Vector Analysis & Differential Geometry Enlightened by Integral Formulas -From Stokes' Theorem to Variational Formula-

ーストークスの定理から変分公式までー

ベクトル解析とは, $n(\ge 2)$$n(\ge 2)$n( >= 2)n(\geq 2)$n(\ge 2)$ 次元ユークリッド空間とよばれる, 計量をもつ 曲率のない（つまり，平坦な）空間上のスカラー場やベクトル場を解析する 学問であり, 線形代数学と多変数の微分積分学を土台として理論が展開され ます。本書では, $n$$n$nn$n$ 次元ユークリッド空間は ${\mathbb{E}}^n$${\mathbb{E}}^n$E^(n)\mathbb{E}^{n}${\mathbb{E}}^n$ と表されます. スカラー場と は, 温度分布や熱分布をはじめとする, 空間の各点にスカラー（=実数値）を 対応させる対応を意味し, ベクトル場とは, 流体の速度ベクトル場, 重力場,電場, 磁場をはじめとする，空間の各点にベクトル（=矢印）を対応させる 対応を意味します。また, これらの対応付けが自然な意味で滑らかであると き、これらの場は滑らかであるといいます。空間に与えられている計量を用い て, 滑らかなスカラー場, ベクトル場に付随して様々な場が定義されます。例 えば，滑らかなスカラー場 $f$$f$ff$f$ に対し，その勾配ベクトル場とよばれる滑らか なベクトル場 $\mathrm{grad}f(=\mathrm{\nabla }f)$$\mathrm{grad}f(=\mathrm{\nabla }f)$grad f(=grad f)\operatorname{grad} f(=\nabla f)$\mathrm{grad}f(=\mathrm{\nabla }f)$ が定義され, 一方, 滑らかなベクトル場 $\mathit{X}$$\mathit{X}$X\boldsymbol{X}$\mathit{X}$ に対 し、その発散とよばれる滑らかなスカラー場 $\mathrm{div}\mathit{X}$$\mathrm{div}\mathit{X}$div X\operatorname{div} \boldsymbol{X}$\mathrm{div}\mathit{X}$ が定義されます。

$n$$n$nn$n$ 次元ユークリッド空間を一般化した空間として, $n$$n$nn$n$ 次元リーマン多様体と よばれる，計量をもつ空間が定義されます。この空間は、一般には曲率をもつ 空間であり，次元の十分高いユークリッド空間に（等長的に）埋め达んでその 姿を眺めることができ，曲率をもつ場合は，曲がってみえます。例えば，球面 やトーラス（=輪環面）をはじめとする，3 次元ユークリッド空間からその姿 を眺めると曲がってみえる滑らかな曲面のほとんどは, 曲率をもつ 2 次元リ ーマン多様体です。ただし，円筒や円錐（ただし，頂点は除く）は，３次元ユ ークリッド空間からその姿を眺めると曲がってみえる滑らかな曲面ですが、こ れらは平坦な（つまり, 曲率０の）２次元リーマン多様体ですので, 注意して ください。実際，円筒や円錐を紙だと思ってハサミで切り開けば，しわが寄ら ずに平面の領域になり、平坦であることを認識することができます。的事実 は, 外在的曲率が 0 でなくても内在的曲率は 0 になる可能性があるというこ とを意味しています。 つまり, リーマン多様体の曲率とは, 外在的曲率ではな く内在的曲率を意味します。
一般に, スカラー場やベクトル場は, $n$$n$nn$n$ 次元リーマン多様体上で定義され, ユークリッド空間上の場合と同様に, 滑らかなスカラー場の勾配ベクトル場や 滑らかなベクトル場の発散などが定義され，ベクトル解析と同様の議論を展開 することができます. リーマン多様体上の滑らかなスカラー場やベクトル場を 研究する学問（いわゆる, リーマン多様体上のベクトル解析）は, 微分幾何学 という分野のフレームワークに属します.

$n$$n$nn$n$ 次元ユークリッド空間上のベクトル解析と， $n$$n$nn$n$ 次元リーマン多様体上の ベクトル解析の大きなギャップについて 2 点ご紹介します。一つは, 接空間 の捉え方です. $n$$n$nn$n$ 次元リーマン多様体 $M$$M$MM$M$ の各点 $p$$p$pp$p$ に対し, $M$$M$MM$M$ の $p$$p$pp$p$ における 1 次近似として現れる $n$$n$nn$n$ 次元ベクトル空間（= $n$$n$nn$n$ 次元線形空間）が $M$$M$MM$M$ の点 $p$$p$pp$p$ に おける接空間とよばれるものであり，通常， $T_{p}M$$T_{p}M$T_(p)MT_{p} M$T_{p}M$ で表されます. $M$$M$MM$M$ 上のベク トル場 $\mathit{X}$$\mathit{X}$X\boldsymbol{X}$\mathit{X}$ は, 各点 $p\in M$$p\in M$p in Mp \in M$p\in M$ に対し, $T_{p}M$$T_{p}M$T_(p)MT_{p} M$T_{p}M$ のベクトル ${\mathit{X}}_p$${\mathit{X}}_p$X_(p)\boldsymbol{X}_{p}${\mathit{X}}_p$ を対応させる対応と して定義されます. しかし, $n$$n$nn$n$ 次元ユークリッド空間 ${\mathbb{E}}^n$${\mathbb{E}}^n$E^(n)\mathbb{E}^{n}${\mathbb{E}}^n$ は, 土台がアフィン 空間とよばれるもの（本書では, ${\mathbb{A}}^n$${\mathbb{A}}^n$A^(n)\mathbb{A}^{n}${\mathbb{A}}^n$ と表される）であり, この各点 $p$$p$pp$p$ におけ る接空間 $T_p{\mathbb{A}}^n(=T_p{\mathbb{E}}^n)$$T_p{\mathbb{A}}^n\left(=T_p{\mathbb{E}}^n\right)$T_(p)A^(n)(=T_(p)E^(n))T_{p} \mathbb{A}^{n}\left(=T_{p} \mathbb{E}^{n}\right)$T_p{\mathbb{A}}^n(=T_p{\mathbb{E}}^n)$ は $n$$n$nn$n$ 次元数ベクトル空間とよばれる $n$$n$nn$n$ 次元ベクトル 空間（本書では, ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ と表される）と同一視されます. それゆえ, ${\mathbb{E}}^n$${\mathbb{E}}^n$E^(n)\mathbb{E}^{n}${\mathbb{E}}^n$ 上のべ クトル場 $\mathit{X}$$\mathit{X}$X\boldsymbol{X}$\mathit{X}$ は, ${\mathbb{E}}^n$${\mathbb{E}}^n$E^(n)\mathbb{E}^{n}${\mathbb{E}}^n$ から $n$$n$nn$n$ 次元数ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ への写像, つまり, ${\mathbb{E}}^n$${\mathbb{E}}^n$E^(n)\mathbb{E}^{n}${\mathbb{E}}^n$ 上 の ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ に値をとるベクトル値関数として定義されます. このように, ${\mathbb{E}}^n$${\mathbb{E}}^n$E^(n)\mathbb{E}^{n}${\mathbb{E}}^n$ 上の スカラー場, ベクトル場を解析するベクトル解析では, 接空間という概念は 登場せず, ベクトル場はべクトル値関数として定義されます。実際, どのベク トル解析の本でも，接空間という言葉は登場しません．もう一つの大きなギャ ップは, $n$$n$nn$n$ 次元リーマン多様体は $n$$n$nn$n$ 次元ユークリッド空間と違い, 一般に曲率をもちますので, 2 階偏微分（正確には，2 階共変偏微分）の順序交換可能性が成り立たないという点です。以下，正確に２階偏微分と 2 階共変偏微分 を区別してよぶことにします。ユークリッド空間における 2 階偏微分 $\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}$$\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}$(del^(2))/(delx_(i)delx_(j))\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}$ に相当するリーマン多様体上における偏微分作用素は， ${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}(\mathrm{\nabla }$${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}(\mathrm{\nabla }$grad_((del)/(delx_(i)))@grad_((del)/(delx_(j)))(grad\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}(\nabla${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}(\mathrm{\nabla }$ は レヴィ・チビタ接続とよばれるもの）であり，本書では，これを 2 階共変偏微分作用素とよぶことにします。一般には，共変偏微分の順序交換可能性は 成り立たないことを説明しましょう。実際, ${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}-{\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}=$${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}-{\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}=$grad_((del)/(delx_(i)))@grad_((del)/(delx_(j)))-grad_((del)/(delx_(j)))@grad_((del)/(delx_(i)))=\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}-\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}=${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}-{\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}=$ $R(\frac{\partial }{\partial x_i},\frac{\partial }{\partial x_j})$$R\left(\frac{\partial }{\partial x_i},\frac{\partial }{\partial x_j}\right)$R((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)))R\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)$R(\frac{\partial }{\partial x_i},\frac{\partial }{\partial x_j})$ という関係式が成り立ちます. ここで, $R$$R$RR$R$ は曲率テンソル場と よばれるものであり, ユークリッド空間をはじめとしてリーマン多様体が平坦

な場合は $R=0$$R=0$R=0R=0$R=0$ であり, それゆえ, ${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}={\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}$${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}={\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}$grad_((del)/(delx_(i)))@grad_((del)/(delx_(j)))=grad_((del)/(delx_(j)))@grad_((del)/(delx_(i)))\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}=\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \circ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}={\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_j}}\circ {\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}$ が成り立つ, つまり，共変偏微分の順序交換可能性が成り立ちますが, 平坦でない場合には 成り立ちません．以上で述べた 2 点が， $n$$n$nn$n$ 次元ユークリッド空間上のベクトル 解析と $n$$n$nn$n$ 次元リーマン多様体上のベクトル解析の大きなギャップとして取り 上げられます.

本書のタイトルにも含まれている積分公式とは, 高校数学で登場する積分計算公式, および, 大学数学の複素関数論で登場するコーシーの積分公式の ようなある量をある関数の積分量として表示する公式, つまり, 積分表示公式 をはじめとする積分を含んだ公式を意味します。例えば, 本書で登場するスト ークスの定理は積分計算公式であり, 一方, 本書で登場するガウス・ボンネの 定理や第1（第2）変分公式は, 各々, 閉曲面のオイラー標数や面積汎関数の 1 次（2 次）方向微分係数を積分で表示する積分表示公式です. もう少し詳し く述べると, ストークスの定理は, 高校数学で学ぶ閉区間 $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$ （これは 1 次元の有界閉領域）上の 1 回連続微分可能な関数 $f$$f$ff$f$ （これは 0 次微分形式）に対 する微分積分学の基本定理 ${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)$${\int }_a^b f^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)$int_(a)^(b)f^(')(x)dx=f(b)-f(a)\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) d x=f(b)-f(a)${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)$ を一般化した公式が, $n(\ge 2)$$n(\ge 2)$n( >= 2)n(\geq 2)$n(\ge 2)$ 次元の有界閉領域上の $(n-1)$$(n-1)$(n-1)(n-1)$(n-1)$ 次微分形式に対しても成り立つことを 主張する定理です。ここで, $f^{\prime }(x)dx$$f^{\prime }(x)dx$f^(')(x)dxf^{\prime}(x) d x$f^{\prime }(x)dx$ は $f$$f$ff$f$ の外微分とよばれる 1 次微分形式 $df$$df$dfd f$df$ を意味することを注意しておきます。一方, ガウス・ボンネの定理は, 閉曲面のオイラー標数とよばれる量を，その閉曲面のガウス曲率とよばれる関数 の積分量として表示する公式が成り立つことを主張する定理です。本書では， より一般に, ガウス・ボンネの定理の高次元版についても述べることにしま す。また，本書で登場する第 1 , 第 2 変分公式は, 閉曲面を集めた無限次元空間（人間社会の言葉を借りると，閉曲面社会とよぶべきもの）上で定義される 面積汎関数の 1 次, 2 次方向微分係数を, その方向ベクトル（場）を含む関数 の積分量として表示する公式です。本書では,より一般に, $n(\ge 3)$$n(\ge 3)$n( >= 3)n(\geq 3)$n(\ge 3)$ 次元リー マン部分多様体を集めた無限次元空間（リーマン部分多様体社会）上で定義さ れる体積汎関数に対する第 1 , 第 2 変分公式についても述べることにします.

本書は, 積分公式にスポットを当てて, 線形代数学と多変数の微分積分学を 土台とするベクトル解析や超曲面論を学ぶことからスタートして, スムーズに 微分幾何学を学べるように構成されており，また，図を多用することにより視覚的に理解できるように工夫されています。
以下，本書の主な目的を 3 つ挙げます。本書の1つ目の目的は, ベクトル 解析におけるグリーンの定理, ストークスの定理, およびガウスの発散定理を 学んだ後, スムーズに微分幾何学におけるストークスの定理, およびガウスの 発散定理を学んでもらうことです（第 1 章, および第 3 章を参照）. さらに,多様体論と位相幾何学を結びつける重要な定理であるド・ラームの定理が, 微分幾何学におけるストークスの定理を用いて示されることを学んでもらうこと です（第 5 章を参照）.ド・ラームの定理の内容を簡単に述べておきます．こ の定理は, 多様体 $M$$M$MM$M$ 上の微分形式の外微分作用素とよばれる作用素を用いて 定義される $k$$k$kk$k$ 次ド・ラームコホモロジー群が, $M$$M$MM$M$ の位相構造のみを用いて定義される実係数 $k$$k$kk$k$ 次特異コホモロジー群と同型であることを主張するもので $\mathrm{す}$$\mathrm{す}$すす$\mathrm{す}$ 。

本書の 2 つ目の目的は, 曲面論におけるガウス・ボンネの定理と微分幾何学におけるガウス・ボンネの定理が, 全く別の手法で証明されることを学んで もらうことです．各々の証明法を簡単に説明しておきます．曲面論における閉曲面上で成立するガウス・ボンネの定理は，まず，閉曲面を三角形分割して， その各ピースである三角形領域上で成り立つ積分公式（ガウス・ボンネの定理 （局所版））をストークスの定理を用いて導きます。次に，その各ピース上で成 り立つ積分公式の両辺を足し合わせることによりえられる関係式の片方の辺の 一部を，三角形分割からオイラー標数を求める公式を用いてオイラー標数にす り替えることにより, 求めるべき積分公式を導き出すという手法で証明されま す（第 2 章を参照）。一方, 微分幾何学におけるユークリッド空間や球面内の 偶数次元リーマン閉超曲面上で成立するガウス・ボンネの定理は，ある関数族 にモースの基本定理を適用することにより導き出すという全く別の手法で証明 されます（第 5 章を参照）。ここで，モースの基本定理とは，多様体上のモー ス関数の臨界点の情報がその多様体の位相構造（正確には、ホモトピー型）を 支配することを主張するものであり，その完全証明は 5.3 節において与えられ ます。

本書の 3 つ目の目的は, ユークリッド空間内の曲線社会上で定義されるエ ネルギー汎関数, および，曲面社会上で定義される面積汎関数に対する第 1 ,第 2 変分公式（第 1 章, および第 2 章を参照）を学んだ後, その理解の下に, スムーズにリーマン部分多様体社会上で定義される体積汎関数の第 1 , 第 2
変分公式（第 4 章を参照）を学んでもらうことです。特に, 体積汎関数の第 2 変分公式（Simons の公式）の証明は複雑であり，私が把握している限り，そ の完全証明を与えている和書は見当たりません. 本書では, その完全証明を学 ぶことができます（4.7 節を参照）.

なお，本書の各章に設けた問の解答は，共立出版のホームページ：

https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10013505.html からダウンロードできます*.

本書は, 線形代数学と多変数の微分積分学の初歩を学んだ数学科の 2 年次以上の学生の皆様を主な読者対象としておりますが, 1 年次後半からでも線形代数学と多変数の微分積分学の初歩を学びながら, 同時進行で読みこなすこ とができるように工夫されています。また，理論物理学とも密接に関係する内容ですので, 物理学科の学生の皆様にも是非お読みいただければと思っていま $\mathrm{す}$$\mathrm{す}$すす$\mathrm{す}$.

最後に, 本書の編集にあたりいろいろとお世話になりました高橋萌子さんを はじめ, 共立出版編集部の皆様方に感謝の意を表します.

2022 年 8 月

小池直之

第 1 章 ベクトル解析におけるストークスの定理・変分公式 ..... 1
1.1 ベクトル空間とアフィン空間 ..... 1
1.2 内積・外積・ユークリッド計量 ..... 4
1.3 ベクトル値関数の微分・偏微分 ..... 13
1.4 スカラー場・ベクトル場の線積分 ..... 19
1.5 勾配ベクトル場・回転・発散 ..... 26
1.6 長さ汎関数とエネルギー汎関数の変分公式 ..... 35
1.7 ユークリッド空間内の曲線の曲率・フルネ枠 ..... 40
1.8 グリーンの定理 ..... 46
1.9 超曲面 ..... 49
1.10 スカラー場・ベクトル場の超曲面に沿う面積分 ..... 59
1.11 ベクトル解析におけるストークスの定理 ..... 62
1.12 ガウスの発散定理 ..... 66
第 2 章超曲面論における変分公式とガウス・ボンネの定理 ..... 74
2.1 超曲面上の接ベクトル場 ..... 74
2.2 超曲面上の $k$$k$kk$k$ 次共変テンソル場 ・ $(1,k)$$(1,k)$(1,k)(1, k)$(1,k)$ 次テンソル場 ..... 80
2.3 第 2 基本形式 ・形作用素 ..... 92
2.4 平行移動 ・測地線 ..... 104
2.5 向き付けられた超曲面上の曲線の曲率・フルネ枠 ..... 113
2.6 超曲面論における体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式 ..... 117
2.7 曲面上の 1 次微分形式に対するストークスの定理 ..... 130
2.8 ガウス・ボンネの定理（局所版） ..... 136
2.9 曲面論におけるガウス・ボンネの定理 ..... 146
第 3 章 微分幾何学におけるストークスの定理・ガウスの発散定理 ..... 151
3.1 多様体 ..... 151
$3.2C^r$$3.2C^r$3.2C^(r)3.2 C^{r}$3.2C^r$ 写像 ..... 163
3.3 接ベクトル ..... 165
3.4 写像の微分 ..... 172
3.5 臨界点, およびその指数 ..... 177
3.6 はめ込み・沈め込みと陰関数定理 ..... 180
3.7 ベクトル場と局所 1 パラメーター変換群 ..... 188
3.8 テンソル場・微分形式 ..... 200
3.9 多様体の向き ..... 204
3.10 ストークスの定理（微分幾何学版） ..... 208
3.11 リーマン計量・リーマン接続・ ..... 216
3.12 ガウスの発散定理（微分幾何学版） ..... 223
第 4 章 微分幾何学における体積汎関数の変分公式 ..... 230
4.1 平行移動 ・測地線 ・指数写像 ..... 230
4.2 リーマン距離関数 ..... 234
4.3 曲率テンソル場 ..... 239
4.4 実ベクトルバンドルの接続と曲率テンソル場 ..... 244
4.5 測地変形とヤコビ場 ..... 247
4.6 リーマン部分多様体論 ..... 252
4.7 体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式 ..... 261
第 5 章 微分幾何学におけるガウス・ボンネの定理 ..... 277
5.1 特異コホモロジー群, CW コホモロジー群, ド・ラームコホモロ
ジー群 ..... 277
5.2 ド・ラームの定理 ..... 289
5.3 モース理論 ..... 296
5.4 リー群作用 ..... 319
5.5 ファイバーバンドル ..... 321
5.6 偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ボンネ型定理 ..... 329
第 6 章特性類とガウス・ボンネの定理 ..... 347
6.1 リー群の無限小モデルとしてのリー代数 ..... 347
6.2 リー群とリー代数の随伴表現 ..... 354
6.3 主バンドルの接続と曲率形式 ..... 356
$6.4G$$6.4G$6.4 G6.4 G$6.4G$ 構造と $G$$G$GG$G$ 接続 ..... 361
6.5 連続バンドルの分類定理と特性類 ..... 362
6.6 チャーン・ヴェイユ理論とガウス・ボンネの定理 ..... 369
参考文献 ..... 375
索 引 ..... 379

この章において, グリーンの定理, ガウスの発散定理, ストークスの定理, および曲線のエネルギー汎関数の変分公式等の積分公式にスポットを当てて,大学の 1,2 年次に理工系学生が学ぶベクトル解析について説明する。この章 では, 特別断りのない限り, $C^r$$C^r$C^(r)C^{r}$C^r$ 級性（ $r$$r$rr$r$ 回連続微分可能性）における $r$$r$rr$r$ は 1 以上の整数, または $\mathrm{\infty }$$\mathrm{\infty }$oo\infty$\mathrm{\infty }$ とする.

この節において, まずべクトル空間，およびアフィン空間を定義することに する．最初に，ベクトル空間を定義する． $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$R\mathbb{R}$\mathbb{R}$ を実数全体からなる集合とし，V を集合とする. $V$$V$VV$V$ に加法演算 $+({\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2({\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2\in V))$$+\left({\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2\left({\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2\in V\right)\right)$+(v_(1)+v_(2)(v_(1),v_(2)in V))+\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in V\right)\right)$+({\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2({\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2\in V))$ と実数倍 $(\alpha \mathit{v}(\alpha \in$$(\alpha \mathit{v}(\alpha \in$(alpha v(alpha in(\alpha \boldsymbol{v}(\alpha \in$(\alpha \mathit{v}(\alpha \in$ $\mathbb{R},\mathit{v}\in V))$$\mathbb{R},\mathit{v}\in V))$R,v in V))\mathbb{R}, \boldsymbol{v} \in V))$\mathbb{R},\mathit{v}\in V))$ が定義されていて, 次の8つの条件が成り立っているとする：

(i) ${\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2={\mathit{v}}_2+{\mathit{v}}_1(\mathrm{\forall }{\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2\in V)$${\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2={\mathit{v}}_2+{\mathit{v}}_1\left(\mathrm{\forall }{\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2\in V\right)$v_(1)+v_(2)=v_(2)+v_(1)quad(AAv_(1),v_(2)in V)\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}=\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{1} \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in V\right)${\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2={\mathit{v}}_2+{\mathit{v}}_1(\mathrm{\forall }{\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2\in V)$;

(ii) $({\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2)+{\mathit{v}}_3={\mathit{v}}_1+({\mathit{v}}_2+{\mathit{v}}_3)(\mathrm{\forall }{\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2,{\mathit{v}}_3\in V)$$\left({\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2\right)+{\mathit{v}}_3={\mathit{v}}_1+\left({\mathit{v}}_2+{\mathit{v}}_3\right)\left(\mathrm{\forall }{\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2,{\mathit{v}}_3\in V\right)$(v_(1)+v_(2))+v_(3)=v_(1)+(v_(2)+v_(3))quad(AAv_(1),v_(2),v_(3)in V)\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)+\boldsymbol{v}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}+\left(\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{3}\right) \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3} \in V\right)$({\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2)+{\mathit{v}}_3={\mathit{v}}_1+({\mathit{v}}_2+{\mathit{v}}_3)(\mathrm{\forall }{\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2,{\mathit{v}}_3\in V)$;

(iii) $\alpha ({\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2)=\alpha {\mathit{v}}_1+\alpha {\mathit{v}}_2(\mathrm{\forall }{\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2\in V,\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{R})$$\alpha \left({\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2\right)=\alpha {\mathit{v}}_1+\alpha {\mathit{v}}_2\left(\mathrm{\forall }{\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2\in V,\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{R}\right)$alpha(v_(1)+v_(2))=alphav_(1)+alphav_(2)quad(AAv_(1),v_(2)in V,AA alpha inR)\alpha\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)=\alpha \boldsymbol{v}_{1}+\alpha \boldsymbol{v}_{2} \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in V, \forall \alpha \in \mathbb{R}\right)$\alpha ({\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2)=\alpha {\mathit{v}}_1+\alpha {\mathit{v}}_2(\mathrm{\forall }{\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2\in V,\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{R})$;

(iv) $({\alpha }_1+{\alpha }_2)\mathit{v}={\alpha }_1\mathit{v}+{\alpha }_2\mathit{v}(\mathrm{\forall }\mathit{v}\in V,\mathrm{\forall }{\alpha }_1,{\alpha }_2\in \mathbb{R})$$\left({\alpha }_1+{\alpha }_2\right)\mathit{v}={\alpha }_1\mathit{v}+{\alpha }_2\mathit{v}\left(\mathrm{\forall }\mathit{v}\in V,\mathrm{\forall }{\alpha }_1,{\alpha }_2\in \mathbb{R}\right)$(alpha_(1)+alpha_(2))v=alpha_(1)v+alpha_(2)v quad(AA v in V,AAalpha_(1),alpha_(2)inR)\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) \boldsymbol{v}=\alpha_{1} \boldsymbol{v}+\alpha_{2} \boldsymbol{v} \quad\left(\forall \boldsymbol{v} \in V, \forall \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}\right)$({\alpha }_1+{\alpha }_2)\mathit{v}={\alpha }_1\mathit{v}+{\alpha }_2\mathit{v}(\mathrm{\forall }\mathit{v}\in V,\mathrm{\forall }{\alpha }_1,{\alpha }_2\in \mathbb{R})$;

(v) $\left({\alpha }_1{\alpha }_2\right)\mathit{v}={\alpha }_1\left({\alpha }_2\mathit{v}\right)(\mathrm{\forall }\mathit{v}\in V,\mathrm{\forall }{\alpha }_1,{\alpha }_2\in \mathbb{R})$$\left({\alpha }_1{\alpha }_2\right)\mathit{v}={\alpha }_1\left({\alpha }_2\mathit{v}\right)\left(\mathrm{\forall }\mathit{v}\in V,\mathrm{\forall }{\alpha }_1,{\alpha }_2\in \mathbb{R}\right)$(alpha_(1)alpha_(2))v=alpha_(1)(alpha_(2)v)quad(AA v in V,AAalpha_(1),alpha_(2)inR)\left(\alpha_{1} \alpha_{2}\right) \boldsymbol{v}=\alpha_{1}\left(\alpha_{2} \boldsymbol{v}\right) \quad\left(\forall \boldsymbol{v} \in V, \forall \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}\right)$\left({\alpha }_1{\alpha }_2\right)\mathit{v}={\alpha }_1\left({\alpha }_2\mathit{v}\right)(\mathrm{\forall }\mathit{v}\in V,\mathrm{\forall }{\alpha }_1,{\alpha }_2\in \mathbb{R})$;

（vi）ある $\mathbf{0}\in V$$\mathbf{0}\in V$0in V\mathbf{0} \in V$\mathbf{0}\in V$ に対し， $\mathit{v}+\mathbf{0}=\mathit{v}(\mathrm{\forall }\mathit{v}\in V)$$\mathit{v}+\mathbf{0}=\mathit{v}(\mathrm{\forall }\mathit{v}\in V)$v+0=v quad(AA v in V)\boldsymbol{v}+\mathbf{0}=\boldsymbol{v} \quad(\forall \boldsymbol{v} \in V)$\mathit{v}+\mathbf{0}=\mathit{v}(\mathrm{\forall }\mathit{v}\in V)$ が成り立つ；

(vii) 各 $\mathit{v}\in V$$\mathit{v}\in V$v in V\boldsymbol{v} \in V$\mathit{v}\in V$ ごとに, $\mathit{v}+\mathit{w}=\mathbf{0}$$\mathit{v}+\mathit{w}=\mathbf{0}$v+w=0\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=\mathbf{0}$\mathit{v}+\mathit{w}=\mathbf{0}$ となる $\mathit{w}\in V$$\mathit{w}\in V$w in V\boldsymbol{w} \in V$\mathit{w}\in V$ が存在する；

(viii) $1\mathit{v}=\mathit{v}(\mathrm{\forall }v)$$1\mathit{v}=\mathit{v}(\mathrm{\forall }v)$1v=v quad(AA v)1 \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v} \quad(\forall v)$1\mathit{v}=\mathit{v}(\mathrm{\forall }v)$.

このとき, Vはベクトル空間 (vector space) とよばれる。（vi）における０は 零ベクトルとよばれ，（vii）における $\mathit{w}$$\mathit{w}$w\boldsymbol{w}$\mathit{w}$ は $\mathit{v}$$\mathit{v}$v\boldsymbol{v}$\mathit{v}$ の逆ベクトル(inverse vector) とよばれ, $-\mathit{v}$$-\mathit{v}$-v-\boldsymbol{v}$-\mathit{v}$ と表される。
注意 実数全体からなる集合 $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$R\mathbb{R}$\mathbb{R}$ や複素数全体からなる集合 $\mathbb{C}$$\mathbb{C}$C\mathbb{C}$\mathbb{C}$ は, 加法演算と乗法演算に関して体とよばれるものになる。上述の定義における $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$R\mathbb{R}$\mathbb{R}$ を般の体 $\mathbb{F}$$\mathbb{F}$F\mathbb{F}$\mathbb{F}$ に変え て, $\mathbb{F}$$\mathbb{F}$F\mathbb{F}$\mathbb{F}$ 上のベクトル空間という概念が定義され, 特に, $\mathbb{F}=\mathbb{R},\mathbb{C}$$\mathbb{F}=\mathbb{R},\mathbb{C}$F=R,C\mathbb{F}=\mathbb{R}, \mathbb{C}$\mathbb{F}=\mathbb{R},\mathbb{C}$ のとき, 各々, 実 ベクトル空間, 複素ベクトル空間とよばれる.

最も基本的な（実）ベクトル空間の例を挙げる. $V$$V$VV$V$ として $n$$n$nn$n$ 個の $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$R\mathbb{R}$\mathbb{R}$ の直積集合 ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ を考える. $\mathit{v}=(v_1,\dots ,v_n),\mathit{w}=(w_1,\dots ,w_n)\in {\mathbb{R}}^n$$\mathit{v}=\left(v_1,\dots ,v_n\right),\mathit{w}=\left(w_1,\dots ,w_n\right)\in {\mathbb{R}}^n$v=(v_(1),dots,v_(n)),w=(w_(1),dots,w_(n))inR^(n)\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right), \boldsymbol{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$\mathit{v}=(v_1,\dots ,v_n),\mathit{w}=(w_1,\dots ,w_n)\in {\mathbb{R}}^n$ に対し，それら の和 $v+w$$v+w$v+wv+w$v+w$ を

によって定義し, $\mathit{v}$$\mathit{v}$v\boldsymbol{v}$\mathit{v}$ の $\alpha$$\alpha$alpha\alpha$\alpha$ 倍 $\alpha \mathit{v}$$\alpha \mathit{v}$alpha v\alpha \boldsymbol{v}$\alpha \mathit{v}$ を

によって定義する. このとき、この和と実数倍が上述の 8 つの条件を満たす、 つまり, ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ がこの和と実数倍に関してベクトル空間になることが示される. ここで, $(0,\dots ,0)$$(0,\dots ,0)$(0,dots,0)(0, \ldots, 0)$(0,\dots ,0)$ が零ベクトルであり, $(-v_1,\dots ,-v_n)$$\left(-v_1,\dots ,-v_n\right)$(-v_(1),dots,-v_(n))\left(-v_{1}, \ldots,-v_{n}\right)$(-v_1,\dots ,-v_n)$ が $\mathit{v}=(v_1,\dots ,v_n)$$\mathit{v}=\left(v_1,\dots ,v_n\right)$v=(v_(1),dots,v_(n))\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$\mathit{v}=(v_1,\dots ,v_n)$ の逆ベクトルであることを注意しておく。このベクトル空間 ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ は $n$$n$nn$n$ 次元数ベ クトル空間 (numerial vector space) とよばれる.

次に, アフィン空間を定義する。Vをべクトル空間とする. 集合 $\mathbb{A}$$\mathbb{A}$A\mathbb{A}$\mathbb{A}$ と写像 $\mathrm{\Phi }:\mathbb{A}\times \mathbb{A}\to V$$\mathrm{\Phi }:\mathbb{A}\times \mathbb{A}\to V$Phi:AxxArarr V\Phi: \mathbb{A} \times \mathbb{A} \rightarrow V$\mathrm{\Phi }:\mathbb{A}\times \mathbb{A}\to V$ の組 $(\mathbb{A},\mathrm{\Phi })$$(\mathbb{A},\mathrm{\Phi })$(A,Phi)(\mathbb{A}, \Phi)$(\mathbb{A},\mathrm{\Phi })$ を考える。 $p,q\in \mathbb{A}$$p,q\in \mathbb{A}$p,q inAp, q \in \mathbb{A}$p,q\in \mathbb{A}$ に対し, $\mathrm{\Phi }(p,q)$$\mathrm{\Phi }(p,q)$Phi(p,q)\Phi(p, q)$\mathrm{\Phi }(p,q)$ を $\overrightarrow{pq}$$\overrightarrow{pq}$vec(pq)\overrightarrow{p q}$\overrightarrow{pq}$ と表す。 $\mathrm{\Phi }$$\mathrm{\Phi }$Phi\Phi$\mathrm{\Phi }$ が次の 3 条件を満たすとする：

(i) $\overrightarrow{pq}+\overrightarrow{qr}=\overrightarrow{pr}(\mathrm{\forall }p,q,r\in \mathbb{A})$$\overrightarrow{pq}+\overrightarrow{qr}=\overrightarrow{pr}(\mathrm{\forall }p,q,r\in \mathbb{A})$quad vec(pq)+ vec(qr)= vec(pr)quad(AA p,q,r inA)\quad \overrightarrow{p q}+\overrightarrow{q r}=\overrightarrow{p r} \quad(\forall p, q, r \in \mathbb{A})$\overrightarrow{pq}+\overrightarrow{qr}=\overrightarrow{pr}(\mathrm{\forall }p,q,r\in \mathbb{A})$;

(ii) $\overrightarrow{pq}=-\overrightarrow{qp}(\mathrm{\forall }p,q\in \mathbb{A})$$\overrightarrow{pq}=-\overrightarrow{qp}(\mathrm{\forall }p,q\in \mathbb{A})$vec(pq)=- vec(qp)quad(AA p,q inA)\overrightarrow{p q}=-\overrightarrow{q p} \quad(\forall p, q \in \mathbb{A})$\overrightarrow{pq}=-\overrightarrow{qp}(\mathrm{\forall }p,q\in \mathbb{A})$;

(iii) 各点 $p\in \mathbb{A}$$p\in \mathbb{A}$p inAp \in \mathbb{A}$p\in \mathbb{A}$ に対し,

は全単射である.

このとき, $(\mathbb{A},\mathrm{\Phi })$$(\mathbb{A},\mathrm{\Phi })$(A,Phi)(\mathbb{A}, \Phi)$(\mathbb{A},\mathrm{\Phi })$ または $\mathbb{A}$$\mathbb{A}$A\mathbb{A}$\mathbb{A}$ を, $V$$V$VV$V$ に付随するアフィン空間 (the affine space associated to $V$$V$VV$V$ ) という. $o\in \mathbb{A}$$o\in \mathbb{A}$o inAo \in \mathbb{A}$o\in \mathbb{A}$ を基点としてとり固定する. このと き, 全単射 ${\mathrm{\Phi }}_o:\mathbb{A}\to V$${\mathrm{\Phi }}_o:\mathbb{A}\to V$Phi_(o):Ararr V\Phi_{o}: \mathbb{A} \rightarrow V${\mathrm{\Phi }}_o:\mathbb{A}\to V$ により, $\mathbb{A}$$\mathbb{A}$A\mathbb{A}$\mathbb{A}$ が $V$$V$VV$V$ と同一視される。 以下, ${\mathrm{\Phi }}_0$${\mathrm{\Phi }}_0$Phi_(0)\Phi_{0}${\mathrm{\Phi }}_0$ を $\mathit{r}$$\mathit{r}$r\boldsymbol{r}$\mathit{r}$ と表 すことにする. $\mathit{r}(p)=\overrightarrow{op}$$\mathit{r}(p)=\overrightarrow{op}$r(p)= vec(op)\boldsymbol{r}(p)=\overrightarrow{o p}$\mathit{r}(p)=\overrightarrow{op}$ は, （o を基点とする） $p$$p$pp$p$ の位置ベクトル (position
vector) とよばれる.

$n$$n$nn$n$ 次元数ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ に付随するアフィン空間を ${\mathbb{A}}^n$${\mathbb{A}}^n$A^(n)\mathbb{A}^{n}${\mathbb{A}}^n$ で表す. $o\in {\mathbb{A}}^n$$o\in {\mathbb{A}}^n$o inA^(n)o \in \mathbb{A}^{n}$o\in {\mathbb{A}}^n$ を 基点としてとるとき, $\mathit{r}(={\mathrm{\Phi }}_o)$$\mathit{r}\left(={\mathrm{\Phi }}_o\right)$r(=Phi_(o))\boldsymbol{r}\left(=\Phi_{o}\right)$\mathit{r}(={\mathrm{\Phi }}_o)$ を通じて, 点の集まりである ${\mathbb{A}}^n$${\mathbb{A}}^n$A^(n)\mathbb{A}^{n}${\mathbb{A}}^n$ がベクトル の集まりである ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ と同一視される。それゆえ， $\overrightarrow{op}=(p_1,\dots ,p_n)$$\overrightarrow{op}=\left(p_1,\dots ,p_n\right)$vec(op)=(p_(1),dots,p_(n))\overrightarrow{o p}=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$\overrightarrow{op}=(p_1,\dots ,p_n)$ のとき, 点 $p$$p$pp$p$ も $(p_1,\dots ,p_n)$$\left(p_1,\dots ,p_n\right)$(p_(1),dots,p_(n))\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$(p_1,\dots ,p_n)$ と表してしまう。

高校で学んだ平面上の点 $p$$p$pp$p$ とその位置べクトル $\overrightarrow{op}$$\overrightarrow{op}$vec(op)\overrightarrow{o p}$\overrightarrow{op}$ 考えてみよう。平面は 点の集まりであり, 上述のアフィン空間 ${\mathbb{A}}^2$${\mathbb{A}}^2$A^(2)\mathbb{A}^{2}${\mathbb{A}}^2$ に相当する。一方, $\overrightarrow{op}$$\overrightarrow{op}$vec(op)\overrightarrow{o p}$\overrightarrow{op}$ をじめ とする平面ベクトルの全体は，上述の 2 次元数ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^2$${\mathbb{R}}^2$R^(2)\mathbb{R}^{2}${\mathbb{R}}^2$ に相当する. このように, 高校の教科書にある位置べクトルに関する図は, ${\mathbb{A}}^2$${\mathbb{A}}^2$A^(2)\mathbb{A}^{2}${\mathbb{A}}^2$ と ${\mathbb{R}}^2$${\mathbb{R}}^2$R^(2)\mathbb{R}^{2}${\mathbb{R}}^2$ を重 ねた図であることを注意しておく（図1.1.1を参照）。次に, 空間内の点 $p$$p$pp$p$ と その位置ベクトル $\overrightarrow{op}$$\overrightarrow{op}$vec(op)\overrightarrow{o p}$\overrightarrow{op}$ を考えてみよう。空間は点の集まりであり，上述のア フィン空間 ${\mathbb{A}}^3$${\mathbb{A}}^3$A^(3)\mathbb{A}^{3}${\mathbb{A}}^3$ に相当する。一方， $\overrightarrow{op}$$\overrightarrow{op}$vec(op)\overrightarrow{o p}$\overrightarrow{op}$ をじめとする空間ベクトルの全体は，上述の 3 次元数ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^3$${\mathbb{R}}^3$R^(3)\mathbb{R}^{3}${\mathbb{R}}^3$ に相当する.

次に, ${\mathbb{A}}^n$${\mathbb{A}}^n$A^(n)\mathbb{A}^{n}${\mathbb{A}}^n$ の任意の点 $p$$p$pp$p$ における接空間を定義する. そのために, まず, ${\mathbb{A}}^n$${\mathbb{A}}^n$A^(n)\mathbb{A}^{n}${\mathbb{A}}^n$内の $C^r$$C^r$C^(r)C^{r}$C^r$ 曲線 $(r\ge 0)$$(r\ge 0)$(r >= 0)(r \geq 0)$(r\ge 0)$ を定義する。 $o\in {\mathbb{A}}^n$$o\in {\mathbb{A}}^n$o inA^(n)o \in \mathbb{A}^{n}$o\in {\mathbb{A}}^n$ を固定する。 $I$$I$II$I$ を区間とし, 写像 $c:I\to {\mathbb{A}}^n$$c:I\to {\mathbb{A}}^n$c:I rarrA^(n)c: I \rightarrow \mathbb{A}^{n}$c:I\to {\mathbb{A}}^n$ を考える. この写像 $c$$c$cc$c$ に対し, 写像 $\overrightarrow{c}:I\to {\mathbb{R}}^n$$\overrightarrow{c}:I\to {\mathbb{R}}^n$vec(c):I rarrR^(n)\vec{c}: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}$\overrightarrow{c}:I\to {\mathbb{R}}^n$ を $\overrightarrow{c}(t):=\overrightarrow{oc(t)}$$\overrightarrow{c}(t):=\overrightarrow{oc(t)}$vec(c)(t):= vec(oc(t))\vec{c}(t):=\overrightarrow{o c(t)}$\overrightarrow{c}(t):=\overrightarrow{oc(t)}$ $(=(\mathit{r}\circ c)(t))(t\in I)$$(=(\mathit{r}\circ c)(t))(t\in I)$(=(r@c)(t))(t in I)(=(\boldsymbol{r} \circ c)(t))(t \in I)$(=(\mathit{r}\circ c)(t))(t\in I)$ によって定義する。 $\overrightarrow{c}(t)=(c_1(t),\dots ,c_n(t))(t\in I)$$\overrightarrow{c}(t)=\left(c_1(t),\dots ,c_n(t)\right)(t\in I)$vec(c)(t)=(c_(1)(t),dots,c_(n)(t))(t in I)\vec{c}(t)=\left(c_{1}(t), \ldots, c_{n}(t)\right)(t \in I)$\overrightarrow{c}(t)=(c_1(t),\dots ,c_n(t))(t\in I)$ と する。各関数 $c_i:I\to \mathbb{R}(i=1,\dots ,n)$$c_i:I\to \mathbb{R}(i=1,\dots ,n)$c_(i):I rarrR(i=1,dots,n)c_{i}: I \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, n)$c_i:I\to \mathbb{R}(i=1,\dots ,n)$ が $C^r$$C^r$C^(r)C^{r}$C^r$ 級であるとき, $c$$c$cc$c$ を ${\mathbb{A}}^n$${\mathbb{A}}^n$A^(n)\mathbb{A}^{n}${\mathbb{A}}^n$ 内の $C^r$$C^r$C^(r)C^{r}$C^r$曲線 $(C^r$$\left(C^r\right.$(C^(r):}\left(C^{r}\right.$(C^r$-curve $)$$)$))$)$ という.

図 1.1.1 ベクトル空間とアフィン空間
集合 ${\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1(p\in {\mathbb{A}}^n)$${\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1\left(p\in {\mathbb{A}}^n\right)$C_(A^(n),p)^(1)(p inA^(n))\mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1}\left(p \in \mathbb{A}^{n}\right)${\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1(p\in {\mathbb{A}}^n)$ を

によって定義する。集合 ${\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1$${\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1$C_(A^(n),p)^(1)\mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1}${\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1$ に次のように 2 項関係～を定義する。 $(c_i,t_i)$$\left(c_i,t_i\right)$(c_(i),t_(i))\left(c_{i}, t_{i}\right)$(c_i,t_i)$ $(i=1,2)$$(i=1,2)$(i=1,2)(i=1,2)$(i=1,2)$ を ${\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1$${\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1$C_(A^(n),p)^(1)\mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1}${\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1$ の元として,

と定義する. ここで, ${\overrightarrow{c}}_i^{\prime }\left(t_i\right)$${\overrightarrow{c}}_i^{\prime }\left(t_i\right)$vec(c)_(i)^(')(t_(i))\vec{c}_{i}^{\prime}\left(t_{i}\right)${\overrightarrow{c}}_i^{\prime }\left(t_i\right)$ はベクトル値関数 $\overrightarrow{c_i}$$\overrightarrow{c_i}$vec(c_(i))\overrightarrow{c_{i}}$\overrightarrow{c_i}$ の $t_i$$t_i$t_(i)t_{i}$t_i$ における微分係数を表 す（1.3 節を参照）. この 2 項関係～が同值関係になることが容易に示される. この同値関係～に関する $(c,t_0)\in {\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1$$\left(c,t_0\right)\in {\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1$(c,t_(0))inC_(A^(n),p)^(1)\left(c, t_{0}\right) \in \mathcal{C}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1}$(c,t_0)\in {\mathcal{C}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1$ の属する同值類を $c^{\prime }\left(t_0\right)$$c^{\prime }\left(t_0\right)$c^(')(t_(0))c^{\prime}\left(t_{0}\right)$c^{\prime }\left(t_0\right)$ と表し, 商集合 ${\mathcal{A}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1/\sim$${\mathcal{A}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1/\sim$A_(A^(n),p)^(1)//∼\mathcal{A}_{\mathbb{A}^{n}, p}^{1} / \sim${\mathcal{A}}_{{\mathbb{A}}^n,p}^1/\sim$ を $T_p{\mathbb{A}}^n$$T_p{\mathbb{A}}^n$T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}$T_p{\mathbb{A}}^n$ と表す. $T_p{\mathbb{A}}^n$$T_p{\mathbb{A}}^n$T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}$T_p{\mathbb{A}}^n$ から ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ への写像 $F_p$$F_p$F_(p)F_{p}$F_p$ を

によって定義すると, この写像 $F_p$$F_p$F_(p)F_{p}$F_p$ は全単射になることが容易に示される. $F_p$$F_p$F_(p)F_{p}$F_p$ を通じて, 数ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ の加法と実数倍から $T_p{\mathbb{A}}^n$$T_p{\mathbb{A}}^n$T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}$T_p{\mathbb{A}}^n$ におる加法と実数倍が定義され, $T_p{\mathbb{A}}^n$$T_p{\mathbb{A}}^n$T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}$T_p{\mathbb{A}}^n$ はベクトル空間になる。 このベクトル空間 $T_p{\mathbb{A}}^n$$T_p{\mathbb{A}}^n$T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}$T_p{\mathbb{A}}^n$ を ${\mathbb{A}}^n$${\mathbb{A}}^n$A^(n)\mathbb{A}^{n}${\mathbb{A}}^n$ の $\mathit{p}$$\mathit{p}$p\boldsymbol{p}$\mathit{p}$ における接空間 (the tangent space of ${\mathbb{A}}^n$${\mathbb{A}}^n$A^(n)\mathbb{A}^{n}${\mathbb{A}}^n$ at $\mathit{p})$$\left.\mathit{p}\right)${:p)\left.\boldsymbol{p}\right)$\mathit{p})$ といい, $T_p{\mathbb{A}}^n$$T_p{\mathbb{A}}^n$T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}$T_p{\mathbb{A}}^n$ の 各元を ${\mathbb{A}}^n$${\mathbb{A}}^n$A^(n)\mathbb{A}^{n}${\mathbb{A}}^n$ の $\mathit{p}$$\mathit{p}$p\boldsymbol{p}$\mathit{p}$ における接ベクトル (tangent vector of ${\mathbb{A}}^n$${\mathbb{A}}^n$A^(n)\mathbb{A}^{n}${\mathbb{A}}^n$ at $p$$p$pp$p$ ) とい う. 通常, ベクトル解析の本では, $c^{\prime }\left(t_0\right)$$c^{\prime }\left(t_0\right)$c^(')(t_(0))c^{\prime}\left(t_{0}\right)$c^{\prime }\left(t_0\right)$ と（数）ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ のベクト ル ${\overrightarrow{c}}^{\prime }\left(t_0\right)$${\overrightarrow{c}}^{\prime }\left(t_0\right)$vec(c)^(')(t_(0))\vec{c}^{\prime}\left(t_{0}\right)${\overrightarrow{c}}^{\prime }\left(t_0\right)$ を同一視することにより, $T_p{\mathbb{A}}^n$$T_p{\mathbb{A}}^n$T_(p)A^(n)T_{p} \mathbb{A}^{n}$T_p{\mathbb{A}}^n$ を（数）ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ と同一視している。

注意 ${\mathbb{A}}^n$${\mathbb{A}}^n$A^(n)\mathbb{A}^{n}${\mathbb{A}}^n$ は, 第 3 章で述べる $n$$n$nn$n$ 次元 $C^{\mathrm{\infty }}$$C^{\mathrm{\infty }}$C^(oo)C^{\infty}$C^{\mathrm{\infty }}$ 多様体とよばれるものの最も基本的な 例である. 実は, 一般に, $n$$n$nn$n$ 次元 $C^{\mathrm{\infty }}$$C^{\mathrm{\infty }}$C^(oo)C^{\infty}$C^{\mathrm{\infty }}$ 多様体 $M$$M$MM$M$ の各点 $p$$p$pp$p$ において接空間 $T_{p}M$$T_{p}M$T_(p)MT_{p} M$T_{p}M$ が 定義される。 $T_{p}M$$T_{p}M$T_(p)MT_{p} M$T_{p}M$ は、 $M$$M$MM$M$ の点 $p$$p$pp$p$ における 1 次近似と解釈されるものである。 $C^1$$C^1$C^(1)C^{1}$C^1$級関数 $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ の $a$$a$aa$a$ における 1 次のテイラー多項式 $f^{\prime }(a)x+f(a)$$f^{\prime }(a)x+f(a)$f^(')(a)x+f(a)f^{\prime}(a) x+f(a)$f^{\prime }(a)x+f(a)$ のグラフ $y=f^{\prime }(a)x$$y=f^{\prime }(a)x$y=f^(')(a)xy=f^{\prime}(a) x$y=f^{\prime }(a)x$ $+f(a)$$+f(a)$+f(a)+f(a)$+f(a)$ が $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ のグラフ $y=f(x)$$y=f(x)$y=f(x)y=f(x)$y=f(x)$ の $(a,f(a))$$(a,f(a))$(a,f(a))(a, f(a))$(a,f(a))$ における接線を与えることを思い出 すとよい。