる:
(*) D k D k delD_(k)\partial D_{k}Dk を像とする区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 閉曲線 c k : [ a , b ] E 2 c k : [ a , b ] E 2 c_(k):[a,b]rarrE^(2)c_{k}:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{2}ck:[a,b]E2 の族 { c k } k = 1 c k k = 1 {c_(k)}_(k=1)^(oo)\left\{c_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}{ck}k=1
lim k sup t [ a , b ] c k ( t ) c ( t ) = 0 lim k sup t [ a , b ] c k ( t ) c ( t ) = 0 lim_(k rarr oo)s u p_(t in[a,b])|| vec(c_(k))(t)-( vec(c))(t)||=0\lim _{k \rightarrow \infty} \sup _{t \in[a, b]}\left\|\overrightarrow{c_{k}}(t)-\vec{c}(t)\right\|=0limksupt[a,b]ck(t)c(t)=0
となるようなものを許容する(このとき,“ D D k D D k D\\D_(k)D \backslash D_{k}DDk の面積” 0 ( k ) 0 ( k ) rarr0(k rarr oo)\rightarrow 0(k \rightarrow \infty)0(k)
図 1.8.1 区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 正則な曲線 c k j c k j c_(k)^(j)c_{k}^{j}ckj
となる).
l k j := b k j a k j , l ¯ k j := b ¯ k j a ¯ k j l k j := b k j a k j , l ¯ k j := b ¯ k j a ¯ k j l_(k)^(j):=b_(k)^(j)-a_(k)^(j), bar(l)_(k)^(j):= bar(b)_(k)^(j)- bar(a)_(k)^(j)l_{k}^{j}:=b_{k}^{j}-a_{k}^{j}, \bar{l}_{k}^{j}:=\bar{b}_{k}^{j}-\bar{a}_{k}^{j}lkj:=bkjakj,l¯kj:=b¯kja¯kj とする. 区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 正則な単純閉曲線 c k j : c k j : c_(k)^(j):c_{k}^{j}:ckj: [ a k j , a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j ] A 2 a k j , a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j A 2 [a_(k)^(j),a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+2 bar(l)_(k)^(j)]rarrA^(2)\left[a_{k}^{j}, a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+2 \bar{l}_{k}^{j}\right] \rightarrow \mathbb{A}^{2}[akj,akj+2lkj+2l¯kj]A2
c k j ( t ) := { ( t , a ¯ k j ) ( a k j t a k j + l k j ) ( b k j , t a k j l k j + a ¯ k j ) ( a k j + l k j t a k j + l k j + l ¯ k j ) ( a k j + b k j + l k j + l ¯ k j t , b ¯ k j ) ( a k j + l k j + l ¯ k j t a k j + 2 l k j + l ¯ k j ) ( a k j , a k j + b ¯ k j + 2 l k j + l ¯ k j t ) ( a k j + 2 l k j + l ¯ k j t a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j ) c k j ( t ) := t , a ¯ k j      a k j t a k j + l k j b k j , t a k j l k j + a ¯ k j      a k j + l k j t a k j + l k j + l ¯ k j a k j + b k j + l k j + l ¯ k j t , b ¯ k j      a k j + l k j + l ¯ k j t a k j + 2 l k j + l ¯ k j a k j , a k j + b ¯ k j + 2 l k j + l ¯ k j t      a k j + 2 l k j + l ¯ k j t a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j c_(k)^(j)(t):={[(t, bar(a)_(k)^(j)),(a_(k)^(j) <= t <= a_(k)^(j)+l_(k)^(j))],[(b_(k)^(j),t-a_(k)^(j)-l_(k)^(j)+ bar(a)_(k)^(j)),(a_(k)^(j)+l_(k)^(j) <= t <= a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))],[(a_(k)^(j)+b_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j)-t, bar(b)_(k)^(j)),(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j) <= t <= a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))],[(a_(k)^(j),a_(k)^(j)+ bar(b)_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j)-t),(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j) <= t <= a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+2 bar(l)_(k)^(j))]:}c_{k}^{j}(t):= \begin{cases}\left(t, \bar{a}_{k}^{j}\right) & \left(a_{k}^{j} \leq t \leq a_{k}^{j}+l_{k}^{j}\right) \\ \left(b_{k}^{j}, t-a_{k}^{j}-l_{k}^{j}+\bar{a}_{k}^{j}\right) & \left(a_{k}^{j}+l_{k}^{j} \leq t \leq a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}\right) \\ \left(a_{k}^{j}+b_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}-t, \bar{b}_{k}^{j}\right) & \left(a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j} \leq t \leq a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}\right) \\ \left(a_{k}^{j}, a_{k}^{j}+\bar{b}_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}-t\right) & \left(a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j} \leq t \leq a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+2 \bar{l}_{k}^{j}\right)\end{cases}ckj(t):={(t,a¯kj)(akjtakj+lkj)(bkj,takjlkj+a¯kj)(akj+lkjtakj+lkj+l¯kj)(akj+bkj+lkj+l¯kjt,b¯kj)(akj+lkj+l¯kjtakj+2lkj+l¯kj)(akj,akj+b¯kj+2lkj+l¯kjt)(akj+2lkj+l¯kjtakj+2lkj+2l¯kj)
によって定義する(図 1.8 .1 を参照)。明らかに E k j E k j delE_(k)^(j)\partial E_{k}^{j}Ekj は, この単純閉曲線によ って与えられる。まず, 各 ( k , j ) ( k , j ) (k,j)(k, j)(k,j) に対し,
E j k rot X d x 1 d x 2 = c j k X d r E j k rot X d x 1 d x 2 = c j k X d r ∬_(E_(j)^(k))rot Xdx_(1)dx_(2)=int_(c_(j)^(k))X*dr\iint_{E_{j}^{k}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\int_{c_{j}^{k}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}EjkrotXdx1dx2=cjkXdr
が成り立つことを示す. X = ( X 1 , X 2 ) X = X 1 , X 2 X=(X_(1),X_(2))\boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}\right)X=(X1,X2) とする。このとき、
E k j rot X d x 1 d x 2 = E k j ( X 2 x 1 X 1 x 2 ) d x 1 d x 2 = a k j b k j a ¯ k j b ¯ k j ( X 2 x 1 X 1 x 2 ) d x 1 d x 2 = a ¯ k j b ¯ k j ( X 2 ( b k j , x 2 ) X 2 ( a k j , x 2 ) ) d x 2 a k j b k j ( X 1 ( x 1 , b ¯ k j ) X 1 ( x 1 , a ¯ k j ) ) d x 1 = a k j b k j X 1 ( t , a ¯ k j ) d t + a ¯ k j b ¯ k j X 2 ( b k j , t ) d t a k j b k j X 1 ( t , b ¯ k j ) d t a ¯ k j b ¯ k j X 2 ( a k j , t ) d t E k j rot X d x 1 d x 2 = E k j X 2 x 1 X 1 x 2 d x 1 d x 2 = a k j b k j a ¯ k j b ¯ k j X 2 x 1 X 1 x 2 d x 1 d x 2 = a ¯ k j b ¯ k j X 2 b k j , x 2 X 2 a k j , x 2 d x 2 a k j b k j X 1 x 1 , b ¯ k j X 1 x 1 , a ¯ k j d x 1 = a k j b k j X 1 t , a ¯ k j d t + a ¯ k j b ¯ k j X 2 b k j , t d t a k j b k j X 1 t , b ¯ k j d t a ¯ k j b ¯ k j X 2 a k j , t d t {:[∬_(E_(k)^(j))rot Xdx_(1)dx_(2)],[=∬_(E_(k)^(j))((delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2)))dx_(1)dx_(2)=int_(a_(k)^(j))^(b_(k)^(j))int_( bar(a)_(k)^(j))^( bar(b)_(k)^(j))((delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2)))dx_(1)dx_(2)],[=int_( bar(a)_(k)^(j))^( bar(b)_(k)^(j))(X_(2)(b_(k)^(j),x_(2))-X_(2)(a_(k)^(j),x_(2)))dx_(2)-int_(a_(k)^(j))^(b_(k)^(j))(X_(1)(x_(1), bar(b)_(k)^(j))-X_(1)(x_(1), bar(a)_(k)^(j)))dx_(1)],[=int_(a_(k)^(j))^(b_(k)^(j))X_(1)(t, bar(a)_(k)^(j))dt+int_( bar(a)_(k)^(j))^( bar(b)_(k)^(j))X_(2)(b_(k)^(j),t)dt-int_(a_(k)^(j))^(b_(k)^(j))X_(1)(t, bar(b)_(k)^(j))dt-int_( bar(a)_(k)^(j))^( bar(b)_(k)^(j))X_(2)(a_(k)^(j),t)dt]:}\begin{aligned} & \iint_{E_{k}^{j}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2} \\ = & \iint_{E_{k}^{j}}\left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right) d x_{1} d x_{2}=\int_{a_{k}^{j}}^{b_{k}^{j}} \int_{\bar{a}_{k}^{j}}^{\bar{b}_{k}^{j}}\left(\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right) d x_{1} d x_{2} \\ = & \int_{\bar{a}_{k}^{j}}^{\bar{b}_{k}^{j}}\left(X_{2}\left(b_{k}^{j}, x_{2}\right)-X_{2}\left(a_{k}^{j}, x_{2}\right)\right) d x_{2}-\int_{a_{k}^{j}}^{b_{k}^{j}}\left(X_{1}\left(x_{1}, \bar{b}_{k}^{j}\right)-X_{1}\left(x_{1}, \bar{a}_{k}^{j}\right)\right) d x_{1} \\ = & \int_{a_{k}^{j}}^{b_{k}^{j}} X_{1}\left(t, \bar{a}_{k}^{j}\right) d t+\int_{\bar{a}_{k}^{j}}^{\bar{b}_{k}^{j}} X_{2}\left(b_{k}^{j}, t\right) d t-\int_{a_{k}^{j}}^{b_{k}^{j}} X_{1}\left(t, \bar{b}_{k}^{j}\right) d t-\int_{\bar{a}_{k}^{j}}^{\bar{b}_{k}^{j}} X_{2}\left(a_{k}^{j}, t\right) d t \end{aligned}EkjrotXdx1dx2=Ekj(X2x1X1x2)dx1dx2=akjbkja¯kjb¯kj(X2x1X1x2)dx1dx2=a¯kjb¯kj(X2(bkj,x2)X2(akj,x2))dx2akjbkj(X1(x1,b¯kj)X1(x1,a¯kj))dx1=akjbkjX1(t,a¯kj)dt+a¯kjb¯kjX2(bkj,t)dtakjbkjX1(t,b¯kj)dta¯kjb¯kjX2(akj,t)dt
= a k j a k j + l k j X 1 ( c k j ( t ) ) d t + a k j + l k j a k j + l k j + l ¯ k j X 2 ( c k j ( t ) ) d t a k j + l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + l ¯ k j X 1 ( c k j ( t ) ) d t a k j + 2 l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j X 2 ( c k j ( t ) ) d t = a k j a k j + l k j X ( c k j ( t ) ) ( 1 , 0 ) d t + a k j + l k j a k j + l k j + l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ( 0 , 1 ) d t + a k j + l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ( 1 , 0 ) d t + a k j + 2 l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ( 0 , 1 ) d t = a k j a k j + l k j X ( c k j ( t ) ) ( c k j ) ( t ) d t + a k j + l k j a k j + l k j + l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ( c k j ) ( t ) d t + a k j + l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ( c k j ) ( t ) d t + a k j + 2 l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j X ( c k j ( t ) ) ( c k j ) ( t ) d t = c k j X d r = a k j a k j + l k j X 1 c k j ( t ) d t + a k j + l k j a k j + l k j + l ¯ k j X 2 c k j ( t ) d t a k j + l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + l ¯ k j X 1 c k j ( t ) d t a k j + 2 l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j X 2 c k j ( t ) d t = a k j a k j + l k j X c k j ( t ) ( 1 , 0 ) d t + a k j + l k j a k j + l k j + l ¯ k j X c k j ( t ) ( 0 , 1 ) d t + a k j + l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + l ¯ k j X c k j ( t ) ( 1 , 0 ) d t + a k j + 2 l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j X c k j ( t ) ( 0 , 1 ) d t = a k j a k j + l k j X c k j ( t ) c k j ( t ) d t + a k j + l k j a k j + l k j + l ¯ k j X c k j ( t ) c k j ( t ) d t + a k j + l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + l ¯ k j X c k j ( t ) c k j ( t ) d t + a k j + 2 l k j + l ¯ k j a k j + 2 l k j + 2 l ¯ k j X c k j ( t ) c k j ( t ) d t = c k j X d r {:[=int_(a_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))X_(1)(c_(k)^(j)(t))dt+int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X_(2)(c_(k)^(j)(t))dt],[-int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X_(1)(c_(k)^(j)(t))dt-int_(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+2 bar(l)_(k)^(j))X_(2)(c_(k)^(j)(t))dt],[=int_(a_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(1","0)dt+int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(0","1)dt],[+int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(-1","0)dt+int_(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+2 bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(0","-1)dt],[=int_(a_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(c_(k)^(j))^(')(t)dt+int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(c_(k)^(j))^(')(t)dt],[+int_(a_(k)^(j)+l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(c_(k)^(j))^(')(t)dt+int_(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+ bar(l)_(k)^(j))^(a_(k)^(j)+2l_(k)^(j)+2 bar(l)_(k)^(j))X(c_(k)^(j)(t))*(c_(k)^(j))^(')(t)dt],[=int_(c_(k)^(j))X*dr]:}\begin{aligned} = & \int_{a_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}} X_{1}\left(c_{k}^{j}(t)\right) d t+\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} X_{2}\left(c_{k}^{j}(t)\right) d t \\ & -\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} X_{1}\left(c_{k}^{j}(t)\right) d t-\int_{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+2 \bar{l}_{k}^{j}} X_{2}\left(c_{k}^{j}(t)\right) d t \\ = & \int_{a_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot(1,0) d t+\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot(0,1) d t \\ & +\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot(-1,0) d t+\int_{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+2 \bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot(0,-1) d t \\ = & \int_{a_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot\left(c_{k}^{j}\right)^{\prime}(t) d t+\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot\left(c_{k}^{j}\right)^{\prime}(t) d t \\ & +\int_{a_{k}^{j}+l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot\left(c_{k}^{j}\right)^{\prime}(t) d t+\int_{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+\bar{l}_{k}^{j}}^{a_{k}^{j}+2 l_{k}^{j}+2 \bar{l}_{k}^{j}} \boldsymbol{X}\left(c_{k}^{j}(t)\right) \cdot\left(c_{k}^{j}\right)^{\prime}(t) d t \\ = & \int_{c_{k}^{j}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} \end{aligned}=akjakj+lkjX1(ckj(t))dt+akj+lkjakj+lkj+l¯kjX2(ckj(t))dtakj+lkj+l¯kjakj+2lkj+l¯kjX1(ckj(t))dtakj+2lkj+l¯kjakj+2lkj+2l¯kjX2(ckj(t))dt=akjakj+lkjX(ckj(t))(1,0)dt+akj+lkjakj+lkj+l¯kjX(ckj(t))(0,1)dt+akj+lkj+l¯kjakj+2lkj+l¯kjX(ckj(t))(1,0)dt+akj+2lkj+l¯kjakj+2lkj+2l¯kjX(ckj(t))(0,1)dt=akjakj+lkjX(ckj(t))(ckj)(t)dt+akj+lkjakj+lkj+l¯kjX(ckj(t))(ckj)(t)dt+akj+lkj+l¯kjakj+2lkj+l¯kjX(ckj(t))(ckj)(t)dt+akj+2lkj+l¯kjakj+2lkj+2l¯kjX(ckj(t))(ckj)(t)dt=ckjXdr
が示される。それゆえ,
(1.8.1) D k rot X d x 1 d x 2 = j = 1 m k E k j rot X d x 1 d x 2 = j = 1 m k c k j X d r (1.8.1) D k rot X d x 1 d x 2 = j = 1 m k E k j rot X d x 1 d x 2 = j = 1 m k c k j X d r {:(1.8.1)∬_(D_(k))rot Xdx_(1)dx_(2)=sum_(j=1)^(m_(k))∬_(E_(k)^(j))rot Xdx_(1)dx_(2)=sum_(j=1)^(m_(k))int_(c_(k)^(j))X*dr:}\begin{equation*} \iint_{D_{k}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\sum_{j=1}^{m_{k}} \iint_{E_{k}^{j}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\sum_{j=1}^{m_{k}} \int_{c_{k}^{j}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} \tag{1.8.1} \end{equation*}(1.8.1)DkrotXdx1dx2=j=1mkEkjrotXdx1dx2=j=1mkckjXdr
をえる. E k j E k j E_(k)^(j)E_{k}^{j}Ekj E k j E k j E_(k)^(j^('))E_{k}^{j^{\prime}}Ekj が辺の一部を共有する場合, E k j E k j E_(k)^(j)E_{k}^{j}Ekj の辺として与えられるそ の辺の向きと E k j E k j E_(k)^(j^('))E_{k}^{j^{\prime}}Ekj の辺として与えられるその辺の向きは, 共有する部分で逆向きとなる(図 1.8.2 を参照)。それゆえ,命題 1.4 .1 (i) の第 2 式と命題 1.4 .3 により, その共有部分上での積分が相殺されることがわかる.したがって,
(1.8.2) j = 1 m k c k j X d r = c k X d r (1.8.2) j = 1 m k c k j X d r = c k X d r {:(1.8.2)sum_(j=1)^(m_(k))int_(c_(k)^(j))X*dr=int_(c_(k))X*dr:}\begin{equation*} \sum_{j=1}^{m_{k}} \int_{c_{k}^{j}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c_{k}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} \tag{1.8.2} \end{equation*}(1.8.2)j=1mkckjXdr=ckXdr
が成り立つ. 式 (1.8.1) と式 (1.8.2) から,
D k rot X d x 1 d x 2 = c k X d r D k rot X d x 1 d x 2 = c k X d r ∬_(D_(k))rot Xdx_(1)dx_(2)=int_(c_(k))X*dr\iint_{D_{k}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\int_{c_{k}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}DkrotXdx1dx2=ckXdr
が導かれる. それゆえ, “ D D k D D k D\\D_(k)D \backslash D_{k}DDk の面積” 0 k 0 k rarr0(k rarr oo)\rightarrow 0 ( k \rightarrow \infty )0k となるので,
D rot X d x 1 d x 2 = lim k D k rot X d x 1 d x 2 = lim k c k X d r D rot X d x 1 d x 2 = lim k D k rot X d x 1 d x 2 = lim k c k X d r ∬_(D)rot Xdx_(1)dx_(2)=lim_(k rarr oo)∬_(D_(k))rot Xdx_(1)dx_(2)=lim_(k rarr oo)int_(c_(k))X*dr\iint_{D} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\lim _{k \rightarrow \infty} \iint_{D_{k}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{c_{k}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}DrotXdx1dx2=limkDkrotXdx1dx2=limkckXdr
点線部は D k D k D_(k)D_{k}Dk を表す.
図 1.8.2隣接する長方形領域の境界上の向きが逆になる様子
をえる. さらに,
lim k sup t [ a , b ] c k ( t ) c ( t ) = 0 lim k sup t [ a , b ] c k ( t ) c ( t ) = 0 lim_(k rarr oo)s u p_(t in[a,b])|| vec(c_(k))(t)-( vec(c))(t)||=0\lim _{k \rightarrow \infty} \sup _{t \in[a, b]}\left\|\overrightarrow{c_{k}}(t)-\vec{c}(t)\right\|=0limksupt[a,b]ck(t)c(t)=0
から, ベクトル場の線積分の定義と命題 1.4.3を用いて,
lim k c k X d r = c X d r lim k c k X d r = c X d r lim_(k rarr oo)int_(c_(k))X*dr=int_(c)X*dr\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{c_{k}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}limkckXdr=cXdr
を示すことができる. したがって, 求めるべき関係式 D rot X d x 1 d x 2 = D rot X d x 1 d x 2 = int_(D)rot Xdx_(1)dx_(2)=\int_{D} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} d x_{1} d x_{2}=DrotXdx1dx2= c X d r c X d r int_(c)X*dr\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}cXdr をえる。

1.9 超曲面

この節において, C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面, さらに一般に, 区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の超曲面の概念を定義する。最初に, C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面の構成要素である C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面の概念を定義する。以下, n 2 n 2 n >= 2n \geq 2n2 とする。 D D DDD R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn (単なる R R R\mathbb{R}R n n nnn 個の直積)の領域とし, x x x\boldsymbol{x}x D D DDD から ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1)(n+1) 次元ユークリッド空間 E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像とする. つまり,
x ( u 1 , , u n ) = o x ( u 1 , , u n ) ( ( u 1 , , u n ) D ) x u 1 , , u n = o x u 1 , , u n u 1 , , u n D vec(x)(u_(1),dots,u_(n))= vec(ox(u_(1),dots,u_(n)))quad((u_(1),dots,u_(n))in D)\overrightarrow{\boldsymbol{x}}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\overrightarrow{o \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right)x(u1,,un)=ox(u1,,un)((u1,,un)D)
によって定義されるベクトル値関数 x : D R n + 1 x : D R n + 1 vec(x):D rarrR^(n+1)\overrightarrow{\boldsymbol{x}}: D \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}x:DRn+1 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとする.
x ( u 1 , , u n ) = ( x 1 ( u 1 , , u n ) , , x n + 1 ( u 1 , , u n ) ) x u 1 , , u n = x 1 u 1 , , u n , , x n + 1 u 1 , , u n vec(x)(u_(1),dots,u_(n))=(x_(1)(u_(1),dots,u_(n)),dots,x_(n+1)(u_(1),dots,u_(n)))\overrightarrow{\boldsymbol{x}}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(x_{1}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \ldots, x_{n+1}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)x(u1,,un)=(x1(u1,,un),,xn+1(u1,,un))
とする. D D DDD 上の行列値関数
J x = t ( x 1 u 1 x n + 1 u 1 x 1 u n x n u n ) J x = t x 1 u 1 x n + 1 u 1 x 1 u n x n u n Jx=^(t)([(delx_(1))/(delu_(1)),cdots,(delx_(n+1))/(delu_(1))],[vdots,vdots,vdots],[(delx_(1))/(delu_(n)),cdots,(delx_(n))/(delu_(n))])J \boldsymbol{x}={ }^{t}\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{1}} & \cdots & \frac{\partial x_{n+1}}{\partial u_{1}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{n}} & \cdots & \frac{\partial x_{n}}{\partial u_{n}} \end{array}\right)Jx=t(x1u1xn+1u1x1unxnun)
は, x x x\boldsymbol{x}x のヤコビ行列(Jacobi matrix)とよばれる. D D DDD の各点における J x J x JxJ \boldsymbol{x}Jx の階数が n n nnn であるとき, x : D E n + 1 x : D E n + 1 x:D rarrE^(n+1)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x:DEn+1 E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 正則局所超曲面 ( C r C r C^(r)C^{r}Cr-regular local hypersurface)(あるいは, C r C r C^(r)C^{r}Cr はめ 込み( C r C r C^(r_(-))C^{r_{-}}Cr immersion))といい, その像 S := x ( D ) S := x ( D ) S:=x(D)S:=\boldsymbol{x}(D)S:=x(D) C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 超曲面片 ( C r C r (C^(r):}\left(\boldsymbol{C}^{r}\right.(Cr-hypersurface piece) という.
命題 1.9.1 x : D E n + 1 x : D E n + 1 x:D rarrE^(n+1)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x:DEn+1 C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面であるとき, x u 1 , x u 1 , (del vec(x))/(delu_(1)),dots\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{1}}, \ldotsxu1,, x u n x u n (del vec(x))/(delu_(n))\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{n}}xun は 1 次独立である(図 1.9 .1 を参照).
証明の概略 x x x\boldsymbol{x}x C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面なので, J x J x JxJ \boldsymbol{x}Jx の階数は D D DDD の各点で n n nnn で あり, t J x t J x ^(t)Jx{ }^{t} J \boldsymbol{x}tJx の第 1 行, cdots\cdots, 第 n n nnn 行の定める行ベクトルは各々,
x u 1 , , x u n x u 1 , , x u n (del vec(x))/(delu_(1)),dots,(del vec(x))/(delu_(n))\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{1}}, \ldots, \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{n}}xu1,,xun
であるので, これらのべクトルは 1 次独立になることがわかる(一般に, 行列の階数は, その行列の 1 次独立な行ベクトルの最大個数に等しいことに注意).
問 1.9.1 x ( u 1 , , u n ) = ( u 1 , , u n , f ( u 1 , , u n ) ) ( ( u 1 , , u n ) D ) ( f x u 1 , , u n = u 1 , , u n , f u 1 , , u n u 1 , , u n D ( f x(u_(1),dots,u_(n))=(u_(1),dots,u_(n),f(u_(1),dots,u_(n)))((u_(1),dots,u_(n))in D)(f\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, f\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right)(fx(u1,,un)=(u1,,un,f(u1,,un))((u1,,un)D)(f : C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の n n nnn 変数関数) は C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面であることを示せ(この C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面は, f f fff のグラフ超曲面(graphical hypersurface)とよばれる).
問 1.9.2 x ( u 1 , u 2 ) = ( f ( u 1 ) cos u 2 , f ( u 1 ) sin u 2 , u 1 ) ( ( u 1 , u 2 ) ( a , b ) × [ 0 , 2 π ) ) x u 1 , u 2 = f u 1 cos u 2 , f u 1 sin u 2 , u 1 u 1 , u 2 ( a , b ) × [ 0 , 2 π ) x(u_(1),u_(2))=(f(u_(1))cos u_(2),f(u_(1))sin u_(2),u_(1))((u_(1),u_(2))in(a,b)xx[0,2pi))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(f\left(u_{1}\right) \cos u_{2}, f\left(u_{1}\right) \sin u_{2}, u_{1}\right)\left(\left(u_{1}, u_{2}\right) \in(a, b) \times[0,2 \pi)\right)x(u1,u2)=(f(u1)cosu2,f(u1)sinu2,u1)((u1,u2)(a,b)×[0,2π)) ( f : ( a , b ) f : ( a , b ) (f:(a,b):}\left(f:(a, b)\right.(f:(a,b) 上の正値 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数) は, C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面であることを示せ.(この C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所曲面は x 1 = f ( x 3 ) x 1 = f x 3 x_(1)=f(x_(3))x_{1}=f\left(x_{3}\right)x1=f(x3) を母線とする C r C r C^(r)C^{r}Cr 回転面 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-rotational hypersurface) とよばれる).
以下, C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面 x : D E n + 1 x : D E n + 1 x:D rarrE^(n+1)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x:DEn+1 は, すべて単射であるとする. C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面 x = x ( u 1 , , u n ) ( ( u 1 , , u n ) D ) x = x u 1 , , u n u 1 , , u n D x=x(u_(1),dots,u_(n))quad((u_(1),dots,u_(n))in D)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right)x=x(u1,,un)((u1,,un)D) に対し, x 1 = x 1 = x^(-1)=\boldsymbol{x}^{-1}=x1=
図 1.9.1 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面
( u 1 , , u n ) : S := x ( D ) R n u 1 , , u n : S := x ( D ) R n (u_(1),dots,u_(n)):S:=x(D)rarrR^(n)\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right): S:=\boldsymbol{x}(D) \rightarrow \mathbb{R}^{n}(u1,,un):S:=x(D)Rn C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 S S SSS の座標(coordinate)と よぶ. 各 i { 1 , , n } i { 1 , , n } i in{1,dots,n}i \in\{1, \ldots, n\}i{1,,n} に対し, S ( = x ( D ) ) S ( = x ( D ) ) S(=x(D))S(=\boldsymbol{x}(D))S(=x(D)) 上の曲線 u i x ( a 1 , , a i 1 u i x a 1 , , a i 1 u_(i)|->x(a_(1),dots,a_(i-1):}u_{i} \mapsto \boldsymbol{x}\left(a_{1}, \ldots, a_{i-1}\right.uix(a1,,ai1, u i , a i + 1 , , a n ) ( a 1 , , a n u i , a i + 1 , , a n a 1 , , a n {:u_(i),a_(i+1),dots,a_(n))(a_(1),dots,a_(n):}\left.u_{i}, a_{i+1}, \ldots, a_{n}\right)\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right.ui,ai+1,,an)(a1,,an : 定数)を u i u i u_(i)\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}ui 曲線 ( u i u i (u_(i)-:}\left(\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}-\right.(ui curve) とよび, これ らをまとめて, S S SSS の座標曲線(coordinate curve)とよぶ. 点 p = x ( a 1 p = x a 1 p=x(a_(1):}p=\boldsymbol{x}\left(a_{1}\right.p=x(a1, , a n ) S , a n S {: dots,a_(n))in S\left.\ldots, a_{n}\right) \in S,an)S に対し,
( u i ) p := ( x u i ) ( a 1 , , a n ) ( i = 1 , , n ) u i p := x u i a 1 , , a n ( i = 1 , , n ) ((del)/(delu_(i)))_(p):=((del vec(x))/(delu_(i)))_((a_(1),dots,a_(n)))quad(i=1,dots,n)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}:=\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{i}}\right)_{\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)} \quad(i=1, \ldots, n)(ui)p:=(xui)(a1,,an)(i=1,,n)
とおく.
( u 1 ) p , , ( u n ) p u 1 p , , u n p ((del)/(delu_(1)))_(p),dots,((del)/(delu_(n)))_(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p}(u1)p,,(un)p
によって生成される数ベクトル空間 R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 n n nnn 次元部分ベクトル空間を S S SSS p p ppp における接空間といい, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS で表す. また, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の各元を S S SSS p p ppp における 接ベクトルという. 各点 p p ppp に対し, ( u i ) p u i p ((del)/(delu_(i)))_(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}(ui)p を対応させる対応 u i ( i = 1 u i ( i = 1 (del)/(delu_(i))(i=1\frac{\partial}{\partial u_{i}}(i=1ui(i=1, , n ) , n ) dots,n)\ldots, n),n) の順序対
( u 1 , , u n ) u 1 , , u n ((del)/(delu_(1)),dots,(del)/(delu_(n)))\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)(u1,,un)
S S SSS の座標基底場(coordinate frame field)(あるいは,自然基底場 (natural frame field)) という. また, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の直交補空間
( T p S ) := { v R n + 1 v w = 0 ( w T p S ) } T p S := v R n + 1 v w = 0 w T p S (T_(p)S)^(_|_):={v inR^(n+1)∣v*w=0quad(AA w inT_(p)S)}\left(T_{p} S\right)^{\perp}:=\left\{\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w}=0 \quad\left(\forall \boldsymbol{w} \in T_{p} S\right)\right\}(TpS):={vRn+1vw=0(wTpS)}
S S SSS p p ppp にける法空間(normal space)といい, T p S T p S T_(p)^(_|_)ST_{p}^{\perp} STpS と表す. たた, T p S T p S T_(p)^(_|_)ST_{p}^{\perp} STpS の各元を S S SSS p p ppp における法ベクトル(normal vector)という.
dim T p S = dim R n + 1 dim T p S = ( n + 1 ) n = 1 dim T p S = dim R n + 1 dim T p S = ( n + 1 ) n = 1 dimT_(p)^(_|_)S=dimR^(n+1)-dimT_(p)S=(n+1)-n=1\operatorname{dim} T_{p}^{\perp} S=\operatorname{dim} \mathbb{R}^{n+1}-\operatorname{dim} T_{p} S=(n+1)-n=1dimTpS=dimRn+1dimTpS=(n+1)n=1
であることを注意しておく.
命題 1.9.2 x : D E n + 1 x : D E n + 1 quad x:D rarrE^(n+1)\quad x: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x:DEn+1 C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面とし, φ φ varphi\varphiφ R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のある領域 D D D^(')D^{\prime}D から D D DDD への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像とする。このとき, x φ : D E n + 1 x φ : D E n + 1 x@varphi:D^(')rarrE^(n+1)\boldsymbol{x} \circ \varphi: D^{\prime} \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}xφ:DEn+1 C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面になる.
証明 x 1 = ( u 1 , , u n ) , ( x φ ) 1 = ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) x 1 = u 1 , , u n , ( x φ ) 1 = u ¯ 1 , , u ¯ n quadx^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)),(x@varphi)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n))\quad \boldsymbol{x}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right),(\boldsymbol{x} \circ \varphi)^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)x1=(u1,,un),(xφ)1=(u¯1,,u¯n) とする. このとき,合成関数の偏微分法(連鎖律)により,
(1.9.1) ( x φ ) u ¯ i = j = 1 n x u j u j u ¯ i (1.9.1) ( x φ ) u ¯ i = j = 1 n x u j u j u ¯ i {:(1.9.1)(del( vec(x@varphi)))/(del bar(u)_(i))=sum_(j=1)^(n)(del vec(x))/(delu_(j))*(delu_(j))/(del bar(u)_(i)):}\begin{equation*} \frac{\partial(\overrightarrow{\boldsymbol{x} \circ \varphi})}{\partial \bar{u}_{i}}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{j}} \cdot \frac{\partial u_{j}}{\partial \bar{u}_{i}} \tag{1.9.1} \end{equation*}(1.9.1)(xφ)u¯i=j=1nxujuju¯i
が成り立つ. この式から, x φ , x x φ , x x@varphi,x\boldsymbol{x} \circ \varphi, \boldsymbol{x}xφ,x のヤコビ行列間に次の関係式が成り立つ ことが示される:
J ( x φ ) = J x J φ = J x ( u 1 u ¯ 1 u 1 u ¯ n u n u ¯ 1 u n u ¯ n ) J ( x φ ) = J x J φ = J x u 1 u ¯ 1 u 1 u ¯ n u n u ¯ 1 u n u ¯ n J(x@varphi)=Jx*J varphi=Jx([(delu_(1))/(del bar(u)_(1)),cdots,(delu_(1))/(del bar(u)_(n))],[vdots,ddots,vdots],[(delu_(n))/(del bar(u)_(1)),cdots,(delu_(n))/(del bar(u)_(n))])J(\boldsymbol{x} \circ \varphi)=J \boldsymbol{x} \cdot J \varphi=J \boldsymbol{x}\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{u}_{1}} & \cdots & \frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{u}_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial u_{n}}{\partial \bar{u}_{1}} & \cdots & \frac{\partial u_{n}}{\partial \bar{u}_{n}} \end{array}\right)J(xφ)=JxJφ=Jx(u1u¯1u1u¯nunu¯1unu¯n)
右辺における行列は φ φ varphi\varphiφ のヤコビ行列であり, φ φ varphi\varphiφ C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像であることか ら,この行列は正則行列である。したがって上述の関係式から, J ( x φ ) J ( x φ ) J(x@varphi)J(\boldsymbol{x} \circ \varphi)J(xφ) が 各点で階数 n n nnn であることがわかり, それゆえ, x φ x φ x@varphi\boldsymbol{x} \circ \varphixφ C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所超曲面で あることが示される.
命題1.9.2において, x := x φ x ¯ := x φ bar(x):=x@varphi\overline{\boldsymbol{x}}:=\boldsymbol{x} \circ \varphix:=xφ とする. x 1 = ( u 1 , , u n ) x 1 = u 1 , , u n x^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)x1=(u1,,un) x 1 = x ¯ 1 = bar(x)^(-1)=\overline{\boldsymbol{x}}^{-1}=x1= u ¯ 1 , , u ¯ n ) u ¯ 1 , , u ¯ n {: bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n))\left.\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)u¯1,,u¯n) C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 S = x ( D ) = x ( D ) S = x ( D ) = x ¯ D S=x(D)= bar(x)(D^('))S=\boldsymbol{x}(D)=\overline{\boldsymbol{x}}\left(D^{\prime}\right)S=x(D)=x(D) の座槽であるので, φ φ varphi\varphiφ S S SSS の 座標変換(coordinate transformation)という. 式 (1.9.1) から, 次の命
図 1.9.2 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の正則超曲面の自然に定まる単位法ベクトル場
題が導かれる.
命題 1.9.3 上の記号の設定の下で, x := x φ x ¯ := x φ bar(x):=x@varphi\overline{\boldsymbol{x}}:=\boldsymbol{x} \circ \varphix:=xφ とし, u i := x u i , u ¯ i := u i := x u i , u ¯ i := (del)/(delu_(i)):=(del vec(x))/(delu_(i)),(del)/(del bar(u)_(i)):=\frac{\partial}{\partial u_{i}}:=\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial u_{i}}, \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}:=ui:=xui,u¯i:= x u ¯ i x u ¯ i (del vec(x))/(del bar(u)_(i))\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}}{\partial \bar{u}_{i}}xu¯i とする. このとき, u ¯ i = j = 1 n u j u ¯ i u j u ¯ i = j = 1 n u j u ¯ i u j (del)/(del bar(u)_(i))=sum_(j=1)^(n)(delu_(j))/(del bar(u)_(i))(del)/(delu_(j))\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial u_{j}}{\partial \bar{u}_{i}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}u¯i=j=1nuju¯iuj が成り立つ.
命題 1.2 .3 によれば,
( u i ) p ( ( u 1 ) p × × ( u n ) p ) = 0 ( i = 1 , , n ) u i p u 1 p × × u n p = 0 ( i = 1 , , n ) ((del)/(delu_(i)))_(p)*(((del)/(delu_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(delu_(n)))_(p))=0quad(i=1,dots,n)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p} \cdot\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p}\right)=0 \quad(i=1, \ldots, n)(ui)p((u1)p××(un)p)=0(i=1,,n)
が成り立つ. それゆえ,
( u 1 ) p × × ( u n ) p u 1 p × × u n p ((del)/(delu_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(delu_(n)))_(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p}(u1)p××(un)p
は, 法空間 T p S T p S T_(p)^(_|_)ST_{p}^{\perp} STpS に属する。
N p := ( u 1 ) p × × ( u n ) p ( u 1 ) p × × ( u n ) p N p := u 1 p × × u n p u 1 p × × u n p N_(p):=(((del)/(delu_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(delu_(n)))_(p))/(||((del)/(delu_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(delu_(n)))_(p)||)\boldsymbol{N}_{p}:=\frac{\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p}}{\left\|\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p}\right\|}Np:=(u1)p××(un)p(u1)p××(un)p
とし, 各点 p p ppp に対し N p N p N_(p)N_{p}Np を対応させる対応 N N NNN を自然に定まる S S SSS の単位法べ クトル場 (naturally defined unit normal vector field of S S SSS ) という (図 1.9.2 を参照).
次に, C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面を定義しよう. E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 の部分集合 S S SSS がいくつかの C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面 x λ : D λ R n ( λ Λ ) x λ : D λ R n ( λ Λ ) x_(lambda):D_(lambda)rarrR^(n)(lambda in Lambda)\boldsymbol{x}_{\lambda}: D_{\lambda} \rightarrow \mathbb{R}^{n}(\lambda \in \Lambda)xλ:DλRn(λΛ) の定める C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 S λ = x λ ( D λ ) S λ = x λ D λ S_(lambda)=x_(lambda)(D_(lambda))S_{\lambda}=\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(D_{\lambda}\right)Sλ=xλ(Dλ)
図 1.9.3 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面

C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面になるとき, S S SSS C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面( C r C r C^(r)C^{r}Cr-hypersurface)と よび, 族 D := { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } D := S λ , x λ 1 λ Λ D:={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}:=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D:={(Sλ,xλ1)λΛ} S S SSS C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 構造( C r C r C^(r)C^{r}Cr-structure)とよ ぶ(正確には,組 ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面とよぶべきである)(図 1.9 .3 を参照). また各 λ λ lambda\lambdaλ に対し, S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ S S SSS 局所座標近傍(local coordinate neighborhood)とよび, x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 S S SSS 局所座標(local coordinate)とよぶ. S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)S_{\lambda} \cap S_{\mu}SλSμ !=O/\neq \emptyset のとき,
x μ 1 x λ : x λ 1 ( S λ S μ ) x μ 1 ( S λ S μ ) x μ 1 x λ : x λ 1 S λ S μ x μ 1 S λ S μ x_(mu)^(-1)@x_(lambda):x_(lambda)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))rarrx_(mu)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}: \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) \rightarrow \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right)xμ1xλ:xλ1(SλSμ)xμ1(SλSμ)
は, C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像になる. これを局所座標変換(local coordinate transformation) とよぶ.
問 1.9.3 単位球面
S 2 ( 1 ) := { ( x 1 , x 2 , x 3 ) x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 1 } S 2 ( 1 ) := x 1 , x 2 , x 3 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 1 S^(2)(1):={(x_(1),x_(2),x_(3))∣x_(1)^(2)+x_(2)^(2)+x_(3)^(2)=1}S^{2}(1):=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}S2(1):={(x1,x2,x3)x12+x22+x32=1}
C C C^(oo)C^{\infty}C 構造をつくれ.
S S SSS C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面とし, D := { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } D := S λ , x λ 1 λ Λ D:={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}:=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D:={(Sλ,xλ1)λΛ} をその C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造とする. 点 p S p S p in Sp \in SpS に対し, S S SSS p p ppp における接空間を, p S λ p S λ p inS_(lambda)p \in S_{\lambda}pSλ となる ( S λ , x λ 1 ) D S λ , x λ 1 D (S_(lambda),x_(lambda)^(-1))inD\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \in \mathcal{D}(Sλ,xλ1)D をと り, T p S λ T p S λ T_(p)S_(lambda)T_{p} S_{\lambda}TpSλ によって定義する。 これを T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS と表す. T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の各元は, S S SSS p p ppp にお ける接ベクトルとよばれる. T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS が, well-defined であること, つまり, p p ppp を 含む ( S λ , x λ 1 ) S λ , x λ 1 (S_(lambda),x_(lambda)^(-1))\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)(Sλ,xλ1) のとり方によらないことを示そう. p S μ p S μ p inS_(mu)p \in S_{\mu}pSμ となる ( S μ , x μ ) S μ , x μ (S_(mu),x_(mu))in\left(S_{\mu}, \boldsymbol{x}_{\mu}\right) \in(Sμ,xμ) Dをもう 1 つとる.
x λ 1 = ( u 1 , , u n ) , x μ 1 = ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) x λ 1 = u 1 , , u n , x μ 1 = u ¯ 1 , , u ¯ n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)),quadx_(mu)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \quad \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)xλ1=(u1,,un),xμ1=(u¯1,,u¯n)
とする. このとき,
( u ¯ i ) p = ( x μ u ¯ i ) x μ 1 ( p ) = ( ( x λ x λ 1 x μ ) u ¯ i ) x μ 1 ( p ) = u ¯ i | x μ 1 ( p ) ( x λ ( ( u 1 x μ ) ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) , , ( u n x μ ) ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) ) ) = j = 1 n ( x λ u j ) x λ 1 ( p ) ( ( u j x μ ) u ¯ i ) x μ 1 ( p ) (1.9.2) = j = 1 n ( ( u j x μ ) u ¯ i ) x μ 1 ( p ) ( u j ) p u ¯ i p = x μ u ¯ i x μ 1 ( p ) = x λ x λ 1 x μ u ¯ i x μ 1 ( p ) = u ¯ i x μ 1 ( p ) x λ u 1 x μ u ¯ 1 , , u ¯ n , , u n x μ u ¯ 1 , , u ¯ n = j = 1 n x λ u j x λ 1 ( p ) u j x μ u ¯ i x μ 1 ( p ) (1.9.2) = j = 1 n u j x μ u ¯ i x μ 1 ( p ) u j p {:[((del)/(del bar(u)_(i)))_(p)=((del vec(x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p))=((del vec((x_(lambda)@x_(lambda)^(-1)@x_(mu))))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p))],[=(del)/(del bar(u)_(i))|_(x_(mu)^(-1)(p))( vec(x_(lambda))((u_(1)@x_(mu))( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)),dots,(u_(n)@x_(mu))( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n))))],[=sum_(j=1)^(n)((del vec(x_(lambda)))/(delu_(j)))_(x_(lambda)^(-1)(p))((del(u_(j)@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p))],[(1.9.2)=sum_(j=1)^(n)((del(u_(j)@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p))((del)/(delu_(j)))_(p)]:}\begin{align*} & \left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{p}=\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\mu}}}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}=\left(\frac{\partial \overrightarrow{\left(\boldsymbol{x}_{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \\ = & \left.\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}\right|_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\left(\overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}\left(\left(u_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right), \ldots,\left(u_{n} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)\right)\right) \\ = & \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial\left(u_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \\ = & \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(u_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p} \tag{1.9.2} \end{align*}(u¯i)p=(xμu¯i)xμ1(p)=((xλxλ1xμ)u¯i)xμ1(p)=u¯i|xμ1(p)(xλ((u1xμ)(u¯1,,u¯n),,(unxμ)(u¯1,,u¯n)))=j=1n(xλuj)xλ1(p)((ujxμ)u¯i)xμ1(p)(1.9.2)=j=1n((ujxμ)u¯i)xμ1(p)(uj)p
が示される. この関係式から T p S μ T p S λ T p S μ T p S λ T_(p)S_(mu)subT_(p)S_(lambda)T_{p} S_{\mu} \subset T_{p} S_{\lambda}TpSμTpSλ が示される. 逆も, 同様に示され るので, T p S λ = T p S μ T p S λ = T p S μ T_(p)S_(lambda)=T_(p)S_(mu)T_{p} S_{\lambda}=T_{p} S_{\mu}TpSλ=TpSμ をえる。このように, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS が well-defined であること が示される.
C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片の場合と同様に, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の直交補空間を S S SSS p p ppp における法空間と いい, T p S T p S T_(p)^(_|_)ST_{p}^{\perp} STpS と表し, T p S T p S T_(p)^(_|_)ST_{p}^{\perp} STpS の各元を S S SSS p p ppp における法べクトルという.
S S SSS C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面とし, D := { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } D := S λ , x λ 1 λ Λ D:={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}:=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D:={(Sλ,xλ1)λΛ} をその C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造とする. S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)!=O/S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptysetSλSμ となる任意の λ , μ { 1 , , k } λ , μ { 1 , , k } lambda,mu in{1,dots,k}\lambda, \mu \in\{1, \ldots, k\}λ,μ{1,,k} に対し,局所座標変換 x μ 1 x λ x μ 1 x λ x_(mu)^(-1)@x_(lambda)\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}xμ1xλ のヤコビアン det ( J ( x μ 1 x λ ) ) det J x μ 1 x λ det(J(x_(mu)^(-1)@x_(lambda)))\operatorname{det}\left(J\left(\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\right)det(J(xμ1xλ)) が正になるとき, D D D\mathcal{D}D を向きを定める C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 構造 ( C r C r C^(r)C^{r}Cr-structure determining an orientation) といい, 組 ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) を向き 付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面(oriented C r C r C^(r)C^{r}Cr-hypersurface)という。また, C r C r C^(r)C^{r}Cr超曲面 S S SSS が向きを定める C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造を許容するとき, S S SSS を向き付け可能な C r C r C^(r)C^{r}Cr超曲面(orientable C r C r C^(r)C^{r}Cr-hypersurface)という.
S S SSS を向き付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面とし, D = { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } D = S λ , x λ 1 λ Λ D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D={(Sλ,xλ1)λΛ} をその向き を定める C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造とする. N λ ( λ Λ ) N λ ( λ Λ ) N_(lambda)(lambda in Lambda)N_{\lambda}(\lambda \in \Lambda)Nλ(λΛ) S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ の自然に定まる単位法ベクトル 場とする。 S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)!=O/S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptysetSλSμ のき, S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)S_{\lambda} \cap S_{\mu}SλSμ 上で, N λ = N μ N λ = N μ N_(lambda)=N_(mu)\boldsymbol{N}_{\lambda}=\boldsymbol{N}_{\mu}Nλ=Nμ が成り立つ. 実際, この事実は,次のように示される。 p S λ S μ p S λ S μ p inS_(lambda)nnS_(mu)p \in S_{\lambda} \cap S_{\mu}pSλSμ を任意にとる。 ( N λ ) p N λ p (N_(lambda))_(p)\left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p}(Nλ)p ( N μ ) p N μ p (N_(mu))_(p)\left(\boldsymbol{N}_{\mu}\right)_{p}(Nμ)p T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS に垂直なので, ( N λ ) p = ± ( N μ ) p N λ p = ± N μ p (N_(lambda))_(p)=+-(N_(mu))_(p)\left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p}= \pm\left(\boldsymbol{N}_{\mu}\right)_{p}(Nλ)p=±(Nμ)p が示される. S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ の座標基底場を ( u 1 , , u n ) u 1 , , u n ((del)/(delu_(1)),dots,(del)/(delu_(n)))\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)(u1,,un) で表し, S μ S μ S_(mu)S_{\mu}Sμ の座標基底場を ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) u ¯ 1 , , u ¯ n ((del)/(del bar(u)_(1)),dots,(del)/(del bar(u)_(n)))\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right)(u¯1,,u¯n) で表す.
このとき, 命題 1.9 .3 によれば,
( u i ) p = j = 1 n ( u ¯ j u i ) x λ 1 ( p ) ( u ¯ j ) p u i p = j = 1 n u ¯ j u i x λ 1 ( p ) u ¯ j p ((del)/(delu_(i)))_(p)=sum_(j=1)^(n)((del bar(u)_(j))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))((del)/(del bar(u)_(j)))_(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial \bar{u}_{j}}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{p}(ui)p=j=1n(u¯jui)xλ1(p)(u¯j)p
が成り立つ. この関係式と命題 1.2.1 の式 (i) と式 (ii)を用いて,
( u 1 ) p × × ( u n ) p (1.9.3) = det ( ( u ¯ i u j ) x λ 1 ( p ) ) ( ( u ¯ 1 ) p × × ( u ¯ n ) p ) = det J ( x μ 1 x λ ) ( x λ 1 ( p ) ) ( ( u ¯ 1 ) p × × ( u ¯ n ) p ) u 1 p × × u n p (1.9.3) = det u ¯ i u j x λ 1 ( p ) u ¯ 1 p × × u ¯ n p = det J x μ 1 x λ x λ 1 ( p ) u ¯ 1 p × × u ¯ n p {:[((del)/(delu_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(delu_(n)))_(p)],[(1.9.3)=det(((del bar(u)_(i))/(delu_(j)))_(x_(lambda)^(-1)(p)))(((del)/(del bar(u)_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(del bar(u)_(n)))_(p))],[=det J(x_(mu)^(-1)@x_(lambda))(x_(lambda)^(-1)(p))(((del)/(del bar(u)_(1)))_(p)xx cdots xx((del)/(del bar(u)_(n)))_(p))]:}\begin{align*} & \left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}}\right)_{p} \\ & =\operatorname{det}\left(\left(\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial u_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}\right)\left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right)_{p}\right) \tag{1.9.3}\\ & =\operatorname{det} J\left(\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)\right)\left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}\right)_{p} \times \cdots \times\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right)_{p}\right) \end{align*}(u1)p××(un)p(1.9.3)=det((u¯iuj)xλ1(p))((u¯1)p××(u¯n)p)=detJ(xμ1xλ)(xλ1(p))((u¯1)p××(u¯n)p)
が成り立つ. D D D\mathcal{D}D は向きを定める C C C^(oo)C^{\infty}C 構造なので, det J ( x μ 1 x λ ) ( x λ 1 ( p ) ) det J x μ 1 x λ x λ 1 ( p ) det J(x_(mu)^(-1)@x_(lambda))(x_(lambda)^(-1)(p))\operatorname{det} J\left(\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)\right)detJ(xμ1xλ)(xλ1(p)) > 0 > 0 > 0>0>0 となる. これらの事実から, ( N λ ) p = ( N μ ) p N λ p = N μ p (N_(lambda))_(p)=(N_(mu))_(p)\left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p}=\left(\boldsymbol{N}_{\mu}\right)_{p}(Nλ)p=(Nμ)p が導かれる。 p p ppp の任意性よ り, S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)S_{\lambda} \cap S_{\mu}SλSμ 上で, N λ = N μ N λ = N μ N_(lambda)=N_(mu)\boldsymbol{N}_{\lambda}=\boldsymbol{N}_{\mu}Nλ=Nμ が成り立つことがわかる. それゆえ, N λ ( λ N λ ( λ N_(lambda)(lambda in\boldsymbol{N}_{\lambda}(\lambda \inNλ(λ )を貼り合わせて S S SSS に沿って定義される C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場がえられる。この C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場を N N NNN と表し, S S SSS の向きの定める単位法ベクトル場(unit normal vector field determined by the orientation of S S SSS ) という.
次に, 区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 ( r r 1 ) r r 1 (r >= r^(') >= 1)\left(r \geq r^{\prime} \geq 1\right)(rr1), および区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の超曲面を定義しよう。まず, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内で, これらの概念を定義し よう. 1.8 節で, E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 内で区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域という概念 を定義したが, E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 R 2 R 2 R^(2)\mathbb{R}^{2}R2 の同一視の下, この概念は R 2 R 2 R^(2)\mathbb{R}^{2}R2 内でも定義される. E E EEE R 2 R 2 R^(2)\mathbb{R}^{2}R2 内の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ有界閉領域とし, x : D E 3 x : D E 3 x:D rarrE^(3)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{3}x:DE3 C r C r C^(r)C^{r}Cr正則局所超曲面とする ( r r 1 ) r r 1 (r >= r^(') >= 1)\left(r \geq r^{\prime} \geq 1\right)(rr1). ここで, D D DDD E E EEE を含む領域とする. このとき, S := x ( E ) S := x ( E ) S^('):=x(E)S^{\prime}:=\boldsymbol{x}(E)S:=x(E) C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 S := x ( D ) S := x ( D ) S:=x(D)S:=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{D})S:=x(D) の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の 境界をもつ有界閉領域(bounded closed domain of C r C r C^(r)C^{r}Cr-hypersurface piece S S SSS with piecewise C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr-boundary), または, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-hypersurface piece with piecewise C r C r C^(r^('))\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{r}^{\prime}}Cr-boundary)という(図 1.9.4を参照)。 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 の部分集合 S S SSS で, 次の 3 条件を満たすようなものを考える:
(i) S S SSS は, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の有限個の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片
図 1.9.4 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片
S i ( i = 1 , , k ) S i ( i = 1 , , k ) S_(i)(i=1,dots,k)S_{i}(i=1, \ldots, k)Si(i=1,,k) の和集合である ( r r 1 ) r r 1 (r >= r^(') >= 1)\left(r \geq r^{\prime} \geq 1\right)(rr1);
(ii) S i S j S i S j quadS_(i)nnS_(j)!=O/\quad S_{i} \cap S_{j} \neq \emptysetSiSj のと, S i S j S i S j S_(i)nnS_(j)S_{i} \cap S_{j}SiSj は, S i S i delS_(i)\partial S_{i}Si S j S j delS_(j)\partial S_{j}Sj を構成する C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 曲線た ちのうちの 1 つであり, S i S i S_(i)S_{i}Si S j S j S_(j)S_{j}Sj の自然に定まる単位法ベクトル場は, S i S j S i S j S_(i)uuS_(j)S_{i} \cup S_{j}SiSj の同じ側を向く.
(iii)相異なる i , j , k i , j , k i,j,ki, j, ki,j,k に対し, S i S i S k S i S i S k S_(i)nnS_(i)nnS_(k)S_{i} \cap S_{i} \cap S_{k}SiSiSk は空集合, または, 1 点集合であ る。
S S SSS が境界をもつとき, S S SSS E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の超曲面(piecewise C r C r C^(r)C^{r}Cr-hypersurface with piecewise C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr boundary in E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 ) といい, S S SSS が境界をもたないとき, S S SSS E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の区分的 に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の閉超曲面(piecewise C r C r C^(r)C^{r}Cr-closed hypersurface in E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 ) とい う(図 1.9.5, 1.9.6 を参照).S が境界をもたないとき, S S SSS E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 のある有界閉領域 D D D^(')D^{\prime}D の境界であり, D D D^(')D^{\prime}D E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域 (bounded closed domain with piecewise C r C r C^(r)C^{r}Cr-boundary) とよばれる。特に, S S SSS が区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片,または, C r C r C^(r)C^{r}Cr 閉超曲面 であるとき,上述の族 { S 1 , , S k } S 1 , , S k {S_(1),dots,S_(k)}\left\{S_{1}, \ldots, S_{k}\right\}{S1,,Sk} S S SSS C C r C r C^(r^('))\boldsymbol{C}^{r^{\prime}}Cr 分割( C r C r C^(r^('))-C^{r^{\prime}}-Cr partition)とい う. S S SSS 3 3 ^(3)^{3}3 内の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の閉超曲面である場合, その構成要素である 区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 S i ( i = 1 , , k ) S i ( i = 1 , , k ) S_(i)(i=1,dots,k)S_{i}(i=1, \ldots, k)Si(i=1,,k) は,その自然に定 まる単位法ベクトル場が D D D^(')D^{\prime}D からみて外側向きになるようにとることにする。以上定義した概念は, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 R 3 R 3 R^(3)\mathbb{R}^{3}R3 の同一視の下, R 3 R 3 R^(3)\mathbb{R}^{3}R3 内でも定義されることを注意しておく.
次に, E 4 E 4 E^(4)\mathbb{E}^{4}E4 内で, これらの概念を定義しよう。 E ^ R 3 E ^ R 3 hat(E)をR^(3)\hat{E} を \mathbb{R}^{3}E^R3 内の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級 の境界をもつ有界閉領域とし, x ^ : D ^ E 4 x ^ : D ^ E 4 hat(x): hat(D)rarrE^(4)\hat{\boldsymbol{x}}: \hat{D} \rightarrow \mathbb{E}^{4}x^:D^E4 C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面とする
図 1.9.5 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の超曲面
図 1.9.6 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の閉超曲面
( r r ) r r (r >= r^('))\left(r \geq r^{\prime}\right)(rr). ここで, D ^ D ^ hat(D)\hat{D}D^ E ^ E ^ hat(E)\hat{E}E^ を含む領域とする。このとき, S ^ := x ^ ( E ^ ) S ^ := x ^ ( E ^ ) hat(S)^('):= hat(x)( hat(E))\hat{S}^{\prime}:=\hat{\boldsymbol{x}}(\hat{E})S^:=x^(E^) C r C r C^(r)C^{r}Cr超曲面片 S ^ := x ^ ( D ^ ) S ^ := x ^ ( D ^ ) hat(S):= hat(x)( hat(D))\hat{S}:=\hat{\boldsymbol{x}}(\hat{D})S^:=x^(D^) の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ有界閉領域, または, E 4 E 4 E^(4)\mathbb{E}^{4}E4 内の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片という。 E 4 E 4 E^(4)\mathbb{E}^{4}E4 の部分集合 S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ で,次の 3 条件を満たすようなものを考える:
(i) S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ は, E 4 E 4 E^(4)\mathbb{E}^{4}E4 内の有限個の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 S ^ i ( i = 1 , , k ) S ^ i ( i = 1 , , k ) hat(S)_(i)(i=1,dots,k)\hat{S}_{i}(i=1, \ldots, k)S^i(i=1,,k) の和集合である;
(ii) S ^ i S ^ j S ^ i S ^ j quad hat(S)_(i)nn hat(S)_(j)!=O/\quad \hat{S}_{i} \cap \hat{S}_{j} \neq \emptysetS^iS^j のと, S ^ i S ^ j S ^ i S ^ j hat(S)_(i)nn hat(S)_(j)\hat{S}_{i} \cap \hat{S}_{j}S^iS^j は, S ^ i S ^ i del hat(S)_(i)\partial \hat{S}_{i}S^i S ^ j S ^ j del hat(S)_(j)\partial \hat{S}_{j}S^j を構成する区分的に滑ら かな境界をもつ C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 超曲面片たちのうちの 1 つであり, S ^ i S ^ i hat(S)_(i)\hat{S}_{i}S^i S ^ j S ^ j hat(S)_(j)\hat{S}_{j}S^j の自然 に定まる単位法ベクトル場は, S ^ i S ^ j S ^ i S ^ j hat(S)_(i)uu hat(S)_(j)\hat{S}_{i} \cup \hat{S}_{j}S^iS^j の同じ側を向く.
(iii)相異なる i , j , k i , j , k i,j,ki, j, ki,j,k に対し, S ^ i S ^ j S ^ k S ^ i S ^ j S ^ k hat(S)_(i)nn hat(S)_(j)nn hat(S)_(k)\hat{S}_{i} \cap \hat{S}_{j} \cap \hat{S}_{k}S^iS^jS^k は,空集合,または S ^ i S ^ j S ^ i S ^ j hat(S)_(i)nn hat(S)_(j)\hat{S}_{i} \cap \hat{S}_{j}S^iS^j の 境界を構成する滑らかな曲線たちのうちの 1 つ, または, その端点であ る。
S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ が境界をもつとき, S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ E 4 E 4 E^(4)\mathbb{E}^{4}E4 内の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr級の超曲面といい, S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ が境界をもたないとき, S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ E 4 E 4 E^(4)\mathbb{E}^{4}E4 内の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の 閉超曲面という. S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ が境界をもたないとき, S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ E 4 E 4 E^(4)\mathbb{E}^{4}E4 のある有界閉領域 D D D^(')D^{\prime}D
境界であり, D D D^(')D^{\prime}D E 4 E 4 E^(4)\mathbb{E}^{4}E4 内の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域とよばれ る. 特に, S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ が区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片, または, C r C r C^(r)C^{r}Cr 閉超曲面であるとき, 上述の族 { S ^ 1 , , S ^ k } S ^ 1 , , S ^ k { hat(S)_(1),dots, hat(S)_(k)}\left\{\hat{S}_{1}, \ldots, \hat{S}_{k}\right\}{S^1,,S^k} S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ C r C r C^(r^('))\boldsymbol{C}^{r^{\prime}}Cr 分割という. S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ E 4 E 4 E^(4)\mathbb{E}^{4}E4 内 の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の閉超曲面である場合, その構成要素である区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級 の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 S ^ i ( i = 1 , , k ) S ^ i ( i = 1 , , k ) hat(S)_(i)(i=1,dots,k)\hat{S}_{i}(i=1, \ldots, k)S^i(i=1,,k) は, その自然に定まる単位法ベク トル場が D D D^(')D^{\prime}D からみて外側向きになるようにとることにする。以上で定義した 概念は, E 4 E 4 E^(4)\mathbb{E}^{4}E4 R 4 R 4 R^(4)\mathbb{R}^{4}R4 の同一視の下, R 4 R 4 R^(4)\mathbb{R}^{4}R4 内でも定義されることを注意しておく.以下, 同様の操作を繰り返すことにより, n 4 n 4 n >= 4n \geq 4n4 に対しても, 順次, E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内 の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の超曲面, 区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の閉超曲面, および区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ有界閉領域等を定義することが できる.

1.10 スカラー場・ベクトル場の超曲面に沿う面積分

以下, r r 1 r r 1 r >= r^(') >= 1r \geq r^{\prime} \geq 1rr1 とする。この節において, E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 の領域上のスカラー場と ベクトル場の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の超曲面に沿う面積分を定義する。最初に, 区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片上での面積分を定義しよう. S = x ( E ) S = x ( E ) S=x(E)S=\boldsymbol{x}(E)S=x(E) E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片とし, f , X f , X f,Xf, \boldsymbol{X}f,X を各々, S S SSS を含む E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 の領域上で定義された C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 スカラー場, C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 ベクトル場とする. また, x 1 = ( u 1 , , u n ) x 1 = u 1 , , u n x^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)x1=(u1,,un) とする。このとき, S f d A , S X d A S f d A , S X d A int_(S)fdA,int_(S)X*dA\int_{S} f d A, \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}SfdA,SXdA を各々,
S f d A := E f ( x ( u 1 , , u n ) ) u 1 × × u n d u 1 d u n S X d A := E X x ( u 1 , , u n ) ( u 1 × × u n ) d u 1 d u n S f d A := E f x u 1 , , u n u 1 × × u n d u 1 d u n S X d A := E X x u 1 , , u n u 1 × × u n d u 1 d u n {:[int_(S)fdA:=int cdotsint_(E)f(x(u_(1),dots,u_(n)))||(del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n))||du_(1)cdots du_(n)],[int_(S)X*dA:=int cdotsint_(E)X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*((del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n)))du_(1)cdots du_(n)]:}\begin{aligned} \int_{S} f d A & :=\int \cdots \int_{E} f\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)\left\|\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right\| d u_{1} \cdots d u_{n} \\ \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} & :=\int \cdots \int_{E} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right) d u_{1} \cdots d u_{n} \end{aligned}SfdA:=Ef(x(u1,,un))u1××undu1dunSXdA:=EXx(u1,,un)(u1××un)du1dun
によって定義する. S f d A , S X d A S f d A , S X d A int_(S)fdA,int_(S)X*dA\int_{S} f d A, \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}SfdA,SXdA を各々, f , X f , X f,Xf, \boldsymbol{X}f,X S S SSS に沿う面積分 (surface integral) という. 特に, S 1 d A S 1 d A int_(S)1dA\int_{S} 1 d AS1dA S S SSS の超曲面積(hypersurface area) といい, V ( S ) V ( S ) V(S)\mathcal{V}(S)V(S), または A ( S ) A ( S ) A(S)\mathcal{A}(S)A(S) と表す. 以下, 簡単のため, n n nnn 重積分 E ( ) d u 1 d u n E ( ) d u 1 d u n int cdotsint_(E)(*)du_(1)cdots du_(n)\int \cdots \int_{E}(\cdot) d u_{1} \cdots d u_{n}E()du1dun E ( ) d u 1 d u n E ( ) d u 1 d u n int_(E)(*)du_(1)cdots du_(n)\int_{E}(\cdot) d u_{1} \cdots d u_{n}E()du1dun と略記する. N N N\boldsymbol{N}N S S SSS の自然に定義される単位法ベクトル場とするとき,
(1.10.1) S X d A = S ( X N ) d A (1.10.1) S X d A = S ( X N ) d A {:(1.10.1)int_(S)X*dA=int_(S)(X*N)dA:}\begin{equation*} \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{S}(\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{N}) d A \tag{1.10.1} \end{equation*}(1.10.1)SXdA=S(XN)dA
が成り立つ. 実際, この関係式は次のように示される。
S X d A = E X x ( u 1 , , u n ) ( u 1 × × u n ) d u 1 d u n = E ( X x ( u 1 , , u n ) N x ( u 1 , , u n ) ) u 1 × × u n d u 1 d u n = E X x ( u 1 , , u n ) N x ( u 1 , , u n ) d A = S ( X N ) d A S X d A = E X x u 1 , , u n u 1 × × u n d u 1 d u n = E X x u 1 , , u n N x u 1 , , u n u 1 × × u n d u 1 d u n = E X x u 1 , , u n N x u 1 , , u n d A = S ( X N ) d A {:[int_(S)X*dA=int_(E)X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*((del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n)))du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E)(X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*N_(x(u_(1),dots,u_(n))))||(del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n))||du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E)X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*N_(x(u_(1),dots,u_(n)))dA=int_(S)(X*N)dA]:}\begin{aligned} \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} & =\int_{E} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right) d u_{1} \cdots d u_{n} \\ & =\int_{E}\left(\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot \boldsymbol{N}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}\right)\left\|\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right\| d u_{1} \cdots d u_{n} \\ & =\int_{E} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot \boldsymbol{N}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} d A=\int_{S}(\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{N}) d A \end{aligned}SXdA=EXx(u1,,un)(u1××un)du1dun=E(Xx(u1,,un)Nx(u1,,un))u1××undu1dun=EXx(u1,,un)Nx(u1,,un)dA=S(XN)dA
注意 n 3 n 3 n >= 3n \geq 3n3 の場合は S S SSS の次元が 3 以上なので, 超曲面積 S 1 d A S 1 d A int_(S)1dA\int_{S} 1 d AS1dA S S SSS の体積と よばれるべきである.
C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面 x x x\boldsymbol{x}x の定義域を D ( E ) D ( E ) D(sup E)D(\supset E)D(E) とし, φ φ varphi\varphiφ R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のある領域 D D D^(')D^{\prime}D か ら D D DDD への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像とし, x := x φ ( : D E n + 1 ) , E := φ 1 ( E ) x ¯ := x φ : D E n + 1 , E := φ 1 ( E ) bar(x):=x@varphi(:D^(')rarrE^(n+1)),E^('):=varphi^(-1)(E)\overline{\boldsymbol{x}}:=\boldsymbol{x} \circ \varphi\left(: D^{\prime} \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}\right), E^{\prime}:=\varphi^{-1}(E)x:=xφ(:DEn+1),E:=φ1(E) とおく. また, x 1 = ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) x ¯ 1 = u ¯ 1 , , u ¯ n bar(x)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n))\overline{\boldsymbol{x}}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)x1=(u¯1,,u¯n) とする. このとき, 明らかに x ( E ) = x ¯ E = bar(x)(E^('))=\overline{\boldsymbol{x}}\left(E^{\prime}\right)=x(E)= x ( E ) = S x ( E ) = S x(E)=S\boldsymbol{x}(E)=Sx(E)=S となるので, ( u 1 , , u n ) u 1 , , u n (u_(1),dots,u_(n))\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)(u1,,un) ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) u ¯ 1 , , u ¯ n ( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n))\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)(u¯1,,u¯n) は, 共に S S SSS の座標であ る。
命題 1.10.1 (i) S f d A S f d A int_(S)fdA\int_{S} f d ASfdA の値は, S S SSS の座標のとり方によらずに定まる.
E f ( x ( u 1 , , u n ) ) u 1 × × u n d u 1 d u n = E f ( x ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) ) u ¯ 1 × × u ¯ n d u ¯ 1 d u ¯ n E f x u 1 , , u n u 1 × × u n d u 1 d u n = E f x ¯ u ¯ 1 , , u ¯ n u ¯ 1 × × u ¯ n d u ¯ 1 d u ¯ n {:[int_(E)f(x(u_(1),dots,u_(n)))||(del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n))||du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E^('))f( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))||(del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))||d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n)]:}\begin{aligned} & \int_{E} f\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)\left\|\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right\| d u_{1} \cdots d u_{n} \\ = & \int_{E^{\prime}} f\left(\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)\right)\left\|\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right\| d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} \end{aligned}Ef(x(u1,,un))u1××undu1dun=Ef(x(u¯1,,u¯n))u¯1××u¯ndu¯1du¯n
が成り立つ.
(ii) S X d A S X d A int_(S)X*dA\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}SXdA の値は, S S SSS の同じ向きを与える座標のとり方によらずに定 まり, S S SSS の逆向きを与える座標をとると, 符号が変わる.つまり,
E X x ( u 1 , , u n ) ( u 1 × × u n ) d u 1 d u n = { E X x ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) ( u ¯ 1 × × u ¯ n ) d u ¯ 1 d u ¯ n ( det J φ > 0 のとき) E X x ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) ( u ¯ 1 × × u ¯ n ) d u ¯ 1 d u ¯ n ( det J φ < 0 のとき) E X x u 1 , , u n u 1 × × u n d u 1 d u n = E X x ¯ u ¯ 1 , , u ¯ n u ¯ 1 × × u ¯ n d u ¯ 1 d u ¯ n ( det J φ > 0  のとき)  E X x ¯ u ¯ 1 , , u ¯ n u ¯ 1 × × u ¯ n d u ¯ 1 d u ¯ n ( det J φ < 0  のとき)  {:[int_(E)X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*((del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n)))du_(1)cdots du_(n)],[={[int_(E^('))X_( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n)))d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n),(det J varphi > 0" のとき) "],[-int_(E^('))X_( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n)))d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n),(det J varphi < 0" のとき) "]:}]:}\begin{aligned} & \int_{E} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right) d u_{1} \cdots d u_{n} \\ = & \begin{cases}\int_{E^{\prime}} \boldsymbol{X}_{\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right) d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} & (\operatorname{det} J \varphi>0 \text { のとき) } \\ -\int_{E^{\prime}} \boldsymbol{X}_{\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right) d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} & (\operatorname{det} J \varphi<0 \text { のとき) }\end{cases} \end{aligned}EXx(u1,,un)(u1××un)du1dun={EXx(u¯1,,u¯n)(u¯1××u¯n)du¯1du¯n(detJφ>0 のとき) EXx(u¯1,,u¯n)(u¯1××u¯n)du¯1du¯n(detJφ<0 のとき) 
が成り立つ.
証明(i)は命題 1.2 .1 と n n nnn 重積分の変数変換の公式を用いて次のように示 される。
E f ( x ( u 1 , , u n ) ) u 1 × × u n d u 1 d u n = E f ( x ( u 1 , , u n ) ) | det ( u ¯ i u j ) | u ¯ 1 × × u ¯ n d u 1 d u n = E f ( x ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) ) | ( det ( u ¯ i u j ) φ ) | × u ¯ 1 × × u ¯ n | det ( u i u ¯ j ) | d u ¯ 1 d u ¯ n = E f ( x ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) ) u ¯ 1 × × u ¯ n d u ¯ 1 d u ¯ n E f x u 1 , , u n u 1 × × u n d u 1 d u n = E f x u 1 , , u n det u ¯ i u j u ¯ 1 × × u ¯ n d u 1 d u n = E f x ¯ u ¯ 1 , , u ¯ n det u ¯ i u j φ × u ¯ 1 × × u ¯ n det u i u ¯ j d u ¯ 1 d u ¯ n = E f x ¯ u ¯ 1 , , u ¯ n u ¯ 1 × × u ¯ n d u ¯ 1 d u ¯ n {:[int_(E)f(x(u_(1),dots,u_(n)))||(del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n))||du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E)f(x(u_(1),dots,u_(n)))|det((del bar(u)_(i))/(delu_(j)))|||(del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))||du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E^('))f( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))|(det((del bar(u)_(i))/(delu_(j)))@varphi)|],[quad xx||(del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))|||det((delu_(i))/(del bar(u)_(j)))|d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n)],[=int_(E^('))f( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))||(del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))||d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n)]:}\begin{aligned} & \int_{E} f\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)\left\|\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right\| d u_{1} \cdots d u_{n} \\ &= \int_{E} f\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)\left|\operatorname{det}\left(\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial u_{j}}\right)\right|\left\|\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right\| d u_{1} \cdots d u_{n} \\ &= \int_{E^{\prime}} f\left(\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)\right)\left|\left(\operatorname{det}\left(\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial u_{j}}\right) \circ \varphi\right)\right| \\ & \quad \times\left\|\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right\|\left|\operatorname{det}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial \bar{u}_{j}}\right)\right| d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} \\ &= \int_{E^{\prime}} f\left(\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)\right)\left\|\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right\| d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} \end{aligned}Ef(x(u1,,un))u1××undu1dun=Ef(x(u1,,un))|det(u¯iuj)|u¯1××u¯ndu1dun=Ef(x(u¯1,,u¯n))|(det(u¯iuj)φ)|×u¯1××u¯n|det(uiu¯j)|du¯1du¯n=Ef(x(u¯1,,u¯n))u¯1××u¯ndu¯1du¯n
(ii) も命題 1.2 .1 と n n nnn 重積分の変数変換の公式を用いて次のように示される.
E X x ( u 1 , , u n ) ( u 1 × × u n ) d u 1 d u n = E det ( u ¯ i u j ) ( X x ( u 1 , , u n ) ( u ¯ 1 × × u ¯ n ) ) d u 1 d u n = E ( det ( u ¯ i u j ) φ ) ( X x ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) ( u ¯ 1 × × u ¯ n ) ) × | det ( u i u ¯ j ) | d u ¯ 1 d u ¯ n = { E X x ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) ( u ¯ 1 × × u ¯ n ) d u ¯ 1 d u ¯ n ( det J φ > 0 のとき) E X x ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) ( u ¯ 1 × × u ¯ n ) d u ¯ 1 d u ¯ n ( det J φ < 0 のとき). E X x u 1 , , u n u 1 × × u n d u 1 d u n = E det u ¯ i u j X x u 1 , , u n u ¯ 1 × × u ¯ n d u 1 d u n = E det u ¯ i u j φ X x ¯ u ¯ 1 , , u ¯ n u ¯ 1 × × u ¯ n × det u i u ¯ j d u ¯ 1 d u ¯ n = E X x ¯ u ¯ 1 , , u ¯ n u ¯ 1 × × u ¯ n d u ¯ 1 d u ¯ n ( det J φ > 0  のとき)  E X x ¯ u ¯ 1 , , u ¯ n u ¯ 1 × × u ¯ n d u ¯ 1 d u ¯ n ( det J φ < 0  のとき).  {:[int_(E)X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*((del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n)))du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E)det((del bar(u)_(i))/(delu_(j)))(X_(x(u_(1),dots,u_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))))du_(1)cdots du_(n)],[=int_(E^('))(det((del bar(u)_(i))/(delu_(j)))@varphi)(X_( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n))))],[ xx|det((delu_(i))/(del bar(u)_(j)))|d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n)],[={[int_(E^('))X_( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n)))d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n),(det J varphi > 0" のとき) "],[-int_(E^('))X_( bar(x)( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)))*((del)/(del bar(u)_(1))xx cdots xx(del)/(del bar(u)_(n)))d bar(u)_(1)cdots d bar(u)_(n),(det J varphi < 0" のとき). "]:}]:}\begin{aligned} & \int_{E} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right) d u_{1} \cdots d u_{n} \\ & =\int_{E} \operatorname{det}\left(\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial u_{j}}\right)\left(\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right)\right) d u_{1} \cdots d u_{n} \\ & =\int_{E^{\prime}}\left(\operatorname{det}\left(\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial u_{j}}\right) \circ \varphi\right)\left(\boldsymbol{X}_{\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right)\right) \\ & \times\left|\operatorname{det}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial \bar{u}_{j}}\right)\right| d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} \\ & = \begin{cases}\int_{E^{\prime}} \boldsymbol{X}_{\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right) d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} & (\operatorname{det} J \varphi>0 \text { のとき) } \\ -\int_{E^{\prime}} \boldsymbol{X}_{\overline{\boldsymbol{x}}\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{n}}\right) d \bar{u}_{1} \cdots d \bar{u}_{n} & (\operatorname{det} J \varphi<0 \text { のとき). }\end{cases} \end{aligned}EXx(u1,,un)(u1××un)du1dun=Edet(u¯iuj)(Xx(u1,,un)(u¯1××u¯n))du1dun=E(det(u¯iuj)φ)(Xx(u¯1,,u¯n)(u¯1××u¯n))×|det(uiu¯j)|du¯1du¯n={EXx(u¯1,,u¯n)(u¯1××u¯n)du¯1du¯n(detJφ>0 のとき) EXx(u¯1,,u¯n)(u¯1××u¯n)du¯1du¯n(detJφ<0 のとき). 
S = S 1 S k S = S 1 S k S=S_(1)uu cdots uuS_(k)S=S_{1} \cup \cdots \cup S_{k}S=S1Sk を区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の超曲面とし, f , X f , X f,Xf, \boldsymbol{X}f,X S S SSS を含む E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 の 領域上の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 スカラー場, C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 ベクトル場とする. このとき, S f d A S f d A int_(S)fdA\int_{S} f d ASfdA, S X d A S X d A int_(S)X*dA\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}SXdA を各々,
S f d A := i = 1 k S i f d A , S X d A := i = 1 k S i X d A S f d A := i = 1 k S i f d A , S X d A := i = 1 k S i X d A int_(S)fdA:=sum_(i=1)^(k)int_(S_(i))fdA,quadint_(S)X*dA:=sum_(i=1)^(k)int_(S_(i))X*dA\int_{S} f d A:=\sum_{i=1}^{k} \int_{S_{i}} f d A, \quad \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}:=\sum_{i=1}^{k} \int_{S_{i}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}SfdA:=i=1kSifdA,SXdA:=i=1kSiXdA
によって定義する. S f d A , S X d A S f d A , S X d A int_(S)fdA,int_(S)X*dA\int_{S} f d A, \int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}SfdA,SXdA を各々, f , X f , X f,Xf, \boldsymbol{X}f,X S S SSS に沿う面積分と いう. 特に, S 1 d A S 1 d A int_(S)1dA\int_{S} 1 d AS1dA S S SSS の超曲面積といい, V ( S ) V ( S ) V(S)\mathcal{V}(S)V(S), または A ( S ) A ( S ) A(S)\mathcal{A}(S)A(S) と表す.
問 1.10.1 F F FFF を, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ有界閉領域 E E EEE を含む領域 D D DDD上で定義された C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数 ( r r ) r r (r >= r^('))\left(r \geq r^{\prime}\right)(rr) とし, x : D E n + 1 x : D E n + 1 x:D rarrE^(n+1)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x:DEn+1 をそのグラフ曲面, つ まり,
x ( u 1 , , u n ) = ( u 1 , , u n , F ( u 1 , , u n ) ) ( ( u 1 , , u n ) D ) x u 1 , , u n = u 1 , , u n , F u 1 , , u n u 1 , , u n D x(u_(1),dots,u_(n))=(u_(1),dots,u_(n),F(u_(1),dots,u_(n)))quad((u_(1),dots,u_(n))in D)\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, F\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right) \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right)x(u1,,un)=(u1,,un,F(u1,,un))((u1,,un)D)
とする。 E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 S := x ( E ) S := x ( E ) S:=x(E)S:=\boldsymbol{x}(E)S:=x(E) を考え る. このとき, S S SSS を含む E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 の領域上で定義された C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 スカラー場 f f fff C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 ベク トル場 X = ( X 1 , , X n + 1 ) X = X 1 , , X n + 1 X=(X_(1),dots,X_(n+1))\boldsymbol{X}=\left(X_{1}, \ldots, X_{n+1}\right)X=(X1,,Xn+1) に対し.
S f d A = E f ( x ( u 1 , , u n ) ) 1 + i = 1 n ( F u i ) 2 d u 1 d u n S f d A = E f x u 1 , , u n 1 + i = 1 n F u i 2 d u 1 d u n int_(S)fdA=∬_(E)f(x(u_(1),dots,u_(n)))sqrt(1+sum_(i=1)^(n)((del F)/(delu_(i)))^(2))du_(1)cdots du_(n)\int_{S} f d A=\iint_{E} f\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right) \sqrt{1+\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial F}{\partial u_{i}}\right)^{2}} d u_{1} \cdots d u_{n}SfdA=Ef(x(u1,,un))1+i=1n(Fui)2du1dun,
S X d A = E ( ( 1 ) n 1 i = 1 X i ( x ( u 1 , , u n ) ) F u i + ( 1 ) n X n + 1 ) d u 1 d u n S X d A = E ( 1 ) n 1 i = 1 X i x u 1 , , u n F u i + ( 1 ) n X n + 1 d u 1 d u n int_(S)X*dA=∬_(E)((-1)^(n-1)sum_(i=1)X_(i)(x(u_(1),dots,u_(n)))(del F)/(delu_(i))+(-1)^(n)X_(n+1))du_(1)cdots du_(n)\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\iint_{E}\left((-1)^{n-1} \sum_{i=1} X_{i}\left(\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right) \frac{\partial F}{\partial u_{i}}+(-1)^{n} X_{n+1}\right) d u_{1} \cdots d u_{n}SXdA=E((1)n1i=1Xi(x(u1,,un))Fui+(1)nXn+1)du1dun が成り立つことを示せ.

1.11 ベクトル解析におけるストークスの定理

この節において、ストークスの定理(Stokes, theorem)について述べる ことにする. ストークスの定理にはいろいろなタイプのものがあり、この節で 述べるストークスの定理は通常, ベクトル解析の分野においてそうよばれるも のである.
定理 1.11.1(ストークスの定理) S = x ( E ) S = x ( E ) S=x(E)S=\boldsymbol{x}(E)S=x(E) E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の 境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 ( r max { r , 2 } , r 1 ) r max r , 2 , r 1 (r >= max{r^('),2},r^(') >= 1)\left(r \geq \max \left\{r^{\prime}, 2\right\}, r^{\prime} \geq 1\right)(rmax{r,2},r1) とし, c : [ 0 , 1 ] E 3 c : [ 0 , 1 ] E 3 c:[0,1]rarrE^(3)c:[0,1] \rightarrow \mathbb{E}^{3}c:[0,1]E3 を境界 S S del S\partial SS を与える区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の単純閉曲線で, x 1 c x 1 c x^(-1)@c\boldsymbol{x}^{-1} \circ cx1c が反時計回りに進む
図 1.11.1 区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片の長方形型領域への分割
図 1.11.2長方形型領域の境界を与える区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の単純閉曲線
ようなものとする。このとき, S S SSS を含む E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 の領域上で定義された C 1 C 1 C^(1)C^{1}C1 ベクト ル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し, 次式が成り立つ:
(1.11.1) S rot X d A = c X d r (1.11.1) S rot X d A = c X d r {:(1.11.1)int_(S)rot X*dA=int_(c)X*dr:}\begin{equation*} \int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} \tag{1.11.1} \end{equation*}(1.11.1)SrotXdA=cXdr
証明 S S SSS を, いくつかの [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] [0,1]xx[0,1][0,1] \times[0,1][0,1]×[0,1] を定義域とする区分的に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の境界 をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 S λ = x λ ( [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ) ( λ = 1 , , l ) S λ = x λ ( [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ) ( λ = 1 , , l ) S_(lambda)=x_(lambda)([0,1]xx[0,1])(lambda=1,dots,l)S_{\lambda}=\boldsymbol{x}_{\lambda}([0,1] \times[0,1])(\lambda=1, \ldots, l)Sλ=xλ([0,1]×[0,1])(λ=1,,l) たちに分割する(図 1.11.1 を参照). ここで, x λ x λ x_(lambda)\boldsymbol{x}_{\lambda}xλ は, det J ( x λ 1 x ) > 0 det J x λ 1 x > 0 det J(x_(lambda)^(-1)@x) > 0\operatorname{det} J\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ \boldsymbol{x}\right)>0detJ(xλ1x)>0 となるようにとってお く. C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 曲線 c i λ : [ 0 , 1 ] E 3 ( i = 1 , , 4 ) c i λ : [ 0 , 1 ] E 3 ( i = 1 , , 4 ) c_(i)^(lambda):[0,1]rarrE^(3)(i=1,dots,4)c_{i}^{\lambda}:[0,1] \rightarrow \mathbb{E}^{3}(i=1, \ldots, 4)ciλ:[0,1]E3(i=1,,4)
c 1 λ ( u 1 ) := x λ ( u 1 , 0 ) , c 3 λ ( u 1 ) := x λ ( 1 u 1 , 1 ) ( 0 u 1 1 ) c 2 λ ( u 2 ) := x λ ( 1 , u 2 ) , c 4 λ ( u 2 ) := x λ ( 0 , 1 u 2 ) ( 0 u 2 1 ) c 1 λ u 1 := x λ u 1 , 0 ,      c 3 λ u 1 := x λ 1 u 1 , 1      0 u 1 1 c 2 λ u 2 := x λ 1 , u 2 ,      c 4 λ u 2 := x λ 0 , 1 u 2      0 u 2 1 {:[c_(1)^(lambda)(u_(1)):=x_(lambda)(u_(1),0)",",c_(3)^(lambda)(u_(1)):=x_(lambda)(1-u_(1),1),(0 <= u_(1) <= 1)],[c_(2)^(lambda)(u_(2)):=x_(lambda)(1,u_(2))",",c_(4)^(lambda)(u_(2)):=x_(lambda)(0,1-u_(2)),(0 <= u_(2) <= 1)]:}\begin{array}{lll} c_{1}^{\lambda}\left(u_{1}\right):=\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}, 0\right), & c_{3}^{\lambda}\left(u_{1}\right):=\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(1-u_{1}, 1\right) & \left(0 \leq u_{1} \leq 1\right) \\ c_{2}^{\lambda}\left(u_{2}\right):=\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(1, u_{2}\right), & c_{4}^{\lambda}\left(u_{2}\right):=\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(0,1-u_{2}\right) & \left(0 \leq u_{2} \leq 1\right) \end{array}c1λ(u1):=xλ(u1,0),c3λ(u1):=xλ(1u1,1)(0u11)c2λ(u2):=xλ(1,u2),c4λ(u2):=xλ(0,1u2)(0u21)
によって定義する(図 1.11.2を参照). c 1 λ c 4 λ c 1 λ c 4 λ c_(1)^(lambda)∼c_(4)^(lambda)c_{1}^{\lambda} \sim c_{4}^{\lambda}c1λc4λ を順に結んでできる区分的 に C r C r C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr 級の閉曲線を c λ c λ c_(lambda)c_{\lambda}cλ と表す。このとき明らかに, c λ c λ c_(lambda)c_{\lambda}cλ S λ S λ delS_(lambda)\partial S_{\lambda}Sλ を与える単純閉曲線で, x 1 c λ x 1 c λ x^(-1)@c_(lambda)\boldsymbol{x}^{-1} \circ c_{\lambda}x1cλ が反時計回りに進むようなものである。最初に, 各 λ λ lambda in\lambda \inλ { 1 , , l } { 1 , , l } {1,dots,l}\{1, \ldots, l\}{1,,l} に対し,
S λ rot X d A = c λ X d r S λ rot X d A = c λ X d r int_(S_(lambda))rot X*dA=int_(c_(lambda))X*dr\int_{S_{\lambda}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{c_{\lambda}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}SλrotXdA=cλXdr
が成り立つことを示す. x λ ( u 1 , u 2 ) = ( x 1 ( u 1 , u 2 ) , x 2 ( u 1 , u 2 ) , x 3 ( u 1 , u 2 ) ) x λ u 1 , u 2 = x 1 u 1 , u 2 , x 2 u 1 , u 2 , x 3 u 1 , u 2 x_(lambda)(u_(1),u_(2))=(x_(1)(u_(1),u_(2)),x_(2)(u_(1),u_(2)),x_(3)(u_(1),u_(2)))\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(x_{1}\left(u_{1}, u_{2}\right), x_{2}\left(u_{1}, u_{2}\right), x_{3}\left(u_{1}, u_{2}\right)\right)xλ(u1,u2)=(x1(u1,u2),x2(u1,u2),x3(u1,u2)), X = ( X 1 , X 2 , X 3 ) X = X 1 , X 2 , X 3 X=(X_(1),X_(2),X_(3))\boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)X=(X1,X2,X3) とする. このとき,
rot X = ( X 3 x 2 X 2 x 3 , X 1 x 3 X 3 x 1 , X 2 x 1 X 1 x 2 ) rot X = X 3 x 2 X 2 x 3 , X 1 x 3 X 3 x 1 , X 2 x 1 X 1 x 2 rot X=((delX_(3))/(delx_(2))-(delX_(2))/(delx_(3)),(delX_(1))/(delx_(3))-(delX_(3))/(delx_(1)),(delX_(2))/(delx_(1))-(delX_(1))/(delx_(2)))\operatorname{rot} \boldsymbol{X}=\left(\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}, \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{1}}, \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}\right)rotX=(X3x2X2x3,X1x3X3x1,X2x1X1x2)
および,
u 1 × u 2 = ( x 2 u 1 x 3 u 2 x 3 u 1 x 2 u 2 , x 3 u 1 x 1 u 2 x 1 u 1 x 3 u 2 , x 1 u 1 x 2 u 2 x 2 u 1 x 1 u 2 ) u 1 × u 2 = x 2 u 1 x 3 u 2 x 3 u 1 x 2 u 2 , x 3 u 1 x 1 u 2 x 1 u 1 x 3 u 2 , x 1 u 1 x 2 u 2 x 2 u 1 x 1 u 2 {:[(del)/(delu_(1))xx(del)/(delu_(2))],[=((delx_(2))/(delu_(1))(delx_(3))/(delu_(2))-(delx_(3))/(delu_(1))(delx_(2))/(delu_(2)),(delx_(3))/(delu_(1))(delx_(1))/(delu_(2))-(delx_(1))/(delu_(1))(delx_(3))/(delu_(2)),(delx_(1))/(delu_(1))(delx_(2))/(delu_(2))-(delx_(2))/(delu_(1))(delx_(1))/(delu_(2)))]:}\begin{aligned} & \frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \frac{\partial}{\partial u_{2}} \\ = & \left(\frac{\partial x_{2}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{3}}{\partial u_{2}}-\frac{\partial x_{3}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{2}}{\partial u_{2}}, \frac{\partial x_{3}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{2}}-\frac{\partial x_{1}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{3}}{\partial u_{2}}, \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{2}}{\partial u_{2}}-\frac{\partial x_{2}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{2}}\right) \end{aligned}u1×u2=(x2u1x3u2x3u1x2u2,x3u1x1u2x1u1x3u2,x1u1x2u2x2u1x1u2)
より,
(1.11.2) ( rot X ) x λ ( u 1 , u 2 ) ( u 1 × u 2 ) x λ ( u 1 , u 2 ) = ( X x λ ) u 1 x λ u 2 ( X x λ ) u 2 x λ u 1 (1.11.2) ( rot X ) x λ u 1 , u 2 u 1 × u 2 x λ u 1 , u 2 = X x λ u 1 x λ u 2 X x λ u 2 x λ u 1 {:[(1.11.2)(rot X)_(x_(lambda)(u_(1),u_(2)))*((del)/(delu_(1))xx(del)/(delu_(2)))_(x_(lambda)(u_(1),u_(2)))],[=(del(X@x_(lambda)))/(delu_(1))*(delx_(lambda))/(delu_(2))-(del(X@x_(lambda)))/(delu_(2))*(delx_(lambda))/(delu_(1))]:}\begin{align*} &(\operatorname{rot} \boldsymbol{X})_{\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}, u_{2}\right)} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}, u_{2}\right)} \tag{1.11.2}\\ &= \frac{\partial\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{2}}-\frac{\partial\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{1}} \end{align*}(1.11.2)(rotX)xλ(u1,u2)(u1×u2)xλ(u1,u2)=(Xxλ)u1xλu2(Xxλ)u2xλu1
が示される. ここで,合成関数の偏微分法(連鎖律)
( X i x λ ) u j = k = 1 3 X i x k x k u j X i x λ u j = k = 1 3 X i x k x k u j (del(X_(i)@x_(lambda)))/(delu_(j))=sum_(k=1)^(3)(delX_(i))/(delx_(k))(delx_(k))/(delu_(j))\frac{\partial\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}}=\sum_{k=1}^{3} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial x_{k}}{\partial u_{j}}(Xixλ)uj=k=13Xixkxkuj
を用いた。
F ( u 1 , u 2 ) := ( X x λ ) ( u 1 , u 2 ) x λ u 1 | ( u 1 , u 2 ) G ( u 1 , u 2 ) := ( X x λ ) ( u 1 , u 2 ) x λ u 2 | ( u 1 , u 2 ) F u 1 , u 2 := X x λ u 1 , u 2 x λ u 1 u 1 , u 2 G u 1 , u 2 := X x λ u 1 , u 2 x λ u 2 u 1 , u 2 {:[F(u_(1),u_(2)):=(X@x_(lambda))(u_(1),u_(2))*(delx_(lambda))/(delu_(1))|_((u_(1),u_(2)))],[G(u_(1),u_(2)):=(X@x_(lambda))(u_(1),u_(2))*(delx_(lambda))/(delu_(2))|_((u_(1),u_(2)))]:}\begin{aligned} & F\left(u_{1}, u_{2}\right):=\left.\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(u_{1}, u_{2}\right) \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{1}}\right|_{\left(u_{1}, u_{2}\right)} \\ & G\left(u_{1}, u_{2}\right):=\left.\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(u_{1}, u_{2}\right) \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{2}}\right|_{\left(u_{1}, u_{2}\right)} \end{aligned}F(u1,u2):=(Xxλ)(u1,u2)xλu1|(u1,u2)G(u1,u2):=(Xxλ)(u1,u2)xλu2|(u1,u2)
とおく. このとき,
(1.11.3) G u 1 F u 2 = ( X x λ ) u 1 x λ u 2 ( X x λ ) u 2 x λ u 1 (1.11.3) G u 1 F u 2 = X x λ u 1 x λ u 2 X x λ u 2 x λ u 1 {:(1.11.3)(del G)/(delu_(1))-(del F)/(delu_(2))=(del(X@x_(lambda)))/(delu_(1))*(delx_(lambda))/(delu_(2))-(del(X@x_(lambda)))/(delu_(2))*(delx_(lambda))/(delu_(1)):}\begin{equation*} \frac{\partial G}{\partial u_{1}}-\frac{\partial F}{\partial u_{2}}=\frac{\partial\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{2}}-\frac{\partial\left(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{1}} \tag{1.11.3} \end{equation*}(1.11.3)Gu1Fu2=(Xxλ)u1xλu2(Xxλ)u2xλu1
が成り立つ. 式 (1.11.2) と式 (1.11.3) から,
S λ rot X d A = 0 1 0 1 ( G u 1 F u 2 ) d u 1 d u 2 (1.11.4) = 0 1 ( G ( 1 , u 2 ) G ( 0 , u 2 ) ) d u 2 0 1 ( F ( u 1 , 1 ) F ( u 1 , 0 ) ) d u 1 S λ rot X d A = 0 1 0 1 G u 1 F u 2 d u 1 d u 2 (1.11.4) = 0 1 G 1 , u 2 G 0 , u 2 d u 2 0 1 F u 1 , 1 F u 1 , 0 d u 1 {:[int_(S_(lambda))rot X*dA=int_(0)^(1)int_(0)^(1)((del G)/(delu_(1))-(del F)/(delu_(2)))du_(1)du_(2)],[(1.11.4)=int_(0)^(1)(G(1,u_(2))-G(0,u_(2)))du_(2)-int_(0)^(1)(F(u_(1),1)-F(u_(1),0))du_(1)]:}\begin{align*} & \int_{S_{\lambda}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(\frac{\partial G}{\partial u_{1}}-\frac{\partial F}{\partial u_{2}}\right) d u_{1} d u_{2} \\ = & \int_{0}^{1}\left(G\left(1, u_{2}\right)-G\left(0, u_{2}\right)\right) d u_{2}-\int_{0}^{1}\left(F\left(u_{1}, 1\right)-F\left(u_{1}, 0\right)\right) d u_{1} \tag{1.11.4} \end{align*}SλrotXdA=0101(Gu1Fu2)du1du2(1.11.4)=01(G(1,u2)G(0,u2))du201(F(u1,1)F(u1,0))du1
が示される. 一方,
F ( u 1 , 0 ) = X c 1 λ ( u 1 ) ( c 1 λ ) ( u 1 ) , F ( u 1 , 1 ) = X c 3 λ ( 1 u 1 ) ( ( c 3 λ ) ( 1 u 1 ) ) G ( 0 , u 2 ) = X c 4 λ ( 1 u 2 ) ( ( c 4 λ ) ( 1 u 2 ) ) , G ( 1 , u 2 ) = X c 2 λ ( u 2 ) ( c 2 λ ) ( u 2 ) F u 1 , 0 = X c 1 λ u 1 c 1 λ u 1 , F u 1 , 1 = X c 3 λ 1 u 1 c 3 λ 1 u 1 G 0 , u 2 = X c 4 λ 1 u 2 c 4 λ 1 u 2 , G 1 , u 2 = X c 2 λ u 2 c 2 λ u 2 {:[F(u_(1),0)=X_(c_(1)^(lambda)(u_(1)))*(c_(1)^(lambda))^(')(u_(1))","quad F(u_(1),1)=X_(c_(3)^(lambda)(1-u_(1)))*(-(c_(3)^(lambda))^(')(1-u_(1)))],[G(0,u_(2))=X_(c_(4)^(lambda)(1-u_(2)))*(-(c_(4)^(lambda))^(')(1-u_(2)))","quad G(1,u_(2))=X_(c_(2)^(lambda)(u_(2)))*(c_(2)^(lambda))^(')(u_(2))]:}\begin{aligned} & F\left(u_{1}, 0\right)=\boldsymbol{X}_{c_{1}^{\lambda}\left(u_{1}\right)} \cdot\left(c_{1}^{\lambda}\right)^{\prime}\left(u_{1}\right), \quad F\left(u_{1}, 1\right)=\boldsymbol{X}_{c_{3}^{\lambda}\left(1-u_{1}\right)} \cdot\left(-\left(c_{3}^{\lambda}\right)^{\prime}\left(1-u_{1}\right)\right) \\ & G\left(0, u_{2}\right)=\boldsymbol{X}_{c_{4}^{\lambda}\left(1-u_{2}\right)} \cdot\left(-\left(c_{4}^{\lambda}\right)^{\prime}\left(1-u_{2}\right)\right), \quad G\left(1, u_{2}\right)=\boldsymbol{X}_{c_{2}^{\lambda}\left(u_{2}\right)} \cdot\left(c_{2}^{\lambda}\right)^{\prime}\left(u_{2}\right) \end{aligned}F(u1,0)=Xc1λ(u1)(c1λ)(u1),F(u1,1)=Xc3λ(1u1)((c3λ)(1u1))G(0,u2)=Xc4λ(1u2)((c4λ)(1u2)),G(1,u2)=Xc2λ(u2)(c2λ)(u2)
が示される. これらの関係式を式 (1.11.4) に代入して,
S λ rot X d A = i = 1 4 c i λ X d r = c λ X d r S λ rot X d A = i = 1 4 c i λ X d r = c λ X d r int_(S_(lambda))rot X*dA=sum_(i=1)^(4)int_(c_(i)^(lambda))X*dr=int_(c^(lambda))X*dr\int_{S_{\lambda}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^{4} \int_{c_{i}^{\lambda}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c^{\lambda}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}SλrotXdA=i=14ciλXdr=cλXdr
をえる。それゆえ,
S rot X d A = λ = 1 l S λ rot X d A = λ = 1 l c λ X d r = c X d r S rot X d A = λ = 1 l S λ rot X d A = λ = 1 l c λ X d r = c X d r int_(S)rot X*dA=sum_(lambda=1)^(l)int_(S_(lambda))rot X*dA=sum_(lambda=1)^(l)int_(c^(lambda))X*dr=int_(c)X*dr\int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\sum_{\lambda=1}^{l} \int_{S_{\lambda}} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\sum_{\lambda=1}^{l} \int_{c^{\lambda}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}SrotXdA=λ=1lSλrotXdA=λ=1lcλXdr=cXdr
が示される。最初の等号は, det J ( x λ 1 x ) > 0 det J x λ 1 x > 0 det J(x_(lambda)^(-1)@x) > 0\operatorname{det} J\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ \boldsymbol{x}\right)>0detJ(xλ1x)>0 であることより, 2 重積分 の変数変換の公式を用いて示され,最後の等号は, S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ S μ S μ S_(mu)S_{\mu}Sμ が隣接するとき, その隣接する部分で c λ c λ c_(lambda)c_{\lambda}cλ c μ c μ c_(mu)c_{\mu}cμ が逆向きになることより導かれる.
ストークスの定理と 1.8 節で述べたグリーンの定理(定理 1.8.1)を比較し てみよう. ストークスの定理における S = x ( E ) S = x ( E ) S=x(E)S=\boldsymbol{x}(E)S=x(E) として
S = { x ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , u 2 , 0 ) ( u 1 , u 2 ) E } S = x u 1 , u 2 = u 1 , u 2 , 0 u 1 , u 2 E S={x(u_(1),u_(2))=(u_(1),u_(2),0)∣(u_(1),u_(2))in E}S=\left\{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}, u_{2}, 0\right) \mid\left(u_{1}, u_{2}\right) \in E\right\}S={x(u1,u2)=(u1,u2,0)(u1,u2)E}
をとり、, として X ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( X 1 ( x 1 , x 2 ) , X 2 ( x 1 , x 2 ) , 0 ) X x 1 , x 2 , x 3 = X 1 x 1 , x 2 , X 2 x 1 , x 2 , 0 X_((x_(1),x_(2),x_(3)))=(X_(1)(x_(1),x_(2)),X_(2)(x_(1),x_(2)),0)\boldsymbol{X}_{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}=\left(X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right), X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right), 0\right)X(x1,x2,x3)=(X1(x1,x2),X2(x1,x2),0) という形のもの をとる. E E EEE 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 X X ¯ bar(X)\overline{\boldsymbol{X}}X X ( x 1 , x 2 ) = ( X 1 ( x 1 , x 2 ) , X 2 ( x 1 , x 2 ) ) X ¯ x 1 , x 2 = X 1 x 1 , x 2 , X 2 x 1 , x 2 bar(X)_((x_(1),x_(2)))=(X_(1)(x_(1),x_(2)),X_(2)(x_(1),x_(2)))\overline{\boldsymbol{X}}_{\left(x_{1}, x_{2}\right)}=\left(X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right), X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)X(x1,x2)=(X1(x1,x2),X2(x1,x2)) で 定める. このとき,
rot X = ( 0 , 0 , rot X ) , u 1 × u 2 = ( 0 , 0 , 1 ) rot X = ( 0 , 0 , rot X ¯ ) , u 1 × u 2 = ( 0 , 0 , 1 ) rot X=(0,0,rot bar(X)),quad(del)/(delu_(1))xx(del)/(delu_(2))=(0,0,1)\operatorname{rot} \boldsymbol{X}=(0,0, \operatorname{rot} \overline{\boldsymbol{X}}), \quad \frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \frac{\partial}{\partial u_{2}}=(0,0,1)rotX=(0,0,rotX),u1×u2=(0,0,1)
となるので,
rot X ( u 1 × u 2 ) = rot X rot X u 1 × u 2 = rot X ¯ rot X*((del)/(delu_(1))xx(del)/(delu_(2)))=rot bar(X)\operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)=\operatorname{rot} \overline{\boldsymbol{X}}rotX(u1×u2)=rotX
をえる。それゆえ,
S rot X d A = E rot X d u 1 d u 2 S rot X d A = E rot X ¯ d u 1 d u 2 int_(S)rot X*dA=∬_(E)rot bar(X)du_(1)du_(2)\int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\iint_{E} \operatorname{rot} \overline{\boldsymbol{X}} d u_{1} d u_{2}SrotXdA=ErotXdu1du2
が示される。一方, c c ccc S S del S\partial SS を与える区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の単純閉曲線とし, c ¯ := c ¯ := bar(c):=\bar{c}:=c¯:= x 1 c x 1 c x^(-1)@c\boldsymbol{x}^{-1} \circ cx1c とおく( c ¯ c ¯ bar(c)\bar{c}c¯ は, E E del E\partial EE を与える区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の単純閉曲線になる)と き, 明らかに,
c X d r = c ¯ X d r c X d r = c ¯ X ¯ d r int_(c)X*dr=int_( bar(c)) bar(X)*dr\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{\bar{c}} \overline{\boldsymbol{X}} \cdot d \boldsymbol{r}cXdr=c¯Xdr
が成り立つ. したがって, グリーンの定理により示される関係式
E rot X d u 1 d u 2 = c ¯ X d r E rot X ¯ d u 1 d u 2 = c ¯ X ¯ d r ∬_(E)rot bar(X)du_(1)du_(2)=int_( bar(c)) bar(X)*dr\iint_{E} \operatorname{rot} \overline{\boldsymbol{X}} d u_{1} d u_{2}=\int_{\bar{c}} \overline{\boldsymbol{X}} \cdot d \boldsymbol{r}ErotXdu1du2=c¯Xdr
が, 上述のストークスの定理により示される関係式
S rot X d A = c X d r S rot X d A = c X d r int_(S)rot X*dA=int_(c)X*dr\int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}SrotXdA=cXdr
から従うことがわかる. このように, グリーンの定理は, 上述のストークスの 定理の特別な場合として捉えることができる.

1.12 ガウスの発散定理

E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の閉超曲面によって囲まれた有界閉領域を含む E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 の領域上で定義された C 1 C 1 C^(1)C^{1}C1 ベクトル場に対し, 次のガウスの発散定理 (Gauss' divergence theorem) が成り立つ.
定理 1.12.1(ガウスの発散定理) S S SSS E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の閉超曲面 ( r 2 ) ( r 2 ) (r >= 2)(r \geq 2)(r2) とし, V V VVV S S SSS で囲まれた区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域と する。また, X X X\boldsymbol{X}X を, V V VVV を含む E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 の領域上で定義された C 1 C 1 C^(1)C^{1}C1 ベクトル場と する. このとき,
V div X d x 1 d x n + 1 = S X d A ( = S X N d A ) V div X d x 1 d x n + 1 = S X d A = S X N d A int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)=int_(S)X*dA(=int_(S)X*NdA)\int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1}=\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}\left(=\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{N} d A\right)VdivXdx1dxn+1=SXdA(=SXNdA)
が成り立つ.
証明 X = ( X 1 , , X n + 1 ) X = X 1 , , X n + 1 X=(X_(1),dots,X_(n+1))\boldsymbol{X}=\left(X_{1}, \ldots, X_{n+1}\right)X=(X1,,Xn+1) とする。最初に, V V VVV が直方体領域
{ ( x 1 , , x n + 1 ) a i x i b i ( i = 1 , , n + 1 ) } ( = i = 1 n + 1 [ a i , b i ] ) x 1 , , x n + 1 a i x i b i ( i = 1 , , n + 1 ) = i = 1 n + 1 a i , b i {(x_(1),dots,x_(n+1))∣a_(i) <= x_(i) <= b_(i)quad(i=1,dots,n+1)}(=prod_(i=1)^(n+1)[a_(i),b_(i)])\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \mid a_{i} \leq x_{i} \leq b_{i} \quad(i=1, \ldots, n+1)\right\}\left(=\prod_{i=1}^{n+1}\left[a_{i}, b_{i}\right]\right){(x1,,xn+1)aixibi(i=1,,n+1)}(=i=1n+1[ai,bi])
の場合を考える. 簡単のため,
E i := [ a 1 , b 1 ] × × [ a i , b i ] ^ × × [ a n + 1 , b n + 1 ] ( i = 1 , , n + 1 ) E i := a 1 , b 1 × × a i , b i ^ × × a n + 1 , b n + 1 ( i = 1 , , n + 1 ) E_(i):=[a_(1),b_(1)]xx cdots xx widehat([a_(i),b_(i)])xx cdots xx[a_(n+1),b_(n+1)]quad(i=1,dots,n+1)E_{i}:=\left[a_{1}, b_{1}\right] \times \cdots \times \widehat{\left[a_{i}, b_{i}\right]} \times \cdots \times\left[a_{n+1}, b_{n+1}\right] \quad(i=1, \ldots, n+1)Ei:=[a1,b1]××[ai,bi]^××[an+1,bn+1](i=1,,n+1)
とおく. ここで, [ a i , b i ] ^ a i , b i ^ widehat([a_(i),b_(i)])\widehat{\left[a_{i}, b_{i}\right]}[ai,bi]^ [ a i , b i ] a i , b i [a_(i),b_(i)]\left[a_{i}, b_{i}\right][ai,bi] を取り除くことを意味する。 x i ± : E i x i ± : E i x_(i)^(+-):E_(i)rarr\boldsymbol{x}_{i}^{ \pm}: E_{i} \rightarrowxi±:Ei E n + 1 ( i = 1 , , n + 1 ) E n + 1 ( i = 1 , , n + 1 ) E^(n+1)(i=1,dots,n+1)\mathbb{E}^{n+1}(i=1, \ldots, n+1)En+1(i=1,,n+1)
x 2 i 1 + ( u 1 , , u 2 i 1 ^ , , u n + 1 ) := ( u 1 , , u 2 i 2 , b 2 i 1 , u 2 i , , u n + 1 ) ( 1 i [ n / 2 ] + 1 ) x 2 i + ( u 1 , , u 2 i ^ , , u n + 1 ) := ( u 1 , , u 2 i 1 , b 2 i , u 2 i + 1 , , u n , a n + 1 + b n + 1 u n + 1 ) ( 1 i [ ( n + 1 ) / 2 ] ) x n + 1 + ( u 1 , , u n ) := { ( u 1 , , u n 1 , a n + b n u n , b n + 1 ) ( n : 奇数 ) ( u 1 , , u n , b n + 1 ) ( n : 偶数 ) x 2 i ( u 1 , , u 2 i ^ , , u n + 1 ) := ( u 1 , , u 2 i 1 , a 2 i , u 2 i + 1 , , u n + 1 ) ( 1 i [ ( n + 1 ) / 2 ] ) x 2 i 1 ( u 1 , , u 2 i 1 ^ , , u n + 1 ) := ( u 1 , , u 2 i 2 , a 2 i 1 , u 2 i , , u n , a n + 1 + b n + 1 u n + 1 ) ( 1 i [ n / 2 ] + 1 ) x n + 1 ( u 1 , , u n ) := { ( u 1 , , u n 1 , a n + b n u n , a n + 1 ) ( n : 偶数 ) ( u 1 , , u n 1 , a n + 1 ) ( n : 奇数 ) x 2 i 1 + u 1 , , u 2 i 1 ^ , , u n + 1 := u 1 , , u 2 i 2 , b 2 i 1 , u 2 i , , u n + 1 ( 1 i [ n / 2 ] + 1 ) x 2 i + u 1 , , u 2 i ^ , , u n + 1 := u 1 , , u 2 i 1 , b 2 i , u 2 i + 1 , , u n , a n + 1 + b n + 1 u n + 1 ( 1 i [ ( n + 1 ) / 2 ] ) x n + 1 + u 1 , , u n := u 1 , , u n 1 , a n + b n u n , b n + 1 ( n :  奇数  ) u 1 , , u n , b n + 1 ( n :  偶数  ) x 2 i u 1 , , u 2 i ^ , , u n + 1 := u 1 , , u 2 i 1 , a 2 i , u 2 i + 1 , , u n + 1 ( 1 i [ ( n + 1 ) / 2 ] ) x 2 i 1 u 1 , , u 2 i 1 ^ , , u n + 1 := u 1 , , u 2 i 2 , a 2 i 1 , u 2 i , , u n , a n + 1 + b n + 1 u n + 1 ( 1 i [ n / 2 ] + 1 ) x n + 1 u 1 , , u n := u 1 , , u n 1 , a n + b n u n , a n + 1 ( n :  偶数  ) u 1 , , u n 1 , a n + 1 ( n :  奇数  ) {:[x_(2i-1)^(+)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i-1))),dots,u_(n+1)):=(u_(1),dots,u_(2i-2),b_(2i-1),u_(2i),dots,u_(n+1))],[(1 <= i <= [n//2]+1)],[x_(2i)^(+)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i))),dots,u_(n+1))],[:=(u_(1),dots,u_(2i-1),b_(2i),u_(2i+1),dots,u_(n),a_(n+1)+b_(n+1)-u_(n+1))],[(1 <= i <= [(n+1)//2])],[x_(n+1)^(+)(u_(1),dots,u_(n)):={[(u_(1),dots,u_(n-1),a_(n)+b_(n)-u_(n),b_(n+1)),(n:" 奇数 ")],[(u_(1),dots,u_(n),b_(n+1)),(n:" 偶数 ")]:}],[x_(2i)^(-)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i))),dots,u_(n+1)):=(u_(1),dots,u_(2i-1),a_(2i),u_(2i+1),dots,u_(n+1))],[(1 <= i <= [(n+1)//2])],[x_(2i-1)^(-)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i-1))),dots,u_(n+1))],[:=(u_(1),dots,u_(2i-2),a_(2i-1),u_(2i),dots,u_(n),a_(n+1)+b_(n+1)-u_(n+1))],[(1 <= i <= [n//2]+1)],[x_(n+1)^(-)(u_(1),dots,u_(n)):={[(u_(1),dots,u_(n-1),a_(n)+b_(n)-u_(n),a_(n+1)),(n:" 偶数 ")],[(u_(1),dots,u_(n-1),a_(n+1)),(n:" 奇数 ")]:}]:}\begin{aligned} & \boldsymbol{x}_{2 i-1}^{+}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i-1}}, \ldots, u_{n+1}\right):=\left(u_{1}, \ldots, u_{2 i-2}, b_{2 i-1}, u_{2 i}, \ldots, u_{n+1}\right) \\ & (1 \leq i \leq[n / 2]+1) \\ & \boldsymbol{x}_{2 i}^{+}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i}}, \ldots, u_{n+1}\right) \\ & :=\left(u_{1}, \ldots, u_{2 i-1}, b_{2 i}, u_{2 i+1}, \ldots, u_{n}, a_{n+1}+b_{n+1}-u_{n+1}\right) \\ & (1 \leq i \leq[(n+1) / 2]) \\ & \boldsymbol{x}_{n+1}^{+}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right):= \begin{cases}\left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}, a_{n}+b_{n}-u_{n}, b_{n+1}\right) & (n: \text { 奇数 }) \\ \left(u_{1}, \ldots, u_{n}, b_{n+1}\right) & (n: \text { 偶数 })\end{cases} \\ & \boldsymbol{x}_{2 i}^{-}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i}}, \ldots, u_{n+1}\right):=\left(u_{1}, \ldots, u_{2 i-1}, a_{2 i}, u_{2 i+1}, \ldots, u_{n+1}\right) \\ & (1 \leq i \leq[(n+1) / 2]) \\ & \boldsymbol{x}_{2 i-1}^{-}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i-1}}, \ldots, u_{n+1}\right) \\ & :=\left(u_{1}, \ldots, u_{2 i-2}, a_{2 i-1}, u_{2 i}, \ldots, u_{n}, a_{n+1}+b_{n+1}-u_{n+1}\right) \\ & (1 \leq i \leq[n / 2]+1) \\ & \boldsymbol{x}_{n+1}^{-}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right):= \begin{cases}\left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}, a_{n}+b_{n}-u_{n}, a_{n+1}\right) & (n: \text { 偶数 }) \\ \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}, a_{n+1}\right) & (n: \text { 奇数 })\end{cases} \end{aligned}x2i1+(u1,,u2i1^,,un+1):=(u1,,u2i2,b2i1,u2i,,un+1)(1i[n/2]+1)x2i+(u1,,u2i^,,un+1):=(u1,,u2i1,b2i,u2i+1,,un,an+1+bn+1un+1)(1i[(n+1)/2])xn+1+(u1,,un):={(u1,,un1,an+bnun,bn+1)(n: 奇数 )(u1,,un,bn+1)(n: 偶数 )x2i(u1,,u2i^,,un+1):=(u1,,u2i1,a2i,u2i+1,,un+1)(1i[(n+1)/2])x2i1(u1,,u2i1^,,un+1):=(u1,,u2i2,a2i1,u2i,,un,an+1+bn+1un+1)(1i[n/2]+1)xn+1(u1,,un):={(u1,,un1,an+bnun,an+1)(n: 偶数 )(u1,,un1,an+1)(n: 奇数 )
によって定義し, S i ± := x i ± ( E i ) S i ± := x i ± E i S_(i)^(+-):=x_(i)^(+-)(E_(i))S_{i}^{ \pm}:=\boldsymbol{x}_{i}^{ \pm}\left(E_{i}\right)Si±:=xi±(Ei) とおく(図 1.12.1-1.12.3を参照). このと き V = i = 1 n + 1 ( S i + S i ) V = i = 1 n + 1 S i + S i del V=_(i=1)^(n+1)(S_(i)^(+)uuS_(i)^(-))\partial V={ }_{i=1}^{n+1}\left(S_{i}^{+} \cup S_{i}^{-}\right)V=i=1n+1(Si+Si)となり, x i ± x i ± x_(i)^(+-)\boldsymbol{x}_{i}^{ \pm}xi±の(自然に定まる)単位法ベクトル場 N i ± N i ± N_(i)^(+-)N_{i}^{ \pm}Ni±は,
N i ± = ± ( 0 , , 0 , 1 i , 0 , , 0 ) N i ± = ± ( 0 , , 0 , 1 i , 0 , , 0 ) N_(i)^(+-)=+-(0,dots,0,1^(i),0,dots,0)\boldsymbol{N}_{i}^{ \pm}= \pm(0, \ldots, 0, \stackrel{i}{1}, 0, \ldots, 0)Ni±=±(0,,0,1i,0,,0)
となり, 各々, V V VVV からみて外側向きの単位法ベクトル場になる. 簡単のため, e i := ( 0 , , 0 , 1 , 1 , 0 , , 0 ) e i := ( 0 , , 0 , 1 , 1 , 0 , , 0 ) e_(i):=(0,dots,0,1,1,0,dots,0)\boldsymbol{e}_{i}:=(0, \ldots, 0,1,1,0, \ldots, 0)ei:=(0,,0,1,1,0,,0) とおく. i < n + 1 2 i < n + 1 2 i < (n+1)/(2)i<\frac{n+1}{2}i<n+12 に対し,
S 2 i X d A + S 2 i + X d A = a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X x 2 i ( u 1 , , u 2 i ^ , , u n + 1 ) ( e 2 i ) d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 + a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X x 2 i + ( u 1 , , u 2 i ^ , , u n + 1 ) e 2 i d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 = a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X ( u 1 , , a 2 i , , u n + 1 ) ( e 2 i ) d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 + a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X ( u 1 , , b 2 i , , a n + 1 + b n + 1 u n + 1 ) e 2 i d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 = a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X 2 i ( u 1 , , a 2 i , , u n + 1 ) d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 + a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X 2 i ( u 1 , , b 2 i , , a n + 1 + b n + 1 u n + 1 ) d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 = a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X 2 i ( x 1 , , a 2 i , , x n + 1 ) d x 1 d x 2 i ^ d x n + 1 + a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X 2 i ( x 1 , , b 2 i , , x n + 1 ) d x 1 d x 2 i ^ d x n + 1 = a 1 b 1 a n + 1 b n + 1 ( X 2 i x 2 i ) ( x 1 , , x n + 1 ) d x 1 d x n + 1 = V ( X 2 i x 2 i ) ( x 1 , , x n + 1 ) d x 1 d x n + 1 S 2 i X d A + S 2 i + X d A = a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X x 2 i u 1 , , u 2 i ^ , , u n + 1 e 2 i d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 + a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X x 2 i + u 1 , , u 2 i ^ , , u n + 1 e 2 i d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 = a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X u 1 , , a 2 i , , u n + 1 e 2 i d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 + a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X u 1 , , b 2 i , , a n + 1 + b n + 1 u n + 1 e 2 i d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 = a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X 2 i u 1 , , a 2 i , , u n + 1 d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 + a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X 2 i u 1 , , b 2 i , , a n + 1 + b n + 1 u n + 1 d u 1 d u 2 i ^ d u n + 1 = a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X 2 i x 1 , , a 2 i , , x n + 1 d x 1 d x 2 i ^ d x n + 1 + a 1 b 1 a 2 i b 2 i ^ a n + 1 b n + 1 X 2 i x 1 , , b 2 i , , x n + 1 d x 1 d x 2 i ^ d x n + 1 = a 1 b 1 a n + 1 b n + 1 X 2 i x 2 i x 1 , , x n + 1 d x 1 d x n + 1 = V X 2 i x 2 i x 1 , , x n + 1 d x 1 d x n + 1 {:[int_(S_(2i)^(-))X*dA+int_(S_(2i)^(+))X*dA],[=int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(x_(2i)^(-)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i))),dots,u_(n+1)))*(-e_(2i))du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[+int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(x_(2i)^(+)(u_(1),dots,( widehat(u_(2i))),dots,u_(n+1)))*e_(2i)du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[=int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_((u_(1),dots,a_(2i),dots,u_(n+1)))*(-e_(2i))du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[+int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_((u_(1),dots,b_(2i),dots,a_(n+1)+b_(n+1)-u_(n+1)))*e_(2i)],[du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[=-int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(2i)(u_(1),dots,a_(2i),dots,u_(n+1))du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[+int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(2i)(u_(1),dots,b_(2i),dots,a_(n+1)+b_(n+1)-u_(n+1))],[du_(1)cdots widehat(du_(2i))cdots du_(n+1)],[=-int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(2i)(x_(1),dots,a_(2i),dots,x_(n+1))dx_(1)cdots widehat(dx_(2i))cdots dx_(n+1)],[+int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(2i))^(b_(2i)))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))X_(2i)(x_(1),dots,b_(2i),dots,x_(n+1))dx_(1)cdots widehat(dx_(2i))cdots dx_(n+1)],[=int_(a_(1))^(b_(1))cdotsint_(a_(n+1))^(b_(n+1))((delX_(2i))/(delx_(2i)))_((x_(1),dots,x_(n+1)))dx_(1)cdots dx_(n+1)],[=int cdotsint_(V)((delX_(2i))/(delx_(2i)))_((x_(1),dots,x_(n+1)))dx_(1)cdots dx_(n+1)]:}\begin{aligned} & \int_{S_{2 i}^{-}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}+\int_{S_{2 i}^{+}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} \\ & =\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}_{2 i}^{-}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i}}, \ldots, u_{n+1}\right)} \cdot\left(-\boldsymbol{e}_{2 i}\right) d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\ & +\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{x}_{2 i}^{+}\left(u_{1}, \ldots, \widehat{u_{2 i}}, \ldots, u_{n+1}\right)} \cdot \boldsymbol{e}_{2 i} d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\ & =\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} \boldsymbol{X}_{\left(u_{1}, \ldots, a_{2 i}, \ldots, u_{n+1}\right)} \cdot\left(-\boldsymbol{e}_{2 i}\right) d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\ & +\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} \boldsymbol{X}_{\left(u_{1}, \ldots, b_{2 i}, \ldots, a_{n+1}+b_{n+1}-u_{n+1}\right)} \cdot \boldsymbol{e}_{2 i} \\ & d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\ & =-\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} X_{2 i}\left(u_{1}, \ldots, a_{2 i}, \ldots, u_{n+1}\right) d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\ & +\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} X_{2 i}\left(u_{1}, \ldots, b_{2 i}, \ldots, a_{n+1}+b_{n+1}-u_{n+1}\right) \\ & d u_{1} \cdots \widehat{d u_{2 i}} \cdots d u_{n+1} \\ & =-\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} X_{2 i}\left(x_{1}, \ldots, a_{2 i}, \ldots, x_{n+1}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{2 i}} \cdots d x_{n+1} \\ & +\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{2 i}}^{b_{2 i}}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} X_{2 i}\left(x_{1}, \ldots, b_{2 i}, \ldots, x_{n+1}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{2 i}} \cdots d x_{n+1} \\ & =\int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\frac{\partial X_{2 i}}{\partial x_{2 i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)} d x_{1} \cdots d x_{n+1} \\ & =\int \cdots \int_{V}\left(\frac{\partial X_{2 i}}{\partial x_{2 i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)} d x_{1} \cdots d x_{n+1} \end{aligned}S2iXdA+S2i+XdA=a1b1a2ib2i^an+1bn+1Xx2i(u1,,u2i^,,un+1)(e2i)du1du2i^dun+1+a1b1a2ib2i^an+1bn+1Xx2i+(u1,,u2i^,,un+1)e2idu1du2i^dun+1=a1b1a2ib2i^an+1bn+1X(u1,,a2i,,un+1)(e2i)du1du2i^dun+1+a1b1a2ib2i^an+1bn+1X(u1,,b2i,,an+1+bn+1un+1)e2idu1du2i^dun+1=a1b1a2ib2i^an+1bn+1X2i(u1,,a2i,,un+1)du1du2i^dun+1+a1b1a2ib2i^an+1bn+1X2i(u1,,b2i,,an+1+bn+1un+1)du1du2i^dun+1=a1b1a2ib2i^an+1bn+1X2i(x1,,a2i,,xn+1)dx1dx2i^dxn+1+a1b1a2ib2i^an+1bn+1X2i(x1,,b2i,,xn+1)dx1dx2i^dxn+1=a1b1an+1bn+1(X2ix2i)(x1,,xn+1)dx1dxn+1=V(X2ix2i)(x1,,xn+1)dx1dxn+1
が示される. 同様に, i < n 2 + 1 i < n 2 + 1 i < (n)/(2)+1i<\frac{n}{2}+1i<n2+1 に対し,
S 2 i 1 X d A + S 2 i 1 + X d A = V ( X 2 i 1 x 2 i 1 ) ( x 1 , , x n + 1 ) d x 1 d x n + 1 S 2 i 1 X d A + S 2 i 1 + X d A = V X 2 i 1 x 2 i 1 x 1 , , x n + 1 d x 1 d x n + 1 int_(S_(2i-1)^(-))X*dA+int_(S_(2i-1)^(+))X*dA=int cdotsint_(V)((delX_(2i-1))/(delx_(2i-1)))_((x_(1),dots,x_(n+1)))dx_(1)cdots dx_(n+1)\int_{S_{2 i-1}^{-}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}+\int_{S_{2 i-1}^{+}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int \cdots \int_{V}\left(\frac{\partial X_{2 i-1}}{\partial x_{2 i-1}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)} d x_{1} \cdots d x_{n+1}S2i1XdA+S2i1+XdA=V(X2i1x2i1)(x1,,xn+1)dx1dxn+1
が成り立つこと,および,
S n + 1 X d A + S n + 1 + X d A = V ( X n + 1 x n + 1 ) ( x 1 , , x n + 1 ) d x 1 d x n + 1 S n + 1 X d A + S n + 1 + X d A = V X n + 1 x n + 1 x 1 , , x n + 1 d x 1 d x n + 1 int_(S_(n+1)^(-))X*dA+int_(S_(n+1)^(+))X*dA=int cdotsint_(V)((delX_(n+1))/(delx_(n+1)))_((x_(1),dots,x_(n+1)))dx_(1)cdots dx_(n+1)\int_{S_{n+1}^{-}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}+\int_{S_{n+1}^{+}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int \cdots \int_{V}\left(\frac{\partial X_{n+1}}{\partial x_{n+1}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)} d x_{1} \cdots d x_{n+1}Sn+1XdA+Sn+1+XdA=V(Xn+1xn+1)(x1,,xn+1)dx1dxn+1
が成り立つことが示される。したがって,
S X d A = i = 1 n + 1 ( S i X d A + S i + X d A ) = V div X d x 1 d x n + 1 S X d A = i = 1 n + 1 S i X d A + S i + X d A = V div X d x 1 d x n + 1 int_(S)X*dA=sum_(i=1)^(n+1)(int_(S_(i)^(-))X*dA+int_(S_(i)^(+))X*dA)=int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^{n+1}\left(\int_{S_{i}^{-}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}+\int_{S_{i}^{+}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}\right)=\int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1}SXdA=i=1n+1(SiXdA+Si+XdA)=VdivXdx1dxn+1
が導かれる.
次に, V V VVV から R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 のある直方体領域 V ^ V ^ widehat(V)\widehat{V}V^ への向きを保つ C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像 φ φ varphi\varphiφ が 存在する場合を考える. S ^ := V ^ S ^ := V ^ widehat(S):=del widehat(V)\widehat{S}:=\partial \widehat{V}S^:=V^ とおく。 その直方体領域 V ^ V ^ widehat(V)\widehat{V}V^
{ ( y 1 , , y n + 1 ) a i y i b i ( i = 1 , , n + 1 ) } y 1 , , y n + 1 a i y i b i ( i = 1 , , n + 1 ) {(y_(1),dots,y_(n+1))∣a_(i) <= y_(i) <= b_(i)quad(i=1,dots,n+1)}\left\{\left(y_{1}, \ldots, y_{n+1}\right) \mid a_{i} \leq y_{i} \leq b_{i} \quad(i=1, \ldots, n+1)\right\}{(y1,,yn+1)aiyibi(i=1,,n+1)}
とする。上述と同様に, x ^ i ± : E i R n + 1 x ^ i ± : E i R n + 1 hat(x)_(i)^(+-):E_(i)rarrR^(n+1)\hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm}: E_{i} \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}x^i±:EiRn+1 を定め, S ^ i ± = x ^ i ± ( E i ) ( i = 1 , S ^ i ± = x ^ i ± E i ( i = 1 , widehat(S)_(i)^(+-)= hat(x)_(i)^(+-)(E_(i))(i=1,dots\widehat{S}_{i}^{ \pm}=\hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm}\left(E_{i}\right)(i=1, \ldotsS^i±=x^i±(Ei)(i=1,, n + 1 ) n + 1 ) n+1)n+1)n+1) とおく. このとき, V ^ = i = 1 n + 1 ( S ^ i + S ^ i ) V ^ = i = 1 n + 1 S ^ i + S ^ i del widehat(V)=_(i=1)^(n+1)( widehat(S)_(i)^(+)uu widehat(S)_(i)^(-))\partial \widehat{V}={ }_{i=1}^{n+1}\left(\widehat{S}_{i}^{+} \cup \widehat{S}_{i}^{-}\right)V^=i=1n+1(S^i+S^i)となる.
x i ± := φ 1 x ^ i ± ( i = 1 , , n + 1 ) , S i ± := x i ± ( E i ) = φ 1 ( S ^ i ± ) x i ± := φ 1 x ^ i ± ( i = 1 , , n + 1 ) , S i ± := x i ± E i = φ 1 S ^ i ± x_(i)^(+-):=varphi^(-1)@ hat(x)_(i)^(+-)quad(i=1,dots,n+1),quadS_(i)^(+-):=x_(i)^(+-)(E_(i))=varphi^(-1)( widehat(S)_(i)^(+-))\boldsymbol{x}_{i}^{ \pm}:=\varphi^{-1} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm} \quad(i=1, \ldots, n+1), \quad S_{i}^{ \pm}:=\boldsymbol{x}_{i}^{ \pm}\left(E_{i}\right)=\varphi^{-1}\left(\widehat{S}_{i}^{ \pm}\right)xi±:=φ1x^i±(i=1,,n+1),Si±:=xi±(Ei)=φ1(S^i±)
とおく. V ^ V ^ widehat(V)\widehat{V}V^ 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y
Y = i = 1 n + 1 ( 1 ) i 1 ( ( X φ 1 ) ( φ 1 y 1 × × φ 1 ^ y i × × φ 1 y n + 1 ) ) e i Y = i = 1 n + 1 ( 1 ) i 1 X φ 1 φ 1 y 1 × × φ 1 ^ y i × × φ 1 y n + 1 e i Y=sum_(i=1)^(n+1)(-1)^(i-1)((X@varphi^(-1))*((delvarphi^(-1))/(dely_(1))xx cdots xx(( widehat(delvarphi^(-1))))/(dely_(i))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(n+1))))e_(i)\boldsymbol{Y}=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}\left(\left(\boldsymbol{X} \circ \varphi^{-1}\right) \cdot\left(\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{1}} \times \cdots \times \frac{\widehat{\partial \varphi^{-1}}}{\partial y_{i}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n+1}}\right)\right) \boldsymbol{e}_{i}Y=i=1n+1(1)i1((Xφ1)(φ1y1××φ1^yi××φ1yn+1))ei
によって定義する. i = 1 , , n i = 1 , , n i=1,dots,ni=1, \ldots, ni=1,,n のとき,
x i ± u j = k = 1 n + 1 ( φ 1 y k x ^ i ± ) ( y k x ^ i ± ) u j = { φ 1 y j x ^ i ± ( j { 1 , , n } { i } のとき ) ± ( 1 ) i 1 φ 1 y n + 1 x ^ i ± ( j = n + 1 ) x i ± u j = k = 1 n + 1 φ 1 y k x ^ i ± y k x ^ i ± u j = φ 1 y j x ^ i ± ( j { 1 , , n } { i }  のとき  ) ± ( 1 ) i 1 φ 1 y n + 1 x ^ i ± ( j = n + 1 ) {:[(del vec(x_(i)^(+-)))/(delu_(j))=sum_(k=1)^(n+1)((delvarphi^(-1))/(dely_(k))@ hat(x)_(i)^(+-))(del(y_(k)@ hat(x)_(i)^(+-)))/(delu_(j))],[={[(delvarphi^(-1))/(dely_(j))@ hat(x)_(i)^(+-),(j in{1","dots","n}\\{i}" のとき ")],[+-(-1)^(i-1)(delvarphi^(-1))/(dely_(n+1))@ hat(x)_(i)^(+-),(j=n+1)]:}]:}\begin{aligned} \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{i}^{ \pm}}}{\partial u_{j}} & =\sum_{k=1}^{n+1}\left(\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{k}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm}\right) \frac{\partial\left(y_{k} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm}\right)}{\partial u_{j}} \\ & = \begin{cases}\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{j}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm} & (j \in\{1, \ldots, n\} \backslash\{i\} \text { のとき }) \\ \pm(-1)^{i-1} \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n+1}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm} & (j=n+1)\end{cases} \end{aligned}xi±uj=k=1n+1(φ1ykx^i±)(ykx^i±)uj={φ1yjx^i±(j{1,,n}{i} のとき )±(1)i1φ1yn+1x^i±(j=n+1)
となり,
x n + 1 ± u j = { φ 1 y j x ^ i ± ( j = 1 , , n 1 のとき ) ± ( 1 ) i 1 φ 1 y n x ^ i ± ( j = n ) x n + 1 ± u j = φ 1 y j x ^ i ±      ( j = 1 , , n 1  のとき  ) ± ( 1 ) i 1 φ 1 y n x ^ i ±      ( j = n ) (del vec(x_(n+1)^(+-)))/(delu_(j))={[(delvarphi^(-1))/(dely_(j))@ hat(x)_(i)^(+-),(j=1","dots","n-1" のとき ")],[+-(-1)^(i-1)(delvarphi^(-1))/(dely_(n))@ hat(x)_(i)^(+-),(j=n)]:}\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{n+1}^{ \pm}}}{\partial u_{j}}= \begin{cases}\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{j}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm} & (j=1, \ldots, n-1 \text { のとき }) \\ \pm(-1)^{i-1} \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{i}^{ \pm} & (j=n)\end{cases}xn+1±uj={φ1yjx^i±(j=1,,n1 のとき )±(1)i1φ1ynx^i±(j=n)
となるので,
? ϱ τ Λ ϱ I + u L = ? = Λ Λ ! ? ϱ τ Λ ϱ I + u L = ? = Λ Λ ! {:(sqrt?ϱ)/(^(tau)Lambdaϱ) obrace(I+u)^(L=?)=Lambda Lambda!:}\begin{aligned} & \frac{\sqrt{?} \varrho}{{ }^{\tau} \Lambda \varrho} \overbrace{\mathrm{I}+u}^{\mathrm{L}=?}=\boldsymbol{\Lambda} \Lambda! \end{aligned}?ϱτΛϱI+uL=?=ΛΛ!
( ζ Z I I ) τ + u p τ X Λ ! p Λ = V p X ∵₫ π k 2 2 π T G X π 4 ζ Z I I τ + u p τ X Λ ! p Λ = V p X ∵₫ π k 2 2 π T G X π 4 {:[(zeta^(')ZI*I)],[_(tau+u)^(p dots tau)dotsXLambda!pint^(Lambda)cdots int=V^(p)*X int],[∵₫piयk(2)/(2)*(pi )/(T)GX pi <= 4]:}\begin{aligned} & \left(\zeta^{\prime} Z I \cdot I\right) \\ & { }_{\mathrm{\tau}+u}^{p \ldots \tau} \ldots \mathrm{X} \Lambda!\mathrm{p} \int^{\Lambda} \cdots \int=\boldsymbol{V}^{p} \cdot \boldsymbol{X} \int \\ & \because ₫ \pi य k \frac{2}{2} \cdot \frac{\pi}{T} G X \pi \leqslant 4 \end{aligned}(ζZII)τ+upτXΛ!pΛ=VpX∵₫πk22πTGXπ4
( V p X 2 S + V p X 2 S ) I + u L = 2 = V p X V p X 2 S + V p X 2 S I + u L = 2 = V p X (V^(p)*X^(2)S+V^(p)*X^(-2)S) obrace(I+u)^(L=2)=V^(p)*X int\left(\boldsymbol{V}^{p} \cdot \boldsymbol{X}{ }^{2} S+\boldsymbol{V}^{p} \cdot \boldsymbol{X}{ }^{-2} S\right) \overbrace{\mathrm{I}+u}^{\mathrm{L}=2}=\boldsymbol{V}^{p} \cdot \boldsymbol{X} \int(VpX2S+VpX2S)I+uL=2=VpX
' बが k 2 4 k 2 4 k(2)/(4)k \frac{2}{4}k24 そ卉
I + u + p n n p I n p I + u + p n n p I n p {:_(I+u)+dots p dots^(n)np dotsInp:}\begin{aligned} & { }_{\mathrm{I}+u}+\ldots p \ldots{ }^{n} n p \ldots \mathrm{I} n p \end{aligned}I+u+pnnpInp
p X 2 S p X 2 S {:AA p*Xint^(∓^(2)S):}\begin{aligned} & \boldsymbol{\forall} p \cdot \boldsymbol{X} \stackrel{\stackrel{2}{\mp} S}{\int} \end{aligned}pX2S
= i = 1 n + 1 ( 1 ) i 1 ( X φ 1 ) y i ( φ 1 y 1 × × φ 1 y i × × φ 1 y n + 1 ) = j = 1 n + 1 ( X x j φ 1 ) ( i = 1 n + 1 ( 1 ) i 1 ( x j φ 1 ) y i ( φ 1 y 1 × × φ 1 y i × × φ 1 y n + 1 ) ) = i = 1 n + 1 ( 1 ) i 1 X φ 1 y i φ 1 y 1 × × φ 1 y i × × φ 1 y n + 1 = j = 1 n + 1 X x j φ 1 i = 1 n + 1 ( 1 ) i 1 x j φ 1 y i φ 1 y 1 × × φ 1 y i × × φ 1 y n + 1 {:[=sum_(i=1)^(n+1)(-1)^(i-1)(del(X@varphi^(-1)))/(dely_(i))*((delvarphi^(-1))/(dely_(1))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(i))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(n+1)))],[=sum_(j=1)^(n+1)((del X)/(delx_(j))@varphi^(-1))],[*(sum_(i=1)^(n+1)(-1)^(i-1)(del(x_(j)@varphi^(-1)))/(dely_(i))((delvarphi^(-1))/(dely_(1))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(i))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(n+1))))]:}\begin{aligned} = & \sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1} \frac{\partial\left(\boldsymbol{X} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial y_{i}} \cdot\left(\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{i}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n+1}}\right) \\ = & \sum_{j=1}^{n+1}\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial x_{j}} \circ \varphi^{-1}\right) \\ & \cdot\left(\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1} \frac{\partial\left(x_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial y_{i}}\left(\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{i}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n+1}}\right)\right) \end{aligned}=i=1n+1(1)i1(Xφ1)yi(φ1y1××φ1yi××φ1yn+1)=j=1n+1(Xxjφ1)(i=1n+1(1)i1(xjφ1)yi(φ1y1××φ1yi××φ1yn+1))
が示される. 3 つ目の等号において, φ φ varphi\varphiφ C r C r C^(r)C^{r}Cr ( r 2 ) ( r 2 ) (r >= 2)(r \geq 2)(r2) であることにより, 2 φ 1 y i y j = 2 φ 1 y j y i 2 φ 1 y i y j = 2 φ 1 y j y i (del^(2)varphi^(-1))/(dely_(i)dely_(j))=(del^(2)varphi^(-1))/(dely_(j)dely_(i))\frac{\partial^{2} \varphi^{-1}}{\partial y_{i} \partial y_{j}}=\frac{\partial^{2} \varphi^{-1}}{\partial y_{j} \partial y_{i}}2φ1yiyj=2φ1yjyi が成り立つこと,および,外積の交代性(命題 1.2 .1 の (i)) を用いた. さらに,
i = 1 n + 1 ( 1 ) i 1 ( x j φ 1 ) y i ( φ 1 y 1 × × φ 1 ^ y i × × φ 1 y n + 1 ) = det ( J φ 1 ) e j i = 1 n + 1 ( 1 ) i 1 x j φ 1 y i φ 1 y 1 × × φ 1 ^ y i × × φ 1 y n + 1 = det J φ 1 e j {:[sum_(i=1)^(n+1)(-1)^(i-1)(del(x_(j)@varphi^(-1)))/(dely_(i))((delvarphi^(-1))/(dely_(1))xx cdots xx(( widehat(delvarphi^(-1))))/(dely_(i))xx cdots xx(delvarphi^(-1))/(dely_(n+1)))],[=det(Jvarphi^(-1))e_(j)]:}\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1} \frac{\partial\left(x_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial y_{i}}\left(\frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{1}} \times \cdots \times \frac{\widehat{\partial \varphi^{-1}}}{\partial y_{i}} \times \cdots \times \frac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_{n+1}}\right) \\ = & \operatorname{det}\left(J \varphi^{-1}\right) \boldsymbol{e}_{j} \end{aligned}i=1n+1(1)i1(xjφ1)yi(φ1y1××φ1^yi××φ1yn+1)=det(Jφ1)ej
が示されるので,
div Y = det ( J φ 1 ) ( ( div X ) φ 1 ) div Y = det J φ 1 ( div X ) φ 1 div Y=det(Jvarphi^(-1))*((div X)@varphi^(-1))\operatorname{div} \boldsymbol{Y}=\operatorname{det}\left(J \varphi^{-1}\right) \cdot\left((\operatorname{div} \boldsymbol{X}) \circ \varphi^{-1}\right)divY=det(Jφ1)((divX)φ1)
をえる。それゆえ、
V ^ div Y d y 1 d y n + 1 = V ( ( div Y ) φ ) det ( J φ ) d x 1 d x n + 1 = V div X d x 1 d x n + 1 V ^ div Y d y 1 d y n + 1 = V ( ( div Y ) φ ) det ( J φ ) d x 1 d x n + 1 = V div X d x 1 d x n + 1 {:[int cdotsint_( widehat(V))div Ydy_(1)cdots dy_(n+1)=int cdotsint_(V)((div Y)@varphi)det(J varphi)dx_(1)cdots dx_(n+1)],[=int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)]:}\begin{aligned} \int \cdots \int_{\widehat{V}} \operatorname{div} \boldsymbol{Y} d y_{1} \cdots d y_{n+1} & =\int \cdots \int_{V}((\operatorname{div} \boldsymbol{Y}) \circ \varphi) \operatorname{det}(J \varphi) d x_{1} \cdots d x_{n+1} \\ & =\int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1} \end{aligned}V^divYdy1dyn+1=V((divY)φ)det(Jφ)dx1dxn+1=VdivXdx1dxn+1
がえられる. この式と, 式 (1.12.2)から, V div X d x 1 d x n + 1 = V div X d x 1 d x n + 1 = int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)=\int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1}=VdivXdx1dxn+1= S X d A S X d A int_(S)X*dA\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}SXdA が導かれる。
V V VVV が一般の場合を考える。明らかに, V V VVV は上述のような直方体領域と C r C r C^(r)C^{r}Cr同型な(有限個の)区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域の和に分割され る. V = i = 1 l V i V = i = 1 l V i V=uuu_(i=1)^(l)V_(i)V=\bigcup_{i=1}^{l} V_{i}V=i=1lVi をそのような分割とする。このとき、莳でに示した事実によ り,
V div X d x 1 d x n + 1 = i = 1 l V i div X d x 1 d x n + 1 = i = 1 l V i X d A V div X d x 1 d x n + 1 = i = 1 l V i div X d x 1 d x n + 1 = i = 1 l V i X d A {:[int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)=sum_(i=1)^(l)int cdotsint_(V_(i))div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)],[=sum_(i=1)^(l)int_(delV_(i))X*dA]:}\begin{aligned} \int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1} & =\sum_{i=1}^{l} \int \cdots \int_{V_{i}} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1} \\ & =\sum_{i=1}^{l} \int_{\partial V_{i}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A} \end{aligned}VdivXdx1dxn+1=i=1lVidivXdx1dxn+1=i=1lViXdA
が成り立つ. V i V j V i V j delV_(i)nn delV_(j)!=O/\partial V_{i} \cap \partial V_{j} \neq \emptysetViVj のき, その共通部分において, V i V i delV_(i)\partial V_{i}Vi V j V j delV_(j)\partial V_{j}Vj は逆向きなので,
i = 1 l V i X d A = S X d A i = 1 l V i X d A = S X d A sum_(i=1)^(l)int_(delV_(i))X*dA=int_(S)X*dA\sum_{i=1}^{l} \int_{\partial V_{i}} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}i=1lViXdA=SXdA
が導かれる. したがって, 次式が示される:
V div X d x 1 d x n + 1 = S X d A V div X d x 1 d x n + 1 = S X d A int cdotsint_(V)div Xdx_(1)cdots dx_(n+1)=int_(S)X*dA\int \cdots \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{X} d x_{1} \cdots d x_{n+1}=\int_{S} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}VdivXdx1dxn+1=SXdA
図 1.12.1長方形型領域の境界面の与え方(その 1)
図 1.12.2長方形型領域の境界面の与え方(その 2)
図 1.12.3 長方形型領域の境界面の与え方(その 3)

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